16 de marzo de 2014

Conjuntos bien ordenados y conjuntos bien fundados.

No me había dado cuenta de (o no sabía) que estos conceptos pudieran estar relacionados...
     Una relación $R$ sobre un conjunto $X$ se dice que está bien fundada si todo subconjunto no vacío $Y$ de $X$ tiene un elemento $R$-minimal; es decir, si $$\forall Y\subseteq X[Y\neq\emptyset\Rightarrow\exists m\in Y\neg\exists y\in Y (yRm)].$$      Se tiene que para todo conjunto totalmente ordenado finito $(X,\leq)$, la relación $<$ está bien fundada. Asimismo, la relación $<$ sobre $\mathbb{N}$; a esto se le conoce como el principio del buen orden para los números naturales. En general, un conjunto totalmente ordenado $(X,\leq)$ está bien ordenado si y sólo si su relación $<$ está bien fundada. Notemos que en todo conjunto bien ordenado no hay sucesiones estrictamente decrecientes.
     Ahora, por otro lado, siguiendo con la noción de relación bien fundada, se tiene que la relación $\in$ está bien fundada sobre todo conjunto no vacío $X$, y esto se sigue del axioma de fundación o regularidad, el cual dice lo siguiente.

Axioma de fundación o regularidad. $$\forall x[\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y[y\in x\wedge\neg\exists z(z\in x\wedge z\in y)]].$$ En otras palabras, todo conjunto no vacío $x$ tiene un elemento $y$ con el cual no comparte elementos; es decir, $y$ es un elemento $\in$-minimal.
     Este axioma tiene las siguientes dos consecuencias:

T1. Para todo conjunto $x$ se tiene que $x\notin x$.
     En efecto, supóngase que existe un conjunto $t$ tal que $t\in t$. Sea $x:=\{t\}$. Se tiene que $t\in x$, y es su único elemento. Por otro lado, $t$ tiene un elemento que comparte con $x$; a saber, $t$ !! (contradicción).

T2. No existe ninguna sucesión $\in$-decreciente infinita de conjuntos. Es decir, no existe ninguna sucesión $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de conjuntos tal que $x_{n+1}\in x_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     En efecto, supóngase que tal sucesión existe. Sea entonces $X:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ (y $X$ es conjunto por el esquema axiomático de reemplazo). Dado cualquier $x_n\in X$, se tiene que $x_{n+1}\in X$ y $x_{n+1}\in x_n$!!
     ...Ahora me acabo de acodar del axioma de antifundación...

11 de febrero de 2014

Retrotracciones y protracciones


Me quedé pensando en una posible traducción para los términos pullback y pushout usados en la Teoría de Categorías. Después de pasar por tirón y empujón, me quedaría con tracción para pullback y, con menos certeza, con expulsión o despido o expelición para pushout.
     Por otro lado, siguiendo la sugerencia de El voto batracio y del dibujo que aparece en la página 189 del libro Abstract and concrete categories: the joy of cats, me quedo con retrotracción para pullback y con protracción para pushout.

30 de enero de 2014

Categorías cerradas cartesianas y su categoría de flechas


Encontré una afirmación muy bonita no muy difícil de demostrar sobre categorías cerradas cartesianas y su categoría de flechas. Si $-\times b:A\rightarrow A$, su adjunto derecho está denotado como $[b,-]$.

$A^{\mathbf{2}}$ es cerrada cartesiana si y sólo si $A$ es cerrada cartesiana y para todo par $f:a\rightarrow b$, $g:c\rightarrow d$, el copalmo de flechas $[f,d]:[b,d]\rightarrow[a,d]\leftarrow [a,c]:[a,g]$ tiene producto fibrado $P(f,g)$. El homo interno de $f$ y $g$ en $A^{\mathbf{2}}$ es la flecha $p:P(f,g)\rightarrow [b,d]$ del producto fibrado.

Estoy traduciendo span como palmo. Preferí esta palabra sobre yunta, arcada o puente.

23 de enero de 2014

“...'Cause it's the truth...”


Detenidamente miraba a su alrededor: las escaleras eléctricas, los aparadores, las luces. Sus ojos se detuvieron en un pequeño frasco, el cual tomó. Con un rostro ensimismado y encendido, levantó el brazo al frente y dijo “'Cause it's the truth”, presionando el botón durante medio segundo; entonces, corriendo como una caricatura altiva, atravesó el fragante rocío de Chanel N°5. Al detenerse, susurró: “...And yet, I don't wanna say ‘nude’... but... it's the truth...”.

10 de noviembre de 2013

Deux lettres de drame et chaos

Un nô ai-je ès os;
où un aï va çà et là,
où un ré tu et mû es-tu,
né du dé si mû.
Té ! Un aï en do, en ré, en mi.
Tu et mû le nô,
ce ru en ra tu as bu.
Aï, le pi ai-je ès us.