30 de marzo de 2015

Extender endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$

Leyendo sobre redes, de manera inesperada llegué a un artículo que me pareció muy interesante, pues en él se demuestran varios resultados con tal atributo. El primero que me gustó es el siguiente.
     Hay un funtor $L:\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$, el cual extiende los endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$, donde $\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$ es la categoría cuyos objetos son los funtores oplaxos $F:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ y cuyas flechas son las transformaciones laxas entre estos. Enseguida hago un recuento detallado del asunto.

Observación 1. Toda relación $r:X\rightarrow Y$ se puede factorizar como $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>dr^\circ >> G_r @>cr >> Y, \end{CD}$$ donde $G_r$ es la gráfica de $r$, $dr:=p_X\mid_{G_r}$ y $cr:=p_Y\mid_{G_r}$, con $p_X$ y $p_Y$ las proyecciones del producto $X\times Y$. Lo que hace $(-)^\circ$ es darnos la relación recíproca.

Definición. Decimos que una relación $r:X\rightarrow Y$ es epi, mono, está definida en todas partes o es una función parcial si $cr$ es epi, $cr$ es mono, $dr$ es epi o $dr$ es mono, respectivamente.

Observación 2. El siguiente diagrama de funciones conmuta $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} X @>v>> Y\\ @VuVV @VVgV\\ Z @>>f> A, \end{CD} \end{equation}$$ si y sólo si $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$; en efecto, se tiene que $$u\cdot v^\circ=\{(vx,ux)\in Y\times Z\mid x\in X\}$$ y $$f^\circ\cdot g=\{(y,z)\in Y\times Z\mid gy=fz\}.$$ Nótese que $g^\circ\cdot f$ es la retrotracción (pullback) en $\mathbf{Con}$ de $f$ y $g$.
     Tenemos que (1) es una retrotracción débil si y sólo si $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. En efecto, supóngase que (1) es retrotracción débil; entonces, $\exists\, s:g^\circ\cdot f\rightarrow X$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< p_Z << g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @| @VVsV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y \end{CD}$$ conmuta, donde $p_Z:g^\circ\cdot f\rightarrow Z$ y $p_Y:g^\circ\cdot f\rightarrow Y$ son las proyecciones de la retrotracción $\mathrm{Rt}(f,g)=g^\circ\cdot f$ de $f$ y $g$: $$\require{AMScd} \begin{CD} g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @Vp_ZVV @VVgV\\ Z @>>f> A. \end{CD}$$ Por otro lado, $\exists!\,t:X\rightarrow g^\circ\cdot f$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< u << X @>v>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< p_Z < g^\circ\cdot f @>>p_Y> Y \end{CD}$$ conmuta. Por la propiedad universal de $g^\circ\cdot f$, se tiene que $ts=1$; de donde, $t$ es epi. De aquí, $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$.
     Recíprocamente, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Sea $$\require{AMScd} \begin{CD} B @>s>> Y\\ @VrVV @VVgV\\ Z @>>f> A \end{CD}$$ un diagrama conmutativo en $\mathbf{Con}$ y sea $b\in B$; entonces, como $r\cdot s^\circ\subseteq f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ\;$, $\exists\,x_b\in X\;\;(sb,rb)=(vx_b,ux_b)$. Defínase entonces $t:B\rightarrow X$ como $tb:=x_b$ para todo $b\in B$. Claramente, $t$ hace conmutar el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< r << B @>s>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y. \end{CD}$$ Proposición 1. Para toda relación $r:X\rightarrow Y$
  1. $r$ es epi $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\supseteq \Delta_Y,$
  2. $r$ es mono $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\subseteq \Delta_X,$
  3. $r$ está definida en todas partes $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X,$
  4. $r$ es función parcial $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y,$
  5. $r$ es función $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X\;$ y $\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y$.

Observación 3. $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2: sus homoconjuntos $\mathbf{Rel}(X,Y)$ están parcialmente ordenados, y la composición es compatible con el orden; es decir, si $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'AA{\leq} @AAs'A\\ Y @= Y\\ @ArAA{\leq} @AAsA\\ X @= X \end{CD}$$ entonces $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'\cdot rAA{\leq} @AAs'\cdot sA\\ X @= X \end{CD}$$ (aquí estoy escribiendo verticalmente la composición horizontal de celdas 2). Tal compatibilidad nos dice cómo definir la composición horizontal de celdas 2. Es claro que tal composición es asociativa y funtorial.

Observación 4. Si se tiene el diagrama de funciones $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} A @>u>> Y\\ @VvVV @AAgA\\ X @<< f < Z \end{CD} \end{equation}$$ entonces $g\cdot f^\circ\subseteq u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;\exists\,h:Z\rightarrow A\;\;$ el diagrama (2) conmuta. Simplemente notemos que $$g\cdot f^\circ=\{(fz,gz)\in X\times Y\mid z\in Z\}$$ y que $$u\cdot v^\circ=\{(va,ua)\in X\times Y\mid a\in A\}.$$ Es claro que $g\cdot f^\circ=u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;$ $h$ es epi.

Proposición 2. Dados $X\in\mathbf{Con}$, $T:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ funtor y $\alpha:T\Rightarrow S:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ transformación natural, defínase $LTX:=TX$, $LT:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ como $LTr:=Tg\cdot Tf^\circ$, donde $r=g\cdot f^\circ$ es una factorización en funciones de $r$, y $L\alpha:=\alpha$. Entonces $LT$ es un funtor oplaxo y $L$ es un funtor $\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$.

Demostración.
Notemos que $LT(r^\circ)=(LTr)^\circ$, así que denotemos a cualquiera de estos dos como $LTr^\circ$.
     Demostremos primero que $LT$ está bien definido. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación y $u\cdot v^\circ=r$ otra factorización en funciones de $r$; entonces, $u\cdot v^\circ=cr\cdot dr^\circ$; de la Observación 4 y del hecho de que $T$ preserva epis (pues todo epi en $\mathbf{Con}$ es epi escindido), $Tu\cdot Tv^\circ=Tcr\cdot Tdr^\circ$.
     Ahora, que $LT$ sea oplaxo significa que dados $X\in\mathbf{Con}$ y $r,s$ relaciones, $LT\Delta_X\subseteq\Delta_{LTX}$, $r\subseteq s\Rightarrow LTr\subseteq LTs$ y $LT(s\cdot r)\subseteq LTs\cdot LTr$.
     Sea $X\in\mathbf{Con}$; entonces $\Delta_X=1_X\cdot 1_X^\circ$, así que, por la Observación 4, $$LT\Delta_X=1_{TX}\cdot 1_{TX}^\circ=\Delta_{TX}=\Delta_{LTX}.$$      Sean $r,s:X\rightarrow Y$ relaciones y supóngase que $r\subseteq s$. Entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} X @< ds << G_s @>cs>> Y\\ @| @AAiA @|\\ X @<< dr < G_r @>>cr> Y, \end{CD}$$ donde $i$ es la inclusión. Si aplicamos $T$, obtenemos un diagrama conmutativo igual al anterior, salvo que aparece una $T$ delante de cada cosa; luego, por la Observación 4, $$LTr=Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ=LTs.$$      Sean $r,s$ relaciones tales que $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>r>> Y @>s>> Z; \end{CD}$$ entonces, $s\cdot r=cs\cdot ds^\circ\cdot cr\cdot dr^\circ$. Por la Observación 1, la relación $ds^\circ\cdot cr:G_r\rightarrow G_s$ se puede factorizar en funciones como $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$. De la observación 2, tenemos que el siguiente diagrama es una retrotracción débil: $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>q>> G_r\\ @VpVV @VVcrV\\ G_s @>>ds> Y; \end{CD}$$ así que al aplicar $T$ al diagrama anterior, funtor que quizá no preserva retrotracciones débiles, obtenemos, por lo menos, un diagrama conmutativo; luego, por la Observación 2, $Tp\cdot Tq^\circ\subseteq Tds^\circ\cdot Tcr$. Por otro lado, como $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2, $$Tcs\cdot Tp\cdot Tq^\circ\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ.$$ El lado izquierdo en la inclusión es $LT(s\cdot r)$ y el lado derecho es $LTs\cdot LTr$. (Que $Tcs\cdot Tp=T(cs\cdot p)$ considerando a $Tcs, Tp$ y $T(cs\cdot p)$ como relaciones, se sigue del hecho de que si $h=g\cdot f$ como funciones entonces $h=g\cdot f$ como relaciones).
     Finalmente veamos que $L\alpha$ es una transformación laxa $LT\Rightarrow LS$. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación. Entonces, de la naturalidad de $\alpha$, el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} TG_r @>Tdr>> TX\\ @V\alpha G_rVV @VV\alpha XV\\ SG_r @>>Sdr> SX \end{CD}$$ conmuta. Por la Observación 2, $\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Sdr^\circ\cdot\alpha X$; de aquí, como $\mathbf{Rel}$ es categoría 2, $$Scr\cdot\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X.$$ Como $\alpha Y\cdot Tcr=Scr\cdot\alpha G_r$ (por la naturalidad de $\alpha$), $$\alpha Y\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X;$$ es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} LTX @>L\alpha X>> LSX\\ @V LTr VV{\leq} @VV LSr V\\ LTY @>>L\alpha Y> LSY. \end{CD}$$      La funtorialidad de $L$ se sigue del hecho de que si $\beta:S\Rightarrow R:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ entonces $\beta\cdot\alpha(X)=\beta X\cdot\alpha X$ y de que $\mathbf{Rel}$ es categoría 2.

Observación 5. Sean $u,v,f,g$ funciones como en la Observación 2. Supóngase que el diagrama (1) conmuta y que $f$ es iso. Entonces, (1) es retrotracción débil si y sólo s $v$ es epi. En efecto, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Veamos que $v$ es epi. Sea $y\in Y$; entonces, $gy\in A$; luego, como $f$ es iso, $\exists !\, z\in Z\;\; gy=fz$; de aquí, $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; por lo tanto, como $f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ,\,$ $\exists\,x\in X\;\; vx=y,\,ux=z$. Luego, $v$ es epi.
     Recíprocamente, supóngase que $v$ es epi. Veamos que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Basta mostrar que $f^\circ\cdot g\subseteq u\cdot v^\circ$. Sea $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; luego, $gy=fz$. Por otro lado, como $v$ es sobre, $\exists\,x\in X\;\;y=vx$. Finalmente, veamos que $ux=z$. Ya se tiene que $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$, así que $(vx,ux)\in f^\circ\cdot g$; de donde, $$fux=gvx=gy=fz,$$ pero $f$ es mono; luego, $z=ux$.

Corolario. Sean $T\in\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})$ y $X\overset{r}{\rightarrow}Y\overset{s}{\rightarrow}Z$ realciones. Si $s$ es función o $r$ es bimorfismo (epi y mono), entonces $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.

Demostración.
Si $s$ es función, entonces, por la Proposición 1, $ds$ es iso, y si $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$ como en la proposición anterior, entonces $q$ es epi, por la observación anterior. Como $T$ preserva epis e isos, $Tds$ es iso y $Tq$ es epi. Por otro lado, $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>Tq>> \bullet\\ @VTpVV @VVTcrV\\ \bullet @>>Tds> \bullet \end{CD}$$ conmuta; luego, por la observación anterior, $Tds^\circ\cdot Tcr=Tp\cdot Tq^\circ$, así que $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
     Si $r$ es bimorfismo, $cr$ es iso.

19 de marzo de 2015

Un problema, una pregunta sin respuesta y rarezas de las redes

En el libro Elementary topology de Michael C. Gemignani, aparece un problema que me dejó pensando si hay algo que no estoy entendiendo o si Gemignani tergiversó algún resultado. El problema dice lo siguiente.
Suppose $X, D$ is a metric space and $\{s_i\},i\in I$, is a net in $X$.
  1. Suppose $s_i\rightarrow x$. Prove that a subsequence of $\{s_i\}, i\in I$, converges to $x$.
  2. Prove that if every subsequence of $\{s_i\}$ converges to $x$, then $s_i\rightarrow x$.
  3. Prove a and b when it is merely assumed that $X,\tau$ is a first countable space.
El problema me desconcierta porque, dado un espacio topológico $(X,\sigma)$, siempre podemos encontrar una red1 en $X$ sin subsucesiones; más aún, en $\mathbb{R}$ con su topología usual, podemos encontrar una red $\{r_i\}$ sin subsucesiones no convergente; de donde, podemos encontrar, en un métrico, una red no convergente de la cual toda subsucesión converge a un punto $m\in M$, por vacuidad.
     Demuestro mi primera afirmación. Sea $(Y,\tau)$ el espacio topológico con $Y:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ y $\tau$ la topología cuyos básicos son los $$U(f,F,p):=\{h\in Y\mid \forall\,x\in F\, |hx-fx|< p\},$$ donde $f\in Y$, $F$ es subconjunto finito de $\mathbb{R}$ y $p\in\mathbb{R}^+$. Dado $f\in Y$, $$T(Y,f):=\{V\in\tau\mid f\in V\}$$ es un conjunto dirigido con el orden $\leq$ dado por $U\leq V$ si y sólo si $V\subseteq U$. Tenemos que toda red $s:T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow X$ no tiene subsucesiones. En efecto, supóngase que $s\circ k$ es subsucesión de $s$; es decir, supongamos que $\forall\, U\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\,\exists\,n\in\mathbb{N}\;\; k_n\subseteq U$. Sea $p\in\mathbb{R}^+$; entonces, $\forall\,x\in\mathbb{R}\,\exists\,m_x\in\mathbb{N}\;\;k_{m_x}\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Esto nos da una función $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ dada por $\alpha x:=m_x$. Tenemos que $$\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\alpha^{-1}n;$$ de aquí, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;|\alpha^{-1}r|=|\mathbb{R}|$; es decir, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;k_r\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$ para todo $x\in\alpha^{-1}r=:S$, con $|S|=|\mathbb{R}|$. Luego, $k_r\subseteq\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Por otro lado, como $k_r\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\subseteq\tau\;$ y $\forall\,n\in\mathbb{N}\;\;k_n\neq\{\mathrm{conts}\,0\}$ (porque $\{\mathrm{conts}\,0\}$ no es abierto), dado $f\in k_r\setminus\{\mathrm{const}\,0\}$, $\exists\,F\subseteq\mathbb{R}$ finito y $\exists\,q\in\mathbb{R}^+\;\;U(f,F,q)\subseteq k_r$. Defínase $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$hx:=\begin{cases} fx+\frac{q}{2}&\text{ si $x\in F$},\\ p+1&\text{ si $x\notin F$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(f,F,q)$ pero $h\notin\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)\;$!! Luego, $s$ no tiene subsucesiones.
     Así que toda subsucesión de $s$ satisface cualquier propiedad, puesto que un condicional es falso si y sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente falso; en otras palabras, $\forall\,r\;\;(r\text{ es subsucesión de }s\Rightarrow Pr)$ es siempre verdadera, pues el predicado “subsucesión de $s$” corresponde a un conjunto vacío. Como cuando uno considera un espacio con más de un punto que tiene la topología trivial; dicho espacio es $\mathrm{T}_4$ porque no tiene subconjuntos cerrados no vacíos distintos de él mismo.
     Demuestro mi segunda afirmación. Definamos $s'':L\rightarrow\mathbb{R}$, donde $$L:=\{U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)\mid n\in\mathbb{N}\},$$ como $s''U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1):=(-1)^n\,$ y $s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow L$ como $$s'V:=\begin{cases} U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)&\text{si $V=U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)$},\\ U(\mathrm{const}\,0,\{0\},1)&\text{si $V\notin L$}. \end{cases}$$ Entonces, $s:=s''\circ s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow\mathbb{R}$ no converge y tiene como punto límite a 1 pero no a -1; sin embargo, toda subsucesión de $s$ converge a 1 (o a cualquier otro real).
     Tratando de encontrar un resultado en el cual podría estar pensando Gemignani, hallé lo siguiente (en el Introduction to General Topology de K. D. Joshi): un espacio con una sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen, y que si $X$ es un espacio primero numerable y $\{x_n\}$ es una sucesión en $X$ con punto límite $x$ entonces existe una subsucesión de $\{x_n\}$ que converge a $x$.
     El espacio de la sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen es el siguiente. Consideremos a $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$; dado $k\in\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{N}\times\{k\}$ lo llamaremos el $k$-ésimo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Sea $\infty$ un símbolo que no está en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (por alguna razón poco misteriosa me estoy acordando de lo poco que leí sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con átomos; ZFA le llaman). Sean $Z:=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\cup\{\infty\}$, $S_1:=\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ y $S_2$ el conjunto de los $A\subseteq Z$ tales que $\infty\in A$ y $A$ contiene casi todos los puntos en casi todos los renglones; es decir, $\forall^\infty\,k\in\mathbb{N}\,\forall^\infty\,n\in\mathbb{N}\;\;(n,k)\in A$, (donde ‘$\forall^\infty$’ simboliza “para casi todo” significando “ para todo salvo un número finito”); dicho de otra manera, dado $A\in S_2$, existe un número finito de renglones $\mathbb{N}\times\{k\}$ de los cuales hay un número infinito de puntos de cada renglón $\mathbb{N}\times\{k\}$ que no contiene $A$, y para el resto de los renglones hay a lo más un número finito de puntos de cada uno de estos renglones que no contiene $A$ (no sé cómo podría poner esto con cuantificadores; por cierto, el dual de ‘$\forall^\infty$’ es ‘$\exists^\infty$’ “existe una cantidad infinita tal que”). Sea $\sigma:=S_1\cup S_2$; $\sigma$ es una topología sobre $Z$.
     Veamos que ninguna sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ puede converger a $\infty$. Sea $\{x_n\}$ una sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tal que $x_n\rightarrow\infty$, así que $\forall\,A\in T(Z,\infty)\exists\,n\in\mathbb{N}\,\forall\,m\in\mathbb{N}\;\;(n\leq m\Rightarrow x_m\in A)$. De aquí, no puede ser que haya un renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que contenga una cantidad infinita de términos de $\{x_n\}$, pues si así fuera, podríamos obtener un $A\in T(Z,\infty)$ tal que $x_n\notin A$ para una infinidad de términos de $\{x_n\}$. Así que todo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tiene a lo más un número finito de términos de $\{x_n\}$. Si quitamos de cada renglón esos términos de $\{x_n\}$, obtenemos un abierto $B\in T(Z,\infty)$ que no contiene a ningún término de $\{x_n\}$ !! Así que una sucesión converge a un punto en $(Z,\sigma)$ si y sólo si es eventualmente constante.
     Ahora, sea $z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ una biyección. Entonces, $\infty$ es punto límite de $\{z_n\}$; es decir, $\forall\, A\in T(Z,\infty)\,\forall\,n\in\mathbb{N}\,\exists\,m\in\mathbb{N}\;\;m\geq n\;\text{y}\;x_m\in A$. En efecto, dado $n\in\mathbb{N}$ y dado $A\in T(Z,\infty)$, no puede ser que $\forall\,m\geq n\;\;x_m\notin A$, puesto que $z(\mathbb{N})=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, así que debe existir un $m\geq n$ tal que $x_m\in A$. Ninguna subsucesión de $\{z_n\}$ converge a $\infty$.
     Quizá Gemignani estaba pensando en el segundo resultado que encontré (el cual es fácil de demostrar): ocurre en los métricos, pues son primero numebrales. No lo sé.


1. Una red $\{s_i\}_{i\in I}$ en un espacio $(X,\sigma)$ es una función $s:I\rightarrow X$ cuyo dominio $I$ es un conjunto dirigido.
     Sea $J$ un conjunto dirigido y $k:J\rightarrow I$ una función tal que
  1. $k$ es monótona,
  2. $\forall\,i\in I\,\exists\,j\in J\;\;i\leq k(j)$.
Se dice que la composición $s\circ k:J\rightarrow X$ es una subred de $s$. En particular, si $J=\mathbb{N}$, se dice que $s\circ k$ es una subsucesión de $s$.

15 de marzo de 2015

$\pi$ el oráculo

Ayer fue Día de $\pi$, así que me encontré en la red con comentarios e imágenes aludiendo a $\pi$. Me topé con un texto cuyos decires ya he oído o leído antes:
Pi is an infinite nonrepeating decimal —meaning that every possible number combination exists somewhere in pi. Converted into ASCII text, somewhere in that infinite string of digits is the name of every person you will ever love, the date, time, and manner of your death, and the answers to all the great questions of the universe. Converted into a bitmap, somewhere in that infinite string of digits is a pixel-perfect represantion of the first thing you saw on this earth, the last thing you will see before your life leaves you, and all the moments, momentous and mundane that will occur between those two points. All information that has ever existed or will ever exist, the DNA of every being in the universe...
Me pareció, y me ha parecido, extraño que se le atribuya a $\pi$ la propiedad de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo por el solo hecho de tener una expansión decimal infinita aperiódica. Primero, porque todo número irracional tiene una expansión decimal infinita aperiódica, y segundo, porque, de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo, $\pi$, y cualquier otro irracional, sería un oráculo. Le compartí tal extrañeza a un cuate de la prepa y la secundaria, y este me contestó: “Tienes razón, pero entonces ¿no será que todo número irracional contiene toda esa información? Supongo que a lo más se puede decir ‘no sabemos’ ”.
     Yo creo que ningún irracional contiene toda esa información. (1) En principio, no contienen ninguna información sobre el mundo, el universo: los números por sí solos (ni cualquier otro objeto matemático) no se refieren a nada en el mundo, no tienen referentes fácticos; por otro lado, no hay una función inyectiva canónica de las letras del alfabeto a las cadenas finitas de dígitos de cualquier irracional. (2) A pesar de (1), supongamos que ya establecimos una función inyectiva de las letras a las cadenas finitas de dígitos de un irracional, como la del código ASCII; entonces, nos faltaría determinar si las proposiciones contenidas en $\pi$, o cualquier otro irracional de nuestra elección, son verdaderas o no, y para eso habría que contrastarlas con la realidad; por otro lado, para que una proposición sea información (acerca de la realidad), pienso, tiene que ya estar constrastada y ser verdadera; mientras no esté constrastada o no sea verdadera, no puede ser información: si voy a un puesto de información, no espero que lo que me digan sean enunciados falsos o de los cuales no se sabe si son ciertos o no: la información falsa no es información (es desinformación), como tampoco las proposiciones sin contrastar (si soy un turista al que le dan información sobre un paraje turístico y a mí me toca averiguar, quizá sin saberlo, si lo que me dicen es cierto o no, lo que me dieron no es información).
     Ahora, considerando sólo el aspecto matemático, de la aperiodicidad y la infinitud de la expansión decimal de un irracional no se sigue que toda combinación de números aparezca en su expansión decimal. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los irracionales que no tengan en su expansión decimal al 1 y al 7. Dicho conjunto es no vacío: si pensamos en el conjunto $T$ de las funciones que van del conjunto de los naturales al $\{0,2,3,4,5,6,8,9\}$ , tal conjunto $T$ tiene cardinalidad $\aleph_1$. Al quitarle a $T$ las sucesiones periódicas, seguimos teniendo un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$.
     El texto al que hago referencia, además, me hizo recordar que en Math.Stackexchange alguien preguntó: “Does Pi contain all possible number combination?”.

28 de febrero de 2015

Chauve-souris

     Après de longues études durant des années, j'ai enfin compris les cris des chauve-souris: elles veulent de retour leur humanité. Lorsque tombe la nuit, elles commencent leurs chants aigûment angoissants parlant d'une sorcière et son maléfice pour chauve-sourettre les humains.

23 de febrero de 2015

Las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$

Hace ya varios meses (por marzo, abril del año pasado) le contaba a Omar sobre el problema de mi tesis: caracterizar las seudoálgebras normales de la 2-mónada $(-)^E$, donde $E$ es la categoría con un solo objeto y solo dos flechas: la identidad y una flecha idempotente $e$. En algún momento de esa plática, que quizá fue de varios días, me preguntó si sabía cuáles eran las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ con $A$ un conjunto. Le respondí que no y que lo iba a pensar. Varios días después él mismo contestó su pregunta.
     Antes de seguir mi relato, quisiera hacer una aparente digresión. Hay un ejemplo clásico (o toda una clase de ejemplos) de 2-mónada. Tenemos que toda categoría $C\in\mathbf{CAT}$ tiene estructura de comonoide con counidad el único funtor $!_C:C\rightarrow\mathbf{1}$ de $C$ a la categoría con un solo objeto y una sola flecha, y con comultiplicación el funtor diagonal $\delta_C:C\rightarrow C\times C$; es decir, los siguientes diagramas conmutan: $$\require{AMScd} \begin{CD} C @= C @= C\\ @V\lambda VV @VV\delta_CV @VV\varrho V\\ \mathbf{1}\times C @<< !_C\times 1 < C\times C @>>1\times !_C> C\times\mathbf{1} \end{CD}$$ y $$\require{AMScd} \begin{CD} C @>\delta_C>> C\times C\\ @V\delta_C VV @VV\delta_C\times 1V\\ C\times C @>>1\times\delta_C> C\times C \end{CD}$$ Del diagrama anterior, tenemos que $$\require{AMScd} \begin{CD} (((-)^C)^C)^C @>(-)^C(-)^{\delta_C}>> ((-)^C)^C\\ @V(-)^{\delta_C}(-)^CVV @VV(-)^{\delta_C}V\\ ((-)^C)^C @>>(-)^{\delta_C}> (-)^C \end{CD}$$ conmuta. Del primer diagrama, $$\require{AMScd} \begin{CD} (-)^C @>(-)^C(-)^{!_C}>> ((-)^C)^C @< (-)^{!_C}(-)^C << (-)^C\\ @V1_{(-)^C}VV @VV(-)^{\delta_C}V @VV1_{(-)^C}V\\ (-)^C @= (-)^C @= (-)^C \end{CD}$$ conmuta. Además, $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ son transformaciones naturales 2. Que $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ sean transformaciones naturales 2 se sigue del hecho de que $\mathbf{CAT}$ es cerrada cartesiana; más precisamente, de que tiene exponenciales; es decir, se tiene un isomorfismo $$\mathbf{CAT}(A\times B,D)\overset{\quad\varphi^{-1}}{\cong} \mathbf{CAT}(A,D^B)$$ natural en $A$ y en $D$. En particular, como los $\varphi^{-1}_D$ son funtores para cada $D\in\mathbf{CAT}$, dada una transformación natural $\gamma:H\Rightarrow H':A\rightarrow D^B$ y un funtor $G:D\rightarrow D'$, $$G\circ\widehat{H}=\widehat{G^B\circ H}\quad\text{y}\quad G\circ \widehat{\gamma}=\widehat{G^B\circ\gamma},$$ donde $\hat{\text{-}}$ indica la transpuesta; es decir, el funtor o la transformación natural transpuesta dada por el isomorfismo natural $\varphi$. Entonces, de la primera igualdad se sigue la naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ y de la segunda, la naturalidad 2 de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$. Por lo tanto, $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$ es una mónada 2.
     Si $C=A$ es una categoría discreta (un conjunto), como las celdas 2 de $\mathbf{Con}$ (la categoría de conjuntos) son triviales, obtenemos la mónada $(-)^A\mid_{\mathbf{Con}}:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$.
     Volviendo a mi relato, esto es lo que se le ocurrió.
Las álgebras para $(-)^A$ en la categoría de conjuntos son todas de la forma $X = Π_{a∈A} X_a$ con la estructura de álgebra $X^A → X$ dada por restricción a la diagonal (si todos los conjuntos $X_a$ son iguales a $Y$, esta $X$ es el álgebra libre generada por $Y$). Para probarlo básicamente hay que saber cómo identificar, dada un álgebra $X$, qué es $X_a$. Esto se hace así: define que dos elementos $p,q∈X$ son $a$-equivalentes si hay alguna función $f:A→X$ tal que $f(a)=p$ y que la estructura de álgebra de $X$ mande a $f$ en $q$. Es fácil ver que esto es una relación de equivalencia, y que si defines $X_a$ como el conjunto de clases de equivalencia, la función canónica $X → Π_{a∈A} X_a$ es un isomorfismo de álgebras.
     Supongo que se le ocurrió de la siguiente manera. Si se tiene una familia de conjuntos $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por el conjunto $A$, entonces $\prod X_a$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra canónica: $$\begin{align} \left(\prod X_a\right)^A&\overset{s}{\rightarrow} \prod X_a\notag\\ g&\mapsto \hat{g}\delta_A\notag. \end{align}$$ En efecto, los diagramas $$\require{AMScd} \begin{CD} \prod X_a @>(\prod X_a)^{!_A}>> \left(\prod X_a\right)^A\\ @V1_{\prod X_a}VV @VV s V\\ \prod X_a @= \prod X_a \end{CD}$$ y $$\require{AMScd} \begin{CD} \left(\left(\prod X_a\right)^A\right)^A @>s^A>> \left(\prod X_a\right)^A\\ @V\left(\prod X_a\right)^{\delta_A}VV @VVsV\\ \left(\prod X_a\right)^A @>>s> \prod X_a \end{CD}$$ conmutan. Más aún, las proyecciones son morfismos de $(-)^A$-álgebras, con $$\begin{align} ev_a:(X_a)^A&\rightarrow X_a\notag\\ f&\mapsto fa\notag \end{align}$$ la estructura de $(-)^A$-álgebra sobre cada $X_a$. Es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} \left(\prod X_a\right)^A @>p_a^A>> (X_a)^A\\ @VsVV @VVev_aV\\ \prod X_a @>>p_a> X_a \end{CD}$$ conmuta, y $$\require{AMScd} \begin{CD} X_a @>(X_a)^{!_A}>> (X_a)^A @. ((X_a)^A)^A @>(ev_a)^A>> (X_a)^A\\ @V1_{X_a}VV @VVev_aV @VV(X_a)^{\delta_A}V @VVev_aV\\ X_a @= X_a @. (X_a)^A @>>ev_a> X_a \end{CD}$$ también conmutan. Así que si $X$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra $\alpha:X^A\rightarrow X$ y $X$ es el producto de los $X_a$ de una familia $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por $A$, si $p_{\sim_a}:X\rightarrow X_a$ es la proyección que determina a $X_a$ entonces $p_{\sim_a}$ debe satisfacer la conmutatividad de $$\require{AMScd} \begin{CD} X^A @>(p_{\sim_a})^A>> (X_a)^A\\ @V\alpha VV @VVev_aV\\ X @>>p_{\sim_a}> X_a; \end{CD}$$ es decir, si $f\in X^A$, $\alpha(f)\sim_a fa$. Así que $X_a$ es el cociente de $X$ entre la relación de equivalencia más pequeña $\sim_a$ que identifica a $\alpha(f)$ y a $fa$.
     Unos tres meses después de esa plática, me dijo: “el otro día vi que alguien preguntaba en Math.StackExchange por las álgebras de la mónada $(-)^A$ en la categoría de conjuntos. El que constestó (dando la caracterización que ya sabíamos)...”, y me dio el enlace.