28 de febrero de 2015

Chauve-souris

     Après de longues études durant des années, j'ai enfin compris les cris des chauve-souris: elles veulent de retour leur humanité. Lorsque tombe la nuit, elles commencent leurs chants aigûment angoissants parlant d'une sorcière et son maléfice pour chauve-sourettre les humains.

23 de febrero de 2015

Las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$.

Hace ya varios meses (por marzo, abril del año pasado) le contaba a Omar sobre el problema de mi tesis: caracterizar las seudoálgebras normales de la 2-mónada $(-)^E$, donde $E$ es la categoría con un solo objeto y solo dos flechas: la identidad y una flecha idempotente $e$. En algún momento de esa plática, que quizá fue de varios días, me preguntó si sabía cuáles eran las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ con $A$ un conjunto. Le respondí que no y que lo iba a pensar. Varios días después él mismo contestó su pregunta.
     Antes de seguir mi relato, quisiera hacer una aparente digresión. Hay un ejemplo clásico (o toda una clase de ejemplos) de 2-mónada. Tenemos que toda categoría $C\in\mathbf{CAT}$ tiene estructura de comonoide con counidad el único funtor $!_C:C\rightarrow\mathbf{1}$ de $C$ a la categoría con un solo objeto y una sola flecha, y con comultiplicación el funtor diagonal $\delta_C:C\rightarrow C\times C$; es decir, los siguientes diagramas conmutan: $$\require{AMScd} \begin{CD} C @= C @= C\\ @V\lambda VV @VV\delta_CV @VV\varrho V\\ \mathbf{1}\times C @<< !_C\times 1 < C\times C @>>1\times !_C> C\times\mathbf{1} \end{CD}$$ y $$\require{AMScd} \begin{CD} C @>\delta_C>> C\times C\\ @V\delta_C VV @VV\delta_C\times 1V\\ C\times C @>>1\times\delta_C> C\times C \end{CD}$$ Del diagrama anterior, tenemos que $$\require{AMScd} \begin{CD} (((-)^C)^C)^C @>(-)^C(-)^{\delta_C}>> ((-)^C)^C\\ @V(-)^{\delta_C}(-)^CVV @VV(-)^{\delta_C}V\\ ((-)^C)^C @>>(-)^{\delta_C}> (-)^C \end{CD}$$ conmuta. Del primer diagrama, $$\require{AMScd} \begin{CD} (-)^C @>(-)^C(-)^{!_C}>> ((-)^C)^C @< (-)^{!_C}(-)^C << (-)^C\\ @V1_{(-)^C}VV @VV(-)^{\delta_C}V @VV1_{(-)^C}V\\ (-)^C @= (-)^C @= (-)^C \end{CD}$$ conmuta. Además, $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ son transformaciones naturales 2. Que $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ sean transformaciones naturales 2 se sigue del hecho de que $\mathbf{CAT}$ es cerrada cartesiana; más precisamente, de que tiene exponenciales; es decir, se tiene un isomorfismo $$\mathbf{CAT}(A\times B,D)\overset{\quad\varphi^{-1}}{\cong} \mathbf{CAT}(A,D^B)$$ natural en $A$ y en $D$. En particular, como los $\varphi^{-1}_D$ son funtores para cada $D\in\mathbf{CAT}$, dada una transformación natural $\gamma:H\Rightarrow H':A\rightarrow D^B$ y un funtor $G:D\rightarrow D'$, $$G\circ\widehat{H}=\widehat{G^B\circ H}\quad\text{y}\quad G\circ \widehat{\gamma}=\widehat{G^B\circ\gamma},$$ donde $\hat{\text{-}}$ indica la transpuesta; es decir, el funtor o la transformación natural transpuesta dada por el isomorfismo natural $\varphi$. Entonces, de la primera igualdad se sigue la naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ y de la segunda, la naturalidad 2 de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$. Por lo tanto, $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$ es una mónada 2.
     Si $C=A$ es una categoría discreta (un conjunto), como las celdas 2 de $\mathbf{Con}$ (la categoría de conjuntos) son triviales, obtenemos la mónada $(-)^A\mid_{\mathbf{Con}}:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$.
     Volviendo a mi relato, esto es lo que se le ocurrió.
Las álgebras para $(-)^A$ en la categoría de conjuntos son todas de la forma $X = Π_{a∈A} X_a$ con la estructura de álgebra $X^A → X$ dada por restricción a la diagonal (si todos los conjuntos $X_a$ son iguales a $Y$, esta $X$ es el álgebra libre generada por $Y$). Para probarlo básicamente hay que saber cómo identificar, dada un álgebra $X$, qué es $X_a$. Esto se hace así: define que dos elementos $p,q∈X$ son $a$-equivalentes si hay alguna función $f:A→X$ tal que $f(a)=p$ y que la estructura de álgebra de $X$ mande a $f$ en $q$. Es fácil ver que esto es una relación de equivalencia, y que si defines $X_a$ como el conjunto de clases de equivalencia, la función canónica $X → Π_{a∈A} X_a$ es un isomorfismo de álgebras.
     Supongo que se le ocurrió de la siguiente manera. Si se tiene una familia de conjuntos $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por el conjunto $A$, entonces $\prod X_a$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra canónica: $$\begin{align} \left(\prod X_a\right)^A&\overset{s}{\rightarrow} \prod X_a\notag\\ g&\mapsto \hat{g}\delta_A\notag. \end{align}$$ En efecto, los diagramas $$\require{AMScd} \begin{CD} \prod X_a @>(\prod X_a)^{!_A}>> \left(\prod X_a\right)^A\\ @V1_{\prod X_a}VV @VV s V\\ \prod X_a @= \prod X_a \end{CD}$$ y $$\require{AMScd} \begin{CD} \left(\left(\prod X_a\right)^A\right)^A @>s^A>> \left(\prod X_a\right)^A\\ @V\left(\prod X_a\right)^{\delta_A}VV @VVsV\\ \left(\prod X_a\right)^A @>>s> \prod X_a \end{CD}$$ conmutan. Más aún, las proyecciones son morfismos de $(-)^A$-álgebras, con $$\begin{align} ev_a:(X_a)^A&\rightarrow X_a\notag\\ f&\mapsto fa\notag \end{align}$$ la estructura de $(-)^A$-álgebra sobre cada $X_a$. Es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} \left(\prod X_a\right)^A @>p_a^A>> (X_a)^A\\ @VsVV @VVev_aV\\ \prod X_a @>>p_a> X_a \end{CD}$$ conmuta, y $$\require{AMScd} \begin{CD} X_a @>(X_a)^{!_A}>> (X_a)^A @. ((X_a)^A)^A @>(ev_a)^A>> (X_a)^A\\ @V1_{X_a}VV @VVev_aV @VV(X_a)^{\delta_A}V @VVev_aV\\ X_a @= X_a @. (X_a)^A @>>ev_a> X_a \end{CD}$$ también conmutan. Así que si $X$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra $\alpha:X^A\rightarrow X$ y $X$ es el producto de los $X_a$ de una familia $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por $A$, si $p_{\sim_a}:X\rightarrow X_a$ es la proyección que determina a $X_a$ entonces $p_{\sim_a}$ debe satisfacer la conmutatividad de $$\require{AMScd} \begin{CD} X^A @>(p_{\sim_a})^A>> (X_a)^A\\ @V\alpha VV @VVev_aV\\ X @>>p_{\sim_a}> X_a; \end{CD}$$ es decir, si $f\in X^A$, $\alpha(f)\sim_a fa$. Así que $X_a$ es el cociente de $X$ entre la relación de equivalencia más pequeña $\sim_a$ que identifica a $\alpha(f)$ y a $fa$.
     Unos tres meses después de esa plática, me dijo: “el otro día vi que alguien preguntaba en Math.StackExchange por las álgebras de la mónada $(-)^A$ en la categoría de conjuntos. El que constestó (dando la caracterización que ya sabíamos)...”, y me dio el enlace.

24 de enero de 2015

La ciencia adolescente

Corría por unas calles que crecían a través de todo el espacio frente a mí. Las personas corrían hacia todos lados, alarmadas, gritando, tropezando; algunas morían en la estampida con la boca sumamente abierta, en un grito ahogado, con una garganta roja, enrojecida por unos vasos sanguíneos congestionadísimos que, en ocasiones, estallaban en borbotones escarlata.
     Entre todo ese caos visual, corporal y humano, logré divisar un adolescente (o una) que permanecía quieto (o quieta), de pie, y asombrosamente intacto. Balbuceaba palabras que yo deseaba adivinar (por qué era intocable); quizá había un secreto científico en sus palabras, un secreto que mantenía el orden, la tensión, la cohesión, el determinismo (en su sentido más amplio).
     Miré sus manos, que prestidigitaban; sin embargo, no eran las manos de un mago; eran las manos de un ilusionista (un escéptico, por supuesto), un ateo.
     Sin darme cuenta, comencé a fijarme, atrancarme en mi cuerpo, perdía caoticidad: ganaba fijeza: calma pero no certidumbre... Calma pero no certidumbre... Calma

20 de enero de 2015

Operador frontera y operador exterior

Una topología se puede determinar mediante un operador interior o un operador cerradura. No sabía que también se puede hacer mediante un operador frontera o un operador exterior; lo que más me sorprende es que pueda hacerse mediante un operador frontera.
     Dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:
  1. $\partial X=\emptyset$;
  2. $\forall\, A\subseteq X\ \partial A=\partial A^c$;
  3. $\forall\,A,B\subseteq X\ \partial(A\cup B)\subseteq \partial A\cup\partial B$;
  4. para toda familia $\{A_i\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $X$, se tiene que $$\partial(\cap A_i)\subseteq\bigcup_{J\subseteq I,J\neq\emptyset}\cap_{j\in J}\partial A_j\bigcap\cap_{i\in I\setminus J}A_i.$$
Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A\cap\partial A=\emptyset$.
     Toda función $\partial:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.
     Ahora, dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:
  1. $\mathrm{Ext} X=\emptyset,\, \mathrm{Ext}\emptyset=X$;
  2. $\forall\, A,B\subseteq X\ A\subseteq B\Rightarrow\mathrm{Ext} B\subseteq\mathrm{Ext}A$;
  3. $\forall\, A,B\subseteq X\ \mathrm{Ext}(A\cup B)=\mathrm{Ext}A\cap\mathrm{Ext}B$;
  4. $\forall\, A\subseteq X\ \mathrm{Ext}A^c\subseteq A$.
Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A=\mathrm{Ext}A^c$.
     Toda función $\mathrm{Ext}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.


Nota. Algunos días después de publicar la entrada, encontré en el Topology de Dugundji que él define un operador frontera de manera distinta a la que se me ocurrió. La de él es más sencilla.
     Sea $X$ un conjunto y sea $\mathrm{Fr}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ una función tal que
  1. $\mathrm{Fr}\emptyset=\emptyset$;
  2. $\mathrm{Fr}A=\mathrm{Fr} A^c$;
  3. $\mathrm{FrFr}A\subseteq\mathrm{Fr}A$;
  4. $A\cap B\cap\mathrm{Fr}(A\cap B)=A\cap B\cap(\mathrm{Fr}A\cup\mathrm{Fr}B)$.
Un subconjunto $A$ de $X$ se dice que es abierto si $A^c=A^c\cup\mathrm{Fr}A^c$

19 de octubre de 2014

Teoría de categorías II

Aquí está el segundo capítulo junto con el primer capítulo corregido (pues tenía algunas partes cuya redacción dejaba que desear o partes que faltaban).
     Aparece ahora un nuevo apéndice sobre congruencias, el cual no está terminado todavía. Por cierto, el apéndice sobre universos de Grothendieck tampoco está terminado. Los apéndices poco a poco quedarán terminados.