No estoy seguro si fue en la secundaria o en la preparatoria donde vi por primera vez que $1=0{.}99999\ldots$ (con puros nueves ad infinitum). Cuando lo vi, me pareció realmente muy extraño, hasta que el maestro nos demostró que eran realmente el mismo número. No recuerdo exactamente qué hizo, pero seguramente no fue algo muy diferente de lo siguiente.
Sea $x:=0{.}999\ldots$. Entonces $$10x=9.999\ldots$$ y \begin{align} 10x-x&=9\notag\\ 9x&=9\notag, \end{align} y de aquí, $x=\frac{9}{9}=1$.
Pues resulta que todo número racional tiene una expansión decimal (infinita) periódica y todo número real con una expansión decimal (infinita) periódica es racional. Antes de seguir hagamos unas cuantas definiciones para que todo quede más claro.
Definición. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots;$$ es decir, $a'\in\mathbb{Z}$ y $a_i\in\mathbb{N}$ con $0\leq a_i\leq 9$. Diremos que la expansión decimal de $a$ es periódica si existe una sucesión finita de numerales $b_1b_2b_3\ldots b_n$ tal \begin{align} a&=a'{.}a_1a_2a_3\ldots\notag\\ &=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_kb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_n\ldots\notag \end{align} Es decir, si existe una sucesión finita de $n$ numerales que se repite indefinidamente a partir de cierto $k$ a lo largo de la expansión de $a$. A $n$ se le llama el periodo de $a$.
A los numerales que se repiten se les denota de las siguientes maneras: $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ o $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k(b_1b_2b_3\ldots b_n).$$
Por ejemplo, $1=0{.}\overline{9}$, $\frac{4}{33}=0{.}\overline{12}$, $\frac{77}{111}=0{.}\overline{693}$, $\frac{23}{27}=0{.}\overline{851}$, $\frac{111}{7}=15{.}\overline{857142}$.
Veamos que toda expansión decimal periódica es un racional. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ Entonces $$10^{k+n}a-10^ka=a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k;$$ así que $$a=\frac{a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k}{10^{k+n}-10^k}\in\mathbb{Q},$$ pues tanto el numerador como el denominador son enteros.
Esto nos da una manera de calcular la expresión como cociente de dos enteros para un racional expresado como una expansión decimal periódica. Por ejemplo, si $a=23{.}478\overline{27}$, entonces \begin{align} a&=\frac{2347827-23478}{10^5-10^3}\notag\\ &=\frac{2324349}{99000}\notag. \end{align} Ahora veamos que todo racional tiene una expansión decimal periódica. Sean $p,q\in\mathbb{Q}$ con $q\neq 0$. Se tiene que los residuos posibles para esta división son $0,1,2,\ldots q-1$; así que hay un número finito de residuos; por lo tanto, a la hora de hacer la división, en algún momento alguno se ha de repetir durante la división. Cuando esto ocurra, comenzarán a repetirse los numerales del cociente. Esto se verá de la siguiente manera: $$\begin{array}{c c c c c c c c c c c} & a' & {.} & a_1 & \ldots & a_{k-1} & a_k & b_1 & b_2 & \ldots & b_n & b_1\ldots\\ q\quad| & p & & & & & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & & & & \\ & & & c_1 & & & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & & & \\ & & & & & c_{k-1} & & & & & & \\ & & & & & & d_1 & 0 & & & & \\ & & & & & & & d_2 & 0 & & & \\ & & & & & & & & d_3 & & & \\ & & & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & & & d_1 & 0 \\ & & & & & & & & & & & d_2 \end{array}.$$ Por lo tanto, todo racional tiene una expansión decimal periódica. En consecuencia todo irracional tiene expansión decimal aperiódica.
En este enlace hay algunos resultados interesantes en relación a las expansiones decimales y los racionales.
Sea $x:=0{.}999\ldots$. Entonces $$10x=9.999\ldots$$ y \begin{align} 10x-x&=9\notag\\ 9x&=9\notag, \end{align} y de aquí, $x=\frac{9}{9}=1$.
Pues resulta que todo número racional tiene una expansión decimal (infinita) periódica y todo número real con una expansión decimal (infinita) periódica es racional. Antes de seguir hagamos unas cuantas definiciones para que todo quede más claro.
Definición. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots;$$ es decir, $a'\in\mathbb{Z}$ y $a_i\in\mathbb{N}$ con $0\leq a_i\leq 9$. Diremos que la expansión decimal de $a$ es periódica si existe una sucesión finita de numerales $b_1b_2b_3\ldots b_n$ tal \begin{align} a&=a'{.}a_1a_2a_3\ldots\notag\\ &=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_kb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_n\ldots\notag \end{align} Es decir, si existe una sucesión finita de $n$ numerales que se repite indefinidamente a partir de cierto $k$ a lo largo de la expansión de $a$. A $n$ se le llama el periodo de $a$.
A los numerales que se repiten se les denota de las siguientes maneras: $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ o $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k(b_1b_2b_3\ldots b_n).$$
Por ejemplo, $1=0{.}\overline{9}$, $\frac{4}{33}=0{.}\overline{12}$, $\frac{77}{111}=0{.}\overline{693}$, $\frac{23}{27}=0{.}\overline{851}$, $\frac{111}{7}=15{.}\overline{857142}$.
Veamos que toda expansión decimal periódica es un racional. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ Entonces $$10^{k+n}a-10^ka=a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k;$$ así que $$a=\frac{a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k}{10^{k+n}-10^k}\in\mathbb{Q},$$ pues tanto el numerador como el denominador son enteros.
Esto nos da una manera de calcular la expresión como cociente de dos enteros para un racional expresado como una expansión decimal periódica. Por ejemplo, si $a=23{.}478\overline{27}$, entonces \begin{align} a&=\frac{2347827-23478}{10^5-10^3}\notag\\ &=\frac{2324349}{99000}\notag. \end{align} Ahora veamos que todo racional tiene una expansión decimal periódica. Sean $p,q\in\mathbb{Q}$ con $q\neq 0$. Se tiene que los residuos posibles para esta división son $0,1,2,\ldots q-1$; así que hay un número finito de residuos; por lo tanto, a la hora de hacer la división, en algún momento alguno se ha de repetir durante la división. Cuando esto ocurra, comenzarán a repetirse los numerales del cociente. Esto se verá de la siguiente manera: $$\begin{array}{c c c c c c c c c c c} & a' & {.} & a_1 & \ldots & a_{k-1} & a_k & b_1 & b_2 & \ldots & b_n & b_1\ldots\\ q\quad| & p & & & & & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & & & & \\ & & & c_1 & & & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & & & \\ & & & & & c_{k-1} & & & & & & \\ & & & & & & d_1 & 0 & & & & \\ & & & & & & & d_2 & 0 & & & \\ & & & & & & & & d_3 & & & \\ & & & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & & & d_1 & 0 \\ & & & & & & & & & & & d_2 \end{array}.$$ Por lo tanto, todo racional tiene una expansión decimal periódica. En consecuencia todo irracional tiene expansión decimal aperiódica.
En este enlace hay algunos resultados interesantes en relación a las expansiones decimales y los racionales.
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