31 de julio de 2012

Caminar en el monte

Camino en el monte. Piso las rocas. Las ramas me arañan. La piel me arde. La hierba inunda mis ojos. Novedad por doquier; plnatas hermosas, hermosas plantas: mis ojos se transforman: la actividad mental del Ser hace. Camino en el monte. Las ramas me arañan. La piel me arde. La hierba inunda mis ojos. El suelo es irregular. Arbustos me atrapan. Busco una salida, otro camino: la mente me engaña. Me caigo. El suelo me traga. Me lastimo. Mi respiración aumenta; la escucho, la escucho, la escucho, la escucho, la escucho; escucho mi respiración. La hierba, las plantas, las rocas están por todos lados. Naturaleza y Cosmos: Música. Naturaleza y Cosmos soy.
     Me ha hablado.


Nota. Este texto lo encontré en un viejo cuaderno. Quizá el texto sea del 97. La última línea no me gusta tanto. No supe muy bien cómo clasificar el texto; sin embargo, lo etiqueté como minificción.

30 de julio de 2012

Panique loxodontique


     Une fois, je me promenais joyeusement dans le bois, en sautant comme un enfant. Soudain, devant moi, un élephant se balançait sur la toile d'une araignée... Tout effrayé, je me demandai: où sont les autres élephants?


Nota. Esta minificción la acabo de encontrar en mi tesis de licenciatura. La había escrito sin título; ahora le pongo uno.

29 de julio de 2012

Análisis no estándar III


Funciones y gráficas


Observación. Un par ordenado $(a,b)$ es estándar si y sólo si sus componentes $a$ y $b$ son estándar. Más generalmente, una $n$-eada $(a_1,\ldots,a_n)$ es estándar precisamente cuando $n$ es estándar y todos sus componentes $a_i$ son estándar.
     En efecto, en (ZF) un par ordenado $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$, así que si $(a,b)$ es estándar entonces, como $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar y finito, todos sus elementos son estándar: $\{a\},\{a,b\}$, los cuales son finitos, así que $a$ y $b$ son estándar.
     Recíprocamente, si $a$ y $b$ son estándar, entonces claramente $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar.
     La equivalencia anterior también se puede hacer de la siguiente manera. Considérese la fórmula $$F(x,a,b)=\forall\,y\;(y\in x\Leftrightarrow y=\{a\}\vee y=\{a,b\}).$$ Así que, por transferencia dual, si $a,b$ son estándar entonces $(a,b)$ también.
     Recíprocamente, supongamos que $(a,b)$ es estándar. Consideremos las fórmulas \begin{align} F(x)&=\forall\,y\;(y\in (a,b)\Rightarrow x\in y)\notag\\ G(x)&=\exists\,y\;(y\in (a,b) \wedge x\in y)\wedge\exists\,z\;(z\in (a,b)\wedge x\notin z)\notag. \end{align} El único elemento que satisface $F$ es $a$ y el único que satisface $G$ es $b$, así que $a$ y $b$ son estándar por transferenica dual.
     Ambos argumentos se pueden repetir para $n\in\mathbb{N}$ estándar. Notemos que si $(1,\ldots,1)$ es una $n$-eada estándar, entonces $n$ es estándar, pues $n$, el número de componentes de una $n$-eada, está clásicamente determinado de manera única: si $(a_1,\ldots,a_n)=(b_1,\ldots,b_m)$, se tiene que tener que $n=m$ y $a_i=b_i$ para todo $1\leq i \leq n$.

Observación. En (ZF) una función $f:E\rightarrow F$ se identifica con una tripleta $(E,G(f),F)$, donde $G(f)$ es la gráfica de $f$, definida como $$G(f):=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}\subseteq E\times F.$$ Por lo tanto, $f=(E,G,F)$ es una función estándar si y sólo si$E,F,G$ son estándar.

Ejemplo. Sean $E$ y $F$ conjuntos estándar. Entonces, la proyección $p_E:E\times F\rightarrow E$ es estándar. En efecto, como $E$ y $F$ son estándar, por transferencia, $E\times F$ también. Ahora consideremos la fórmula $$H(x,E,F)=\forall\, z\;[z\in x\Leftrightarrow\exists\,u\in E\;\exists\,v\in F\;[z=((u,v),u)]].$$ Así que, por transferencia, la gráfica $G(p_E)$ de $p_E$ es estándar. Por lo tanto, $p_E$ también lo es.

Proposición. Sean $f:E\rightarrow F$ y $x\in E$ estándar. Entonces $f(x)$ es estándar.

Demostración La intersección de los conjuntos estándar $\{x\}\times F$ y $G(f)$, que consiste en el singulete $\{(x,f(x)\}$, es estándar. Tal singulete es finito y estándar, así que $(x,f(x))$ es estándar y, por lo tanto, $f(x)$ es estándar.

Proposición. Si $f,g:E\rightarrow F$ son dos funciones estándar tales que $\forall^e\,x\;f(x)=g(x)$, entonces $f=g$.

Demostración. Transferencia.

Observación. Una función estándar bien podría tomar valores no-estándar; de hecho, necesariamente para valores no-estándar de su dominio). Por ejemplo, la función identidad $1_{\mathbb{N}}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es estándar y tiene valores no-estándar para los elementos no-estándar de $\mathbb{N}$.
     También podría pasar que una función estándar tenga valores estándar para elementos no-estándar. Consideremos una función constante con constante estándar.


Definición implícita de una función estándar


Observación. Si $G$ es subconjunto de $E\times F$ que es una gráfica funcional entonces $G$ está caracterizado por la propiedad $$\forall\,x\in E\quad \mathrm{Card}(G\cap\{x\}\times F)=1.$$ Si $E,F,G$ son estándar entonces la condicián anterior es cierta, por transferencia, si la condición se cumple para todo estándar $x$. Así que se pueden definir funciones estándar como sigue. Supóngase que una relación $R$ (clásica o no) dada entre dos conjuntos estándar $E$ y $F$ tiene la propiedad de que $$\forall^e\,x\in E\;\exists^e\,y\in F\;R(x,y).$$ Entonces podemos formar el conjunto $$G:=^e\{(x,y)\in E\times F\mid R(x,y)\}.$$ Este es estándar, por estandarización, y es una gráfica funcional, pues $$\forall\,^e\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1$$ y, por transferencia, $$\forall\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1\quad\text{(los parámetros $G$ y $F$ son estándar)}.$$ En este caso se dice que $R$ define implícitamente la función $f=(E,G,F)$.
     Hay que tener cuidado de que si $R$ no es clásica entonces no siempre se cumple $R(x,f(x))$, y que si se cumple $R(x,y)$, no necesariamente $y=f(x)$. Sin embargo, es cierto que si $x$ es estándar entonces $y=f(x)$ se caracteriza por el hecho de que $R(x,y)$.

Principio de la definición implícita de funciones. Sean $E$ y $F$ dos conjuntos estándar. Entonces si una construcción (clásica o no) permite definir para cada estándar $x\in E$ un elemento estándar bien definido $y_x\in F$, entonces existe una única función estándar $f:E\rightarrow F$ tal que $f(x)=y_x$ para todo estándar $x\in E$.
     En particular, si una construcción (clásica o no) asigna, para cada natural estándar $n\in\mathbb{N}$, un elemento estándar $a_n\in E$ (de algún conjunto fijo estándar $E$), entonces existe una única sucesión estándar $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ que toma los valores prescritos para los naturales estándar $n\in\mathbb{N}$.

Ejemplo. Consideremos la función \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathcal{P}(\mathbb{N})\notag\\ n&\mapsto I_{n+1}\notag. \end{align} Dicha función es estándar, pues está determinada de manera única dentro de (ZF): $$G(f)=\{z\mid\exists\,n\in\mathbb{N}\;z=(n,I_{n+1})\}.$$ Ahora, tenemos que $1_{\mathbb{N}}$ es estándar, así que $(n)_{n\in\mathbb{N}}\in\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}$ es estándar. Sea $m\in\mathbb{N}$ no-estándar. Entonces tenemos que si $$p_m:\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}\rightarrow I_{m+1}$$ es la $m$-ésima proyección, $$p_m((n)_{n\in\mathbb{N}})=m.$$ Por lo tanto, $p_m$ no es estándar para $m\in\mathbb{N}$ no-estándar, a pesar de que la familia de conjuntos $(I_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ es estándar ($n\mapsto I_{n+1}$ es estándar).
     En la p. 27 de su libro Nonstandard Analysis, Alain M. Robert afirma: “si $(E_i)$ es una familia estándar de conjuntos (es decir, la función $i\mapsto E_i$ es estándar), todas las proyecciones $p_j:\prod E_i\rightarrow E_j$ son estándar”. El ejemplo anterior muestra que su afirmación es falsa.


Relativización


Definición. Dadas dos fórmulas $F$ y $G$, diremos que $F$ es débilmente equivalente a $G$ (lo cual denotaremos como $F\equiv G$) si y sólo si para todos los valores estándar de las variables libres en las fórmulas, tenemos que $F\Leftrightarrow G$.

Observación. Las dos formas de (T) se pueden reescribir como $\forall^e\,x\;F\equiv\forall\,x\;E$ y $\exists^e\,x\;F\equiv\exists\,x\;F$, siempre que $F$ sea una fórmula clásica.

Definición. Sea $F$ una fórmula clásica. Las reglas anteriores se pueden aplicar repetidamente, así que $F$ es débilmente equivalente a la fórmula $F^e$, la cual se obtiene al reemplazar cada $\forall$ por $\forall^e$ y cada $\exists$ por $\exists^e$. Entonces ‘si $t_1,\ldots,t_n$ son estándar entonces se cumple $F^e$’, donde $t_1,\ldots,t_n$ son las variables libres en $F$, es llamada la relativización de $F$ a los conjuntos estándar.

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