El retículo de los subconjuntos difusos de un conjunto

Desde hace unos días he estado leyendo sobre conjuntos difusos y me encontré con un teorema que me gustó; no sé por qué: más bien no me lo he querido responder todavía.
     En un artículo de 1937, Vagueness: An exercise in logical analysis, el filósofo y matemático Max Black escribió sobre lo que llamó los conjuntos vagos, ahora llamados conjuntos difusos. Su artículo comienza como sigue: “Es paradójico [...] que las teorías científicas más útiles y más altamente desarrolladas están expresadas aparentemente en términos de objetos con los que uno nunca se encuentra en la experiencia. La línea trazada por un dibujante técnico, sin importar qué tan precisa la haga, se ve, bajo el microscopio, como una zanja ondulada, algo muy alejado de la línea ideal de la geometría pura. Y el planeta puntual de la astronomía, el gas perfecto de la termodinámica o las especies puras de la genética están igualmente muy alejados de la realización exacta. [...] Mientras el matemático construye una teoría en términos de objetos perfectos, el científico experimental observa objetos cuyas propiedades exigidas por la teoría son y sólo pueden ser, por la naturaleza misma de la medición, aproximadamente ciertas”.
     Posteriormente, en un artículo de 1965, Fuzzy sets. Information and Control, Lotfali Askar Zadeh retoma las ideas formuladas más o menos 30 años atrás por Black, y nace entonces la teoría de los conjuntos difusos.
     Los conceptos vagos (o difusos), predicados que modelan propiedades difíciles de discernir de manera clara o precisa pueden ser (se propone, en esos artículos, que sean) representados mediante subconjuntos difusos. Esta nueva manera de ver las cosas tiene, por supuesto, consecuencias filosóficas, como considerar una nueva categoría de determinación.

Definición. Dados un conjunto $U$ y $C$ un retículo completo, se define un subconjunto $C$-difuso de $U$ como una función $A:U\rightarrow C$ (que va de $U$ a $C$). Si $C=[0,1]$, a $A$ se lo llama simplemente subconjunto difuso de $U$.

Por ejemplo, el concepto “ser joven” o la pertenencia al conjunto de las personas jóvenes puede ser modelado por la función $A:[0,\infty)\rightarrow[0,1]$ definida como $$A(e):= \begin{cases} 1 &\text{si $e < 25$;}\\ \frac{50-e}{25} &\text{si $25\leq e\leq 50$;}\\ 0 &\text{si $50 < e$;} \end{cases} $$ donde $[0,\infty)$ representa el conjunto de todas las posibles edades de las personas.

La total pertenencia al conjunto de las personas jóvenes está representado por que se obtenga 1 en $A$. El grado de pertenencia a este conjunto va disminuyendo conforme se empieza a envejecer, hasta que finalmente, a partir de los 50, ya no se pertenece. Por supuesto, se pueden proponer otros tipos de subconjuntos difusos para representar tal concepto, los cuales dependerán del contexto y de lo que interese.
     Hay aplicaciones más interesantes que la anterior, como al control difuso, pero esas quizá las deje para otra entrada.
     El teorema que me gustó forma parte de la teoría de los conjuntos difusos.

Teorema. Sea $C$ un retículo completo y sea $U$ un conjunto cualquiera. Sea $\mathcal{F}(U)$ el conjunto de todas las funciones que van de $U$ a $C$, y sea $\mathcal{L}(U)$ el conjunto de todas las funciones $g:C\rightarrow\mathcal{P}(U)$ tales que para todo subconjunto $D$ de $C$ se cumple la siguiente igualdad: $$g\left(\bigvee D\right)=\bigcap_{d\in D}g(d).$$ Entonces la función $\Phi:\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{L}(U)$ dada por $\Phi(A)=A^{-1}\uparrow$ es biyectiva.

Demostración. Primero veamos que para $A^{-1}\uparrow$ se cumple la igualdad anterior. Sea $A:U\rightarrow C$ una función, así que $$\forall\,D\subseteq C\quad A^{-1}(\uparrow\vee D)=\bigcap_{d\in D}A^{-1}(\uparrow d).$$ En efecto, $u\in A^{-1}(\uparrow\vee D)\Leftrightarrow A(u)\geq\vee D\Leftrightarrow \forall\,\alpha\in D\; A(u)\geq\alpha\Leftrightarrow u\in\bigcap_{\alpha\in D}A^{-1}(\uparrow\alpha)$. En efecto $\Phi$ es inyectiva. Sean $A,B\in\mathcal{F}(U)$ tales que $A^{-1}\uparrow=B^{-1}\uparrow$; es decir, que $\forall\,\alpha\in [0,1]\;A_{\alpha}=B_{\alpha}$. Ahora, tenemos que $$A^{-1}(\alpha)=A_{\alpha}\bigcap(\bigcup_{\beta > \alpha}A_{\beta})',$$ así que $A^{-1}(\alpha)=B^{-1}(\alpha)$ para todo $\alpha\in [0,1]$; luego, $A=B$. Ahora veamos que $\Phi$ es suprayectiva. Sea $g\in\mathcal{L}(U)$. Veamos que $g$ es una función antítona. Sean $a,b\in C$ tales que $a\leq b$. Entonces, $a\vee b=b$; así que, por conmutatividad, $$g(b)=g(a\vee b)=g(a)\cap g(b);$$ de aquí, $g(b)\subseteq g(a)$. Luego, $g$ es antítona. Ahora definamos $h:U\rightarrow\mathcal{P}(C)$ como sigue: $$h(u):=\{d\in C\mid u\in g(d)\}.$$ Sea $A:=\bigvee\circ h:U\rightarrow C$. Veamos que $A^{-1}\uparrow(c)=g(c)$ para todo $c\in C$. Sea $u\in A^{-1}\uparrow(c)$; entonces, $A(u)=\bigvee h(u)\geq c$. Por otro lado, $\forall\,d\in h(u)\quad u\in g(d)$; de aquí, $$u\in\bigcap_{d\in h(u)}g(d)=g(\bigvee h(u))=g(A(u)).$$ Por otro lado, $g$ es antítona y $A(u)\geq c$; por lo tanto, $u\in g(A(u))\subseteq g(c)$. Así que $A^{-1}\uparrow(c)\subseteq g(c)$.
     Recíprocamente, sea $u\in g(c)$; entonces, $c\in h(u)$; de aquí, $A(u)=\bigvee h(u)\geq c$; por lo tanto, $u\in A^{-1}\uparrow (c)$. Así que $g(c)\subseteq A^{-1}\uparrow(c)$. Luego, $g=A^{-1}\uparrow$, y resulta que $\Phi$ es suprayectiva. ■

Pero más aún, se tiene que $\Phi$ es un isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados. En efecto, claramente, dadas dos funciones $A,B:U\rightarrow C$ tales que $A(u)\leq B(u)$ para todo $u\in U$, se tiene que $A^{-1}\uparrow(x)\subseteq B^{-1}\uparrow(x)$ para $x\in C$.
     Recíprocamente, supongamos que $$\forall\,x\in C\ A^{-1}\uparrow(x)\subseteq B^{-1}\uparrow(x).$$ Sea entonces $u\in U$; se tiene que $A^{-1}\uparrow(A(u))\subseteq B^{-1}\uparrow(A(u))$, así que $A(u)\leq B(u)$.
     Luego, $A\leq B$ si y sólo si $A^{-1}\uparrow\leq B^{-1}\uparrow$: $\mathcal{F}(U)\cong\mathcal{L}(U)$.

El siguiente teorema no lo encontré como tal, sino como una observación en el A First Course in Fuzzy Logic, su segunda edición. Sin embargo, a mí me pareció un teorema, o quizá un corolario, ya que no me pareció tan evidente la afirmación: por eso escribí su demostración. Este teorema también me gustó. Por cierto, resulta que $\mathcal{F}(U)$ (más bien $(\mathcal{F}(U),\vee,\wedge,0,1)$) es un retículo completo, y cuando $C=[0,1]$, $\mathcal{F}(U)$ es un álgebra De Morgan completa.

Teorema. $\mathcal{L}(U)$ es subretículo de $\mathcal{P}(U)^C$ si y sólo si $C$ es una cadena.

Demostración. En general, se tiene que si $A,B\in C^U$ entonces $$\forall\,c\in C\ A^{-1}\uparrow(c)\cup B^{-1}\uparrow(c)\subseteq(A\vee B)^{-1}\uparrow(c).$$ En efecto, sea $u\in A^{-1}\uparrow(c)\cup B^{-1}\uparrow(c)$; entonces, $A(u)\geq c$ o $B(u)\geq c$. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $A(u)\geq c$. Entonces, $$A(u)\vee B(u)\geq A(u)\geq c.$$ Luego, $u\in (A\vee B)^{-1}\uparrow(c)$. Supóngase ahora que $C$ es una cadena. Sea $c\in C$ y $u\in (A\vee B)^{-1}\uparrow(c)$. Entonces, $A(u)\leq B(u)$ o $B(u)\leq A(u)$. Si $A(u)\leq B(u)$ entonces $B(u)=A(u)\vee B(u)$, y, de aquí, $u\in B^{-1}\uparrow(c)$. Si $B(u)\leq A(u)$ entonces $u\in A^{-1}\uparrow(c)$. Luego, $u\in A^{-1}\uparrow(c)\cup B^{-1}\uparrow(c)$. Por lo tanto, $(A\vee B)^{-1}\uparrow=A^{-1}\uparrow\cup B^{-1}\uparrow$.
     Recíprocamente, supóngase que $$\forall\,A,B\in C^U\ (A\vee B)^{-1}\uparrow=A^{-1}\uparrow\cup B^{-1}\uparrow;$$ es decir, que $\mathcal{L}(U)$ es subretículo de $\mathcal{P}(U)^C$. Veamos que $C$ es una cadena. Sean $c,d\in C$. Definamos $A_c,A_d:U\rightarrow C$ como $A_c(u)=c$ y $A_d(u)=d$ para todo $u\in U$. Tenemos que $$U=(A_c\vee A_d)^{-1}\uparrow(c\vee d)=A_c^{-1}\uparrow(c\vee d)\cup A_d^{-1}\uparrow(c\vee d).$$ De aquí, $\exists\,u\in U\ A_c(u)\geq c\vee d$ o $A_d(u)\geq c\vee d$; por lo tanto, $c\geq c\vee d$ o $d\geq c\vee d$; es decir, $c\geq d$ o $d\geq c$. Luego, $C$ es una cadena. ■

Joining the meeting

Behind a fence, where chains are more useful than antichains, a downset and an upset were eating an ambrosial De Morgan lattice salad when the downset said to the upset unexpetedly: “I feel very, very down, my friend, very, very down.” After a final big bite of that incomplete lattice salad, the upset dually said: “And that makes me maximally upset, my dear friend.”

Bonbon pluvial

     Bon bon de s'asseoir à soir dans le parc: j'ai rencontré une fille qui m'a plu, comme la pluie lorsqu'elle tombe sur ma tête.

Sin rumbo (fragmento vi)

La conocí en el Espacio Escultórico; era de noche; yo estaba pacheco y caminaba por la maleza; mis amigos también caminaban por ahí, también pachecos. Me acerqué al cinturón de prismas triangulares, con cautela, porque vi una silueta recostada en el centro de la circunferencia, ahí donde es pura roca volcánica. La persona estaba acostada boca arriba, con las rodillas flexionadas y las manos en la nuca. Mientras me acercaba, por momentos pensaba que era uno de mis amigos, pero esa certeza iba y venía. Sin embargo, esa certidumbre me animó a hablarle, sin pensar mucho. Iba con alegría nerviosa hacia el centro: a lo mejor no era uno de mis amigos. Cuando estuve suficientemente cerca, me di cuenta de que era una mujer, y me detuve, pero ella volteó. Le dije: Hola, y se quedó mirándome. Después de unos segundos, eternizados por la pachequez, me dijo: ¿Algunas vez has escuchado el arpa del rey David? Le contesté, con los ojos bien abiertos y una sonrisa chiquita: Nooo. Definitivamente eso no lo vi venir. Entonces palmeó su mano derecha sobre la roca para que me sentara, y lo hice, y me pasó su audífono derecho para que escuchara. La música me hizo pensar en un atardecer en el desierto, imaginar que yo lo miraba desde el interior de una caverna, en cuclillas, con los brazos sobre las rodillas, pensando en lo acogedor que puede ser el universo, como una casota. Se volvió a mí y me preguntó: ¿Te gusta? Le contesté que sí con la cabeza. Cuando la música terminó, me dijo, mirando al cielo, con una voz interesante e intrigante: es Alèmu Aga, es etíope; sospecho que ha de ser Beta Israel; hay quienes los llaman falashas, pero los Beta Israel lo consideran peyorativo.

Sin rumbo (fragmento v)

Caminar en el monte

Camino en el monte. Piso las rocas. Las ramas me arañan. La piel me arde. La hierba inunda mis ojos. Novedad por doquier; plnatas hermosas, hermosas plantas: mis ojos se transforman: la actividad mental del Ser hace. Camino en el monte. Las ramas me arañan. La piel me arde. La hierba inunda mis ojos. El suelo es irregular. Arbustos me atrapan. Busco una salida, otro camino: la mente me engaña. Me caigo. El suelo me traga. Me lastimo. Mi respiración aumenta; la escucho, la escucho, la escucho, la escucho, la escucho; escucho mi respiración. La hierba, las plantas, las rocas están por todos lados. Naturaleza y Cosmos: Música. Naturaleza y Cosmos soy.
     Me ha hablado.

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Nota. Este texto lo encontré en un viejo cuaderno. Quizá el texto sea del 97. La última línea no me gusta tanto. No supe muy bien cómo clasificar el texto; sin embargo, lo etiqueté como minificción.

Panique loxodontique

     Une fois, je me promenais joyeusement dans le bois, en sautant comme un enfant. Soudain, devant moi, un élephant se balançait sur la toile d'une araignée... Tout effrayé, je me demandai: où sont les autres élephants?

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Nota. Esta minificción la acabo de encontrar en mi tesis de licenciatura. La había escrito sin título; ahora le pongo uno.

Análisis no estándar III

Funciones y gráficas

Observación. Un par ordenado $(a,b)$ es estándar si y sólo si sus componentes $a$ y $b$ son estándar. Más generalmente, una $n$-eada $(a_1,\ldots,a_n)$ es estándar precisamente cuando $n$ es estándar y todos sus componentes $a_i$ son estándar.
     En efecto, en (ZF) un par ordenado $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$, así que si $(a,b)$ es estándar entonces, como $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar y finito, todos sus elementos son estándar: $\{a\},\{a,b\}$, los cuales son finitos, así que $a$ y $b$ son estándar.
     Recíprocamente, si $a$ y $b$ son estándar, entonces claramente $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar.
     La equivalencia anterior también se puede hacer de la siguiente manera. Considérese la fórmula $$F(x,a,b)=\forall\,y\;(y\in x\Leftrightarrow y=\{a\}\vee y=\{a,b\}).$$ Así que, por transferencia dual, si $a,b$ son estándar entonces $(a,b)$ también.
     Recíprocamente, supongamos que $(a,b)$ es estándar. Consideremos las fórmulas \begin{align} F(x)&=\forall\,y\;(y\in (a,b)\Rightarrow x\in y)\notag\\ G(x)&=\exists\,y\;(y\in (a,b) \wedge x\in y)\wedge\exists\,z\;(z\in (a,b)\wedge x\notin z)\notag. \end{align} El único elemento que satisface $F$ es $a$ y el único que satisface $G$ es $b$, así que $a$ y $b$ son estándar por transferenica dual.
     Ambos argumentos se pueden repetir para $n\in\mathbb{N}$ estándar. Notemos que si $(1,\ldots,1)$ es una $n$-eada estándar, entonces $n$ es estándar, pues $n$, el número de componentes de una $n$-eada, está clásicamente determinado de manera única: si $(a_1,\ldots,a_n)=(b_1,\ldots,b_m)$, se tiene que tener que $n=m$ y $a_i=b_i$ para todo $1\leq i \leq n$.

Observación. En (ZF) una función $f:E\rightarrow F$ se identifica con una tripleta $(E,G(f),F)$, donde $G(f)$ es la gráfica de $f$, definida como $$G(f):=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}\subseteq E\times F.$$ Por lo tanto, $f=(E,G,F)$ es una función estándar si y sólo si$E,F,G$ son estándar.

Ejemplo. Sean $E$ y $F$ conjuntos estándar. Entonces, la proyección $p_E:E\times F\rightarrow E$ es estándar. En efecto, como $E$ y $F$ son estándar, por transferencia, $E\times F$ también. Ahora consideremos la fórmula $$H(x,E,F)=\forall\, z\;[z\in x\Leftrightarrow\exists\,u\in E\;\exists\,v\in F\;[z=((u,v),u)]].$$ Así que, por transferencia, la gráfica $G(p_E)$ de $p_E$ es estándar. Por lo tanto, $p_E$ también lo es.

Proposición. Sean $f:E\rightarrow F$ y $x\in E$ estándar. Entonces $f(x)$ es estándar.

Demostración La intersección de los conjuntos estándar $\{x\}\times F$ y $G(f)$, que consiste en el singulete $\{(x,f(x)\}$, es estándar. Tal singulete es finito y estándar, así que $(x,f(x))$ es estándar y, por lo tanto, $f(x)$ es estándar.

Proposición. Si $f,g:E\rightarrow F$ son dos funciones estándar tales que $\forall^e\,x\;f(x)=g(x)$, entonces $f=g$.

Demostración. Transferencia.

Observación. Una función estándar bien podría tomar valores no-estándar; de hecho, necesariamente para valores no-estándar de su dominio). Por ejemplo, la función identidad $1_{\mathbb{N}}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es estándar y tiene valores no-estándar para los elementos no-estándar de $\mathbb{N}$.
     También podría pasar que una función estándar tenga valores estándar para elementos no-estándar. Consideremos una función constante con constante estándar.

Definición implícita de una función estándar

Observación. Si $G$ es subconjunto de $E\times F$ que es una gráfica funcional entonces $G$ está caracterizado por la propiedad $$\forall\,x\in E\quad \mathrm{Card}(G\cap\{x\}\times F)=1.$$ Si $E,F,G$ son estándar entonces la condicián anterior es cierta, por transferencia, si la condición se cumple para todo estándar $x$. Así que se pueden definir funciones estándar como sigue. Supóngase que una relación $R$ (clásica o no) dada entre dos conjuntos estándar $E$ y $F$ tiene la propiedad de que $$\forall^e\,x\in E\;\exists^e\,y\in F\;R(x,y).$$ Entonces podemos formar el conjunto $$G:=^e\{(x,y)\in E\times F\mid R(x,y)\}.$$ Este es estándar, por estandarización, y es una gráfica funcional, pues $$\forall\,^e\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1$$ y, por transferencia, $$\forall\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1\quad\text{(los parámetros $G$ y $F$ son estándar)}.$$ En este caso se dice que $R$ define implícitamente la función $f=(E,G,F)$.
     Hay que tener cuidado de que si $R$ no es clásica entonces no siempre se cumple $R(x,f(x))$, y que si se cumple $R(x,y)$, no necesariamente $y=f(x)$. Sin embargo, es cierto que si $x$ es estándar entonces $y=f(x)$ se caracteriza por el hecho de que $R(x,y)$.

Principio de la definición implícita de funciones. Sean $E$ y $F$ dos conjuntos estándar. Entonces si una construcción (clásica o no) permite definir para cada estándar $x\in E$ un elemento estándar bien definido $y_x\in F$, entonces existe una única función estándar $f:E\rightarrow F$ tal que $f(x)=y_x$ para todo estándar $x\in E$.
     En particular, si una construcción (clásica o no) asigna, para cada natural estándar $n\in\mathbb{N}$, un elemento estándar $a_n\in E$ (de algún conjunto fijo estándar $E$), entonces existe una única sucesión estándar $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ que toma los valores prescritos para los naturales estándar $n\in\mathbb{N}$.

Ejemplo. Consideremos la función \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathcal{P}(\mathbb{N})\notag\\ n&\mapsto I_{n+1}\notag. \end{align} Dicha función es estándar, pues está determinada de manera única dentro de (ZF): $$G(f)=\{z\mid\exists\,n\in\mathbb{N}\;z=(n,I_{n+1})\}.$$ Ahora, tenemos que $1_{\mathbb{N}}$ es estándar, así que $(n)_{n\in\mathbb{N}}\in\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}$ es estándar. Sea $m\in\mathbb{N}$ no-estándar. Entonces tenemos que si $$p_m:\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}\rightarrow I_{m+1}$$ es la $m$-ésima proyección, $$p_m((n)_{n\in\mathbb{N}})=m.$$ Por lo tanto, $p_m$ no es estándar para $m\in\mathbb{N}$ no-estándar, a pesar de que la familia de conjuntos $(I_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ es estándar ($n\mapsto I_{n+1}$ es estándar).
     En la p. 27 de su libro Nonstandard Analysis, Alain M. Robert afirma: “si $(E_i)$ es una familia estándar de conjuntos (es decir, la función $i\mapsto E_i$ es estándar), todas las proyecciones $p_j:\prod E_i\rightarrow E_j$ son estándar”. El ejemplo anterior muestra que su afirmación es falsa.

Relativización

Definición. Dadas dos fórmulas $F$ y $G$, diremos que $F$ es débilmente equivalente a $G$ (lo cual denotaremos como $F\equiv G$) si y sólo si para todos los valores estándar de las variables libres en las fórmulas, tenemos que $F\Leftrightarrow G$.

Observación. Las dos formas de (T) se pueden reescribir como $\forall^e\,x\;F\equiv\forall\,x\;E$ y $\exists^e\,x\;F\equiv\exists\,x\;F$, siempre que $F$ sea una fórmula clásica.

Definición. Sea $F$ una fórmula clásica. Las reglas anteriores se pueden aplicar repetidamente, así que $F$ es débilmente equivalente a la fórmula $F^e$, la cual se obtiene al reemplazar cada $\forall$ por $\forall^e$ y cada $\exists$ por $\exists^e$. Entonces ‘si $t_1,\ldots,t_n$ son estándar entonces se cumple $F^e$’, donde $t_1,\ldots,t_n$ son las variables libres en $F$, es llamada la relativización de $F$ a los conjuntos estándar.

Parte precedente

Análisis no estándar II

Algunos conjuntos estándar y el principio de extensionalidad transferido

Observación. Los conjuntos $$0=\emptyset,1,2,12^3,e,\pi,\mathbb{N},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ están definidos de manera única por medio de fórmulas clásicas; por lo tanto, por (T′), son conjuntos estándar. En particular, (T′) implica que todos los números definidos explícitamente y de manera única por medio de una fórmula clásica son estándar. Por lo tando, 3, 4, -1,... son estándar.
     Por ejemplo, para la propiedad (o fórmula con una sola variable libre) $P(x)=\;\forall\,y\;[y\notin x]$, existe un único conjunto $x$ tal que $P(x)$, a saber, el conjunto vacío $\emptyset$.

Observación. Consideremos las siguientes fórmulas: $$x=E\cup F,\qquad x=E\cap F,\qquad x=E\times F,\qquad x=F^E.$$ Si los parámetros $E$ y $F$ son estándar, estos definen un $x$ estándar. Por lo tanto, si $E$ y $F$ son estándar, entonces, por (T′), $$E\cup F,\qquad E\cap F,\qquad E\times F\quad\text{y}\quad F^E$$ son estándar.
     Similarmente, por (T′), si $E$ es estándar, también lo es $\mathcal{P}(E)$: considérese la fórmula con variables libres $x,E$ $F(x,E)=\,\forall\,A\;[A\in x\Leftrightarrow A\subseteq E]$.

El principio de extensionalidad transferido. El axioma de transferencia (T) se puede aplicar a la fórmula $F(x,E_1,E_2)$ dada por ‘$x\in E_1\Rightarrow x\in E_2$’ si los dos conjuntos $E_i$ son estándar. Así que, por (T), las siguientes proposiciones son equivalentes: \begin{align} &\forall x(x\in E_1\Rightarrow x\in E_2)\qquad (E_1\subseteq E_2)\notag\\ &\forall^e x(x\in E_1\Rightarrow x\in E_2)\notag. \end{align} En otras palabras, dados dos conjuntos $E_1$ y $E_2$ estándar, para verificar que $E_1$ es subconjunto de $E_2$, basta checar que los elementos estándar de $E_1$ son elementos de $E_2$. Cualquier relación de inclusión entre conjuntos estándar se puede probar a nivel de sus elementos estándar.
     De lo anterior se sigue que dos conjuntos estándar son iguales si tienen los mismos elementos estándar.

Observación. La unicidad del subconjunto estándar $A$ de $E$ cuya existencia es postulada por (E) se sigue del principio de extensionalidad transferido; en efecto, de haber otro subconjunto $B$ de $E$ tal que $\forall^e x\in B,\;P(x)$, entonces $x$ es elemento estándar de $B$ si y sólo si se cumple $P(x)$ si y sólo si $x$ es elemento estándar de $A$. Entonces, por el principio de extensionalidad transferido, $\forall x\; (x\in A\Leftrightarrow x\in B)$.
     Si $E$ es estándar, se tiene la siguiente notación funcional para este subconjunto estándar bien definido $A$ correspondiente a la propiedad $P$: $$A:= ^e\{x\in E\mid P(x)\}.$$

Observación. Si $n\in\mathbb{N}$ es estándar, como $\mathbb{N}$ es estándar, entonces, por (T'), $$I_n:=[0,n[:=\{m\in\mathbb{N}\mid\,m < n\}$$ es estándar. Considérese la fórmula $$F(x,E,n)=\forall m\;[m\in x\Leftrightarrow m\in E\wedge m < n].$$      Similarmente, si $a,b\in\mathbb{R}$ son estándar entonces $[a,b]$ es estándar.

Axioma de especificación

La teoría de conjuntos sobre (ZF) evita las paradojas clásicas (como la de Russell) mediante el siguiente principio. Para especificar un conjunto, es necesario empezar con un conjunto. Más explícitamente, (ZF) postula que si $E$ es un conjunto y $P$ es una propiedad (aplicada a los elementos de $E$), entonces existe un conjunto $E_P$ (un subconjunto de $E$) que consiste precisamente de los elementos $x$ de $E$ para los cuales se cumple $P(x)$: $$E_P=\{x\in E\mid P(x)\}.$$ En otras palabras, para formar un conjunto —dentro de (ZF)—, hay que empezar con un conjunto.
     Es decir, no toda propiedad forma conjuntos; por ejemplo, la propiedad ‘$x=x$’ no forma conjuntos: no existe el conjunto de todos los conjuntos. De otra manera obtendríamos la paradoja de Russell. De ahí que en el axioma de especificación de (ZF), se pida de antemano un conjunto para formar otro.
     De la misma manera, no todas las propiedades dentro de (IET) forman conjuntos: la propiedad ‘$x$ es estándar’ no forma conjuntos. De hecho, hay que hacer una restricción más fuerte en (IET). Si la propiedad $P$ contiene explícita o implícitamente el término ‘estándar’, no existe en general un subconjunto de $E$ que contenga exactamente los elementos $x$ de $E$ para los cuales se cumple $P(x)$. Si tal subconjunto existe, hay que demostrarlo mediante algún método (por ejemplo, especificándolo de otra manera). En otras palabras, si $P$ es no-clásica, antes de escribir $\{x\in E\mid P(x)\}$, hay que demostrar que $P$ forma conjuntos. En general, la propiedad ‘$x$ es estándar’ no forma conjuntos. Notemos, sin embargo, que si $E=\emptyset$, la propiedad anterior —o cualquier otra— forma conjuntos. Similarmente, si el conjunto $E=\{a\}$ consiste precisamente de un elemento estándar $a$, entonces la propiedad ‘$x$ es estándar’ forma conjuntos en $E$ y el $\{x\in E\mid x\text{ es estándar}\}$ es el conjunto $E$ mismo.
     Si $P$ es una propiedad clásica, la existencia del conjunto $\{x\in E\mid P(x)\}$ está garantizada en (ZF) por el axioma de especificación.

Los naturales y algunos teoremas

Teorema. Sea $E$ un conjunto. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $\forall x\in E,\;x$ es estándar,
2. $E$ es estándar y finito.

Demostración. Consideremos las siguientes equivalencias: \begin{align} \exists x\in &E\; x\text{ no-estándar}\Leftrightarrow\exists x\in E\;\forall^e y(x\neq y)\quad (I)\notag\\ &\Leftrightarrow\forall^{ef} F\;\exists x\in E\quad (x\neq y\text{ para todo }y\in F)\notag\\ &\Leftrightarrow\forall^{ef} F\;\exists x\in E\;(x\notin F)\notag\\ &\Leftrightarrow\forall^{ef} F\;\text{$E$ no está contenido en $F$.}\notag \end{align} Por lo tanto, por negación, $$\forall x\in E\; x\text{ es estándar}\Leftrightarrow\text{$E$ está contenido en un conjunto $F$ estándar finito}\;(\ast).$$ Si $E$ es un conjunto estándar finito, entonces, por el ‘sólo si’ de $(\ast)$, se tiene que todos los elementos de $E$ son estándar. Así que hemos demostrado ‘ii$\Rightarrow$i’
     Recíprocamente, si todos los elementos de $E$ son estándar entonces, por $(\ast)$, existe un conjunto estándar finito $F$ tal que contiene a $E$. Entonces, tenemos que $\mathcal{P}(F)$ es estándar y finito, y $E\in\mathcal{P}(F)$; por lo tanto, como ya demostramos ii$\Rightarrow$i, se tiene que $E$ es estándar, y como $E\subseteq F$, se tiene que $E$ es finito.

Observación. Consideremos la relación binaria clásica $R(x,y)$=‘$x > y$’. Entonces, se tiene que se cumple $R(x,F)$ precisamente cuando el natural $x$ es una cota superior estricta del subconjunto $F\subseteq\mathbb{N}$. Cuando $F$ es un subconjunto finito, es posible encontrar un intervalo $[0,n]$ tal que $F\subseteq [0,n]$. Si $F$ es finito y estándar, existe un $x\in\mathbb{N}$ tal que $x > y\;\forall y\in F$, a saber, $x=n+1$. Así que, por (I), se tiene que $$\exists x\in\mathbb{N}\;\forall^e y\in\mathbb{N}\; x > y.$$ Por lo tanto, existen los naturales no-estándar.

Nota. Nelson descubrió que podía axiomatizar la relación ‘$x > n$’ de la siguiente manera: si $x > n$ entonces $$x > y \quad\text{para todo}\quad y\in[0,n],$$ y si $n$ es estándar, todos los subconjuntos (finitos) de $[0,n]$ deberían de ser estándar también.

Definición. Sea $n\in\mathbb{N}$. Se dice que $n$ es ilimitado (o indefinidamente grande) si $n > y $ para todo estándar $y\in\mathbb{N}$.

Proposición. Dado un conjunto $E$, existe un subcojunto finito $A$ de $E$ tal que $A$ contiene a todos los elementos estándar de $E$.

Demostración. Definamos $$\mathcal{P}_f(E):=\{B\in\mathcal{P}(E)\mid B\text{ es finito}\}.$$ Notemos que la propiedad ‘es finito’ está dentro de (ZF), así que tal propiedad forma conjuntos.
     Ahora consideremos la relación binaria clásica $R(B,y)=$ ‘$B$ es un subcojunto finito que contiene a $y$’. Así que $R(B,F)$ equivale a $$B,F\subseteq E\text{ tales que }F\subseteq B.$$ Por lo tanto, si $F$ es un subconjunto estándar y finito de $E$, existe un subconjunto $A$ finito de $E$ tal que $F\subseteq A$ (a saber, $F$ mismo), y de aquí, por idealización, existe un subconjunto finito $A$ de $E$ tal que $A$ contiene a todos los elementos estándar de $E$.

Proposición. Si $E$ es un conjunto infinito, entonces $E$ tiene elementos no-estándar.

Demostración. Consideremos la relación binaria clásica $R(x,y)$ dada por ‘$x\neq y$’ en $E$. Si $F\subseteq E$, la relación extendida $R(x,F)$ equivale a ‘$x\notin F$’. Si $E$ es infinito, entonces para todo subconjunto finito $F$ de $E$, existe $x\in E$ tal que $x\notin F$. Por lo tanto, por idealización, existe $x\in E$ tal que $x\neq y$ para todo elemento estándar de $E$. Así que $x$ es no-estándar.
     Notemos que si $E$ es infinito, entonces $E\setminus\{x\}$ sigue siendo infinito, así que, de lo anterior, existe $x'\in E$ no-estándar distinto de $x$.
     La contrapositiva de esta proposición es ‘Si todos los elementos de $E$ son estándar, entonces $E$ es finito’. El teorema de esta sección nos dice algo más, que, además, $E$ es estándar, y, por supuesto, nos da la recíproca.

Proposición. Si $E$ es un conjunto infinito estándar y $A\subseteq E$ tal que contiene todos los elementos estándar de $E$, entonces $A$ contiene algún elemento no-estándar.

Demostración. Sea $E$ estándar infinito y sea $A\subseteq E$ tal que $\forall^e\,x\;(x\in E\Rightarrow x\in A)$. Si $A$ contiene sólo elementos estándar, entonces $A$ es finito y estándar; así que, por el Principio de Extensionalidad Transferido, se tiene que $E=A$, pues $$\forall^e\,x\;(x\in E\Leftrightarrow x\in A).$$ Pero entonces $E$ es finito, contradicción.

Nota. La afirmación clásica ‘todos los naturales son finitos’ sigue siendo cierta dentro de ANE, pues es una afirmación de (ZF). Es decir, en $\mathbb{N}$ tenemos naturales finitos limitados (los estándar) e ilimitados.
     Pienso que el nombre ‘ilimitados’ no es muy apropiado, pues la idea o la noción de finitud normalmente viene acompñada de la idea de limitado. Sugeriría hablar más bien de naturales finitos indefinidamente grandes; por eso añadí este apelativo en la definición de números naturales ilimitados. Sin embargo, si ya se empezó a usar el apelativo ‘ilimitado’, difícil será cambiarlo, pues, en el lenguaje, el uso es la norma.

Observación. Sean $n,m\in\mathbb{N}$ tales que $n > m$, así que $n+1 > m, n+2 > m,\ldots$; en general, $n+k > m$ para todo $k\in\mathbb{N}$. De aquí, si $n$ es ilimitado, entonces $n+k$ también lo es, para todo $k\in\mathbb{N}$.
     Dado $n$ indefinidamente grande, consideremos el intervalo $I_n$. Entonces, $$J_n:=\mathbb{N}\setminus I_n$$ es un conjunto infinito que sólo contiene naturales ilimitados. Sin embargo, no contiene a todos los naturales ilimitados, pues $n-1\notin J_n$ pero $n-1$ es ilimitado (si no lo fuera, existiría un estándar $k\in\mathbb{N}$ tal que $k > n-1$, y, por lo tanto, $k+1 > n$ con $k+1$ estándar, contradicción). Notemos que, como $n$ es ilimitado, $I_n$ es finito pero contiene a todos los naturales estándar; por supuesto, también contiene elementos no-estándar, a saber, $n-1$.
     Habíamos visto que si $n$ es estándar entonces $I_n$ también lo es. En el párrafo anterior, $I_n$ no puede ser estándar; de lo contrario, todos sus elementos serían estándar, incluido $n-1$.

Observación. Sea $n\in\mathbb{N}$ no-estándar. Entonces $\forall^e m\in\mathbb{N}\; n > m$ (sólo hemos demostrado que existen naturales no-estándar que son estrictamente mayores que todo natural estándar, no que todo no-estándar cumpla tal condición). En efecto, supongamos que existe un estándar $k\in\mathbb{N}$ tal que $k > n$; entonces, el intervalo $I_k$ es finito y estándar, así que todos los elementos de $I_k$ son estándar, pero $n\in I_k$, contradicción. Por lo tanto, $n > m$ para todo estándar $m\in\mathbb{N}$.

Ejemplos y notación. Sea $E$ un conjunto estándar y $A\subseteq E$. Consideremos la propiedad ‘$x\in A$’ y construyamos el subconjunto estándar $$^eA:=\{x\in E\mid x\in A\}.$$ Este subconjunto estándar $^eA$ contiene todos los elementos estándar que pertenecen a $A$ con ningún otro elemento estándar.
     Si $\nu\in\mathbb{N}$ es no-estándar y $A:=[0,\nu]$, entonces $^eA$ contiene todos los naturales estándar. Existe un único subconjunto estándar de $\mathbb{N}$ con esta propiedad; a saber, $\mathbb{N}$. En efecto, por tranferencia, $^eA=\mathbb{N}$.
     De hecho, $$^e[0,\nu]=\mathbb{N}\text{ para todo natural no-estándar $\nu$.}$$      De manera similar, consideremos la propiedad ‘$x$ es estándar’ (la cual no es clásica) en el conjunto $\mathbb{N}$. El subconjunto estándar $$A:=^e\{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ es estándar}\}$$ de $\mathbb{N}$ está bien definido por estandarización. Por transferencia, $A=\mathbb{N}$.

Observación. El principio de inducción permanece válido con tal que podamos definir el subconjunto en cuestión: la propiedad que lo especifica tiene que ser clásica. Así que el principio de inducción toma la forma siguiente:
Si $P$ es una propiedad clásica para la cual es cierto $P(0)$ y tal que $$\forall\,n\in\mathbb{N}\;P(n)\Rightarrow P(n+1),$$ entonces $P(n)$ es cierto para todo $n\in\mathbb{N}$.

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Análisis no estándar I

Introducción

Hace tiempo quise acercarme al análisis no estándar; mi primer intento ha de haber sido hace seis años, pero no avancé mucho, no sé por qué. Ahora me he vuelto a acercar, y me está gustando bastante. Lo poco que he leído me ha dejado la impresión de trabajar con límites pero sin límites, algo bien abracadabrante. Así que me he llenado de entusiasmo y me han dado ganas de hablar de análisis no estándar. El libro que estoy siguiendo es el Nonstandard Analysis de Alain M. Robert, de la editorial Dover.
     La intención detrás del análisis no estándar es hacer una fundamentación rigurosa de la noción de “infinitesimal”. Abraham Robinson hizo tal fundamentación en su libro Non Standard Analysis de 1966, y basó su trabajo sobre la teoría de modelos. Sin embargo, no fue sino a partir de 1977 que los matemáticos pudieron acercarse al análisis no estándar sin pasar por previas discusiones sobre lógica, pues Edward Nelson en su artículo Internal Set Theory, a new approach to NSA, Bull. Amer. Math. Soc., 83, (1977), mostró cómo circunscribir los fundamentos lógicos de manera puramente axiomática.
     Es bien sabido que toda la matemática tradicional se puede fundamentar sobre el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel (ZF). Por supuesto que hay otros sistemas sobre los que se puede fundamentar la matemática; sin embargo, vamos a trabajar sobre el sistema axiomático sobre el que trabajó Nelson: (ZF) y tres axiomas más: el axioma de idealización (I), el axioma de estandarización (E) y el axioma de transferencia (T). Estos tres axiomas son los que van a codificar el comportamiento de nuestros nuevos números: los infinitamente grandes y los infinitamente pequeños. Estos tres axiomas codifican su comportamiento de la misma manera que (ZF) codifica la relación $\in$.
     Una de las ventajas del punto de vista de Nelson es que todos los teoremas matemáticos conocidos siguen siendo válidos, ya que conserva todos los axiomas de la teoría de conjuntos. A la matemática que esté basada y construida solamente dentro de (ZF) se le llamará matemática clásica. Llamaremos ANE (Análisis No Estándar; en inglés, NSA, Non Standard Analysis) a la matemática que haga uso de los tres axiomas adicionales (I), (E) y (T), además de los de (ZF). Al sistema axiomático de (ZF) junto con (I), (E) y (T) lo llamaremos (IET). (En inglés a este sistema se le llama (IST), que además son las siglas del nombre que le dio Nelson a la teoría basada en (IST): Internal Set Theory. En español las siglas no coinciden: Teoría de Conjuntos Internos).
     Los tres axiomas (I), (E) y (T) introducen un nuevo término a la matemática, a saber, ‘estándar’. Puesto que ANE está basado en (ZF), el nuevo término se puede aplicar a cualquier conjunto, es decir, a cualquier objeto matemático. En otras palabras, si $x$ es un conjunto, tiene sentido la afirmación “$x$ es estándar”, al igual que “$x$ no es estándar” (es una expresión bien formada dentro de ANE), y como tales, dichas afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas.
     Ya que las matemáticas existentes, las clásicas, están construidas y basadas, únicamente, en (ZF), estas quedan inmersas dentro de ANE. Así que todos los sistemas numéricos usuales son los mismos en ANE: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, etc. son los mismos en ANE. Más aún, no se añadirán nuevos elementos a estos conjuntos, así que no se hará referencia a ninguna extensión de aquellos. En cierto sentido, lo que ocurre es que ahora, con los axiomas adicionales, seremos capaces de discernir más elementos dentro de los conjuntos clásicos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, etc.
     Algo que hay que notar es que todos los objetos considerados por (ZF) son conjuntos. Por ejemplo, los elementos de $\mathbb{N}$ son conjuntos también: el número $0$ es (o representa) el conjunto vacío $\emptyset$, el número $1$ es el conjunto $\{\emptyset\}$, el número $2$ es el conjunto $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$; en general, inductivamente, $n+1:=n\cup\{n\}$. Así que dentro de ANE cabe preguntarse si un número natural $n$ es estándar o no-estándar. Lo que obtendremos, de hecho, es que hay números naturales estándar y no-estándar.

(I), (E) y (T)

Notación. Antes de comenzar, haremos las siguientes abreviaciones: $$\forall^e\ x\in E\ldots,\quad\forall^{ef}x\in E\ldots,\quad\exists^e x\in E\ldots,\quad\exists^{ef}x\in E\ldots,$$ las cuales significan respectivamente

• para todo elemento estándar $x$ de $E$, (se tiene que)$\ldots$
• para todo $x$ estándar y finito de $E$, (se tiene que)$\ldots$
• existe un elemento estándar $x$ en $E$ tal que$\ldots$
• existe un $x$ finito y estándar en $E$ tal que$\ldots$

Nota. Cualquier afirmación, definición, fórmula, resultado, etc que no use el término estándar, ya sea explícita o implícitamente, se dirá que es clásico, como ya se dijo antes.

El axioma de idealización (I) dice:
Sea $R(x,y)$ una relación binaria clásica. Las siguientes propiedades son equivalentes:

1. para todo conjunto finito y estándar $F$ existe un $x=x_F$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y\in F$,
2. existe un $x$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y$ estándar.

Más formalmente, este axioma se cumple para la relación binaria clásica $R(x,y)$ y afirma que $$\forall^{ef}F\;\exists (x=x_F)\forall\,y\in F\;R(x,y)\Leftrightarrow\exists\,x\forall^e\,y\;R(x,y).$$ Notación. En lugar de escribir $$\text{se cumple}\quad R(x,y)\quad\text{para todo $y\in F$},$$ escribiremos $$\text{se cumple}\quad R(x,F).$$ Así que (I) se puede reenunciar de la siguiente manera:
dada una relación binaria clásica $R(x,y)$, las siguientes propiedades son equivalentes:

1. para todo conjunto finito estándar $F$ existe un $x$ (que depende de $F$) tal que se cumple $R(x,F)$,
2. existe un $x$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y$ estándar.

Observación. Cuando se considere la relación $R$ en el axioma de idealización, se puede pensar que $R$ es su gráfica y que es un subconjunto de $E\times E'$ con $E$ y $E'$ conjuntos estándar. Es decir, se puede pensar que $R(x,y)$ se cumple si y sólo si $(x,y)\in R$. Sin embargo, esta simplificación no siempre tiene sentido; por ejemplo, la relación binaria clásica ‘$y\in x$’ no puede escribirse de la manera antedicha.
     Entonces para esta relación $R$ (la de pertenencia), tendríamos que $R(x,F)$ representa la relación $F\subseteq x$. Apliquemos el axioma de idealización: si $F$ es un conjunto finito estándar, podemos tomar $x:=F$, y entonces tenemos que $R(x,F)$; por lo tanto, según (I) existe un conjunto $x$ tal que todo conjunto estándar $y$ pertenece a $x$.

El axioma de estandarización (E) dice:
Sea $E$ un conjunto estándar y $P$ una propiedad (clásica o no). Entonces existe un (único) subconjunto estándar $A=A_P\subseteq E$ tal que tiene por elementos estándar precisamente los elementos estándar $x\in E$ que cumplen $P(x)$.
En otras palabras, dado un conjunto estándar $E$ $$\exists^eA\subseteq E\;\forall^e\,x\, [x\in A\Leftrightarrow x\in E\;\text{y}\;P(x)].$$
El axioma de transferencia (T) dice:
Si $F$ es una fórmula clásica y todos los parámetros $t_1,\ldots,t_n$ de $F$ tienen valores estándar, entonces $F$ se cumple para todo $x$ y sólo si $F$ se cumple para todo estándar $x$. En otras palabras, si $F$ es una fórmula clásica cuyas únicas variables libres son $x,t_1,\ldots,t_n$ entonces $$\forall^e\,t_1\cdots\forall^e\,t_n[\forall\,x\;F\Leftrightarrow\forall^e\,x\;F].$$
Forma dual del axioma de transferencia. La forma dual equivalente (T') de la transferencia se obtiene al reemplazar $F$ por su negación $\neg F$. Por (T) (para una fórmula clásica $F$ con valores estándar para todos sus parámetros $t_1,\ldots,t_n$), se tienen las siguientes equivalencias:

1. para todo $x$ se cumple $F$,
2. para todo estándar $x$ se cumple $F$.

Se pueden reformular respectivamente como

1. no existe $x$ tal que $F$ no se cumple,
2. no existe ningún estándar $x$ tal que $F$ no se cumple.

Por otro lado, $$\neg\forall\,x\;\neg F\Leftrightarrow\exists\,x\;F,$$ entonces se obtiene la forma dual de (T), como equivalencia entre

1. existe un $x$ tal que $F$ y
2. existe un estádar $x$ tal que $F$.

si $F$ es una fórmula clásica con valores estándar en todos sus parámetros $t_1,\ldots,t_n$. Así que para una fórmula clásica $F$ cuyas únicas variables libres son $x,t_1,\ldots,t_n$, el axioma de transferencia se puede reescribir en la forma (T') $$\forall^e\,t_1\cdots\forall^e\,t_n[\exists x\; F\Leftrightarrow\exists^e x\; F].$$ Observación. De la formulación anterior, se sigue que todos los conceptos que están bien definidos (es decir, que están definidos de manera única) dentro de la matemática clásica son estándar. En otras palabras, si existe un único $x$ tal que $F$ ($F$ clásica y $t_1,\ldots,t_n$ parámetros de $F$ con valores estándar), entonces este $x$ tiene que ser estándar.

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Racionales y expansiones decimales

No estoy seguro si fue en la secundaria o en la preparatoria donde vi por primera vez que $1=0{.}99999\ldots$ (con puros nueves ad infinitum). Cuando lo vi, me pareció realmente muy extraño, hasta que el maestro nos demostró que eran realmente el mismo número. No recuerdo exactamente qué hizo, pero seguramente no fue algo muy diferente de lo siguiente.
     Sea $x:=0{.}999\ldots$. Entonces $$10x=9.999\ldots$$ y \begin{align} 10x-x&=9\notag\\ 9x&=9\notag, \end{align} y de aquí, $x=\frac{9}{9}=1$.
     Pues resulta que todo número racional tiene una expansión decimal (infinita) periódica y todo número real con una expansión decimal (infinita) periódica es racional. Antes de seguir hagamos unas cuantas definiciones para que todo quede más claro.

Definición. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots;$$ es decir, $a'\in\mathbb{Z}$ y $a_i\in\mathbb{N}$ con $0\leq a_i\leq 9$. Diremos que la expansión decimal de $a$ es periódica si existe una sucesión finita de numerales $b_1b_2b_3\ldots b_n$ tal \begin{align} a&=a'{.}a_1a_2a_3\ldots\notag\\ &=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_kb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_n\ldots\notag \end{align} Es decir, si existe una sucesión finita de $n$ numerales que se repite indefinidamente a partir de cierto $k$ a lo largo de la expansión de $a$. A $n$ se le llama el periodo de $a$.
     A los numerales que se repiten se les denota de las siguientes maneras: $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ o $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k(b_1b_2b_3\ldots b_n).$$
     Por ejemplo, $1=0{.}\overline{9}$, $\frac{4}{33}=0{.}\overline{12}$, $\frac{77}{111}=0{.}\overline{693}$, $\frac{23}{27}=0{.}\overline{851}$, $\frac{111}{7}=15{.}\overline{857142}$.
     Veamos que toda expansión decimal periódica es un racional. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ Entonces $$10^{k+n}a-10^ka=a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k;$$ así que $$a=\frac{a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k}{10^{k+n}-10^k}\in\mathbb{Q},$$ pues tanto el numerador como el denominador son enteros.
     Esto nos da una manera de calcular la expresión como cociente de dos enteros para un racional expresado como una expansión decimal periódica. Por ejemplo, si $a=23{.}478\overline{27}$, entonces \begin{align} a&=\frac{2347827-23478}{10^5-10^3}\notag\\ &=\frac{2324349}{99000}\notag. \end{align}      Ahora veamos que todo racional tiene una expansión decimal periódica. Sean $p,q\in\mathbb{Q}$ con $q\neq 0$. Se tiene que los residuos posibles para esta división son $0,1,2,\ldots q-1$; así que hay un número finito de residuos; por lo tanto, a la hora de hacer la división, en algún momento alguno se ha de repetir durante la división. Cuando esto ocurra, comenzarán a repetirse los numerales del cociente. Esto se verá de la siguiente manera: $$\begin{array}{c c c c c c c c c c c} & a' & {.} & a_1 & \ldots & a_{k-1} & a_k & b_1 & b_2 & \ldots & b_n & b_1\ldots\\ q\quad| & p & & & & & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & & & & \\ & & & c_1 & & & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & & & \\ & & & & & c_{k-1} & & & & & & \\ & & & & & & d_1 & 0 & & & & \\ & & & & & & & d_2 & 0 & & & \\ & & & & & & & & d_3 & & & \\ & & & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & & & d_1 & 0 \\ & & & & & & & & & & & d_2 \end{array}.$$ Por lo tanto, todo racional tiene una expansión decimal periódica. En consecuencia todo irracional tiene expansión decimal aperiódica.
     En este enlace hay algunos resultados interesantes en relación a las expansiones decimales y los racionales.

Concepto de número

1. Funciones

El concepto de función se puede definir de varias maneras. En la Teoría de conjuntos se define de dos maneras, una presenta problemas y la otra no. En la Teoría de categorías es un término primitivo. Intentaré dar una definición informal y después la formal.
     Una función que va de un conjunto $A$ (llamado su dominio) a un conjunto $B$ (llamado su codominio) es una regla que asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
La definición formal es la siguiente.

Definición Dados dos conjuntos $A$ y $B$ con $B\neq\emptyset$, una función $f$ de $A$ a $B$, denotada $f:A\rightarrow B$, es una tripleta $(A,\bar{f},B)$ donde $\bar{f}$ es un subconjunto de $A\times B$ (el producto cartesiano de $A$ y $B$) tal que si $(a,b_1)$ y $(a,b_2)$ son elementos de $\bar{f}$ entonces $b_1=b_2$ y tal que para todo $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $(a,b)\in\bar{f}$. A $A$ se le llama dominio de $f$ y a $B$ codominio de $f$.

     Lo que significa la condición después del `tal' es que la regla que determina a $f$ asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
     Por ejemplo, consideremos dos diagramas de Venn, llamémosle a uno $S$ y a otro $T$. Ahora dibujemos dentro del diagrama $S$ tres puntitos y dentro de $T$ cinco puntitos. Ahora vamos a hacer una correspondencia entre los puntitos de $S$ y los de $T$. Digamos que el diagrama de $S$ lo dibujamos a la izquierda y $T$ a la derecha.
     Hagamos una flecha para cada puntito en $S$ que vaya a un solo elemento de $T$. Esta correspondencia es una función. Llamémosle $f_1$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Digamos que los puntitos de $S$ se llaman $s_1,s_2,s_3$ y los de $T$ se llaman $t_1,...,t_5$. Entonces, hagamos una flecha de $s_1$ a $t_1$, otra de $s_2$ a $t_5$, otra de $s_3$ a $t_3$ y otra de $s_1$ a $t_2$. Entonces, esta regla de correspondencia que va de $S$ a $T$ no es una función porque a $s_1$ le estamos asignando dos elementos distintos de $T$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Hagamos una flecha de $s_2$ a $t_1$ y una de $s_3$ a $t_2$. Esta regla de correspondencia tampoco es una función, porque no asigna a cada elemento de $S$ un elemento de $T$: a $s_1$ no se le ha asignado ningún elemento de $T$.
     Ahora definamos lo que es una función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $C\subseteq A$, la imagen de $C$ bajo $f$ es el conjunto $$f(C):=\{f(c)\mid c\in C\}.$$ A la imagen de $A$ bajo $f$ también se la llama la imagen de $f$.



Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $b\in B$ existe un $a\in A$ tal que $f(a)=b$.

     Lo que esto significa es que si $f$ es una función suprayectiva, entonces $B$ queda completamente cubierto por la imagen de $f$. En otras palabras, si $f:A\rightarrow B$ es suprayectiva entonces $f(A)=B$.
     Veamos algunos ejemplos.
     Consideremos a nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio.
     Notemos que es imposible definir una función suprayectiva de $S$ a $T$: siempre nos van a sobrar elementos de $T$. Sin embargo, sí podemos definir una función suprayectiva de $T$ a $S$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $D$ de $B$, definimos la imagen inversa de $D$ bajo $f$ como $$f^{-1}(D)=\{a\in A\mid \exists d\in D\ f(a)=d\}.$$


Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $f(a_1)=f(a_2)$ entonces $a_1=a_2$. O dicho de otro modo (con la contrapositiva), si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $a_1\neq a_2$ entonces $f(a_1)\neq f(a_2)$.

     Lo que esto significa es que si queremos definir una función inyectiva de $A$ a $B$, no podemos asignarle a dos elementos de $A$ un mismo elemento de $B$. O dicho de otra manera, que $f^{-1}(\{b\})$ o es vacío o tiene un solo elemento: que $f^{-1}(\{b\})$ tiene a lo más un elemento. O que $f$ asigna a elementos distintos de $A$ elementos distintos de $B$.
     Consideremos otra vez nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio. Notemos que es imposible definir una función inyectiva de $T$ a $S$, pero sí podemos definir una (de hecho, varias) de $S$ a $T$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva.

     Antes de seguir, quisiera explicar por qué es importante considerar una función $f:A\rightarrow B$ como una tripleta $(A,\bar{f},B)$ y no sólo como su gráfica $\bar{f}$.

Definición. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$ tales que $B=C$, se define la composición $g\circ f:A\rightarrow D$ de $g$ con $f$ como sigue: $$\forall x\in A\ g\circ f(x)=g(f(x)).$$
     Notemos que no se puede definir la composición de funciones, a menos que $\mathit{cod}(f)=\mathit{dom}(g)$.
     Entonces, por ejemplo, la función identidad $id_{\mathbb{Z}}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tiene la misma gráfica que la función inclusión $j:\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$, que incluye los enteros en los racionales; sin embargo, no son la misma función. Debido a la composición, es importante considerar a las funciones con sus dominios y codominios, no sólo con sus gráficas. Esa es la definición de función en la Teoría de Conjuntos que presenta problemas, la considera a una función sólo como su gráfica. Por otro lado, la identidad y la inclusión son conceptualmente diferentes.
     Sigamos. Ahora consideremos otra vez a nuestros conjuntos $S$ y $T$. Definamos la siguiente función suprayectiva $g$ de $T$ sobre $S$: $t_1$ va a $s_1$, $t_2$ a $s_2$, $t_3$ a $s_3$, $t_4$ a $s_2$ y $t_5$ a $s_2$. Recomiendo hacer el dibujo de los diagramas de Venn.
     Ahora consideremos las siguientes imágenes inversas: \begin{align} g^{-1}(\{s_1\})&=\{t_1\}\notag\\ g^{-1}(\{s_2\})&=\{t_2,t_4,t_5\}\notag\\ g^{-1}(\{s_3\})&=\{t_3\}\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $h:S\rightarrow T$ tal que $g\circ h_1=id_S$, la identidad de $S$. A saber, $h_1(s_1)=t_1$, $h_1(s_2)=t_4$ y $h_1(s_3)=t_3$. De hecho, tenemos otras dos funciones de $S$ a $T$ que hacen eso. Sólo habría que enviar el $s_2$ al $t_2$ o al $t_5$.
     De hecho, esto es cierto para toda función suprayectiva; es decir, toda función suprayectiva $f:A\rightarrow B$ tiene una inversa derecha. Si $B$ es infinito, que $f$ tenga inversa derecha es equivalente al axioma de elección. Y recíprocamente, toda función con inversa derecha es suprayectiva.
     Ahora consideremos la función $h:S\rightarrow T$ definida como sigue: $h(s_1)=t_1$, $h(s_2)=t_2$ y $h(s_3)=t_3$. Tenemos que $h$ es inyectiva. Consideremos las imágenes inversas: \begin{align} h^{-1}(\{t_1\})&=\{s_1\}\notag\\ h^{-1}(\{t_2\})&=\{s_2\}\notag\\ h^{-1}(\{t_3\})&=\{s_3\}\notag\\ h^{-1}(\{t_4\})&=\emptyset\notag\\ h^{-1}(\{t_5\})&=\emptyset\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $k:T\rightarrow S$ tal que $k\circ h=id_S$, si definimos $k$ como sigue: $k(t_1)=s_1$, $k(t_2)=s_2$, $k(t_3)=s_3$, $k(t_4)=s_1$ y $k(t_5)=s_1$. (Nótese que hay más funciones que son inversa izquierda de $h$).
     De hecho, es cierto que para toda función inyectiva $f:A\rightarrow B$ existe una inversa izquierda $g:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=id_A$. Y recíprocamente toda función con inversa derecha es inyectiva.
     Ahora, supóngase que tenemos una función biyectiva $f:A\rightarrow B$. Como $f$ es biyectiva, es suprayectiva y entonces existe $g:B\rightarrow A$ tal que $f\circ g=id_B$, y como es $f$ es inyectiva, existe una $h:B\rightarrow A$ tal que $h\circ f=id_A$. Tenemos que $$h=h\circ id_B=h\circ (f\circ g)=(h\circ f)\circ g=id_A\circ g=g.$$ Entonces, $f$ tiene una sola inversa, tanto izquierda como derecha. Además, $g$, la sola inversa, es inyectiva y suprayectiva, pues su inversa izquierda y derecha es $f$. Dijimos que toda función con una inversa izquierda es inyectiva y que toda con inversa derecha es suprayectiva.

2. Primeros números

Imaginemos que estamos en los comienzos de la domesticación y que nuestro idioma sólo cuenta con los cardinales uno, dos y tres, y ningún otro. Ahora imaginemos que somos pastores de ovejas y que tenemos muchas muchas ovejas, y que un día, hartos de perder muchas ovejas, decidimos inventar una manera de tener el número exacto de ovejas que tenemos para no perderlas. Se nos han ocurrido dos maneras de hacerlo. Una es hacer nudos en una cuerda y ponerlos en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Otra es tener una caja con piedras y ponerlas en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Es decir, a pesar de que nuestro idioma no cuente con un nombre para números mayores que tres, vamos a saber exactamente cuántas ovejas tenemos. Esa correspondencia biyectiva (o biyección) encierra el concepto de número: si tenemos dos conjuntos finitos $A$ y $B$ y definimos entre ellos una función biyectiva, entonces esto significará que tienen el mismo número de elementos. Si tal cosa no es posible, entonces sus números de elementos son distintos, o uno mayor que otro. Sin embargo, si es posible definir una función suprayectiva de $A$ sobre $B$ entonces sabremos que el número de elementos de $A$ es mayor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una función inyectiva de $A$ a $B$ entonces el número de elementos de $A$ es menor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una biyección de $A$ sobre $B$ entonces el número de elementos de $A$ y $B$ es el mismo. Estas pequeñas observaciones para conjuntos finitos se pueden extender para conjuntos infinitos. Es decir, este mismo método de contar, mediante biyecciones entre conjuntos, se puede extender a cualquier conjunto, sea finito o infinito. Es decir, con la ayuda de las biyecciones podemos definir la noción de número de cualquier tamaño.
     Ahora, veamos que el número de elementos del conjunto de números pares es el mismo que el de los números naturales. Denotemos por $\mathbb{PAR}$ el conjunto de números pares; es decir, $$\mathbb{PAR}=\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}.$$ Definamos $g:\mathbb{PAR}\rightarrow\mathbb{N}$ como sigue: \begin{align} g:\mathbb{PAR}&\rightarrow\mathbb{N}\notag\\ k&\mapsto \frac{k}{2}\notag. \end{align}      Esta función $g$ es suprayectiva e inyectiva. Veamos que es suprayectiva, es decir, que $g(\mathbb{PAR})=\mathbb{N}$. Sea $n\in\mathbb{N}$; entonces $2n\in\mathbb{PAR}$ y $g(2n)=n$. Por lo tanto, para todo $n\in\mathbb{N}$ exite $k\in\mathbb{PAR}$ tal que $g(k)=n$; a saber, $k=2n$. Veamos que $g$ es inyectiva. Sean $k,p\in\mathbb{PAR}$ tales que $g(k)=g(p)$. Entonces, por definición de $g$, tenemos que $$\frac{k}{2}=\frac{p}{2}.$$ De aquí, $k=p$; por lo tanto, $g$ es inyectiva, y por lo tanto biyectiva, así que el número de elementos de $\mathbb{PAR}$ es igual que el de $\mathbb{N}$.
     Notemos que la función inversa de $g$ es \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathbb{PAR}\notag\\ n&\mapsto 2n\notag. \end{align} Y $f$ también es biyectiva.
     Ahora consideremos la $f$ anterior y la inclusión $j:\mathbb{PAR}\hookrightarrow\mathbb{N}$. La composición $j\circ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ no es una biyección, pues en esta composición nos sobran los impares en el lado derecho; es decir, esta función no aparea biunívocamente elementos de uno y otro conjunto; dicho de otro modo, esta función no es un conteo.

3. Números transfinitos

Un resultado conocido dentro de las matemáticas (el Teorema de Cantor) es que dado un conjunto $A$ (sea finito o infinito), no es posible encontrar o definir una función suprayectiva $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ (de $A$ sobre su conjunto potencia $\mathcal{P}(A)$). Sin embargo, sí se puede definir una función inyectiva $g$ de $A$ en $\mathcal{P}(A)$; a saber \begin{align} g:A&\rightarrow\mathcal{P}(A)\notag\\ a&\mapsto\{a\}\notag. \end{align} Así que esto nos dice que siempre, sea $A$ finito o infinito, el número de elementos de $\mathcal{P}(A)$ es estrictamente mayor que el de $A$. En particular, esto es cierto para $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mathbb{N}$.
     Ahora, por otro lado, se tiene que dado un conjunto $A$ y $B\subseteq A$, podemos definir la siguiente función $\chi_B:A\rightarrow 2$ (llamada la función característica de $B$), donde $2=\{0,1\}$, como $$\chi_B(a)=\begin{cases} 1 &\text{si $a\in B$}\\ 0 &\text{si $a\notin B$}. \end{cases}$$      Entonces, veamos que existe una biyección entre $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ (el conjunto de todas las funciones que van de $A$ a 2).
     Definamos esa función $h:\mathcal{P}(A)\rightarrow 2^A$ como \begin{align} h:\mathcal{P}(A)&\rightarrow 2^A\notag\\ B&\mapsto\chi_B\notag. \end{align} Veamos que $h$ es suprayectiva. Sea $f:A\rightarrow 2$ una función cualquiera de $A$ a $2$. Definamos entonces $$C:=f^{-1}(\{1\}).$$      Entonces, $C\subseteq A$ y se tiene que $\chi_C=f$; por lo tanto, $h(C)=f$, así que $h$ es suprayectiva.
     Es fácil ver que si $B,C\subseteq A$ y $\chi_B=\chi_C$ entonces $B=C$, y por lo tanto $h$ es inyectiva. Así que $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ tienen el mismo número de elementos.
     Entonces, volviendo a $\mathbb{N}$, tenemos que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$ tienen el mismo número de elementos, y sabemos que el número de elementos de $2^{\mathbb{N}}$ es $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, que es el número de elementos de $\mathbb{R}$, así que $\aleph_0=|\mathbb{N}|<|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=\aleph_1$ (las barras denotan “número de elementos”). Entonces, de manera indirecta se ha demostrado que hay más números reales que naturales, sin usar el argumento de las expansiones decimales.
     Así que podemos encontrar números infinitos cada vez más grandes: si $A$ es infinito, $$|A|<|\mathcal{P}(A)|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A)))|<\ldots$$

4. Teorema de Cantor y el argumento por la diagonal¹

Lo que se demuestra en el Teorema de Cantor es que dado un conjunto $A$, no se puede definir una función suprayectiva de $A$ sobre $\mathcal{P}(A)$. La demostración es bastante simple; es la siguiente.
     Sea $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ una función. Veamos que no es suprayectiva. Sea $$B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}.$$ Se tiene que $B\subseteq A$ y no hay $a\in A$ tal que $f(a)=B$, pues de haberlo si $a\in B$ entonces $a\notin f(a)=B$, contradicción; si $a\notin B=f(a)$ entonces $a\in B$ por definición de $B$, contradicción.
     La definición de $B$ es una generalización del argumento por la diagonal. Ahora veamos en qué consiste el argumento por la diagonal de Cantor. Tal argumento demuestra que no es posible definir una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$. Para hacerlo bastará demostrar que $|[0,1]|\neq\aleph_0$ (basta demostrarlo para $[0,1]$ porque se tiene la siguiente sucesión de funciones inyectivas: $$\mathbb{R}\overset{h}{\rightarrow}(0,1)\hookrightarrow[0,1]\hookrightarrow\mathbb{R},$$ donde \begin{align} h:\mathbb{R}&\rightarrow (0,1)\notag\\ x&\mapsto \frac{e^x}{1+e^x}\notag \end{align} y las otras dos funciones son las inclusiones. Así que se tiene que $$|\mathbb{R}|\leq |(0,1)|\leq |[0,1]|\leq|\mathbb{R}|,$$ y, por lo tanto, $|\mathbb{R}|=|(0,1)|=|[0,1]|$). La demostración será por contradicción. Supongamos que [0,1] y $\mathbb{N}$ tienen el mismo número de elementos. Es decir, supongamos que existe una función biyectiva f:N→[0,1]; en otras palabras, que para todo $s\in[0,1]$ existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $f(n)=s$, y para cualesquiera $n,m\in\mathbb{N}$, si $f(n)=f(m)$ entonces $n=m$. Esto significa que podemos numerar todos los elementos de [0,1]. Digamos que dicha numeración es la siguiente: $$b_0, b_1, b_2,\ldots$$ Es decir que $f(0)=b_0$, $f(1)=b_1$, $f(2)=b_2,\ldots$ Que en general, $f(n)=b_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, donde $b_n\in [0,1]$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. Entonces, tenemos lo siguiente: \begin{align} b_0&=0.b_{00} b_{01} b_{02}\ldots\notag\\ b_1&=0.b_{10} b_{11} b_{12}\ldots\notag\\ b_2&=0.b_{20} b_{21} b_{22}\ldots\notag\\ \vdots\notag \end{align} Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada $b_{ii}$, sea $0\leq a_i\leq 9$ un dígito distinto de $b_{ii}$. Entonces, el número real $a$ con expansión decimal $$0.a_0 a_1 a_2\ldots$$ no es ninguno de los $b_i$. Se tiene que $a\neq b_0$, porque $a_0\neq b_{00}$; que $a\neq b_1$, porque $a_1\neq b_{11}$; que $a\neq b_2$, porque $a_2\neq b_{22}$; en general, $\forall i\in\mathbb{N}\ a\neq b_i$, porque $\forall i\in\mathbb{N}\ a_i\neq b_{ii}$. Esto significa que $f$ no es una suprayección, pues no existe $i\in\mathbb{N}$ tal que $f(i)=a$. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre $[0,1]$ y $\mathbb{N}$, y en consecuencia entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$.
     Ahora veamos por qué definir $B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$ es una generalización del argumento por la diagonal. Tenemos que $2^{\mathbb{N}}$ es el conjunto de todas las funciones que van de $\mathbb{N}$ a $2=\{0,1\}$. En otras palabras, son sucesiones de 0s y 1s. Si $g$ fuera una tal función, $g$ podría ser $$g(0)=0,g(1)=1,g(2)=1,g(3)=0,g(4)=0,\ldots$$ es decir, $$01100\ldots$$ Si la escribiéramos como $0.01100\ldots$ tendríamos la expansión binaria de un número en el intervalo $[0,1]$. Es decir, $2^{\mathbb{N}}$ podemos considerarlo como $[0,1]$.
     Si $A=\mathbb{N}$ en la demostración del Teorema de Cantor entonces tendríamos que $$B=\{n\in\mathbb{N}\mid n\notin f(n)\}.$$ Tenemos que $f(n)$ nos da un subconjunto de $\mathbb{N}$; si pensamos en la biyección entre $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$, lo que obtendríamos sería $\chi_{f(n)}$, la función característica de $f(n)$, y entonces que “$n\notin f(n)$” significaría que $\chi_{f(n)}(n)=0$. Entonces, al considerar $B$ como elemento de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, lo que obtenemos del otro lado es $\chi_B$, que cambia los 0s por 1s y los 1s por 0s en la diagonal $\chi_{f(i)}(i)$ de la matriz infinita $\chi_{f(-)}(-)$.

5. Aclaraciones

Hay varios conceptos que se pueden encontrar asociados con la noción de infinito, además del de número de elementos. Uno de ellos es el de medida (sugiero mejor leer la entrada en inglés). Por ejemplo, la longitud (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$) de la recta real es infinita y la del intervalo $[0,1]$ es 1. Que haya una biyección entre $\mathbb{R}$ y $[0,1]$ no significa que se meta un conjunto de longitud infinita dentro de uno de longitud 1, sólo que tienen el mismo número de elementos y sólo eso: una biyección no mete un conjunto dentro de otro, sólo aparea elementros entre conjuntos. Se tiene que el área (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^2$) de $[0,1]\times [0,1]$ es 1 y el área del intervalo $[0,1]$ es 0, al igual que el área de $\mathbb{R}$. Es decir, la medida de Lebesgue definida sobre $\mathbb{R}$ no es la misma que la definida sobre $\mathbb{R}^2$.
     Una curva de Peano es una función continua suprayectiva que va del intervalo $[0,1]$ sobre $[0,1]^k$ para $k\leq\infty$. Las curvas de Peano no pueden ser inyectivas, pues de serlo eso significaría que $[0,1]$ y $[0,1]^k$ son homeomorfos; es decir, que como espacios se comportan igual, pero no es así, pues el cuadrado unitario $[0,1]\times [0,1]$ no tiene puntos de corte, pero el intervalo unitario $[0,1]$ sí (todos salvo los extremos). A pesar de eso, existe una biyección entre $[0,1]$ y $[0,1]\times [0,1]$, lo que significa que tienen el mismo número de elementos y sólo eso, no que como espacios sean iguales: dicha biyección no puede ni es continua, pues de serlo, como espacios serían iguales.
     Las dos observaciones anteriores lo que muestran es que cuando uno está interesado en comparar el número de elementos de dos conjuntos, uno sólo está interesado en los conjuntos sin considerar alguna estructura sobre estos, como podría ser un orden parcial, una topología, una medida, etc, pues si hemos de comparar esos conjuntos junto con sus estructuras, las funciones que hemos de considerar tienen que preservar dicha estructura: entre conjuntos ordenados las funciones tienen que preservar el orden (ser monótonas), entre espacios topológicos tienen que ser continuas, entre espacios medibles (con una medida) tienen que ser medibles, etc. Por ejemplo, hay una biyección entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario, pero no una biyección continua con inversa continua.
     Otro concepto que podría encontrarse asociado con la noción de infinito es el de distancia: se puede hablar de distancias infinitas.
     Se ha de notar que cuando se trata de medida o distancia, una medida o distancia infinita se denota $\infty$ y cuando se trata de número de elementos infinito, se denota con los $\aleph$, pues “longitud” y “número de elementos” son conceptos distintos.

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1. El texto anterior fue un mensaje que le mandé a Fermín Huerta por correo electrónico en respuesta a una entrada en su blog. No lo puse como comentario a dicha entrada debido a que Blogger sólo me deja poner comentarios de a lo más cuatro mil y cacho caracteres, y este texto tiene más de lo permitido. Fermín me pidió que publicara dicho texto. Las secciones 4 y 5 no estaban en el mensaje, pero resultan útiles para demostrar afirmaciones anteriores.
     Modifiqué un poco el texto para que cualquier lector lo pueda leer independientemente de los comentarios vertidos en la entrada mencionada.
     Me piqué con la entrada de Fermín y me entusiasmé por hablar de matemáticas en mi blog. Gracias, Fermín.↩

Zoroastrismo V

La muerte y el más allá¹

La mayor aflicción general humana es la muerte, y la muerte fuerza las almas individuales, a través del periodo de la Mezcla, a abandonar el mundo getig y a regresar, por un tiempo, al deficiente estado menog. Cuando un espíritu se marcha, según Zoroastro, es juzgado sobre lo que ha hecho en esta vida para contribuir a la causa de la bondad. Enseñó que tanto las mujeres como los hombres, que tanto los siervos como los amos, pueden esperar alcanzar el Paraíso, pues la barrera física de los días paganos, el “Puente del Separador”, se vuelve, en su revelación, en un lugar de juicio moral donde cada alma deberá depender, no del poder y riqueza de las ofrendas en la vida que haya dejado atrás, sino de sus propios logros éticos. En este juicio Mithra preside el tribunal, flanqueado por Sraosha y Rashnu, quien sostiene la balanza de la justicia. En esta se pesan los pensamientos, las palabras y las acciones del alma, el bien en un lado, el mal en el otro. Si el bien es más pesado, el alma es juzgada digna del Paraíso, y es guiada por una hermosa doncella, la personificación de su propia conciencia (“daena”), a través del amplio puente y hacia arriba en lo alto. Si la balanza se inclina hacia el lado del mal, el puente se contrae al ancho del filo de la hoja de un cuchillo, y una horrorosa bruja que se encuentra con el alma mientras intenta cruzar, la toma con sus brazos y se sumerge con ella en el infierno, “la morada de la Peor Intención” (Y 32.13), donde el malintencionado soporta un “largo periodo de miseria, de oscuridad, mala comida y de la verdadera aflicción” (Y 31.20). El concepto de infierno, un lugar de tormento presidido por Angra Mainyu, parece ser del propio Zoroastro, creado por su profundo sentido de la necesidad de justicia. Aquellas pocas almas “cuyas falsedades quedan en justo equilibrio” (Y 33.1) van al “Lugar de los Mezclados”, Misvan Gatu, donde, como en el antiguo reino de inframundo de los muertos, llevan una existencia gris, sin alegrías ni penas.
     Incluso para las almas en el Paraíso la dicha absoluta no será perfecta durante el periodo de Mezcla, pues la felicidad completa sólo podrá venir otra vez en el Frashegird. Los iranios paganos habían sostenido presumiblemente que inmediatamente después de que cada alma bendecida alcanzara el Paraíso, se reuniría con su cuerpo resucitado, para vivir otra vez una vida feliz con plena sensación; sin embargo, Zoroastro enseñaba que los bendecidos debían esperar esta culminación hasta el Frashegird y el “cuerpo futuro” (en los libros Pahlavi “tan i pasen”), cuando la tierra devolviera los huesos de los muertos (Y 30.7). Esta resurrección general será sucedida por el Juicio Final, el cual separará a todos los rectos de los perversos, tanto a aquellos que hayan vivido hasta ese momento, como a aquellos que ya hayan sido juzgados. Entonces Airyaman, el Yazata de la amistad y la curación, junto con Atar, el Fuego, fundirán todo el metal en las montañas, y este fluirá en un río resplandeciente sobre la tierra. Toda la humanidad deberá pasar por este río, y como se dice en un texto Pahlavi, “para aquel que es recto, parecerá leche tibia y para aquel que es malintencionado, parecerá como si caminara descalzo sobre metal fundido” (GBd XXXIV. r8-r9). En esta gran visión apocalíptica, Zoroastro fusionó, quizá inconscientemente, los relatos de erupciones volcánicas y corrientes de lava ardiente, con sus propias experiencias de las pruebas iranias con metal fundido; de acuerdo con su estricta enseñanza original, la justicia estricta prevalecerá entonces, como en cada juicio individual sobre la tierra por una prueba abrasadora. Así que en esta última prueba de todos, los perversos sufrirán una segunda muerte, y desaparecerán de la faz de la tierra. Los Daevas y las legiones de la oscuridad habrán sido aniquilados en una última gran batalla con los Yazatas, y el río de metal fluirá hacia el infierno, dando muerte a Angra Mainyu y quemando el último vestigio de la maldad en el universo.
     Ahura Mazda y los seis Amesha Spentas entonces celebrarán un último yasna espiritual, al ofrecer el último sacrificio (después del cual no habrá más) y al hacer una preparación del místico “haoma blanco”, el cual conferirá inmortalidad a los cuerpos resucitados de todos los bendecidos, quienes participarán de esta. A partir de entonces los hombres se volverán como los Inmortales mismos, de un solo pensamiento, palabra y acto, sin envejecer, libres de enfermedad, sin corrupción, para siempre felices en el reino de Dios sobre la tierra. Pues es en este mundo familiar y bienamado, restaurado a su perfección original, en que, según Zoroastro, la eternidad ocurrirá en felicidad absoluta, y no en un Paraíso remoto e insustancial. Así que el periodo de Separación será una renovación del periodo de Creación, salvo que no se profetiza ningún regreso a la unicidad original de las cosas vivientes. Montaña y valle darán lugar una vez más a la llanura; sin embargo, mientras que al principio había una sola planta, un solo animal y un solo hombre, permanecerá para siempre la rica variedad y número que ha surgido de aquellos desde entonces. Similarmente, las muchas divinidades a las que les dio existencia Ahura Mazda, seguirán teniendo sus existencias separadas. No hay ninguna profecía de su reabsorción en el Altísimo. Como lo pone un texto Pahlavi: “después de Frashegird, Ohrmazd y los Amahraspands y todos los Yazads y los hombres estarán juntos... Cada lugar parecerá un jardín en primavera en que hay todo tipo de árboles y flores... Y será por completo la Creación de Ohrmazd” (Pah.Riv.Dd. XLVIII, 99, 100, 107).
     Zoroastro fue de este modo el primero en enseñar las doctrinas de un juicio individual, un Cielo y un Infierno, la futura resurrección del cuerpo, el Juicio Final general y la vida eterna para el alma y cuerpo reunidos. Estas doctrinas hubieron de volverse artículos familiares de fe para muchos de los hombres, a través de préstamos por parte del judaísmo, cristianismo y el islam; sin embargo, es en el zoroastrismo mismo que tienen su máxima coherencia lógica, puesto que Zoroastro insistía tanto en la bondad de la creación material y, en consecuencia, en la del cuerpo físico, como en la inquebrantable imparcialidad de la justicia divina. Según él, la salvación para el individuo dependía de la suma de sus pensamientos, palabras y actos, no había ninguna intervención, fuera compasiva o caprichosa, por parte de algún Ser divino para alterarla. Con tal doctrina, la creencia en el Día del Juicio tenía su fatal significado pleno: cada hombre había de asumir la responsabilidad del destino de su propia alma, como también de recibir parte de la responsabilidad por el destino del mundo. El evangelio de Zoroastro fue de este modo uno noble y enérgico, que llamó tanto al coraje y a la resolución en aquellos dispuestos a recibirlo.

¹Viene de acá.

Zoroastrismo IV

La creación y los tres periodos¹

Otro aspecto de la relación entre lo tangible y lo intangible se plasmó en las enseñanzas de Zoroastro: que Ahura Mazda realizó el acto de la creación en dos etapas. Primero le dio existencia a todas las cosas en un estado incorpóreo, llamado en los Pahlavi “menog”, es decir, “espiritual, inmaterial”. Entonces les dio existencia “material” o “getig”. La existencia getig es mejor que la previa menog, pues en aquella la creación perfecta de Ahura Mazda recibió el bien adicional de la forma sólida y sintiente. La formación de estos dos estados, juntos, constituyó el acto de la Creación, llamado en los Pahlavi “Bundahishn”. La realización del estado getig dispuso el terreno para la batalla contra el mal, pues, a diferencia del estado menog, aquel era vulnerable al ataque, y Angra Mainyu atacó enseguida. Según como se presenta el mito en los libros Pahlavi, Angra Mainyu irrumpió violentamente a través del cuenco inferior del cielo pétreo, estropenado de este modo su perfección. Entonces se zambulló hacia arriba por el agua, volviendo salada gran parte de ella, y atacó la tierra, creando desiertos. Enseguida marchitó la planta, y dio muerte al Toro únicamente Creado y al Primer Hombre. Finalmente, se abalanzó sobre la séptima creación, el fuego, y lo mancilló con el humo, de manera que hubo arruinado físicamente toda la buena creación.
     Los seres divinos unieron sus fuerzas. Ameretat tomó la planta, la machacó (como se machaca el haoma en el ritual yasna), y esparció su esencia por el mundo mediante nubes y lluvia, para que creciera por todos lados como más plantas. Las semillas del Toro y la del Hombre fueron purificadas en la luna y el sol, y más ganado y hombres brotaron de aquellas. Así que, en la versión zoroastrista del viejo mito, el sacrificio generoso, atribuido originalmente a los dioses paganos, se señaló como un acto malvado de Angra Mainyu, pues fue él quien trajo decadencia y muerte en el mundo perfecto y estático de Ahura Mazda. Sin embargo, los Amesha Spentas fueron capaces, a través de su poder santo, de convertir los actos malignos de Angra Mainyu en benignos, y tal debe ser el esfuerzo constante de toda la buena creación.
     La “Creación” fue el primero de los tres periodos en los que fue dividido el drama de la historia cósmica. El ataque de Angra Mainyu inauguró el segundo, el de la “Mezcla” (en los Pahlavi “Gumezisn”), durante el cual este mundo ya no es completamente bueno, sino una mezcla de bueno y malo; pues puesto en marcha el ciclo de la existencia, Angra Mainyu continuará atacando, con los Daevas y todas las otras legiones de la oscuridad a las que les dio existencia para oponerse a las Yazatas, y, juntos, no sólo inflingir males físicos sino también todo mal moral y espiritual que cada hombre padece. Para resistir sus ataques, el hombre ha de venerar a Ahura Mazda y a los seis Amesha Spenta, y traerlos tan plenamente en el propio corazón y ser, que no haya cabida para el vicio y la debilidad. También debe alabar a todos los generosos Yazatas, algunos de los cuales, como los Ahuras menores (dos veces invocados por Zoroastro mismo en los Gathas) lo ayudarán también en sus luchas morales, mientras que otros, como el Sol y la Luna, harán su parte manteniendo el mundo físico fuerte y conforme a asha.
     De acuerdo con la nueva revelación de Zoroastro, la humanidad compartió de este modo, con las divinidades spentas, el gran propósito común de gradualmente vencer al mal y restaurar el mundo a su perfecto estado original. Al momento glorioso en que esto se llevará a cabo se le llama “Frashokereti” (en los Pahlavi “Frashegird”), un término que probablemente significa “Curación” o “Renovación”. Con ese momento, la historia cesará, pues el tercer periodo, el de la “Separación” (en los Pahlavi “`Wizarishn”), tendrá lugar. Este es el periodo en que lo bueno, de vuelta, estará separado del mal, y puesto que el mal será completamente destruido, el periodo de la Separación será eterno, y en él Ahura Mazda y todos los Yazatas y los hombres y las mujeres vivirán juntos para siempre en paz y en perfecta y tranquila bondad.
     Postulando de esta manera no sólo un comienzo sino también un final de la historia humana, Zoroastro hizo una ruptura profunda con las ideas anteriores, según las cuales el proceso de la vida, una vez comenzado, se esperaba que continuara para siempre, si los hombres y los disoses hacían lo que les correspondía. El viejo concepto de la cooperación entre divinidad y adorador, como necesaria para mantener el mundo conforme a asha, persistió en sus enseñanzas, pero le dio a esta cooperación un nuevo significado: no sólo estaba dirigida a preservar el mundo tal cual es, sino a alcanzar una meta final de perfección restaurada. Más aún, su revelación le dio al hombre nueva dignidad, pues conforme a esa revelación fue creado para ser aliado de Dios, trabajando con él para lograr la victoria sobre el mal, la cual es anhelada por ambos.
     La doctrina de los Tres Periodos ---la Creación, la Mezcla, la Separación--- hace a la historia, en cierto sentido, cíclica: en el tercer periodo, el mundo getig será restaurado a la perfección que poseía en el primero. Mientras tanto todas las penas y luchas del periodo presente de la Mezcla son parte de la batalla contra Angra Mainyu. De esta manera, Zoroastro no sólo vio un propósito noble para la humanidad, sino también ofreció a los hombres una explicación razonada para lo que tienen que soportar en esta vida, al considerar esto como aflicción traida por el Espíritu Hostil, y no al imputar, a la voluntad de un Creador todopoderoso, el sufrimiento de sus creaturas aquí abajo.

¹Viene de acá.
Sigue por aquí.

Zoroastrismo III

La heptada y las siete creaciones¹

Estas enseñanzas eran fundamentalemente nuevas, pero fue la vieja cosmogonía que proveyó la base para el pensamiento de Zoroastro. Así que el primer acto que concibió Zoroastro realizó Ahura Mazda fue la evocación (a través de su Espíritu Santo, Spenta Mainyu) de seis divinidades menores, los Seres radiantes de la primera visión de Zoroastro. Estas divinidades formaron una heptada con Ahura Mazda mismo, y procedieron, junto con él, a dar forma a las siete creaciones que hacen el mundo. La evocación de las seis está descrita variadamente en los trabajos zoroastristas, pero siempre se hace de maneras que sugieren la unidad esencial de la divinidad generosa. De esta manera, se dice que Ahura Mazda es su padre, o que se ha fundido con ellas, y, en un texto Pahlavi, la creación que él ha hecho de ellos se compara a encender, con una antorcha, otras antorchas.
     Los seis grandes Seres a su vez, Zoroastro enseñaba, evacaban a otras divinidades generosas, quienes son de hecho los dioses generosos del panteón pagano iranio. (él mismo invoca a un número de ellos en los Gathas, notablemente a los otros Ahuras, es decir, a Mithra y Apam Napat, a Sraosha, Ashi y Geush Urvan). Todos estos seres divinos, que son, según su doctrina, directa o indirectamente las emanaciones de Ahura Mazda, luchan bajo su mando, según sus varias tareas asignadas, para favorecer el bien y derrotar el mal. En conjunto, son conocidos en el zoroastrismo como los Yazatas, los “Seres dignos de alabanza”, o los Amesha Spenta, los “Santos Inmortales”. Aunque el último término no ocurre en los Gathas, lo más probable es que haya sido acuñado por Zoroastro mismo para distinguir aquellos seres revelados a él como generosos, de la generalidad de los dioses paganos, que eran invocados como “Todos los Inmortales” en los Vedas; pues Zoroastro rechazaba con los mayores coraje y firmeza la alabanza de los belicosos, amorales Daevas —es decir, Indra y sus compinches—, a quienes consideraba seres de la raza de intención maligna (Y 32.3). “Los Daevas no eligieron correctamente, pues el Impostor vino a ellos cuando lo consultaron, de manera que eligieron la peor intención. Entonces fueron poseídos por la Ira, a través de quien afligieron la vida del hombre” (Y 30.6). Para Zoroastro, los Daevas eran malignos por naturaleza y malignos por elección, como Angra Mainyu mismo —falsos dioses que no debían de ser alabados porque estaban ahí para el conflicto entre los hombres, atrayéndolos a través de la codicia por ofrendas al derramamiento de sangre y a los conflictos destructivos—.
     La palabra crucial “spenta”, usada por Zoroastro para Ahura Mazda y toda su creación, es uno de los términos más importantes en su revelación. Básicamente, parece, significa “poseer poder”, y cuando se usa para las divinidades generosas, como “poseer poder para ayudar, socorrer”; de aquí, “favorecer, sostener, beneficiar”. A través del constante uso religioso, spenta adquirió matices de significado, como la palabra “sacro, santo [holy]”, que, de manera similar, origininalmente significaba “poderoso, fuerte”. Por lo tanto, “santo” es una interpretación cercana para “spenta”; pero para evitar conceptos ajenos al zoroastrismo, algunos expertos han preferido “generoso [bounteous]” como traducción estándar. Sin embargo, esta palabra tiene la debilidad de que no tiene ninguna asociación religiosa en inglés, y por lo tanto no conlleva el sentido de veneración implícita en el spenta zoroastrista. La interpretación como “santo” se ha preferido de manera general en este libro.
     Aunque el título de Amesha Spenta puede usarse para cualquiera de las divinidades de la creación de Ahura Mazda, se aplica particularmente a las seis grandes de la propia visión del profeta, las otras divinidades menores referidas como los Yazatas. La doctrina de los seis Santos Inmortales es fundamental en las enseñanzas de Zoroastro, y tiene consecuencias éticas y espirituales de largo alcance, puesto que estos Seres hipostasian cualidades o atributos de Ahura Mazda mismo, y pueden, a su vez (si se les solicita y venera apropiadamente) conferirlas a los hombres. Para cada individuo, como para el profeta mismo, el Inmortal que dirige el camino hacia todos los demás es Vohu Manah, “la Buena Intención”; y su más cercano confederado es Asha Vahishta, “la Mejor Rectitud” —la divinidad que personifica el poderoso principio de asha, a quien Zoroastro menciona en los Gathas más veces que a cualquier otro de los seis—. Luego está Spenta Armaiti, “la Santa Devoción”, que encarna la entrega a lo que es bueno y justo; y Khshathra Vairya, “el Deseable Dominio”, que representa tanto el poder que cada persona debería ejercer adecuadamente para la rectitud en esta vida, como el poder y reino de Dios. El último par es Haurvatat y Ameretat, “la Salud” y “la Larga Vida”, quienes no sólo alargan esta existencia mortal, sino quienes también confieren ese bienestar y vida eternos, los cuales pueden obtenerse mediante la rectitud en presencia de Ahura Mazda.
     Que los atributos divinos deban aislarse, y luego invocarse y alabarse como seres independientes era una característica de la religión irania pagana, como hemos visto en el caso de Mithra, rodeado de la Amistad, la Obediencia, la Justicia, el Coraje y la Gracia Divina. Así que el molde en que Zoroastro vació su nueva doctrina ya era antiguo. Consideró a los seis grandes como similarmente cercanos al Señor Supremo; y se dice de ellos en el Avesta más temprano (Yt 19.16-18) que son una “sola mente, una sola voz, un solo acto... De uno se contempla el alma del otro, al pensar en buenos pensamientos, buenas palabras, buenas acciones... Ellos que son los creadores, formadores, hacedores, observadores y guardianes de las creaciones de Ahura Mazda”. En la antigua religión irania, también existió la tendencia de asociar divinidades “abstractas” con fenómenos físicos, tan estrechamente que (como en el caso de Mithra y Apam Napat) se consideraba que los fenómenos podían representar a las divinidades mismas; ya en los Gathas, la asociación de los siete Amesha Spentas con las siete creaciones era de este tipo. La naturaleza del vínculo en cada caso parece haber sido entendida por el profeta a través de sus meditaciones acerca del yasna, el acto diario de alabanza por el cual las siete creaciones eran preservadas y bendecidas. Cavilando sobre los rituales del yasna, llegó a reconocer que, dentro de cada una de las cosas que como sacerdote veía y manipulaba, había una presencia inmaterial, una divinidad oculta, de modo que, a través de estos ritos, realizados principalmente para la preservación del mundo físico, sacerdote y creyentes podrían al mismo tiempo, buscar un bien moral y espiritual, honrando y esforzándose para unirse a los grandes e invisibles Amesha Spentas. Así fue añadida una nueva dimensión a las prácticas religiosas de tiempos antiguos.
     El vínculo de cada divinidad con su creación es uno razonable, pues el zoroastrismo, una vez que sus premisas sostenidas de manera intuitiva —o reveladas de manera divina— se toman por ciertas, es esencialmente una fe racional. De modo que Khshathra, el Deseable Dominio, es el señor del sólido cielo de piedra, quien se arquea de manera protectora sobre la tierra. La modesta tierra pertenece a Spenta Armaiti, la Santa Devoción. El agua es la creación de Haurvatat, la Salud, y las plantas pertenecen a Ameretat, la Larga Vida o la Inmortalidad. Vohu Manah, la Buena Intención, es el señor de la vaca dulce y generosa, quien era, para los nómadas iranios, un poderoso símbolo de bondad creativa, de aquello que sustenta y nutre. El fuego, que se encuentra presente en las otras creaciones y que, a través del sol, controla las estaciones, está bajo la protección de Asha Vahishta, el Orden que ha de regular y correr por el mundo. Finalmente, el hombre mismo, con su inteligencia y poder de elección, pertenece especialmente a Ahura Mazda, el Señor Sabiduría, quien efectuó la primera elección de todas. Estas asociaciones, sutilmente aludidas en los Gathas, están claramente presentadas en la literatura posterior.
     El orden de la gran heptada de divinidades frecuentemente no corresponde con la secuencia cronológica de las siete creaciones. Esto se debe a que era natural mencionarlos, de manera habitual, según su valor y dignidad espirituales, con Ahura Mazda a la cabeza, como legítimamente le correspondía. Cualquiera de las siete grandes podía ser interpelada por cualquier devoto individual —en realidad, debía invocarlas a todas, si ha de convertirse en un hombre perfecto; sin embargo, dos de ellas tenían un vínculo especial con dos grupos sociales—. Armaiti, en tanto que guardian de la modesta tierra, era el protector de los pastores, quienes dependían estrechamente de su generosidad, y quienes, dado que eran los miembros más modestos de la sociedad, particularmente necesitaban la virtud de la sumisión; mientras que Khshathra, señor del noble y protector cielo y, por lo tanto, completamente pétreo, era, apropiadamente, el guardian de los guerreros, los cuales tenían el deber de usar sus armas —sus flechas y lanzas de punta de pedernal, sus hondas y sus pesadas mazas— para proteger al pobre y al débil, y no para despojarlo o perjudicarlo. El tercer grupo social, los sacerdotes, quienes eran la clase educada, se sentía sin duda particularmente bajo la protección de Ahura Mazda, el Señor Sabiduría, cuya creación, la humanidad, representaban los sacerdotes en el yasna, pero el poder del Señor Supremo es tan omnímodo, que en la tradición no se le da tanta importancia.
     Siendo creación de Ahura Mazda, todo hombre debe no sólo valorar las seis creaciones menores, sino también debe velar por su propio bienestar físico y moral, y cuidar a su prójimo, pues este es igualmente la criatura especial de Dios. El código ético particular que Zoroastro les dio a sus seguidores bajo el cual vivir les exigía buenos pensamientos, buenas palabras y buenas acciones —una ley moral admirable que parece una generalización de la triple exigencia hecha al sacerdote iranio, el cual, para realizar un acto de alabanza, necesitaba en efecto una intención buena, palabras correctas y rituales apropiados—.
     De este modo, la doctrina de los siete Amesha Spentas y las siete creaciones inspiró una moral de conjunto e inculcaba en el hombre un profundo sentido de responsabilidad por el mundo a su alrededor. Es el líder de las creaciones, pero está ligado a las otras seis por el vínculo de un propósito compartido, pues toda creación spenta lucha por una meta común, el hombre de manera consciente, el resto de manera instintiva o natural, pues a todos se les dio existencia con este único fin, a saber, la derrota total del mal.


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Θεός πολίτικον (o el problema del mal)

Dios es como un político: en sus presentaciones aparece con grandes capacidades: todo bueno, todo justo, brillante, luminoso; sin embargo, no hace absolutamente nada, y cuando llega a hacer algo que usualmente debería de hacer, su séquito se lo alaba como un gran logro de su mandato (algo extraordinario, un milagro)¹.


¹La existencia del mal y la de un dios omnipotente, omnisciente y moralmente perfecto plantea un problema. A este se le llama en filosofía el problema del mal. El enlace da a la entrada sobre el tema en la Stanford Encyclopedia of Philosophy.