6 de enero de 2016

A fixing in a fence

— You know, a fence in lattice theory, more precisely an $n$-element fence in lattice theory, is an ordered set $\{x_1,\ldots,x_n\}$ in which $x_1$ is greater than $x_2$, $x_2$ less than $x_3$, $x_3$ greater than the next one, etc., and $x_n$ greater or less than $x_{n-1}$ depending whether $n$ is odd or even, or $x_1$ less than $x_2$, $x_2$ greater than $x_3$, etc., and its Hasse diagram looks like a zigzag.
— I see. So a defense is quite the opposite, and its Hasse diagram looks like a zagzig.
— No offense, but no!
— Exactly! (You're so emphatic, I like that.)

5 de enero de 2016

Don't be irrational

— This is Math.
— Hi, Math. So, what's your phone number?
— RATIONAL... You wouldn't like to dial forever, right?
— But...
— I know, I know, I know,...

17 de diciembre de 2015

Mónadas adjuntas en una 2-categoría

Samuel Eilenberg y John C. Moore, en su artículo Adjoint functors and triples, muestran la correspondencia biyectiva que existe entre las mónadas con adjunto derecho y las comónadas con adjunto izquierdo. Sus resultados se pueden generalizar a una 2-categoría $K$ tal que $K$ y $K^{co}$ admitan la construcción de álgebras. Aquí los detalles de tal generalización.

25 de octubre de 2015

El mundo de $n^m$ espacios

Reempezando a leer la novela El mundo de ocho espacios de Jaime Romero Robledo, me vino a la mente la entrada El problema que me planteó la novela El mundo de ocho espacios (nunca terminé de leer la novela, por cierto), y se me ocurrió generalizar el problema a un 4-cubo (o un hipercubo de dimensión 4): calcular el número de caras interiores en un 4-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales. Sin embargo, el problema se puede generalizar aún más: calcular el número de $k$-caras interiores y exteriores de un $m$-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales.
     Obtuve lo siguiente. Si tenemos un $m$-cubo y dividimos cada arista (cada 1-cara) en $n$ partes iguales, obtenemos $$\binom{m}{k}(n-1)^{m-k}n^k\text{ $k$-caras interiores},$$ donde $k < m$ y $1\leq n$.
     Todavía no tengo muy claro cómo calcular el número de $k$-caras exteriores.

22 de septiembre de 2015

No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos

Mac Lane en su Categories for the working mathematician da dos ejemplos de funtores continuos con dominio pequeño-completo que no satisfacen la condición conjunto solución del Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Tal teorema dice lo siquiente.
Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Si $A$ es una categoría pequeño-completa con homoconjuntos pequeños, entonces un funtor $G:A\rightarrow X$ tiene adjunto izquierdo si y sólo si preserva todo límite pequeño y satisface lo siguiente.
     Condición conjunto solución. Para todo objeto $x\in X$, existe un conjunto pequeño $I$ y una familia de flechas $f_i:x\rightarrow Ga_i$ indexada por $I$ tal que toda flecha $h:x\rightarrow Ga$ se puede escribir como la composición $h=Gt\circ f_i$ para algún índice $i$ y alguna $t:a_i\rightarrow a$.
El ejemplo que me sorprendió e intrigó fue el segundo. Este empieza diciendo: “Dado un conjunto numerable $D$, uno puede construir un álgebra booleana completa arbitrariamente grande generada por $D$”. Tal afirmación la demostraron primero Gaifman y Hales de manera independiente utilizando argumentos de la lógica infinitaria y luego la demostró Solovay haciendo uso del álgebra abierta regular. La demostración de Solovay es mucho más simple. Hago un recuento detallado de esta demostración.

Sea $\kappa$ un cardinal infinito y dótese a $\kappa$ de la topología discreta. Considérese ahora a $\kappa^\omega$ con la topología producto. Sea $X:=\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$, el álgebra abierta regular del espacio $\kappa^\omega$. Notemos que todo cerrabierto es regular; de donde, los $$A_{n,\eta}:=\{f\in \kappa^\omega\mid fn=\eta\},$$ con $\eta<\kappa$, son elementos de $X$: el conjunto $\{\eta\}$ es cerrabierto de $\kappa$; más aún, los $A_{n,\eta}$ son subbásicos de $\kappa^\omega$. Tenemos que la familia $\{A_{n,\eta}\mid n<\omega,\eta<\kappa\}$ genera a $X$; en efecto, sea $V\in X$; entonces, $V$ es unión de intersecciones finitas de $A_{n,\eta}$ s, digamos, $V=\bigcup V_i$; de donde, como $V$ es abierto regular y $\bigvee V_i=\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)$ es el abierto regular más pequeño que contiene a $\bigcup V_i$, tenemos que $V=\bigvee V_i$.
     Ahora, la cardinalidad de $X$ es al menos $\kappa$, pues si $\eta<\eta'<\kappa$, entonces $A_{0,\eta}$ y $A_{0,\eta'}$ son distintos.
     Antes de seguir, notemos que si $B\subseteq\kappa^\omega$ y $B$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $B$ es cerrabierto. En efecto, que $B$ dependa de un número finito de coordenadas significa que $\exists\,n_1,\ldots,n_m\in\mathbb{N}$ $$B=\{f\in\kappa^\omega\mid R(fn_1,\ldots,fn_m)\},$$ donde $R\subseteq\kappa^m$ y $m\in\mathbb{N}$. Tenemos que $R$ es cerrabierto de $\kappa^m$ y $B=p^{-1}R$ con $p:\kappa^\omega\rightarrow\kappa^m$ definida como $pf:=(fn_1,\ldots,fn_m)$; $p$ es continua.
     Prosigamos. Dados $n,m<\omega$, defínase $$B_{n,m}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fm\leq fn\}.$$ Entonces, por la observación anterior, $B_{n,m}$ es cerrabierto luego abierto regular. Afirmamos que los $B_{n,m}$ generan a $X$. En efecto, sea $Y$ la subálgebra completa más pequeña de $X$ que contiene a $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$. Bastará demostrar que $A_{n,\eta}\in Y$ para todo $n<\omega$ y para todo $\eta<\kappa$; hagámoslo por inducción sobre $\eta$; supongamos entonces que para $m<\omega$ y $\xi<\eta$ se tiene que $A_{m,\xi}\in Y$. Ahora, sean $$D_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn<\eta\}\quad\text{y}\quad E_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq\eta\}$$ para $n<\omega$ y $\eta<\kappa$. Lo que queremos hacer es ver que $D_{n,\eta},E_{n,\eta}\in Y$, ya que $$A_{n,\eta}=D_{n,\eta}\cap E_{n,\eta}=D_{n,\eta}\wedge E_{n,\eta}.$$ Como $D_{n,\eta}$ y $E_{n,\eta}$ dependen sólo de una coordeanada, son cerrabiertos; luego, son elementos de $X$. Por inducción, estamos suponiendo que $A_{n,\xi}\in Y$, así que como $D_{n,\eta}$ es abierto regular y $$D_{n,\eta}=\bigcup_{\xi<\eta} A_{n,\xi},$$ entonces $D_{n,\eta}=\bigvee_{\xi<\eta} A_{n,\xi}\in Y$.
     Por otro lado, dados $n,m<\omega$, $$C_{m,n}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq fm\text{ o }fm<\eta\}$$ es cerrabierto, ya que su definición depende sólo de $m$ y $n$; luego, $C_{m,n}\in X$. Notemos que $$C_{m,n}=B_{m,n}\cup\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}.$$ Nuevamente, como $C_{m,n}\in X$, se tiene que $C_{m,n}=B_{m,n}\vee\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}$. De donde, $C_{m,n}\in Y$. Demostremos que $E_{n,\eta}=\bigwedge_{m<\omega} C_{m,n}$; es decir, que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$.
     Ahora, dados $n<\omega$ y $f\in\kappa^\omega$, los $$U(n,f):=\{h\in\kappa^\omega\mid\forall\,m\leq n\; hm=fm\}$$ forman una base para $\kappa^\omega$ (es claro que $U(n,f)\in\tau(\kappa^\omega)$). En efecto, sea $\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$ un básico de $\kappa^\omega$ y sea $f\in\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$. Sin pérdida de generalidad, supóngase que $i_1<\cdots < i_m$. Entonces, $U(i_m,f)\subseteq\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$.
     Demostremos que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$. Sea $g\in E_{n,\eta}$; es decir, $gn\leq\eta$. Entonces, $U(n,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$, pues si $h\in U(n,g)$, entonces dado $m<\omega$, si $hn\leq hm$ entonces $h\in C_{m,n}$ y si $hm< hn=gn$ entonces $hm<\eta$ y $h\in C_{m,n}$; luego, $h\in\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$.
     Recíprocamente, sea $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$ y supóngase que $gn>\eta$. Como $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$, existe $N\in\omega$ tal que $U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$. Como $U(k,g)\subseteq U(N,g)$ para todo $k\geq N$, podemos suponer que $N\geq n$. Ahora defínase $h:\omega\rightarrow\kappa$ como $$hm:=\begin{cases} gm &\text{si $m\leq N$,}\\ \eta &\text{si $m > N$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$; de donde, $h\in C_{N+1}$; es decir, $hn< h(N+1)$ o $h(N+1)<\eta$. Sin embargo, $h(N+1)=\eta< gn=hn$ y $h(N+1)\geq\eta$ !! Luego, $g\in E_{n,\eta}$. Así que $E_{n,\eta}\in Y$.
     Por lo tanto, $X$, que tiene cardinalidad por lo menos $\kappa$, es generado por $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$, que es numerable.
     Así que tenemos el siguiente teorema.
Teorema (Solovay). Sea $\kappa$ un cardinal infinito. Si $\kappa$ tiene la topología discreta y $\kappa^\omega$ la topología producto, entonces $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es un álgebra boolena completa numerablemente generada con cardinalidad por lo menos $\kappa$.
Y tenemos el siguiente corolario.
Corolario. No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos.
Demostración. Sean $X$ un conjunto infinito, $FX$ el álgebra completa libre generada por $X$ y $\eta_X:X\rightarrow FX$ la función con la propiedad universal de álgebra libre. Sea $\kappa$ un cardinal mayor que $|FX|$. Entonces, por el teorema anterior, $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ tiene un conjunto numerable $Y$ de generadores. Sea $f:X\rightarrow Y$ una función suprayectiva. Entonces, si $g:FX\rightarrow\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es homomorfismo de álgebras booleanas completas y $g\circ\eta_X=f$, entonces $gFX$ es una subálgebra completa de $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ que incluye a $Y$; de donde, $g$ sería suprayectiva y $\kappa\leq|\mathbf{AR}(\kappa^\omega)|\leq|FX|<\kappa$ !!