19 de agosto de 2015

El álgebra abierta regular de un espacio topológico

Leyendo sobre el Teorema del Funtor Adjunto de Freyd, me topé con un álgebra booleana completa que resultó ser un ejemplo estándar en teoría de álgebras booleanas: el álgebra abierta regular de un espacio topológico.
     Tal álgebra booleana se construye como sigue. Sea $X$ un espacio topológico. Definimos $$\mathbf{AR}(X):=\{V\subseteq X\mid V=\mathrm{IntCl}V\},$$ donde $\mathrm{Int}$ es el operador interior y $\mathrm{Cl}$ el operador cerradura. Es decir, $\mathbf{AR}(X)$ es el conjunto de los abiertos regulares de $X$ (un subconjunto $U\subseteq X$ se dice que es abierto regular si $U=\mathrm{IntCl}U$; dado $A\subseteq X$, a $\mathrm{IntCl}A$ se la llama la regularización de $A$). Se tiene que $\mathbf{AR}(X)$ es un álgebra booleana completa con el orden dado por la inclusión y bajo las siguientes operaciones $\bigvee$, $\bigwedge$ y $'$: $$\begin{align} \bigvee\mathcal{U} &:=\mathrm{IntCl}(\bigcup\mathcal{U})&(\mathcal{U}\subseteq\mathbf{AR}(X))\notag\\ \bigwedge\mathcal{U} &:=\mathrm{Int}(\bigcap\mathcal{U})&\notag\\ V' &:=\mathrm{Int}(X-V)&(V\in\mathbf{AR}(X)).\notag \end{align}$$      En general se tiene que \begin{equation} \text{si $A$ es un cerrado de un espacio $Y$, entonces $\mathrm{Int}A$ es abierto regular.} \end{equation} En efecto, sea $A$ cerrado de un espacio $Y$; entonces, $$\mathrm{Int}A\subseteq\mathrm{IntClInt}A.$$ Recíprocamente, se tiene que $\mathrm{Int}A\subseteq A$; de aquí, $\mathrm{ClInt}A\subseteq A$; luego, $$\mathrm{IntClInt}A\subseteq\mathrm{Int}A.$$      Ahora, tenemos entonces que $\bigvee\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$, pues $\mathrm{Cl}(\bigcup\mathcal{U})$ es cerrado de $X$, y $V'\in\mathbf{AR}(X)$ porque $X-V$ también es cerrado de $X$.      En general se tiene si $\{A_i\}$ es una familia de subconjuntos de un espacio topológico $Y$, entonces \begin{align} &\mathrm{Cl}(\bigcap A_i)\subseteq \bigcap\mathrm{Cl}A_i \\ &\mathrm{Int}(\bigcap A_i)\subseteq \bigcap\mathrm{Int}A_i. \end{align} En efecto, (2) se sigue de que $\bigcap A_i\subseteq\bigcap\mathrm{Cl}A_i$ y (3) de que $\mathrm{Int}(\bigcap A_i)\subseteq\mathrm{Int}A_i$.
     Veamos entonces que $\bigwedge\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$. Sea $\{V_i\}$ una familia de elementos de $\mathbf{AR}(X)$. Ya se tiene que $\mathrm{Int}(\bigcap V_i)\subseteq\mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)$, así que basta ver la contención recíproca. Notemos que como cada $V_i\in\mathbf{AR}(X)$, $$V_i=\mathrm{IntCl}V_i.$$ Entonces, \begin{align} \mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)&\subseteq\mathrm{IntClInCl}(\bigcap V_i)\notag\\ &=\mathrm{IntCl}(\bigcap V_i)&\text{(por (1)}\notag\\ &\subseteq\bigcap\mathrm{IntCl}V_i &\text{(por (2) y (3))}\notag\\ &=\bigcap V_i\notag; \end{align} de donde, $\mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)\subseteq\mathrm{Int}(\bigcap V_i)$.
     Se tiene que $\emptyset,X\in\mathbf{AR}(X)$, y es fácil ver que $$V\wedge V'=\emptyset\qquad\text{y}\qquad V\vee V'=X.$$      Sea $\mathcal{U}\subseteq\mathbf{AR}(X)$. Veamos que $\bigvee\mathcal{U}$ es la mínima cota superior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$ y que $\bigwedge\mathcal{U}$ es la máxima cota inferior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$. Se tiene que $\bigcup\mathcal{U}$ es abierto y es el conjunto más pequeño que incluye a cada $V\in\mathcal{U}$; de donde, $\bigvee\mathcal{U}$ es la mínima cota superior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$. Ahora, tenemos que $\bigwedge\mathcal{U}\subseteq V$ para todo $V\in\mathcal{U}$ y $\bigwedge\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$. Sea $B$ otra cosa inferior de $\mathcal{U}$; entonces, $B\subseteq\bigcap\mathcal{U}$; de donde, $B\subseteq\bigwedge\mathcal{U}$, pues $B$ es abierto de $X$.
     Finalmente, veamos que $$V\wedge(\bigvee V_i)=\bigvee(V\wedge V_i).$$      En general, se tiene que \begin{equation} \text{si $U$ es abierto de un espacio $Y$, entonces $\mathrm{Cl}(U\cap A)=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$ para todo subconjunto $A$ de $Y$} \end{equation} (véase el punto 1 de la entrada anterior). De aquí, \begin{equation} \text{si $U$ es abierto de $Y$, $U\cap\mathrm{Cl}A\subseteq\mathrm{Cl}(U\cap A)$ para todo $A\subseteq Y$.} \end{equation}      Ahora, sea $\{V_i\}$ una familia de elementos de $\mathbf{AR}(X)$ y sea $V\in\mathbf{AR}(X)$. Entonces, \begin{align} V\wedge\bigvee V_i &=V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)\notag\\ &=\mathrm{Int}V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)\notag\\ &=\mathrm{Int}(V\cap\mathrm{Cl}(\bigcup V_i)) &\text{(propiedad de $\mathrm{Int}$)}\notag\\ &\subseteq\mathrm{IntCl}(V\cap\bigcup V_i) &\text{(por (5))}\notag\\ &=\bigvee(V\wedge V_i)\notag. \end{align} Recíprocamente, \begin{align} \bigvee(V\wedge V_i) &=\mathrm{IntCl}(\bigcup V\cap V_i)\notag\\ &=\mathrm{IntCl}(V\cap\bigcup V_i)\notag\\ &\subseteq\mathrm{IntCl}V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)&\text{(por (2) y (3))}\notag\\ &=V\wedge\bigvee V_i\notag. \end{align}      Por lo tanto, $(\mathbf{AR}(X),\vee,\wedge,',\emptyset,X)$ es un álgebra booleana completa. A dicha álgebra se la llama el álgebra abierta regular de $X$.

29 de julio de 2015

Topología general julio 2015

  1. Sea $(X,\tau)\in\mathbf{Top}$ y sea $U\subseteq X$. Entonces, $U\in\tau$ si y sólo si $\forall\,A\subseteq X\;\mathrm{Cl}(U\cap A)=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$.

    Supóngase que $U\in\tau$ y sea $A\subseteq X$. Como $U\cap A\subseteq U\cap\mathrm{Cl}A$, $\mathrm{Cl}(U\cap A)\subseteq\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$. Veamos entonces que $\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)\subseteq\mathrm{Cl}(U\cap A)$. Sea $x\in\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$ y $V\in\tau(x,X)$ (un abierto de $X$ que contiene a $x$). Entonces, $V\cap U\cap\mathrm{Cl}A\neq\emptyset$; sea entonces $y\in V\cap U\cap\mathrm{Cl}A$; de aquí, $y\in V\cap U$ y $y\in\mathrm{Cl}A$; de donde, $V\cap U\cap A\neq\emptyset$. Por lo tanto, $x\in\mathrm{Cl}(U\cap A)$.
         Recíprocamente, supóngase que $\forall\,A\subseteq X\;\mathrm{Cl}(U\cap A)=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$. Entonces, $$\emptyset=\mathrm{Cl}(U\cap(X-U))=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}(X-U));$$ de donde, $U\cap\mathrm{Cl}(X-U)=\emptyset$; de aquí, $U\cap\mathrm{Fr}U=\emptyset$; luego, $U\in\tau$.
  2. Sea $\{(X_\alpha,\tau_\alpha)\}$ una familia infinita de espacios topológicos tal que $\mathcal{B}:=\{\alpha\mid X_\alpha\text{ es compacto}\}$ es finito. Sea $B\subseteq\prod X_\alpha$. Si $B$ es compacto, entonces $\mathrm{Int}B=\emptyset$.

    Supóngase que $B$ es compacto y que $\mathrm{Int}B\neq\emptyset$. Entonces, dado $(x_\alpha)\in\mathrm{Int}B$, existe $\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle$ básico de $\tau$ (la topología producto) tal que $$(x_\alpha)\in\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\subseteq\mathrm{Int}B\subseteq B.$$ Sea $\beta\notin\mathcal{B}$ tal que $\beta\neq\alpha_i$; así que $X_\beta$ no es compacto. Por otro lado, $$X_\beta=p_\beta\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\subseteq p_\beta B\subseteq X_\beta,$$ donde $p_\beta:\prod X_\alpha\rightarrow X_\beta$ es la proyección en $X_\beta$. Entonces, $p_\beta B=X_\beta$; es decir, $X_\beta$ es compacto !!
         Otra manera. Supóngase que $B$ es compacto y que $\mathrm{Int}B\neq\emptyset$. Entonces, dado $(x_\alpha)\in\mathrm{Int}B$, existe $\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle$ básico de $\tau$ (la topología producto) tal que $$(x_\alpha)\in\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\subseteq\mathrm{Int}B\subseteq B.$$ Sea $\beta\notin\mathcal{B}$ tal que $\beta\neq\alpha_i$; así que $X_\beta$ no es compacto. Luego, existe una cubierta abierta $\{V_i\}$ de $X_\beta$ que no tiene subcubierta finita. Sea $Y_\beta:=\prod_{\alpha\neq\beta} X_\alpha$. Entonces, $\{V_i\times Y_\beta\}$ es cubierta abierta de $B$, pero $B$ es compacto; luego, existen $V_{i_1},\ldots,V_{i_m}$ de $\{V_i\}$ tal que $$B\subseteq(V_{i_1}\times Y_\beta)\cup\cdots\cup(V_{i_m}\times Y_\beta),$$ pero $\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\not\subseteq (\cup V_{i_j})\times Y_\beta$ !!
  3. Sea $(X,\tau)\in\mathbf{Top}$ $T_2$ y $f:[0,1]\rightarrow(X,\tau)$ continua y suprayectiva, donde $[0,1]$ tiene la topología usual. Entonces, $X$ es localmente conexo.

    Esta afirmación se puede generalizar. Sean $(Y,\tau'),(X,\tau)\in\mathbf{Top}$ con $(Y,\tau')$ compacto y $T_2$ y $(X,\tau)$ $T_2$, sea y $f:(Y,\tau')\rightarrow(X,\tau)$ continua y suprayectiva. Si $Y$ es localmente conexo, entonces $X$ también.

    Veamos primero que $f:Y\rightarrow X$ es cerrada. Sea $B\subseteq Y$ cerrado; entonces, como $Y$ es compacto, $B$ es compacto; de aquí, $fB$ es compacto en $X$, que es $T_2$; luego, $fB$ es cerrado.
         Por otro lado, toda función continua cerrada (o abierta) y suprayectiva es una identificación, un mapeo cociente. En efecto, sea $g:(Z,\sigma)\rightarrow(Z',\sigma')$ una tal función y sea $V\subseteq Z'$ tal que $g^{-1}V\in\sigma$. Entonces, $Z-g^{-1}V=g^{-1}(Z'-V)$ es cerrado de $Z$, por la continuidad de $g$. Como $g$ es cerrada y suprayectiva, $Z'-V=gg^{-1}(Z'-V)$ es cerrado de $Z'$; de donde $V\in\sigma'$.
         Ahora, veamos que toda identificación preserva conexidad local. Sea $h:(Z,\sigma)\rightarrow(Z',\sigma')$ una identificación y supóngase que $Z$ es localmente conexo. Demostremos que las componentes de todo subespacio abierto $A$ de $Z'$ son abiertos de $Z'$. Sea $A\subseteq Z'$ tal que $A\in\sigma'$. Sea $C$ componente de $A$. Veamos que $C\in\sigma'$. Sea $B$ componente de $h^{-1}C\subseteq h^{-1}A$. Afirmamos que $B$ es componente de $h^{-1}A$; en efecto, sea $B'$ componente de $h^{-1}A$ tal que $B\subseteq B'$. Entonces, tenemos que $hB\subseteq hB',C\subseteq A$, pero $hB$ y $hB'$ son conexos así que, como $C$ es componente de $A$ y $hB\subseteq hB',C$, se tiene que $hB'\subseteq C$; de donde, $B'\subseteq h^{-1}C$ con $B'$ conexo y $B\subset B'$, pero $B$ es componente de $h^{-1}C$; luego, $B=B'$.
         Por otro lado, como $h^{-1}A\in\sigma$ y $Z$ es localmente conexo, toda componente de $h^{-1}A$ es abierta, así que $B\in\sigma$. Entonces, como $h^{-1}C$ es la unión de sus componentes, que son abiertas, $h^{-1}C\in\sigma$; de donde, como $h$ es identificación, $C\in\sigma'$. Luego, $Z'$ es localmente conexo.
  4. Considérese la recta de Sorgenfrey. Un espacio topológico $(X,\tau)$ se dice que es homogéneo si $\forall\,x,y\in X\,\exists\, f:X\rightarrow X\;$ homeomorfismo tal que $fx=y$.
    1. La recta de Sorgenfrey es homogénea.
    2. El producto de espacios homogéneos es homogéneo.

    4(a). Sean $x,y\in\mathbb{R}$. Defínase $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$fz:=z+y-x.$$ Claramente, $fx=y$, y dado un intervalo $[a,b)$, $$f^{-1}[a,b)=[a-x+y,b-x+y);$$ de donde, $f$ es continua. Es claro que su inversa $f^{-1}z=z-x+y$ también es continua.

    4(b). Sea $\{X_\alpha\}$ una familia de espacios homogéneos. Sean $(x_\alpha),(y_\alpha)\in\prod X_\alpha$. Entonces, $\forall\,\alpha\;\exists\,f_\alpha:X_\alpha\rightarrow X_\alpha\;$ homeomorfismo tal que $f_\alpha x_\alpha=y_\alpha$. Considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} \prod X_\alpha @>p_\beta>> X_\beta\\ @V\prod f_\alpha VV & @VVf_\beta V\\ \prod X_\alpha @>>p_\beta> X_\beta\\ @V\prod f^{-1}_\alpha VV @VVf^{-1}_\beta V\\ \prod X_\alpha @>>p_\beta> X_\beta \end{CD}$$ Entonces, por la propiedad universal del producto y porque $f^{-1}_\beta f_\beta=1$ para todo $\beta$, $\prod f^{-1}_\alpha\prod f_\alpha=1$; similarmente, $\prod f_\alpha\prod f^{-1}_\alpha=1$. Luego, $\prod f_\alpha$ es homeomorfismo, y $\prod f_\alpha(x_\alpha)=(y_\alpha)$.
    1. No existe un espacio conexo completamente regular y numerable con al menos dos puntos.
    2. No existe un espacio conexo regular y numerable con al menos dos puntos.

    5(b). Si $(X,\tau)$ es un espacio con un solo punto, es regular conexo y numerable.
         Supóngase que $X$ tiene al menos dos puntos, que es regular conexo y numerable. Entonces, como $X$ es numerable, $X$ es Lindelöf. Como todo Lindelöf $T_3$ es $T_4$, se tiene que, dados $x,y\in X$, $x\neq y$, existe una función continua $f:X\rightarrow[0,1]$ tal que $fx=0$ y $fy=1$ (notemos que como $X$ es regular, $X$ también es $T_2$, así que $\{x\}$ y $\{y\}$ son cerrados). Sin embargo, como $f$ es continua y $X$ es conexo, $fX$ es conexo. Por otro lado, $fX$ es numerable; de donde, $fX$ es disconexo !!
         Otra manera. Supóngase que $X$ tiene al menos dos puntos, que es regular conexo y numerable. Entonces, como $X$ es numerable, $X$ es Lindelöf. Como todo Lindelöf $T_3$ es $T_4$, se tiene que, dados $x,y\in X$, $x\neq y$, existe una función continua $f:X\rightarrow[0,1]$ tal que $fx=0$ y $fy=1$. Ahora, como $f$ es continua y $X$ es conexo, $fX$ es conexo con $0,1\in fX$. Luego, $[0,1]=fX$; de donde, $$|X|\geq |[0,1]|;$$ de aquí, $X$ es no numerable !!

    5(a). Todo espacio $T_{3\frac{1}{2}}$ es $T_3$.
  5. Si $(X,\tau)$ es un espacio compacto $T_2$ entonces $\forall\,f:X\rightarrow X$ continua $\exists\,A\subseteq X$ cerrado no vacío tal que $fA=A$.

    Antes de demostrar el resultado, demostremos la siguiente afirmación. Si $f:X\rightarrow Y$ es una función continua con $X$ compacto y $Y$ $T_2$ y $\{F_n\}$ es una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados de $X$, entonces $f(\cap F_n)=\cap fF_n$. En efecto, si existe $n$ tal que $F_n=\emptyset$, entonces se tiene la igualdad deseada. Supóngase entonces que $F_n\neq\emptyset$ para todo $n$. Ahora, como ya se tiene que $f(\cap F_n)\subseteq\cap fF_n$, basta ver que $\cap fF_n\subseteq f(\cap F_n)$.
         Como $f$ es continua, $fF_1$ es compacto, y como $\{fF_n\}$ es decreciente, $\cap fF_n\neq\emptyset$. Sea $y\in\cap fF_n$; entonces, $\forall\,n\;\exists\; b_n\in F_n\; y=fb_n$. De donde, $\forall\,n\; F_n\cap f^{-1}y\neq\emptyset$. Como $Y$ es $T_2$, $\{y\}$ es cerrado de $Y$, así que $f^{-1}y$ es cerrado de $X$. Luego, tenemos una sucesión decreciente $\{F_n\cap f^{-1}y\}$ de subconjuntos cerrados no vacíos de $X$, que es compacto. Por lo tanto, $\cap F_n\cap f^{-1}y\neq\emptyset$, y $$y\in f(\cap F_n\cap f^{-1}y)\subseteq f(\cap F_n).$$ Luego, $\cap fF_n\subseteq f(\cap F_n)$.
         Ahora, volviendo al resultado que queríamos demostrar, sea $g:X\rightarrow X$ una función continua con $X$ compacto y $T_2$. Tenemos entonces la siguiente sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de $X$: $\{g^nX\}$, donde $g^n$ es simplemente la composición $g\circ\cdots\circ g$ con $g$ apareciendo n veces. De la afirmación anterior, $g(\cap g^nX)=\cap g^{n+1}X=\cap g^nX$ y $\cap g^nX\neq\emptyset$. Sea $A:=\cap g^nX$.
  6. Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y $R$ una relación de equivalencia sobre $X$. Supóngase que la proyección canónica $p:X\rightarrow X/R$ es abierta. Sea $B\subseteq X/R$. Entonces, $B$ es homeomorfo a $p^{-1}B/R_0$, donde $R_0$ es la relación inducida por $R$ sobre $p^{-1}B$.

    Otra vez, antes de demostrar la afirmación que nos concierne, demostremos el siguiente resultado. Si $f:X\rightarrow Y$ es una identificación abierta y $B\subseteq Y$, entonces $\tau(B)=\tau(f,B)$, donde $\tau(B)$ es la topología de subespacio inducida sobre $B$ por la topología $\tau(Y)$ de $Y$ y donde $\tau(f,B)$ es la topología de identificación inducida sobre $B$ por la suprayección $f\mid_{f^{-1}B}:f^{-1}B\rightarrow B$. En efecto, supóngase que $f:X\rightarrow Y$ es una identificación abierta. Como $\tau(f,B)$ es la topología más grande que hace a $f\mid_{f^{-1}B}:f^{-1}B\rightarrow B$ continua y como $f\mid_{f^{-1}B}:f^{-1}B\rightarrow B$ es continua si $B$ tiene la topología $\tau(B)$, entonces $\tau(B)\subseteq\tau(f,B)$. Veamos que se tiene la otra contención. Sea $V\in\tau(f,B)$; entonces, $f^{-1}V\in\tau(f^{-1}B)$; de donde, existe $W\in\tau(X)$ tal que $V=f^{-1}B\cap W$; de aquí, $$V=ff^{-1}V=B\cap fW;$$ luego, como $f$ es abierta, $V\in\tau(B)$.
         Volvamos a la afirmación que queríamos demostrar. Del resultado anterior, tenemos entonces que $p\mid_{p^{-1}B}:p^{-1}B\rightarrow B$ es una identificación; es decir, $p\mid_{p^{-1}B}:p^{-1}B\rightarrow B$ es continua suprayectiva y $\tau(B)=\tau(p,B)$. Por otro lado, notemos que $R_0=(p^{-1}B\times p^{-1}B)\cap R$. Sea $q:p^{-1}B\rightarrow p^{-1}B/R_0$ la proyección canónica. Veamos que $\mathrm{ker\,}p\mid_{p^{-1}B}=\mathrm{ker\,}q$. Sean $x,y\in p^{-1}B\times p^{-1}B$. Entonces, $$(x,y)\in\mathrm{ker\,}p\mid_{p^{-1}B}\;\Leftrightarrow\; px=py\;\Leftrightarrow\;x R_0 y\;\Leftrightarrow\;qx=qy\;\Leftrightarrow\;(x,y)\in\mathrm{ker\,}q.$$ De aquí y por la propiedad universal de una identificación, existen únicas $s:B\rightarrow p^{-1}B/R_0$ y $t:p^{-1}B/R_0\rightarrow B$ funciones inyectivas continuas tales que el siguiente diagrama conmuta: $$\require{AMScd} \begin{CD} p^{-1}B @> p\mid_{p^{-1}B} >> B\\ @| & @VsVV\\ p^{-1}B @> q >> p^{-1}B/R_0\\ @| & @VtVV\\ p^{-1}B @>> p\mid_{p^{-1}B} > B; \end{CD}$$ de aquí, por la propiedad universal de $p\mid_{p^{-1}B}$, $ts=1_B$. Luego, $t$ es suprayectiva; por lo tanto, $t$ es un homeomorfismo con inversa $s$.
  7. Considérese a $\mathbb{R}$ con la topología $\sigma$ cuyos básicos son los intervalos $[a,b)$; en otras palabras, $(\mathbb{R},\sigma)$ es la recta de Sorgenfrey. Sea $\tau$ la topología sobre $\mathbb{R}$ dada por los básicos $[q,b)$ con $q\in\mathbb{Q}$.
    1. $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$ no es metrizable.
    2. $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ no es metrizable.
    3. $(\mathbb{R},\tau)\times(\mathbb{R},\tau)$ es metrizable.

    8(a). $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$ es el cuadrado de Sorgenfrey, el cual no es $T_4$, y todo espacio métrico es $T_4$; luego, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$ no es metrizable.

    8(b). Afirmamos que la recta de Sorgenfrey no es segundo numerable. En efecto, si lo fuera, entonces el cuadrado de Sorgenfrey lo sería; luego, el cuadrado de Sorgenfrey sería Lindelöf. Por otro lado, la recta de Sorgenfrey es $T_3$, pues los intervalos $[a,b)$ son abiertos y cerrados; así que el cuadrado de Sorgenfrey es $T_3$. Todo espacio Lindelöf y $T_3$ es $T_4$; por lo tanto, el cuadrado de Sorgenfrey es $T_4$ !! Así que la recta de Sorgenfrey no es segundo numerable.
         Ahora veamos que $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ no es metrizable. Es claro que la recta de Sorgenfrey es separable y regular y que $(\mathbb{R},\tau)$ también. De donde, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ es separable y regular; sin embargo, como la recta de Sorgenfrey no es segundo numberable, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ tampoco lo es; de donde, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ no es metrizable.

    8(c). Afirmamos que $(\mathbb{R},\tau)$ es segundo numerable. Se tiene que $$S:=\{[q,r)\mid q,r\in\mathbb{Q}\}$$ es una base para $\tau$. En efecto, dado $[q,b)$ básico de $\tau$, $[q,b)$ se puede escribir como unión de elementos de $S$.
         Ahora, $(\mathbb{R},\tau)$ es regular, así que como $(\mathbb{R},\tau)$ es regular y segundo numerable, es metrizable; de donde, $(\mathbb{R},\tau)\times(\mathbb{R},\tau)$ también.

30 de marzo de 2015

Extender endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$

Leyendo sobre redes, de manera inesperada llegué al artículo Relational algebras, el cual me pareció muy interesante, pues en él se demuestran varios resultados con tal atributo. El primero que me gustó es el siguiente.
     Hay un funtor $L:\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$, el cual extiende los endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$, donde $\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$ es la categoría cuyos objetos son los funtores oplaxos $F:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ y cuyas flechas son las transformaciones laxas entre estos. Enseguida hago un recuento detallado del asunto.

Observación 1. Toda relación $r:X\rightarrow Y$ se puede factorizar como $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>dr^\circ >> G_r @>cr >> Y, \end{CD}$$ donde $G_r$ es la gráfica de $r$, $dr:=p_X\mid_{G_r}$ y $cr:=p_Y\mid_{G_r}$, con $p_X$ y $p_Y$ las proyecciones del producto $X\times Y$. Lo que hace $(-)^\circ$ es darnos la relación recíproca.

Definición. Decimos que una relación $r:X\rightarrow Y$ es epi, mono, está definida en todas partes o es una función parcial si $cr$ es epi, $cr$ es mono, $dr$ es epi o $dr$ es mono, respectivamente.

Observación 2. El siguiente diagrama de funciones conmuta $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} X @>v>> Y\\ @VuVV @VVgV\\ Z @>>f> A, \end{CD} \end{equation}$$ si y sólo si $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$; en efecto, se tiene que $$u\cdot v^\circ=\{(vx,ux)\in Y\times Z\mid x\in X\}$$ y $$f^\circ\cdot g=\{(y,z)\in Y\times Z\mid gy=fz\}.$$ Nótese que $g^\circ\cdot f$ es la retrotracción (pullback) en $\mathbf{Con}$ de $f$ y $g$.
     Tenemos que (1) es una retrotracción débil si y sólo si $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. En efecto, supóngase que (1) es retrotracción débil; entonces, $\exists\, s:g^\circ\cdot f\rightarrow X$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< p_Z << g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @| @VVsV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y \end{CD}$$ conmuta, donde $p_Z:g^\circ\cdot f\rightarrow Z$ y $p_Y:g^\circ\cdot f\rightarrow Y$ son las proyecciones de la retrotracción $\mathrm{Rt}(f,g)=g^\circ\cdot f$ de $f$ y $g$: $$\require{AMScd} \begin{CD} g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @Vp_ZVV @VVgV\\ Z @>>f> A. \end{CD}$$ Por otro lado, $\exists!\,t:X\rightarrow g^\circ\cdot f$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< u << X @>v>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< p_Z < g^\circ\cdot f @>>p_Y> Y \end{CD}$$ conmuta. Por la propiedad universal de $g^\circ\cdot f$, se tiene que $ts=1$; de donde, $t$ es epi. De aquí, $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$.
     Recíprocamente, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Sea $$\require{AMScd} \begin{CD} B @>s>> Y\\ @VrVV @VVgV\\ Z @>>f> A \end{CD}$$ un diagrama conmutativo en $\mathbf{Con}$ y sea $b\in B$; entonces, como $r\cdot s^\circ\subseteq f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ\;$, $\exists\,x_b\in X\;\;(sb,rb)=(vx_b,ux_b)$. Defínase entonces $t:B\rightarrow X$ como $tb:=x_b$ para todo $b\in B$. Claramente, $t$ hace conmutar el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< r << B @>s>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y. \end{CD}$$ Proposición 1. Para toda relación $r:X\rightarrow Y$
  1. $r$ es epi $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\supseteq \Delta_Y,$
  2. $r$ es mono $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\subseteq \Delta_X,$
  3. $r$ está definida en todas partes $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X,$
  4. $r$ es función parcial $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y,$
  5. $r$ es función $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X\;$ y $\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y$.

Observación 3. $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2: sus homoconjuntos $\mathbf{Rel}(X,Y)$ están parcialmente ordenados, y la composición es compatible con el orden; es decir, si $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'AA{\leq} @AAs'A\\ Y @= Y\\ @ArAA{\leq} @AAsA\\ X @= X \end{CD}$$ entonces $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'\cdot rAA{\leq} @AAs'\cdot sA\\ X @= X \end{CD}$$ (aquí estoy escribiendo verticalmente la composición horizontal de celdas 2). Tal compatibilidad nos dice cómo definir la composición horizontal de celdas 2. Es claro que tal composición es asociativa y funtorial.

Observación 4. Si se tiene el diagrama de funciones $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} A @>u>> Y\\ @VvVV @AAgA\\ X @<< f < Z \end{CD} \end{equation}$$ entonces $g\cdot f^\circ\subseteq u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;\exists\,h:Z\rightarrow A\;\;$ el diagrama (2) conmuta. Simplemente notemos que $$g\cdot f^\circ=\{(fz,gz)\in X\times Y\mid z\in Z\}$$ y que $$u\cdot v^\circ=\{(va,ua)\in X\times Y\mid a\in A\}.$$ Es claro que $g\cdot f^\circ=u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;$ $h$ es epi.

Proposición 2. Dados $X\in\mathbf{Con}$, $T:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ funtor y $\alpha:T\Rightarrow S:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ transformación natural, defínase $LTX:=TX$, $LT:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ como $LTr:=Tg\cdot Tf^\circ$, donde $r=g\cdot f^\circ$ es una factorización en funciones de $r$, y $L\alpha:=\alpha$. Entonces $LT$ es un funtor oplaxo y $L$ es un funtor $\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$.

Demostración.
Notemos que $LT(r^\circ)=(LTr)^\circ$, así que denotemos a cualquiera de estos dos como $LTr^\circ$.
     Demostremos primero que $LT$ está bien definido. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación y $u\cdot v^\circ=r$ otra factorización en funciones de $r$; entonces, $u\cdot v^\circ=cr\cdot dr^\circ$; de la Observación 4 y del hecho de que $T$ preserva epis (pues todo epi en $\mathbf{Con}$ es epi escindido), $Tu\cdot Tv^\circ=Tcr\cdot Tdr^\circ$.
     Ahora, que $LT$ sea oplaxo significa que dados $X\in\mathbf{Con}$ y $r,s$ relaciones, $LT\Delta_X\subseteq\Delta_{LTX}$, $r\subseteq s\Rightarrow LTr\subseteq LTs$ y $LT(s\cdot r)\subseteq LTs\cdot LTr$.
     Sea $X\in\mathbf{Con}$; entonces $\Delta_X=1_X\cdot 1_X^\circ$, así que, por la Observación 4, $$LT\Delta_X=1_{TX}\cdot 1_{TX}^\circ=\Delta_{TX}=\Delta_{LTX}.$$      Sean $r,s:X\rightarrow Y$ relaciones y supóngase que $r\subseteq s$. Entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} X @< ds << G_s @>cs>> Y\\ @| @AAiA @|\\ X @<< dr < G_r @>>cr> Y, \end{CD}$$ donde $i$ es la inclusión. Si aplicamos $T$, obtenemos un diagrama conmutativo igual al anterior, salvo que aparece una $T$ delante de cada cosa; luego, por la Observación 4, $$LTr=Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ=LTs.$$      Sean $r,s$ relaciones tales que $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>r>> Y @>s>> Z; \end{CD}$$ entonces, $s\cdot r=cs\cdot ds^\circ\cdot cr\cdot dr^\circ$. Por la Observación 1, la relación $ds^\circ\cdot cr:G_r\rightarrow G_s$ se puede factorizar en funciones como $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$. De la observación 2, tenemos que el siguiente diagrama es una retrotracción débil: $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>q>> G_r\\ @VpVV @VVcrV\\ G_s @>>ds> Y; \end{CD}$$ así que al aplicar $T$ al diagrama anterior, funtor que quizá no preserva retrotracciones débiles, obtenemos, por lo menos, un diagrama conmutativo; luego, por la Observación 2, $Tp\cdot Tq^\circ\subseteq Tds^\circ\cdot Tcr$. Por otro lado, como $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2, $$Tcs\cdot Tp\cdot Tq^\circ\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ.$$ El lado izquierdo en la inclusión es $LT(s\cdot r)$ y el lado derecho es $LTs\cdot LTr$. (Que $Tcs\cdot Tp=T(cs\cdot p)$ considerando a $Tcs, Tp$ y $T(cs\cdot p)$ como relaciones, se sigue del hecho de que si $h=g\cdot f$ como funciones entonces $h=g\cdot f$ como relaciones).
     Finalmente veamos que $L\alpha$ es una transformación laxa $LT\Rightarrow LS$. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación. Entonces, de la naturalidad de $\alpha$, el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} TG_r @>Tdr>> TX\\ @V\alpha G_rVV @VV\alpha XV\\ SG_r @>>Sdr> SX \end{CD}$$ conmuta. Por la Observación 2, $\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Sdr^\circ\cdot\alpha X$; de aquí, como $\mathbf{Rel}$ es categoría 2, $$Scr\cdot\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X.$$ Como $\alpha Y\cdot Tcr=Scr\cdot\alpha G_r$ (por la naturalidad de $\alpha$), $$\alpha Y\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X;$$ es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} LTX @>L\alpha X>> LSX\\ @V LTr VV{\leq} @VV LSr V\\ LTY @>>L\alpha Y> LSY. \end{CD}$$      La funtorialidad de $L$ se sigue del hecho de que si $\beta:S\Rightarrow R:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ entonces $\beta\cdot\alpha(X)=\beta X\cdot\alpha X$ y de que $\mathbf{Rel}$ es categoría 2.

Observación 5. Sean $u,v,f,g$ funciones como en la Observación 2. Supóngase que el diagrama (1) conmuta y que $f$ es iso. Entonces, (1) es retrotracción débil si y sólo s $v$ es epi. En efecto, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Veamos que $v$ es epi. Sea $y\in Y$; entonces, $gy\in A$; luego, como $f$ es iso, $\exists !\, z\in Z\;\; gy=fz$; de aquí, $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; por lo tanto, como $f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ,\,$ $\exists\,x\in X\;\; vx=y,\,ux=z$. Luego, $v$ es epi.
     Recíprocamente, supóngase que $v$ es epi. Veamos que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Basta mostrar que $f^\circ\cdot g\subseteq u\cdot v^\circ$. Sea $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; luego, $gy=fz$. Por otro lado, como $v$ es sobre, $\exists\,x\in X\;\;y=vx$. Finalmente, veamos que $ux=z$. Ya se tiene que $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$, así que $(vx,ux)\in f^\circ\cdot g$; de donde, $$fux=gvx=gy=fz,$$ pero $f$ es mono; luego, $z=ux$.

Corolario. Sean $T\in\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})$ y $X\overset{r}{\rightarrow}Y\overset{s}{\rightarrow}Z$ realciones. Si $s$ es función o $r$ es bimorfismo (epi y mono), entonces $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.

Demostración.
Si $s$ es función, entonces, por la Proposición 1, $ds$ es iso, y si $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$ como en la proposición anterior, entonces $q$ es epi, por la observación anterior. Como $T$ preserva epis e isos, $Tds$ es iso y $Tq$ es epi. Por otro lado, $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>Tq>> \bullet\\ @VTpVV @VVTcrV\\ \bullet @>>Tds> \bullet \end{CD}$$ conmuta; luego, por la observación anterior, $Tds^\circ\cdot Tcr=Tp\cdot Tq^\circ$, así que $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
     Si $r$ es bimorfismo, $cr$ es iso.

19 de marzo de 2015

Un problema, una pregunta sin respuesta y rarezas de las redes

En el libro Elementary topology de Michael C. Gemignani, aparece un problema que me dejó pensando si hay algo que no estoy entendiendo o si Gemignani tergiversó algún resultado. El problema dice lo siguiente.
Suppose $X, D$ is a metric space and $\{s_i\},i\in I$, is a net in $X$.
  1. Suppose $s_i\rightarrow x$. Prove that a subsequence of $\{s_i\}, i\in I$, converges to $x$.
  2. Prove that if every subsequence of $\{s_i\}$ converges to $x$, then $s_i\rightarrow x$.
  3. Prove a and b when it is merely assumed that $X,\tau$ is a first countable space.
El problema me desconcierta porque, dado un espacio topológico $(X,\sigma)$, siempre podemos encontrar una red1 en $X$ sin subsucesiones; más aún, en $\mathbb{R}$ con su topología usual, podemos encontrar una red $\{r_i\}$ sin subsucesiones no convergente; de donde, podemos encontrar, en un métrico, una red no convergente de la cual toda subsucesión converge a un punto $m\in M$, por vacuidad.
     Demuestro mi primera afirmación. Sea $(Y,\tau)$ el espacio topológico con $Y:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ y $\tau$ la topología cuyos básicos son los $$U(f,F,p):=\{h\in Y\mid \forall\,x\in F\, |hx-fx|< p\},$$ donde $f\in Y$, $F$ es subconjunto finito de $\mathbb{R}$ y $p\in\mathbb{R}^+$. Dado $f\in Y$, $$T(Y,f):=\{V\in\tau\mid f\in V\}$$ es un conjunto dirigido con el orden $\leq$ dado por $U\leq V$ si y sólo si $V\subseteq U$. Tenemos que toda red $s:T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow X$ no tiene subsucesiones. En efecto, supóngase que $s\circ k$ es subsucesión de $s$; es decir, supongamos que $\forall\, U\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\,\exists\,n\in\mathbb{N}\;\; k_n\subseteq U$. Sea $p\in\mathbb{R}^+$; entonces, $\forall\,x\in\mathbb{R}\,\exists\,m_x\in\mathbb{N}\;\;k_{m_x}\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Esto nos da una función $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ dada por $\alpha x:=m_x$. Tenemos que $$\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\alpha^{-1}n;$$ de aquí, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;|\alpha^{-1}r|=|\mathbb{R}|$; es decir, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;k_r\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$ para todo $x\in\alpha^{-1}r=:S$, con $|S|=|\mathbb{R}|$. Luego, $k_r\subseteq\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Por otro lado, como $k_r\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\subseteq\tau\;$ y $\forall\,n\in\mathbb{N}\;\;k_n\neq\{\mathrm{conts}\,0\}$ (porque $\{\mathrm{conts}\,0\}$ no es abierto), dado $f\in k_r\setminus\{\mathrm{const}\,0\}$, $\exists\,F\subseteq\mathbb{R}$ finito y $\exists\,q\in\mathbb{R}^+\;\;U(f,F,q)\subseteq k_r$. Defínase $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$hx:=\begin{cases} fx+\frac{q}{2}&\text{ si $x\in F$},\\ p+1&\text{ si $x\notin F$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(f,F,q)$ pero $h\notin\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)\;$!! Luego, $s$ no tiene subsucesiones.
     Así que toda subsucesión de $s$ satisface cualquier propiedad, puesto que un condicional es falso si y sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente falso; en otras palabras, $\forall\,r\;\;(r\text{ es subsucesión de }s\Rightarrow Pr)$ es siempre verdadera, pues el predicado “subsucesión de $s$” corresponde a un conjunto vacío. Como cuando uno considera un espacio con más de un punto que tiene la topología trivial; dicho espacio es $\mathrm{T}_4$ porque no tiene subconjuntos cerrados no vacíos distintos de él mismo.
     Demuestro mi segunda afirmación. Definamos $s'':L\rightarrow\mathbb{R}$, donde $$L:=\{U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)\mid n\in\mathbb{N}\},$$ como $s''U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1):=(-1)^n\,$ y $s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow L$ como $$s'V:=\begin{cases} U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)&\text{si $V=U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)$},\\ U(\mathrm{const}\,0,\{0\},1)&\text{si $V\notin L$}. \end{cases}$$ Entonces, $s:=s''\circ s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow\mathbb{R}$ no converge y tiene como punto límite a 1 pero no a -1; sin embargo, toda subsucesión de $s$ converge a 1 (o a cualquier otro real).
     Tratando de encontrar un resultado en el cual podría estar pensando Gemignani, hallé lo siguiente (en el Introduction to General Topology de K. D. Joshi): un espacio con una sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen, y que si $X$ es un espacio primero numerable y $\{x_n\}$ es una sucesión en $X$ con punto límite $x$ entonces existe una subsucesión de $\{x_n\}$ que converge a $x$.
     El espacio de la sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen es el siguiente. Consideremos a $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$; dado $k\in\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{N}\times\{k\}$ lo llamaremos el $k$-ésimo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Sea $\infty$ un símbolo que no está en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (por alguna razón poco misteriosa me estoy acordando de lo poco que leí sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con átomos; ZFA le llaman). Sean $Z:=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\cup\{\infty\}$, $S_1:=\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ y $S_2$ el conjunto de los $A\subseteq Z$ tales que $\infty\in A$ y $A$ contiene casi todos los puntos en casi todos los renglones; es decir, $\forall^\infty\,k\in\mathbb{N}\,\forall^\infty\,n\in\mathbb{N}\;\;(n,k)\in A$, (donde ‘$\forall^\infty$’ simboliza “para casi todo” significando “ para todo salvo un número finito”); dicho de otra manera, dado $A\in S_2$, existe un número finito de renglones $\mathbb{N}\times\{k\}$ de los cuales hay un número infinito de puntos de cada renglón $\mathbb{N}\times\{k\}$ que no contiene $A$, y para el resto de los renglones hay a lo más un número finito de puntos de cada uno de estos renglones que no contiene $A$ (no sé cómo podría poner esto con cuantificadores; por cierto, el dual de ‘$\forall^\infty$’ es ‘$\exists^\infty$’ “existe una cantidad infinita tal que”). Sea $\sigma:=S_1\cup S_2$; $\sigma$ es una topología sobre $Z$.
     Veamos que ninguna sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ puede converger a $\infty$. Sea $\{x_n\}$ una sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tal que $x_n\rightarrow\infty$, así que $\forall\,A\in T(Z,\infty)\exists\,n\in\mathbb{N}\,\forall\,m\in\mathbb{N}\;\;(n\leq m\Rightarrow x_m\in A)$. De aquí, no puede ser que haya un renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que contenga una cantidad infinita de términos de $\{x_n\}$, pues si así fuera, podríamos obtener un $A\in T(Z,\infty)$ tal que $x_n\notin A$ para una infinidad de términos de $\{x_n\}$. Así que todo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tiene a lo más un número finito de términos de $\{x_n\}$. Si quitamos de cada renglón esos términos de $\{x_n\}$, obtenemos un abierto $B\in T(Z,\infty)$ que no contiene a ningún término de $\{x_n\}$ !! Así que una sucesión converge a un punto en $(Z,\sigma)$ si y sólo si es eventualmente constante.
     Ahora, sea $z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ una biyección. Entonces, $\infty$ es punto límite de $\{z_n\}$; es decir, $\forall\, A\in T(Z,\infty)\,\forall\,n\in\mathbb{N}\,\exists\,m\in\mathbb{N}\;\;m\geq n\;\text{y}\;x_m\in A$. En efecto, dado $n\in\mathbb{N}$ y dado $A\in T(Z,\infty)$, no puede ser que $\forall\,m\geq n\;\;x_m\notin A$, puesto que $z(\mathbb{N})=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, así que debe existir un $m\geq n$ tal que $x_m\in A$. Ninguna subsucesión de $\{z_n\}$ converge a $\infty$.
     Quizá Gemignani estaba pensando en el segundo resultado que encontré (el cual es fácil de demostrar): ocurre en los métricos, pues son primero numebrales. No lo sé.


1. Una red $\{s_i\}_{i\in I}$ en un espacio $(X,\sigma)$ es una función $s:I\rightarrow X$ cuyo dominio $I$ es un conjunto dirigido.
     Sea $J$ un conjunto dirigido y $k:J\rightarrow I$ una función tal que
  1. $k$ es monótona,
  2. $\forall\,i\in I\,\exists\,j\in J\;\;i\leq k(j)$.
Se dice que la composición $s\circ k:J\rightarrow X$ es una subred de $s$. En particular, si $J=\mathbb{N}$, se dice que $s\circ k$ es una subsucesión de $s$.

15 de marzo de 2015

$\pi$ el oráculo

Ayer fue Día de $\pi$, así que me encontré en la red con comentarios e imágenes aludiendo a $\pi$. Me topé con un texto cuyos decires ya he oído o leído antes:
Pi is an infinite nonrepeating decimal —meaning that every possible number combination exists somewhere in pi. Converted into ASCII text, somewhere in that infinite string of digits is the name of every person you will ever love, the date, time, and manner of your death, and the answers to all the great questions of the universe. Converted into a bitmap, somewhere in that infinite string of digits is a pixel-perfect represantion of the first thing you saw on this earth, the last thing you will see before your life leaves you, and all the moments, momentous and mundane that will occur between those two points. All information that has ever existed or will ever exist, the DNA of every being in the universe...
Me pareció, y me ha parecido, extraño que se le atribuya a $\pi$ la propiedad de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo por el solo hecho de tener una expansión decimal infinita aperiódica. Primero, porque todo número irracional tiene una expansión decimal infinita aperiódica, y segundo, porque, de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo, $\pi$, y cualquier otro irracional, sería un oráculo. Le compartí tal extrañeza a un cuate de la prepa y la secundaria, y este me contestó: “Tienes razón, pero entonces ¿no será que todo número irracional contiene toda esa información? Supongo que a lo más se puede decir ‘no sabemos’ ”.
     Yo creo que ningún irracional contiene toda esa información. (1) En principio, no contienen ninguna información sobre el mundo, el universo: los números por sí solos (ni cualquier otro objeto matemático) no se refieren a nada en el mundo, no tienen referentes fácticos; por otro lado, no hay una función inyectiva canónica de las letras del alfabeto a las cadenas finitas de dígitos de cualquier irracional. (2) A pesar de (1), supongamos que ya establecimos una función inyectiva de las letras a las cadenas finitas de dígitos de un irracional, como la del código ASCII; entonces, nos faltaría determinar si las proposiciones contenidas en $\pi$, o cualquier otro irracional de nuestra elección, son verdaderas o no, y para eso habría que contrastarlas con la realidad; por otro lado, para que una proposición sea información (acerca de la realidad), pienso, tiene que ya estar constrastada y ser verdadera; mientras no esté constrastada o no sea verdadera, no puede ser información: si voy a un puesto de información, no espero que lo que me digan sean enunciados falsos o de los cuales no se sabe si son ciertos o no: la información falsa no es información (es desinformación), como tampoco las proposiciones sin contrastar (si soy un turista al que le dan información sobre un paraje turístico y a mí me toca averiguar, quizá sin saberlo, si lo que me dicen es cierto o no, entonces lo que me dieron no es información).
     Ahora, considerando sólo el aspecto matemático, de la aperiodicidad y la infinitud de la expansión decimal de un irracional no se sigue que toda combinación de números aparezca en su expansión decimal. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los irracionales que no tengan en su expansión decimal al 1 y al 7. Dicho conjunto es no vacío: si pensamos en el conjunto $T$ de las funciones que van del conjunto de los naturales al $\{0,2,3,4,5,6,8,9\}$ , tal conjunto $T$ tiene cardinalidad $\aleph_1$. Al quitarle a $T$ las sucesiones periódicas, seguimos teniendo un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$.
     El texto al que hago referencia, además, me hizo recordar que en Math.Stackexchange alguien preguntó: “Does Pi contain all possible number combination?”.