24 de enero de 2015

La ciencia adolescente

Corría por unas calles que crecían a través de todo el espacio frente a mí. Las personas corrían hacia todos lados, alarmadas, gritando, tropezando; algunas morían en la estampida con la boca sumamente abierta, en un grito ahogado, con una garganta roja, enrojecida por unos vasos sanguíneos congestionadísimos que, en ocasiones, estallaban en borbotones escarlata.
     Entre todo ese caos visual, corporal y humano, logré divisar un adolescente (o una) que permanecía quieto (o quieta), de pie, y asombrosamente intacto. Balbuceaba palabras que yo deseaba adivinar (por qué era intocable); quizá había un secreto científico en sus palabras, un secreto que mantenía el orden, la tensión, la cohesión, el determinismo (en su sentido más amplio).
     Miré sus manos, que prestidigitaban; sin embargo, no eran las manos de un mago; eran las manos de un ilusionista (un escéptico, por supuesto), un ateo.
     Sin darme cuenta, comencé a fijarme, atrancarme en mi cuerpo, perdía caoticidad: ganaba fijeza: calma pero no certidumbre... Calma pero no certidumbre... Calma

20 de enero de 2015

Operador frontera y operador exterior

Una topología se puede determinar mediante un operador interior o un operador cerradura. No sabía que también se puede hacer mediante un operador frontera o un operador exterior; lo que más me sorprende es que pueda hacerse mediante un operador frontera.
     Dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:
  1. $\partial X=\emptyset$;
  2. $\forall\, A\subseteq X\ \partial A=\partial A^c$;
  3. $\forall\,A,B\subseteq X\ \partial(A\cup B)\subseteq \partial A\cup\partial B$;
  4. para toda familia $\{A_i\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $X$, se tiene que $$\partial(\cap A_i)\subseteq\bigcup_{J\subseteq I,J\neq\emptyset}\cap_{j\in J}\partial A_j\bigcap\cap_{i\in I\setminus J}A_i.$$
Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A\cap\partial A=\emptyset$.
     Toda función $\partial:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.
     Ahora, dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:
  1. $\mathrm{Ext} X=\emptyset,\, \mathrm{Ext}\emptyset=X$;
  2. $\forall\, A,B\subseteq X\ A\subseteq B\Rightarrow\mathrm{Ext} B\subseteq\mathrm{Ext}A$;
  3. $\forall\, A,B\subseteq X\ \mathrm{Ext}(A\cup B)=\mathrm{Ext}A\cap\mathrm{Ext}B$;
  4. $\forall\, A\subseteq X\ \mathrm{Ext}A^c\subseteq A$.
Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A=\mathrm{Ext}A^c$.
     Toda función $\mathrm{Ext}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.


Nota. Algunos días después de publicar la entrada, encontré en el Topology de Dugundji que él define un operador frontera de manera distinta a la que se me ocurrió. La de él es más sencilla.
     Sea $X$ un conjunto y sea $\mathrm{Fr}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ una función tal que
  1. $\mathrm{Fr}\emptyset=\emptyset$;
  2. $\mathrm{Fr}A=\mathrm{Fr} A^c$;
  3. $\mathrm{FrFr}A\subseteq\mathrm{Fr}A$;
  4. $A\cap B\cap\mathrm{Fr}(A\cap B)=A\cap B\cap(\mathrm{Fr}A\cup\mathrm{Fr}B)$.
Un subconjunto $A$ de $X$ se dice que es abierto si $A^c=A^c\cup\mathrm{Fr}A^c$

19 de octubre de 2014

Teoría de categorías II

Aquí está el segundo capítulo junto con el primer capítulo corregido (pues tenía algunas partes cuya redacción dejaba que desear o partes que faltaban).
     Aparece ahora un nuevo apéndice sobre congruencias, el cual no está terminado todavía. Por cierto, el apéndice sobre universos de Grothendieck tampoco está terminado. Los apéndices poco a poco quedarán terminados.

3 de octubre de 2014

Evolución

Soñaba que le nacían plumones negros, verdes y rojos sobre el lomo, agrupados en franjas verticales; que le salían plumas largas, blancas y de bordes negros en la cola, patas y brazos, a la vez que estos últimos se alargaban; que planeaba extendiendo ampliamente sus cuatro extremidades, como celebrando y abrazando la vida; que volaba de un árbol a otro bajo una trama de luces y sombras, acechando a su presa. Que volaba mucho centelleando iridiscencias.
     Cuando despertó, el dinosaurio todavía estaba allí.


Nota. Hace un mes, más o menos, me preguntaron si podían traducir al francés “Nunca hubo milagro”, minificción que aparece en la antología Alebrije de palabras, para incluirla en Lecture d'ailleurs, un conjunto de antologías de distintos autores de países hispanohablantes. Dije que sí. También añadieron otras dos minificciones. Los tres microrrelatos aparecen en Lecture du Mexique en la página 341, si no me equivoco.
     También me invitaron a participar en Le livre d'or de Monsieur Dinosaure con una minificción que fuera una variación de “Dinosaurio” de Monterroso. Este fue el resultado.

2 de agosto de 2014

Teoría de categorías I

Hay pocos o ningún texto en español en teoría de categorías, así que pensé en traducir el que más me gusta, Categories for the working mathematician. Quizá haya también otras razones para un libro en español, pero simplemente las obviaré.
     Aquí está el primer capítulo. La traducción tiene algunas adiciones: notas al pie, un apéndice y algunos ejercicios. Iré publicando los avances cada que termine un capítulo, así que el libro completo me llevará un año entero, más o menos, según he estimado.