Concepto de número

1. Funciones

El concepto de función se puede definir de varias maneras. En la Teoría de conjuntos se define de dos maneras, una presenta problemas y la otra no. En la Teoría de categorías es un término primitivo. Intentaré dar una definición informal y después la formal.
     Una función que va de un conjunto $A$ (llamado su dominio) a un conjunto $B$ (llamado su codominio) es una regla que asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
La definición formal es la siguiente.

Definición Dados dos conjuntos $A$ y $B$ con $B\neq\emptyset$, una función $f$ de $A$ a $B$, denotada $f:A\rightarrow B$, es una tripleta $(A,\bar{f},B)$ donde $\bar{f}$ es un subconjunto de $A\times B$ (el producto cartesiano de $A$ y $B$) tal que si $(a,b_1)$ y $(a,b_2)$ son elementos de $\bar{f}$ entonces $b_1=b_2$ y tal que para todo $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $(a,b)\in\bar{f}$. A $A$ se le llama dominio de $f$ y a $B$ codominio de $f$.

     Lo que significa la condición después del `tal' es que la regla que determina a $f$ asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
     Por ejemplo, consideremos dos diagramas de Venn, llamémosle a uno $S$ y a otro $T$. Ahora dibujemos dentro del diagrama $S$ tres puntitos y dentro de $T$ cinco puntitos. Ahora vamos a hacer una correspondencia entre los puntitos de $S$ y los de $T$. Digamos que el diagrama de $S$ lo dibujamos a la izquierda y $T$ a la derecha.
     Hagamos una flecha para cada puntito en $S$ que vaya a un solo elemento de $T$. Esta correspondencia es una función. Llamémosle $f_1$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Digamos que los puntitos de $S$ se llaman $s_1,s_2,s_3$ y los de $T$ se llaman $t_1,...,t_5$. Entonces, hagamos una flecha de $s_1$ a $t_1$, otra de $s_2$ a $t_5$, otra de $s_3$ a $t_3$ y otra de $s_1$ a $t_2$. Entonces, esta regla de correspondencia que va de $S$ a $T$ no es una función porque a $s_1$ le estamos asignando dos elementos distintos de $T$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Hagamos una flecha de $s_2$ a $t_1$ y una de $s_3$ a $t_2$. Esta regla de correspondencia tampoco es una función, porque no asigna a cada elemento de $S$ un elemento de $T$: a $s_1$ no se le ha asignado ningún elemento de $T$.
     Ahora definamos lo que es una función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $C\subseteq A$, la imagen de $C$ bajo $f$ es el conjunto $$f(C):=\{f(c)\mid c\in C\}.$$ A la imagen de $A$ bajo $f$ también se la llama la imagen de $f$.



Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $b\in B$ existe un $a\in A$ tal que $f(a)=b$.

     Lo que esto significa es que si $f$ es una función suprayectiva, entonces $B$ queda completamente cubierto por la imagen de $f$. En otras palabras, si $f:A\rightarrow B$ es suprayectiva entonces $f(A)=B$.
     Veamos algunos ejemplos.
     Consideremos a nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio.
     Notemos que es imposible definir una función suprayectiva de $S$ a $T$: siempre nos van a sobrar elementos de $T$. Sin embargo, sí podemos definir una función suprayectiva de $T$ a $S$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $D$ de $B$, definimos la imagen inversa de $D$ bajo $f$ como $$f^{-1}(D)=\{a\in A\mid \exists d\in D\ f(a)=d\}.$$


Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $f(a_1)=f(a_2)$ entonces $a_1=a_2$. O dicho de otro modo (con la contrapositiva), si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $a_1\neq a_2$ entonces $f(a_1)\neq f(a_2)$.

     Lo que esto significa es que si queremos definir una función inyectiva de $A$ a $B$, no podemos asignarle a dos elementos de $A$ un mismo elemento de $B$. O dicho de otra manera, que $f^{-1}(\{b\})$ o es vacío o tiene un solo elemento: que $f^{-1}(\{b\})$ tiene a lo más un elemento. O que $f$ asigna a elementos distintos de $A$ elementos distintos de $B$.
     Consideremos otra vez nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio. Notemos que es imposible definir una función inyectiva de $T$ a $S$, pero sí podemos definir una (de hecho, varias) de $S$ a $T$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva.

     Antes de seguir, quisiera explicar por qué es importante considerar una función $f:A\rightarrow B$ como una tripleta $(A,\bar{f},B)$ y no sólo como su gráfica $\bar{f}$.

Definición. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$ tales que $B=C$, se define la composición $g\circ f:A\rightarrow D$ de $g$ con $f$ como sigue: $$\forall x\in A\ g\circ f(x)=g(f(x)).$$
     Notemos que no se puede definir la composición de funciones, a menos que $\mathit{cod}(f)=\mathit{dom}(g)$.
     Entonces, por ejemplo, la función identidad $id_{\mathbb{Z}}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tiene la misma gráfica que la función inclusión $j:\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$, que incluye los enteros en los racionales; sin embargo, no son la misma función. Debido a la composición, es importante considerar a las funciones con sus dominios y codominios, no sólo con sus gráficas. Esa es la definición de función en la Teoría de Conjuntos que presenta problemas, la considera a una función sólo como su gráfica. Por otro lado, la identidad y la inclusión son conceptualmente diferentes.
     Sigamos. Ahora consideremos otra vez a nuestros conjuntos $S$ y $T$. Definamos la siguiente función suprayectiva $g$ de $T$ sobre $S$: $t_1$ va a $s_1$, $t_2$ a $s_2$, $t_3$ a $s_3$, $t_4$ a $s_2$ y $t_5$ a $s_2$. Recomiendo hacer el dibujo de los diagramas de Venn.
     Ahora consideremos las siguientes imágenes inversas: \begin{align} g^{-1}(\{s_1\})&=\{t_1\}\notag\\ g^{-1}(\{s_2\})&=\{t_2,t_4,t_5\}\notag\\ g^{-1}(\{s_3\})&=\{t_3\}\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $h:S\rightarrow T$ tal que $g\circ h_1=id_S$, la identidad de $S$. A saber, $h_1(s_1)=t_1$, $h_1(s_2)=t_4$ y $h_1(s_3)=t_3$. De hecho, tenemos otras dos funciones de $S$ a $T$ que hacen eso. Sólo habría que enviar el $s_2$ al $t_2$ o al $t_5$.
     De hecho, esto es cierto para toda función suprayectiva; es decir, toda función suprayectiva $f:A\rightarrow B$ tiene una inversa derecha. Si $B$ es infinito, que $f$ tenga inversa derecha es equivalente al axioma de elección. Y recíprocamente, toda función con inversa derecha es suprayectiva.
     Ahora consideremos la función $h:S\rightarrow T$ definida como sigue: $h(s_1)=t_1$, $h(s_2)=t_2$ y $h(s_3)=t_3$. Tenemos que $h$ es inyectiva. Consideremos las imágenes inversas: \begin{align} h^{-1}(\{t_1\})&=\{s_1\}\notag\\ h^{-1}(\{t_2\})&=\{s_2\}\notag\\ h^{-1}(\{t_3\})&=\{s_3\}\notag\\ h^{-1}(\{t_4\})&=\emptyset\notag\\ h^{-1}(\{t_5\})&=\emptyset\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $k:T\rightarrow S$ tal que $k\circ h=id_S$, si definimos $k$ como sigue: $k(t_1)=s_1$, $k(t_2)=s_2$, $k(t_3)=s_3$, $k(t_4)=s_1$ y $k(t_5)=s_1$. (Nótese que hay más funciones que son inversa izquierda de $h$).
     De hecho, es cierto que para toda función inyectiva $f:A\rightarrow B$ existe una inversa izquierda $g:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=id_A$. Y recíprocamente toda función con inversa derecha es inyectiva.
     Ahora, supóngase que tenemos una función biyectiva $f:A\rightarrow B$. Como $f$ es biyectiva, es suprayectiva y entonces existe $g:B\rightarrow A$ tal que $f\circ g=id_B$, y como es $f$ es inyectiva, existe una $h:B\rightarrow A$ tal que $h\circ f=id_A$. Tenemos que $$h=h\circ id_B=h\circ (f\circ g)=(h\circ f)\circ g=id_A\circ g=g.$$ Entonces, $f$ tiene una sola inversa, tanto izquierda como derecha. Además, $g$, la sola inversa, es inyectiva y suprayectiva, pues su inversa izquierda y derecha es $f$. Dijimos que toda función con una inversa izquierda es inyectiva y que toda con inversa derecha es suprayectiva.

2. Primeros números

Imaginemos que estamos en los comienzos de la domesticación y que nuestro idioma sólo cuenta con los cardinales uno, dos y tres, y ningún otro. Ahora imaginemos que somos pastores de ovejas y que tenemos muchas muchas ovejas, y que un día, hartos de perder muchas ovejas, decidimos inventar una manera de tener el número exacto de ovejas que tenemos para no perderlas. Se nos han ocurrido dos maneras de hacerlo. Una es hacer nudos en una cuerda y ponerlos en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Otra es tener una caja con piedras y ponerlas en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Es decir, a pesar de que nuestro idioma no cuente con un nombre para números mayores que tres, vamos a saber exactamente cuántas ovejas tenemos. Esa correspondencia biyectiva (o biyección) encierra el concepto de número: si tenemos dos conjuntos finitos $A$ y $B$ y definimos entre ellos una función biyectiva, entonces esto significará que tienen el mismo número de elementos. Si tal cosa no es posible, entonces sus números de elementos son distintos, o uno mayor que otro. Sin embargo, si es posible definir una función suprayectiva de $A$ sobre $B$ entonces sabremos que el número de elementos de $A$ es mayor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una función inyectiva de $A$ a $B$ entonces el número de elementos de $A$ es menor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una biyección de $A$ sobre $B$ entonces el número de elementos de $A$ y $B$ es el mismo. Estas pequeñas observaciones para conjuntos finitos se pueden extender para conjuntos infinitos. Es decir, este mismo método de contar, mediante biyecciones entre conjuntos, se puede extender a cualquier conjunto, sea finito o infinito. Es decir, con la ayuda de las biyecciones podemos definir la noción de número de cualquier tamaño.
     Ahora, veamos que el número de elementos del conjunto de números pares es el mismo que el de los números naturales. Denotemos por $\mathbb{PAR}$ el conjunto de números pares; es decir, $$\mathbb{PAR}=\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}.$$ Definamos $g:\mathbb{PAR}\rightarrow\mathbb{N}$ como sigue: \begin{align} g:\mathbb{PAR}&\rightarrow\mathbb{N}\notag\\ k&\mapsto \frac{k}{2}\notag. \end{align}      Esta función $g$ es suprayectiva e inyectiva. Veamos que es suprayectiva, es decir, que $g(\mathbb{PAR})=\mathbb{N}$. Sea $n\in\mathbb{N}$; entonces $2n\in\mathbb{PAR}$ y $g(2n)=n$. Por lo tanto, para todo $n\in\mathbb{N}$ exite $k\in\mathbb{PAR}$ tal que $g(k)=n$; a saber, $k=2n$. Veamos que $g$ es inyectiva. Sean $k,p\in\mathbb{PAR}$ tales que $g(k)=g(p)$. Entonces, por definición de $g$, tenemos que $$\frac{k}{2}=\frac{p}{2}.$$ De aquí, $k=p$; por lo tanto, $g$ es inyectiva, y por lo tanto biyectiva, así que el número de elementos de $\mathbb{PAR}$ es igual que el de $\mathbb{N}$.
     Notemos que la función inversa de $g$ es \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathbb{PAR}\notag\\ n&\mapsto 2n\notag. \end{align} Y $f$ también es biyectiva.
     Ahora consideremos la $f$ anterior y la inclusión $j:\mathbb{PAR}\hookrightarrow\mathbb{N}$. La composición $j\circ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ no es una biyección, pues en esta composición nos sobran los impares en el lado derecho; es decir, esta función no aparea biunívocamente elementos de uno y otro conjunto; dicho de otro modo, esta función no es un conteo.

3. Números transfinitos

Un resultado conocido dentro de las matemáticas (el Teorema de Cantor) es que dado un conjunto $A$ (sea finito o infinito), no es posible encontrar o definir una función suprayectiva $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ (de $A$ sobre su conjunto potencia $\mathcal{P}(A)$). Sin embargo, sí se puede definir una función inyectiva $g$ de $A$ en $\mathcal{P}(A)$; a saber \begin{align} g:A&\rightarrow\mathcal{P}(A)\notag\\ a&\mapsto\{a\}\notag. \end{align} Así que esto nos dice que siempre, sea $A$ finito o infinito, el número de elementos de $\mathcal{P}(A)$ es estrictamente mayor que el de $A$. En particular, esto es cierto para $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mathbb{N}$.
     Ahora, por otro lado, se tiene que dado un conjunto $A$ y $B\subseteq A$, podemos definir la siguiente función $\chi_B:A\rightarrow 2$ (llamada la función característica de $B$), donde $2=\{0,1\}$, como $$\chi_B(a)=\begin{cases} 1 &\text{si $a\in B$}\\ 0 &\text{si $a\notin B$}. \end{cases}$$      Entonces, veamos que existe una biyección entre $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ (el conjunto de todas las funciones que van de $A$ a 2).
     Definamos esa función $h:\mathcal{P}(A)\rightarrow 2^A$ como \begin{align} h:\mathcal{P}(A)&\rightarrow 2^A\notag\\ B&\mapsto\chi_B\notag. \end{align} Veamos que $h$ es suprayectiva. Sea $f:A\rightarrow 2$ una función cualquiera de $A$ a $2$. Definamos entonces $$C:=f^{-1}(\{1\}).$$      Entonces, $C\subseteq A$ y se tiene que $\chi_C=f$; por lo tanto, $h(C)=f$, así que $h$ es suprayectiva.
     Es fácil ver que si $B,C\subseteq A$ y $\chi_B=\chi_C$ entonces $B=C$, y por lo tanto $h$ es inyectiva. Así que $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ tienen el mismo número de elementos.
     Entonces, volviendo a $\mathbb{N}$, tenemos que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$ tienen el mismo número de elementos, y sabemos que el número de elementos de $2^{\mathbb{N}}$ es $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, que es el número de elementos de $\mathbb{R}$, así que $\aleph_0=|\mathbb{N}|<|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=\aleph_1$ (las barras denotan “número de elementos”). Entonces, de manera indirecta se ha demostrado que hay más números reales que naturales, sin usar el argumento de las expansiones decimales.
     Así que podemos encontrar números infinitos cada vez más grandes: si $A$ es infinito, $$|A|<|\mathcal{P}(A)|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A)))|<\ldots$$

4. Teorema de Cantor y el argumento por la diagonal¹

Lo que se demuestra en el Teorema de Cantor es que dado un conjunto $A$, no se puede definir una función suprayectiva de $A$ sobre $\mathcal{P}(A)$. La demostración es bastante simple; es la siguiente.
     Sea $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ una función. Veamos que no es suprayectiva. Sea $$B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}.$$ Se tiene que $B\subseteq A$ y no hay $a\in A$ tal que $f(a)=B$, pues de haberlo si $a\in B$ entonces $a\notin f(a)=B$, contradicción; si $a\notin B=f(a)$ entonces $a\in B$ por definición de $B$, contradicción.
     La definición de $B$ es una generalización del argumento por la diagonal. Ahora veamos en qué consiste el argumento por la diagonal de Cantor. Tal argumento demuestra que no es posible definir una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$. Para hacerlo bastará demostrar que $|[0,1]|\neq\aleph_0$ (basta demostrarlo para $[0,1]$ porque se tiene la siguiente sucesión de funciones inyectivas: $$\mathbb{R}\overset{h}{\rightarrow}(0,1)\hookrightarrow[0,1]\hookrightarrow\mathbb{R},$$ donde \begin{align} h:\mathbb{R}&\rightarrow (0,1)\notag\\ x&\mapsto \frac{e^x}{1+e^x}\notag \end{align} y las otras dos funciones son las inclusiones. Así que se tiene que $$|\mathbb{R}|\leq |(0,1)|\leq |[0,1]|\leq|\mathbb{R}|,$$ y, por lo tanto, $|\mathbb{R}|=|(0,1)|=|[0,1]|$). La demostración será por contradicción. Supongamos que [0,1] y $\mathbb{N}$ tienen el mismo número de elementos. Es decir, supongamos que existe una función biyectiva f:N→[0,1]; en otras palabras, que para todo $s\in[0,1]$ existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $f(n)=s$, y para cualesquiera $n,m\in\mathbb{N}$, si $f(n)=f(m)$ entonces $n=m$. Esto significa que podemos numerar todos los elementos de [0,1]. Digamos que dicha numeración es la siguiente: $$b_0, b_1, b_2,\ldots$$ Es decir que $f(0)=b_0$, $f(1)=b_1$, $f(2)=b_2,\ldots$ Que en general, $f(n)=b_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, donde $b_n\in [0,1]$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. Entonces, tenemos lo siguiente: \begin{align} b_0&=0.b_{00} b_{01} b_{02}\ldots\notag\\ b_1&=0.b_{10} b_{11} b_{12}\ldots\notag\\ b_2&=0.b_{20} b_{21} b_{22}\ldots\notag\\ \vdots\notag \end{align} Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada $b_{ii}$, sea $0\leq a_i\leq 9$ un dígito distinto de $b_{ii}$. Entonces, el número real $a$ con expansión decimal $$0.a_0 a_1 a_2\ldots$$ no es ninguno de los $b_i$. Se tiene que $a\neq b_0$, porque $a_0\neq b_{00}$; que $a\neq b_1$, porque $a_1\neq b_{11}$; que $a\neq b_2$, porque $a_2\neq b_{22}$; en general, $\forall i\in\mathbb{N}\ a\neq b_i$, porque $\forall i\in\mathbb{N}\ a_i\neq b_{ii}$. Esto significa que $f$ no es una suprayección, pues no existe $i\in\mathbb{N}$ tal que $f(i)=a$. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre $[0,1]$ y $\mathbb{N}$, y en consecuencia entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$.
     Ahora veamos por qué definir $B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$ es una generalización del argumento por la diagonal. Tenemos que $2^{\mathbb{N}}$ es el conjunto de todas las funciones que van de $\mathbb{N}$ a $2=\{0,1\}$. En otras palabras, son sucesiones de 0s y 1s. Si $g$ fuera una tal función, $g$ podría ser $$g(0)=0,g(1)=1,g(2)=1,g(3)=0,g(4)=0,\ldots$$ es decir, $$01100\ldots$$ Si la escribiéramos como $0.01100\ldots$ tendríamos la expansión binaria de un número en el intervalo $[0,1]$. Es decir, $2^{\mathbb{N}}$ podemos considerarlo como $[0,1]$.
     Si $A=\mathbb{N}$ en la demostración del Teorema de Cantor entonces tendríamos que $$B=\{n\in\mathbb{N}\mid n\notin f(n)\}.$$ Tenemos que $f(n)$ nos da un subconjunto de $\mathbb{N}$; si pensamos en la biyección entre $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$, lo que obtendríamos sería $\chi_{f(n)}$, la función característica de $f(n)$, y entonces que “$n\notin f(n)$” significaría que $\chi_{f(n)}(n)=0$. Entonces, al considerar $B$ como elemento de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, lo que obtenemos del otro lado es $\chi_B$, que cambia los 0s por 1s y los 1s por 0s en la diagonal $\chi_{f(i)}(i)$ de la matriz infinita $\chi_{f(-)}(-)$.

5. Aclaraciones

Hay varios conceptos que se pueden encontrar asociados con la noción de infinito, además del de número de elementos. Uno de ellos es el de medida (sugiero mejor leer la entrada en inglés). Por ejemplo, la longitud (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$) de la recta real es infinita y la del intervalo $[0,1]$ es 1. Que haya una biyección entre $\mathbb{R}$ y $[0,1]$ no significa que se meta un conjunto de longitud infinita dentro de uno de longitud 1, sólo que tienen el mismo número de elementos y sólo eso: una biyección no mete un conjunto dentro de otro, sólo aparea elementros entre conjuntos. Se tiene que el área (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^2$) de $[0,1]\times [0,1]$ es 1 y el área del intervalo $[0,1]$ es 0, al igual que el área de $\mathbb{R}$. Es decir, la medida de Lebesgue definida sobre $\mathbb{R}$ no es la misma que la definida sobre $\mathbb{R}^2$.
     Una curva de Peano es una función continua suprayectiva que va del intervalo $[0,1]$ sobre $[0,1]^k$ para $k\leq\infty$. Las curvas de Peano no pueden ser inyectivas, pues de serlo eso significaría que $[0,1]$ y $[0,1]^k$ son homeomorfos; es decir, que como espacios se comportan igual, pero no es así, pues el cuadrado unitario $[0,1]\times [0,1]$ no tiene puntos de corte, pero el intervalo unitario $[0,1]$ sí (todos salvo los extremos). A pesar de eso, existe una biyección entre $[0,1]$ y $[0,1]\times [0,1]$, lo que significa que tienen el mismo número de elementos y sólo eso, no que como espacios sean iguales: dicha biyección no puede ni es continua, pues de serlo, como espacios serían iguales.
     Las dos observaciones anteriores lo que muestran es que cuando uno está interesado en comparar el número de elementos de dos conjuntos, uno sólo está interesado en los conjuntos sin considerar alguna estructura sobre estos, como podría ser un orden parcial, una topología, una medida, etc, pues si hemos de comparar esos conjuntos junto con sus estructuras, las funciones que hemos de considerar tienen que preservar dicha estructura: entre conjuntos ordenados las funciones tienen que preservar el orden (ser monótonas), entre espacios topológicos tienen que ser continuas, entre espacios medibles (con una medida) tienen que ser medibles, etc. Por ejemplo, hay una biyección entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario, pero no una biyección continua con inversa continua.
     Otro concepto que podría encontrarse asociado con la noción de infinito es el de distancia: se puede hablar de distancias infinitas.
     Se ha de notar que cuando se trata de medida o distancia, una medida o distancia infinita se denota $\infty$ y cuando se trata de número de elementos infinito, se denota con los $\aleph$, pues “longitud” y “número de elementos” son conceptos distintos.

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1. El texto anterior fue un mensaje que le mandé a Fermín Huerta por correo electrónico en respuesta a una entrada en su blog. No lo puse como comentario a dicha entrada debido a que Blogger sólo me deja poner comentarios de a lo más cuatro mil y cacho caracteres, y este texto tiene más de lo permitido. Fermín me pidió que publicara dicho texto. Las secciones 4 y 5 no estaban en el mensaje, pero resultan útiles para demostrar afirmaciones anteriores.
     Modifiqué un poco el texto para que cualquier lector lo pueda leer independientemente de los comentarios vertidos en la entrada mencionada.
     Me piqué con la entrada de Fermín y me entusiasmé por hablar de matemáticas en mi blog. Gracias, Fermín.↩