Algunos conjuntos estándar y el principio de extensionalidad transferido
Observación. Los conjuntos $$0=\emptyset,1,2,12^3,e,\pi,\mathbb{N},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ están definidos de manera única por medio de fórmulas clásicas; por lo tanto, por (T′), son conjuntos estándar. En particular, (T′) implica que todos los números definidos explícitamente y de manera única por medio de una fórmula clásica son estándar. Por lo tando, 3, 4, -1,... son estándar.
Por ejemplo, para la propiedad (o fórmula con una sola variable libre) $P(x)=\;\forall\,y\;[y\notin x]$, existe un único conjunto $x$ tal que $P(x)$, a saber, el conjunto vacío $\emptyset$.
Observación. Consideremos las siguientes fórmulas: $$x=E\cup F,\qquad x=E\cap F,\qquad x=E\times F,\qquad x=F^E.$$ Si los parámetros $E$ y $F$ son estándar, estos definen un $x$ estándar. Por lo tanto, si $E$ y $F$ son estándar, entonces, por (T′), $$E\cup F,\qquad E\cap F,\qquad E\times F\quad\text{y}\quad F^E$$ son estándar.
Similarmente, por (T′), si $E$ es estándar, también lo es $\mathcal{P}(E)$: considérese la fórmula con variables libres $x,E$ $F(x,E)=\,\forall\,A\;[A\in x\Leftrightarrow A\subseteq E]$.
El principio de extensionalidad transferido. El axioma de transferencia (T) se puede aplicar a la fórmula $F(x,E_1,E_2)$ dada por ‘$x\in E_1\Rightarrow x\in E_2$’ si los dos conjuntos $E_i$ son estándar. Así que, por (T), las siguientes proposiciones son equivalentes: \begin{align} &\forall x(x\in E_1\Rightarrow x\in E_2)\qquad (E_1\subseteq E_2)\notag\\ &\forall^e x(x\in E_1\Rightarrow x\in E_2)\notag. \end{align} En otras palabras, dados dos conjuntos $E_1$ y $E_2$ estándar, para verificar que $E_1$ es subconjunto de $E_2$, basta checar que los elementos estándar de $E_1$ son elementos de $E_2$. Cualquier relación de inclusión entre conjuntos estándar se puede probar a nivel de sus elementos estándar.
De lo anterior se sigue que dos conjuntos estándar son iguales si tienen los mismos elementos estándar.
Observación. La unicidad del subconjunto estándar $A$ de $E$ cuya existencia es postulada por (E) se sigue del principio de extensionalidad transferido; en efecto, de haber otro subconjunto $B$ de $E$ tal que $\forall^e x\in B,\;P(x)$, entonces $x$ es elemento estándar de $B$ si y sólo si se cumple $P(x)$ si y sólo si $x$ es elemento estándar de $A$. Entonces, por el principio de extensionalidad transferido, $\forall x\; (x\in A\Leftrightarrow x\in B)$.
Si $E$ es estándar, se tiene la siguiente notación funcional para este subconjunto estándar bien definido $A$ correspondiente a la propiedad $P$: $$A:= ^e\{x\in E\mid P(x)\}.$$
Observación. Si $n\in\mathbb{N}$ es estándar, como $\mathbb{N}$ es estándar, entonces, por (T'), $$I_n:=[0,n[:=\{m\in\mathbb{N}\mid\,m < n\}$$ es estándar. Considérese la fórmula $$F(x,E,n)=\forall m\;[m\in x\Leftrightarrow m\in E\wedge m < n].$$ Similarmente, si $a,b\in\mathbb{R}$ son estándar entonces $[a,b]$ es estándar.
Axioma de especificación
La teoría de conjuntos sobre (ZF) evita las paradojas clásicas (como la de Russell) mediante el siguiente principio. Para especificar un conjunto, es necesario empezar con un conjunto. Más explícitamente, (ZF) postula que si $E$ es un conjunto y $P$ es una propiedad (aplicada a los elementos de $E$), entonces existe un conjunto $E_P$ (un subconjunto de $E$) que consiste precisamente de los elementos $x$ de $E$ para los cuales se cumple $P(x)$: $$E_P=\{x\in E\mid P(x)\}.$$ En otras palabras, para formar un conjunto —dentro de (ZF)—, hay que empezar con un conjunto.
Es decir, no toda propiedad forma conjuntos; por ejemplo, la propiedad ‘$x=x$’ no forma conjuntos: no existe el conjunto de todos los conjuntos. De otra manera obtendríamos la paradoja de Russell. De ahí que en el axioma de especificación de (ZF), se pida de antemano un conjunto para formar otro.
De la misma manera, no todas las propiedades dentro de (IET) forman conjuntos: la propiedad ‘$x$ es estándar’ no forma conjuntos. De hecho, hay que hacer una restricción más fuerte en (IET). Si la propiedad $P$ contiene explícita o implícitamente el término ‘estándar’, no existe en general un subconjunto de $E$ que contenga exactamente los elementos $x$ de $E$ para los cuales se cumple $P(x)$. Si tal subconjunto existe, hay que demostrarlo mediante algún método (por ejemplo, especificándolo de otra manera). En otras palabras, si $P$ es no-clásica, antes de escribir $\{x\in E\mid P(x)\}$, hay que demostrar que $P$ forma conjuntos. En general, la propiedad ‘$x$ es estándar’ no forma conjuntos. Notemos, sin embargo, que si $E=\emptyset$, la propiedad anterior —o cualquier otra— forma conjuntos. Similarmente, si el conjunto $E=\{a\}$ consiste precisamente de un elemento estándar $a$, entonces la propiedad ‘$x$ es estándar’ forma conjuntos en $E$ y el $\{x\in E\mid x\text{ es estándar}\}$ es el conjunto $E$ mismo.
Si $P$ es una propiedad clásica, la existencia del conjunto $\{x\in E\mid P(x)\}$ está garantizada en (ZF) por el axioma de especificación.
Los naturales y algunos teoremas
Teorema. Sea $E$ un conjunto. Las siguientes condiciones son equivalentes:
- $\forall x\in E,\;x$ es estándar,
- $E$ es estándar y finito.
Recíprocamente, si todos los elementos de $E$ son estándar entonces, por $(\ast)$, existe un conjunto estándar finito $F$ tal que contiene a $E$. Entonces, tenemos que $\mathcal{P}(F)$ es estándar y finito, y $E\in\mathcal{P}(F)$; por lo tanto, como ya demostramos ii$\Rightarrow$i, se tiene que $E$ es estándar, y como $E\subseteq F$, se tiene que $E$ es finito.
Observación. Consideremos la relación binaria clásica $R(x,y)$=‘$x > y$’. Entonces, se tiene que se cumple $R(x,F)$ precisamente cuando el natural $x$ es una cota superior estricta del subconjunto $F\subseteq\mathbb{N}$. Cuando $F$ es un subconjunto finito, es posible encontrar un intervalo $[0,n]$ tal que $F\subseteq [0,n]$. Si $F$ es finito y estándar, existe un $x\in\mathbb{N}$ tal que $x > y\;\forall y\in F$, a saber, $x=n+1$. Así que, por (I), se tiene que $$\exists x\in\mathbb{N}\;\forall^e y\in\mathbb{N}\; x > y.$$ Por lo tanto, existen los naturales no-estándar.
Nota. Nelson descubrió que podía axiomatizar la relación ‘$x > n$’ de la siguiente manera: si $x > n$ entonces $$x > y \quad\text{para todo}\quad y\in[0,n],$$ y si $n$ es estándar, todos los subconjuntos (finitos) de $[0,n]$ deberían de ser estándar también.
Definición. Sea $n\in\mathbb{N}$. Se dice que $n$ es ilimitado (o indefinidamente grande) si $n > y $ para todo estándar $y\in\mathbb{N}$.
Proposición. Dado un conjunto $E$, existe un subcojunto finito $A$ de $E$ tal que $A$ contiene a todos los elementos estándar de $E$.
Demostración. Definamos $$\mathcal{P}_f(E):=\{B\in\mathcal{P}(E)\mid B\text{ es finito}\}.$$ Notemos que la propiedad ‘es finito’ está dentro de (ZF), así que tal propiedad forma conjuntos.
Ahora consideremos la relación binaria clásica $R(B,y)=$ ‘$B$ es un subcojunto finito que contiene a $y$’. Así que $R(B,F)$ equivale a $$B,F\subseteq E\text{ tales que }F\subseteq B.$$ Por lo tanto, si $F$ es un subconjunto estándar y finito de $E$, existe un subconjunto $A$ finito de $E$ tal que $F\subseteq A$ (a saber, $F$ mismo), y de aquí, por idealización, existe un subconjunto finito $A$ de $E$ tal que $A$ contiene a todos los elementos estándar de $E$.
Proposición. Si $E$ es un conjunto infinito, entonces $E$ tiene elementos no-estándar.
Demostración. Consideremos la relación binaria clásica $R(x,y)$ dada por ‘$x\neq y$’ en $E$. Si $F\subseteq E$, la relación extendida $R(x,F)$ equivale a ‘$x\notin F$’. Si $E$ es infinito, entonces para todo subconjunto finito $F$ de $E$, existe $x\in E$ tal que $x\notin F$. Por lo tanto, por idealización, existe $x\in E$ tal que $x\neq y$ para todo elemento estándar de $E$. Así que $x$ es no-estándar.
Notemos que si $E$ es infinito, entonces $E\setminus\{x\}$ sigue siendo infinito, así que, de lo anterior, existe $x'\in E$ no-estándar distinto de $x$.
La contrapositiva de esta proposición es ‘Si todos los elementos de $E$ son estándar, entonces $E$ es finito’. El teorema de esta sección nos dice algo más, que, además, $E$ es estándar, y, por supuesto, nos da la recíproca.
Proposición. Si $E$ es un conjunto infinito estándar y $A\subseteq E$ tal que contiene todos los elementos estándar de $E$, entonces $A$ contiene algún elemento no-estándar.
Demostración. Sea $E$ estándar infinito y sea $A\subseteq E$ tal que $\forall^e\,x\;(x\in E\Rightarrow x\in A)$. Si $A$ contiene sólo elementos estándar, entonces $A$ es finito y estándar; así que, por el Principio de Extensionalidad Transferido, se tiene que $E=A$, pues $$\forall^e\,x\;(x\in E\Leftrightarrow x\in A).$$ Pero entonces $E$ es finito, contradicción.
Nota. La afirmación clásica ‘todos los naturales son finitos’ sigue siendo cierta dentro de ANE, pues es una afirmación de (ZF). Es decir, en $\mathbb{N}$ tenemos naturales finitos limitados (los estándar) e ilimitados.
Pienso que el nombre ‘ilimitados’ no es muy apropiado, pues la idea o la noción de finitud normalmente viene acompñada de la idea de limitado. Sugeriría hablar más bien de naturales finitos indefinidamente grandes; por eso añadí este apelativo en la definición de números naturales ilimitados. Sin embargo, si ya se empezó a usar el apelativo ‘ilimitado’, difícil será cambiarlo, pues, en el lenguaje, el uso es la norma.
Observación. Sean $n,m\in\mathbb{N}$ tales que $n > m$, así que $n+1 > m, n+2 > m,\ldots$; en general, $n+k > m$ para todo $k\in\mathbb{N}$. De aquí, si $n$ es ilimitado, entonces $n+k$ también lo es, para todo $k\in\mathbb{N}$.
Dado $n$ indefinidamente grande, consideremos el intervalo $I_n$. Entonces, $$J_n:=\mathbb{N}\setminus I_n$$ es un conjunto infinito que sólo contiene naturales ilimitados. Sin embargo, no contiene a todos los naturales ilimitados, pues $n-1\notin J_n$ pero $n-1$ es ilimitado (si no lo fuera, existiría un estándar $k\in\mathbb{N}$ tal que $k > n-1$, y, por lo tanto, $k+1 > n$ con $k+1$ estándar, contradicción). Notemos que, como $n$ es ilimitado, $I_n$ es finito pero contiene a todos los naturales estándar; por supuesto, también contiene elementos no-estándar, a saber, $n-1$.
Habíamos visto que si $n$ es estándar entonces $I_n$ también lo es. En el párrafo anterior, $I_n$ no puede ser estándar; de lo contrario, todos sus elementos serían estándar, incluido $n-1$.
Observación. Sea $n\in\mathbb{N}$ no-estándar. Entonces $\forall^e m\in\mathbb{N}\; n > m$ (sólo hemos demostrado que existen naturales no-estándar que son estrictamente mayores que todo natural estándar, no que todo no-estándar cumpla tal condición). En efecto, supongamos que existe un estándar $k\in\mathbb{N}$ tal que $k > n$; entonces, el intervalo $I_k$ es finito y estándar, así que todos los elementos de $I_k$ son estándar, pero $n\in I_k$, contradicción. Por lo tanto, $n > m$ para todo estándar $m\in\mathbb{N}$.
Ejemplos y notación. Sea $E$ un conjunto estándar y $A\subseteq E$. Consideremos la propiedad ‘$x\in A$’ y construyamos el subconjunto estándar $$^eA:=\{x\in E\mid x\in A\}.$$ Este subconjunto estándar $^eA$ contiene todos los elementos estándar que pertenecen a $A$ con ningún otro elemento estándar.
Si $\nu\in\mathbb{N}$ es no-estándar y $A:=[0,\nu]$, entonces $^eA$ contiene todos los naturales estándar. Existe un único subconjunto estándar de $\mathbb{N}$ con esta propiedad; a saber, $\mathbb{N}$. En efecto, por tranferencia, $^eA=\mathbb{N}$.
De hecho, $$^e[0,\nu]=\mathbb{N}\text{ para todo natural no-estándar $\nu$.}$$ De manera similar, consideremos la propiedad ‘$x$ es estándar’ (la cual no es clásica) en el conjunto $\mathbb{N}$. El subconjunto estándar $$A:=^e\{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ es estándar}\}$$ de $\mathbb{N}$ está bien definido por estandarización. Por transferencia, $A=\mathbb{N}$.
Observación. El principio de inducción permanece válido con tal que podamos definir el subconjunto en cuestión: la propiedad que lo especifica tiene que ser clásica. Así que el principio de inducción toma la forma siguiente:
Si $P$ es una propiedad clásica para la cual es cierto $P(0)$ y tal que $$\forall\,n\in\mathbb{N}\;P(n)\Rightarrow P(n+1),$$ entonces $P(n)$ es cierto para todo $n\in\mathbb{N}$.
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