Análisis no estándar I

Introducción

Hace tiempo quise acercarme al análisis no estándar; mi primer intento ha de haber sido hace seis años, pero no avancé mucho, no sé por qué. Ahora me he vuelto a acercar, y me está gustando bastante. Lo poco que he leído me ha dejado la impresión de trabajar con límites pero sin límites, algo bien abracadabrante. Así que me he llenado de entusiasmo y me han dado ganas de hablar de análisis no estándar. El libro que estoy siguiendo es el Nonstandard Analysis de Alain M. Robert, de la editorial Dover.
     La intención detrás del análisis no estándar es hacer una fundamentación rigurosa de la noción de “infinitesimal”. Abraham Robinson hizo tal fundamentación en su libro Non Standard Analysis de 1966, y basó su trabajo sobre la teoría de modelos. Sin embargo, no fue sino a partir de 1977 que los matemáticos pudieron acercarse al análisis no estándar sin pasar por previas discusiones sobre lógica, pues Edward Nelson en su artículo Internal Set Theory, a new approach to NSA, Bull. Amer. Math. Soc., 83, (1977), mostró cómo circunscribir los fundamentos lógicos de manera puramente axiomática.
     Es bien sabido que toda la matemática tradicional se puede fundamentar sobre el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel (ZF). Por supuesto que hay otros sistemas sobre los que se puede fundamentar la matemática; sin embargo, vamos a trabajar sobre el sistema axiomático sobre el que trabajó Nelson: (ZF) y tres axiomas más: el axioma de idealización (I), el axioma de estandarización (E) y el axioma de transferencia (T). Estos tres axiomas son los que van a codificar el comportamiento de nuestros nuevos números: los infinitamente grandes y los infinitamente pequeños. Estos tres axiomas codifican su comportamiento de la misma manera que (ZF) codifica la relación $\in$.
     Una de las ventajas del punto de vista de Nelson es que todos los teoremas matemáticos conocidos siguen siendo válidos, ya que conserva todos los axiomas de la teoría de conjuntos. A la matemática que esté basada y construida solamente dentro de (ZF) se le llamará matemática clásica. Llamaremos ANE (Análisis No Estándar; en inglés, NSA, Non Standard Analysis) a la matemática que haga uso de los tres axiomas adicionales (I), (E) y (T), además de los de (ZF). Al sistema axiomático de (ZF) junto con (I), (E) y (T) lo llamaremos (IET). (En inglés a este sistema se le llama (IST), que además son las siglas del nombre que le dio Nelson a la teoría basada en (IST): Internal Set Theory. En español las siglas no coinciden: Teoría de Conjuntos Internos).
     Los tres axiomas (I), (E) y (T) introducen un nuevo término a la matemática, a saber, ‘estándar’. Puesto que ANE está basado en (ZF), el nuevo término se puede aplicar a cualquier conjunto, es decir, a cualquier objeto matemático. En otras palabras, si $x$ es un conjunto, tiene sentido la afirmación “$x$ es estándar”, al igual que “$x$ no es estándar” (es una expresión bien formada dentro de ANE), y como tales, dichas afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas.
     Ya que las matemáticas existentes, las clásicas, están construidas y basadas, únicamente, en (ZF), estas quedan inmersas dentro de ANE. Así que todos los sistemas numéricos usuales son los mismos en ANE: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, etc. son los mismos en ANE. Más aún, no se añadirán nuevos elementos a estos conjuntos, así que no se hará referencia a ninguna extensión de aquellos. En cierto sentido, lo que ocurre es que ahora, con los axiomas adicionales, seremos capaces de discernir más elementos dentro de los conjuntos clásicos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, etc.
     Algo que hay que notar es que todos los objetos considerados por (ZF) son conjuntos. Por ejemplo, los elementos de $\mathbb{N}$ son conjuntos también: el número $0$ es (o representa) el conjunto vacío $\emptyset$, el número $1$ es el conjunto $\{\emptyset\}$, el número $2$ es el conjunto $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$; en general, inductivamente, $n+1:=n\cup\{n\}$. Así que dentro de ANE cabe preguntarse si un número natural $n$ es estándar o no-estándar. Lo que obtendremos, de hecho, es que hay números naturales estándar y no-estándar.

(I), (E) y (T)

Notación. Antes de comenzar, haremos las siguientes abreviaciones: $$\forall^e\ x\in E\ldots,\quad\forall^{ef}x\in E\ldots,\quad\exists^e x\in E\ldots,\quad\exists^{ef}x\in E\ldots,$$ las cuales significan respectivamente

• para todo elemento estándar $x$ de $E$, (se tiene que)$\ldots$
• para todo $x$ estándar y finito de $E$, (se tiene que)$\ldots$
• existe un elemento estándar $x$ en $E$ tal que$\ldots$
• existe un $x$ finito y estándar en $E$ tal que$\ldots$

Nota. Cualquier afirmación, definición, fórmula, resultado, etc que no use el término estándar, ya sea explícita o implícitamente, se dirá que es clásico, como ya se dijo antes.

El axioma de idealización (I) dice:
Sea $R(x,y)$ una relación binaria clásica. Las siguientes propiedades son equivalentes:

1. para todo conjunto finito y estándar $F$ existe un $x=x_F$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y\in F$,
2. existe un $x$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y$ estándar.

Más formalmente, este axioma se cumple para la relación binaria clásica $R(x,y)$ y afirma que $$\forall^{ef}F\;\exists (x=x_F)\forall\,y\in F\;R(x,y)\Leftrightarrow\exists\,x\forall^e\,y\;R(x,y).$$ Notación. En lugar de escribir $$\text{se cumple}\quad R(x,y)\quad\text{para todo $y\in F$},$$ escribiremos $$\text{se cumple}\quad R(x,F).$$ Así que (I) se puede reenunciar de la siguiente manera:
dada una relación binaria clásica $R(x,y)$, las siguientes propiedades son equivalentes:

1. para todo conjunto finito estándar $F$ existe un $x$ (que depende de $F$) tal que se cumple $R(x,F)$,
2. existe un $x$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y$ estándar.

Observación. Cuando se considere la relación $R$ en el axioma de idealización, se puede pensar que $R$ es su gráfica y que es un subconjunto de $E\times E'$ con $E$ y $E'$ conjuntos estándar. Es decir, se puede pensar que $R(x,y)$ se cumple si y sólo si $(x,y)\in R$. Sin embargo, esta simplificación no siempre tiene sentido; por ejemplo, la relación binaria clásica ‘$y\in x$’ no puede escribirse de la manera antedicha.
     Entonces para esta relación $R$ (la de pertenencia), tendríamos que $R(x,F)$ representa la relación $F\subseteq x$. Apliquemos el axioma de idealización: si $F$ es un conjunto finito estándar, podemos tomar $x:=F$, y entonces tenemos que $R(x,F)$; por lo tanto, según (I) existe un conjunto $x$ tal que todo conjunto estándar $y$ pertenece a $x$.

El axioma de estandarización (E) dice:
Sea $E$ un conjunto estándar y $P$ una propiedad (clásica o no). Entonces existe un (único) subconjunto estándar $A=A_P\subseteq E$ tal que tiene por elementos estándar precisamente los elementos estándar $x\in E$ que cumplen $P(x)$.
En otras palabras, dado un conjunto estándar $E$ $$\exists^eA\subseteq E\;\forall^e\,x\, [x\in A\Leftrightarrow x\in E\;\text{y}\;P(x)].$$
El axioma de transferencia (T) dice:
Si $F$ es una fórmula clásica y todos los parámetros $t_1,\ldots,t_n$ de $F$ tienen valores estándar, entonces $F$ se cumple para todo $x$ y sólo si $F$ se cumple para todo estándar $x$. En otras palabras, si $F$ es una fórmula clásica cuyas únicas variables libres son $x,t_1,\ldots,t_n$ entonces $$\forall^e\,t_1\cdots\forall^e\,t_n[\forall\,x\;F\Leftrightarrow\forall^e\,x\;F].$$
Forma dual del axioma de transferencia. La forma dual equivalente (T') de la transferencia se obtiene al reemplazar $F$ por su negación $\neg F$. Por (T) (para una fórmula clásica $F$ con valores estándar para todos sus parámetros $t_1,\ldots,t_n$), se tienen las siguientes equivalencias:

1. para todo $x$ se cumple $F$,
2. para todo estándar $x$ se cumple $F$.

Se pueden reformular respectivamente como

1. no existe $x$ tal que $F$ no se cumple,
2. no existe ningún estándar $x$ tal que $F$ no se cumple.

Por otro lado, $$\neg\forall\,x\;\neg F\Leftrightarrow\exists\,x\;F,$$ entonces se obtiene la forma dual de (T), como equivalencia entre

1. existe un $x$ tal que $F$ y
2. existe un estádar $x$ tal que $F$.

si $F$ es una fórmula clásica con valores estándar en todos sus parámetros $t_1,\ldots,t_n$. Así que para una fórmula clásica $F$ cuyas únicas variables libres son $x,t_1,\ldots,t_n$, el axioma de transferencia se puede reescribir en la forma (T') $$\forall^e\,t_1\cdots\forall^e\,t_n[\exists x\; F\Leftrightarrow\exists^e x\; F].$$ Observación. De la formulación anterior, se sigue que todos los conceptos que están bien definidos (es decir, que están definidos de manera única) dentro de la matemática clásica son estándar. En otras palabras, si existe un único $x$ tal que $F$ ($F$ clásica y $t_1,\ldots,t_n$ parámetros de $F$ con valores estándar), entonces este $x$ tiene que ser estándar.

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