Concepto de número

1. Funciones

El concepto de función se puede definir de varias maneras. En la Teoría de conjuntos se define de dos maneras, una presenta problemas y la otra no. En la Teoría de categorías es un término primitivo. Intentaré dar una definición informal y después la formal.
     Una función que va de un conjunto $A$ (llamado su dominio) a un conjunto $B$ (llamado su codominio) es una regla que asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
La definición formal es la siguiente.

Definición Dados dos conjuntos $A$ y $B$ con $B\neq\emptyset$, una función $f$ de $A$ a $B$, denotada $f:A\rightarrow B$, es una tripleta $(A,\bar{f},B)$ donde $\bar{f}$ es un subconjunto de $A\times B$ (el producto cartesiano de $A$ y $B$) tal que si $(a,b_1)$ y $(a,b_2)$ son elementos de $\bar{f}$ entonces $b_1=b_2$ y tal que para todo $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $(a,b)\in\bar{f}$. A $A$ se le llama dominio de $f$ y a $B$ codominio de $f$.

     Lo que significa la condición después del `tal' es que la regla que determina a $f$ asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
     Por ejemplo, consideremos dos diagramas de Venn, llamémosle a uno $S$ y a otro $T$. Ahora dibujemos dentro del diagrama $S$ tres puntitos y dentro de $T$ cinco puntitos. Ahora vamos a hacer una correspondencia entre los puntitos de $S$ y los de $T$. Digamos que el diagrama de $S$ lo dibujamos a la izquierda y $T$ a la derecha.
     Hagamos una flecha para cada puntito en $S$ que vaya a un solo elemento de $T$. Esta correspondencia es una función. Llamémosle $f_1$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Digamos que los puntitos de $S$ se llaman $s_1,s_2,s_3$ y los de $T$ se llaman $t_1,...,t_5$. Entonces, hagamos una flecha de $s_1$ a $t_1$, otra de $s_2$ a $t_5$, otra de $s_3$ a $t_3$ y otra de $s_1$ a $t_2$. Entonces, esta regla de correspondencia que va de $S$ a $T$ no es una función porque a $s_1$ le estamos asignando dos elementos distintos de $T$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Hagamos una flecha de $s_2$ a $t_1$ y una de $s_3$ a $t_2$. Esta regla de correspondencia tampoco es una función, porque no asigna a cada elemento de $S$ un elemento de $T$: a $s_1$ no se le ha asignado ningún elemento de $T$.
     Ahora definamos lo que es una función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $C\subseteq A$, la imagen de $C$ bajo $f$ es el conjunto $$f(C):=\{f(c)\mid c\in C\}.$$ A la imagen de $A$ bajo $f$ también se la llama la imagen de $f$.



Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $b\in B$ existe un $a\in A$ tal que $f(a)=b$.

     Lo que esto significa es que si $f$ es una función suprayectiva, entonces $B$ queda completamente cubierto por la imagen de $f$. En otras palabras, si $f:A\rightarrow B$ es suprayectiva entonces $f(A)=B$.
     Veamos algunos ejemplos.
     Consideremos a nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio.
     Notemos que es imposible definir una función suprayectiva de $S$ a $T$: siempre nos van a sobrar elementos de $T$. Sin embargo, sí podemos definir una función suprayectiva de $T$ a $S$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $D$ de $B$, definimos la imagen inversa de $D$ bajo $f$ como $$f^{-1}(D)=\{a\in A\mid \exists d\in D\ f(a)=d\}.$$


Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $f(a_1)=f(a_2)$ entonces $a_1=a_2$. O dicho de otro modo (con la contrapositiva), si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $a_1\neq a_2$ entonces $f(a_1)\neq f(a_2)$.

     Lo que esto significa es que si queremos definir una función inyectiva de $A$ a $B$, no podemos asignarle a dos elementos de $A$ un mismo elemento de $B$. O dicho de otra manera, que $f^{-1}(\{b\})$ o es vacío o tiene un solo elemento: que $f^{-1}(\{b\})$ tiene a lo más un elemento. O que $f$ asigna a elementos distintos de $A$ elementos distintos de $B$.
     Consideremos otra vez nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio. Notemos que es imposible definir una función inyectiva de $T$ a $S$, pero sí podemos definir una (de hecho, varias) de $S$ a $T$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva.

     Antes de seguir, quisiera explicar por qué es importante considerar una función $f:A\rightarrow B$ como una tripleta $(A,\bar{f},B)$ y no sólo como su gráfica $\bar{f}$.

Definición. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$ tales que $B=C$, se define la composición $g\circ f:A\rightarrow D$ de $g$ con $f$ como sigue: $$\forall x\in A\ g\circ f(x)=g(f(x)).$$
     Notemos que no se puede definir la composición de funciones, a menos que $\mathit{cod}(f)=\mathit{dom}(g)$.
     Entonces, por ejemplo, la función identidad $id_{\mathbb{Z}}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tiene la misma gráfica que la función inclusión $j:\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$, que incluye los enteros en los racionales; sin embargo, no son la misma función. Debido a la composición, es importante considerar a las funciones con sus dominios y codominios, no sólo con sus gráficas. Esa es la definición de función en la Teoría de Conjuntos que presenta problemas, la considera a una función sólo como su gráfica. Por otro lado, la identidad y la inclusión son conceptualmente diferentes.
     Sigamos. Ahora consideremos otra vez a nuestros conjuntos $S$ y $T$. Definamos la siguiente función suprayectiva $g$ de $T$ sobre $S$: $t_1$ va a $s_1$, $t_2$ a $s_2$, $t_3$ a $s_3$, $t_4$ a $s_2$ y $t_5$ a $s_2$. Recomiendo hacer el dibujo de los diagramas de Venn.
     Ahora consideremos las siguientes imágenes inversas: \begin{align} g^{-1}(\{s_1\})&=\{t_1\}\notag\\ g^{-1}(\{s_2\})&=\{t_2,t_4,t_5\}\notag\\ g^{-1}(\{s_3\})&=\{t_3\}\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $h:S\rightarrow T$ tal que $g\circ h_1=id_S$, la identidad de $S$. A saber, $h_1(s_1)=t_1$, $h_1(s_2)=t_4$ y $h_1(s_3)=t_3$. De hecho, tenemos otras dos funciones de $S$ a $T$ que hacen eso. Sólo habría que enviar el $s_2$ al $t_2$ o al $t_5$.
     De hecho, esto es cierto para toda función suprayectiva; es decir, toda función suprayectiva $f:A\rightarrow B$ tiene una inversa derecha. Si $B$ es infinito, que $f$ tenga inversa derecha es equivalente al axioma de elección. Y recíprocamente, toda función con inversa derecha es suprayectiva.
     Ahora consideremos la función $h:S\rightarrow T$ definida como sigue: $h(s_1)=t_1$, $h(s_2)=t_2$ y $h(s_3)=t_3$. Tenemos que $h$ es inyectiva. Consideremos las imágenes inversas: \begin{align} h^{-1}(\{t_1\})&=\{s_1\}\notag\\ h^{-1}(\{t_2\})&=\{s_2\}\notag\\ h^{-1}(\{t_3\})&=\{s_3\}\notag\\ h^{-1}(\{t_4\})&=\emptyset\notag\\ h^{-1}(\{t_5\})&=\emptyset\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $k:T\rightarrow S$ tal que $k\circ h=id_S$, si definimos $k$ como sigue: $k(t_1)=s_1$, $k(t_2)=s_2$, $k(t_3)=s_3$, $k(t_4)=s_1$ y $k(t_5)=s_1$. (Nótese que hay más funciones que son inversa izquierda de $h$).
     De hecho, es cierto que para toda función inyectiva $f:A\rightarrow B$ existe una inversa izquierda $g:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=id_A$. Y recíprocamente toda función con inversa derecha es inyectiva.
     Ahora, supóngase que tenemos una función biyectiva $f:A\rightarrow B$. Como $f$ es biyectiva, es suprayectiva y entonces existe $g:B\rightarrow A$ tal que $f\circ g=id_B$, y como es $f$ es inyectiva, existe una $h:B\rightarrow A$ tal que $h\circ f=id_A$. Tenemos que $$h=h\circ id_B=h\circ (f\circ g)=(h\circ f)\circ g=id_A\circ g=g.$$ Entonces, $f$ tiene una sola inversa, tanto izquierda como derecha. Además, $g$, la sola inversa, es inyectiva y suprayectiva, pues su inversa izquierda y derecha es $f$. Dijimos que toda función con una inversa izquierda es inyectiva y que toda con inversa derecha es suprayectiva.

2. Primeros números

Imaginemos que estamos en los comienzos de la domesticación y que nuestro idioma sólo cuenta con los cardinales uno, dos y tres, y ningún otro. Ahora imaginemos que somos pastores de ovejas y que tenemos muchas muchas ovejas, y que un día, hartos de perder muchas ovejas, decidimos inventar una manera de tener el número exacto de ovejas que tenemos para no perderlas. Se nos han ocurrido dos maneras de hacerlo. Una es hacer nudos en una cuerda y ponerlos en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Otra es tener una caja con piedras y ponerlas en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Es decir, a pesar de que nuestro idioma no cuente con un nombre para números mayores que tres, vamos a saber exactamente cuántas ovejas tenemos. Esa correspondencia biyectiva (o biyección) encierra el concepto de número: si tenemos dos conjuntos finitos $A$ y $B$ y definimos entre ellos una función biyectiva, entonces esto significará que tienen el mismo número de elementos. Si tal cosa no es posible, entonces sus números de elementos son distintos, o uno mayor que otro. Sin embargo, si es posible definir una función suprayectiva de $A$ sobre $B$ entonces sabremos que el número de elementos de $A$ es mayor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una función inyectiva de $A$ a $B$ entonces el número de elementos de $A$ es menor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una biyección de $A$ sobre $B$ entonces el número de elementos de $A$ y $B$ es el mismo. Estas pequeñas observaciones para conjuntos finitos se pueden extender para conjuntos infinitos. Es decir, este mismo método de contar, mediante biyecciones entre conjuntos, se puede extender a cualquier conjunto, sea finito o infinito. Es decir, con la ayuda de las biyecciones podemos definir la noción de número de cualquier tamaño.
     Ahora, veamos que el número de elementos del conjunto de números pares es el mismo que el de los números naturales. Denotemos por $\mathbb{PAR}$ el conjunto de números pares; es decir, $$\mathbb{PAR}=\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}.$$ Definamos $g:\mathbb{PAR}\rightarrow\mathbb{N}$ como sigue: \begin{align} g:\mathbb{PAR}&\rightarrow\mathbb{N}\notag\\ k&\mapsto \frac{k}{2}\notag. \end{align}      Esta función $g$ es suprayectiva e inyectiva. Veamos que es suprayectiva, es decir, que $g(\mathbb{PAR})=\mathbb{N}$. Sea $n\in\mathbb{N}$; entonces $2n\in\mathbb{PAR}$ y $g(2n)=n$. Por lo tanto, para todo $n\in\mathbb{N}$ exite $k\in\mathbb{PAR}$ tal que $g(k)=n$; a saber, $k=2n$. Veamos que $g$ es inyectiva. Sean $k,p\in\mathbb{PAR}$ tales que $g(k)=g(p)$. Entonces, por definición de $g$, tenemos que $$\frac{k}{2}=\frac{p}{2}.$$ De aquí, $k=p$; por lo tanto, $g$ es inyectiva, y por lo tanto biyectiva, así que el número de elementos de $\mathbb{PAR}$ es igual que el de $\mathbb{N}$.
     Notemos que la función inversa de $g$ es \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathbb{PAR}\notag\\ n&\mapsto 2n\notag. \end{align} Y $f$ también es biyectiva.
     Ahora consideremos la $f$ anterior y la inclusión $j:\mathbb{PAR}\hookrightarrow\mathbb{N}$. La composición $j\circ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ no es una biyección, pues en esta composición nos sobran los impares en el lado derecho; es decir, esta función no aparea biunívocamente elementos de uno y otro conjunto; dicho de otro modo, esta función no es un conteo.

3. Números transfinitos

Un resultado conocido dentro de las matemáticas (el Teorema de Cantor) es que dado un conjunto $A$ (sea finito o infinito), no es posible encontrar o definir una función suprayectiva $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ (de $A$ sobre su conjunto potencia $\mathcal{P}(A)$). Sin embargo, sí se puede definir una función inyectiva $g$ de $A$ en $\mathcal{P}(A)$; a saber \begin{align} g:A&\rightarrow\mathcal{P}(A)\notag\\ a&\mapsto\{a\}\notag. \end{align} Así que esto nos dice que siempre, sea $A$ finito o infinito, el número de elementos de $\mathcal{P}(A)$ es estrictamente mayor que el de $A$. En particular, esto es cierto para $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mathbb{N}$.
     Ahora, por otro lado, se tiene que dado un conjunto $A$ y $B\subseteq A$, podemos definir la siguiente función $\chi_B:A\rightarrow 2$ (llamada la función característica de $B$), donde $2=\{0,1\}$, como $$\chi_B(a)=\begin{cases} 1 &\text{si $a\in B$}\\ 0 &\text{si $a\notin B$}. \end{cases}$$      Entonces, veamos que existe una biyección entre $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ (el conjunto de todas las funciones que van de $A$ a 2).
     Definamos esa función $h:\mathcal{P}(A)\rightarrow 2^A$ como \begin{align} h:\mathcal{P}(A)&\rightarrow 2^A\notag\\ B&\mapsto\chi_B\notag. \end{align} Veamos que $h$ es suprayectiva. Sea $f:A\rightarrow 2$ una función cualquiera de $A$ a $2$. Definamos entonces $$C:=f^{-1}(\{1\}).$$      Entonces, $C\subseteq A$ y se tiene que $\chi_C=f$; por lo tanto, $h(C)=f$, así que $h$ es suprayectiva.
     Es fácil ver que si $B,C\subseteq A$ y $\chi_B=\chi_C$ entonces $B=C$, y por lo tanto $h$ es inyectiva. Así que $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ tienen el mismo número de elementos.
     Entonces, volviendo a $\mathbb{N}$, tenemos que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$ tienen el mismo número de elementos, y sabemos que el número de elementos de $2^{\mathbb{N}}$ es $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, que es el número de elementos de $\mathbb{R}$, así que $\aleph_0=|\mathbb{N}|<|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=\aleph_1$ (las barras denotan “número de elementos”). Entonces, de manera indirecta se ha demostrado que hay más números reales que naturales, sin usar el argumento de las expansiones decimales.
     Así que podemos encontrar números infinitos cada vez más grandes: si $A$ es infinito, $$|A|<|\mathcal{P}(A)|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A)))|<\ldots$$

4. Teorema de Cantor y el argumento por la diagonal¹

Lo que se demuestra en el Teorema de Cantor es que dado un conjunto $A$, no se puede definir una función suprayectiva de $A$ sobre $\mathcal{P}(A)$. La demostración es bastante simple; es la siguiente.
     Sea $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ una función. Veamos que no es suprayectiva. Sea $$B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}.$$ Se tiene que $B\subseteq A$ y no hay $a\in A$ tal que $f(a)=B$, pues de haberlo si $a\in B$ entonces $a\notin f(a)=B$, contradicción; si $a\notin B=f(a)$ entonces $a\in B$ por definición de $B$, contradicción.
     La definición de $B$ es una generalización del argumento por la diagonal. Ahora veamos en qué consiste el argumento por la diagonal de Cantor. Tal argumento demuestra que no es posible definir una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$. Para hacerlo bastará demostrar que $|[0,1]|\neq\aleph_0$ (basta demostrarlo para $[0,1]$ porque se tiene la siguiente sucesión de funciones inyectivas: $$\mathbb{R}\overset{h}{\rightarrow}(0,1)\hookrightarrow[0,1]\hookrightarrow\mathbb{R},$$ donde \begin{align} h:\mathbb{R}&\rightarrow (0,1)\notag\\ x&\mapsto \frac{e^x}{1+e^x}\notag \end{align} y las otras dos funciones son las inclusiones. Así que se tiene que $$|\mathbb{R}|\leq |(0,1)|\leq |[0,1]|\leq|\mathbb{R}|,$$ y, por lo tanto, $|\mathbb{R}|=|(0,1)|=|[0,1]|$). La demostración será por contradicción. Supongamos que [0,1] y $\mathbb{N}$ tienen el mismo número de elementos. Es decir, supongamos que existe una función biyectiva f:N→[0,1]; en otras palabras, que para todo $s\in[0,1]$ existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $f(n)=s$, y para cualesquiera $n,m\in\mathbb{N}$, si $f(n)=f(m)$ entonces $n=m$. Esto significa que podemos numerar todos los elementos de [0,1]. Digamos que dicha numeración es la siguiente: $$b_0, b_1, b_2,\ldots$$ Es decir que $f(0)=b_0$, $f(1)=b_1$, $f(2)=b_2,\ldots$ Que en general, $f(n)=b_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, donde $b_n\in [0,1]$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. Entonces, tenemos lo siguiente: \begin{align} b_0&=0.b_{00} b_{01} b_{02}\ldots\notag\\ b_1&=0.b_{10} b_{11} b_{12}\ldots\notag\\ b_2&=0.b_{20} b_{21} b_{22}\ldots\notag\\ \vdots\notag \end{align} Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada $b_{ii}$, sea $0\leq a_i\leq 9$ un dígito distinto de $b_{ii}$. Entonces, el número real $a$ con expansión decimal $$0.a_0 a_1 a_2\ldots$$ no es ninguno de los $b_i$. Se tiene que $a\neq b_0$, porque $a_0\neq b_{00}$; que $a\neq b_1$, porque $a_1\neq b_{11}$; que $a\neq b_2$, porque $a_2\neq b_{22}$; en general, $\forall i\in\mathbb{N}\ a\neq b_i$, porque $\forall i\in\mathbb{N}\ a_i\neq b_{ii}$. Esto significa que $f$ no es una suprayección, pues no existe $i\in\mathbb{N}$ tal que $f(i)=a$. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre $[0,1]$ y $\mathbb{N}$, y en consecuencia entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$.
     Ahora veamos por qué definir $B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$ es una generalización del argumento por la diagonal. Tenemos que $2^{\mathbb{N}}$ es el conjunto de todas las funciones que van de $\mathbb{N}$ a $2=\{0,1\}$. En otras palabras, son sucesiones de 0s y 1s. Si $g$ fuera una tal función, $g$ podría ser $$g(0)=0,g(1)=1,g(2)=1,g(3)=0,g(4)=0,\ldots$$ es decir, $$01100\ldots$$ Si la escribiéramos como $0.01100\ldots$ tendríamos la expansión binaria de un número en el intervalo $[0,1]$. Es decir, $2^{\mathbb{N}}$ podemos considerarlo como $[0,1]$.
     Si $A=\mathbb{N}$ en la demostración del Teorema de Cantor entonces tendríamos que $$B=\{n\in\mathbb{N}\mid n\notin f(n)\}.$$ Tenemos que $f(n)$ nos da un subconjunto de $\mathbb{N}$; si pensamos en la biyección entre $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$, lo que obtendríamos sería $\chi_{f(n)}$, la función característica de $f(n)$, y entonces que “$n\notin f(n)$” significaría que $\chi_{f(n)}(n)=0$. Entonces, al considerar $B$ como elemento de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, lo que obtenemos del otro lado es $\chi_B$, que cambia los 0s por 1s y los 1s por 0s en la diagonal $\chi_{f(i)}(i)$ de la matriz infinita $\chi_{f(-)}(-)$.

5. Aclaraciones

Hay varios conceptos que se pueden encontrar asociados con la noción de infinito, además del de número de elementos. Uno de ellos es el de medida (sugiero mejor leer la entrada en inglés). Por ejemplo, la longitud (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$) de la recta real es infinita y la del intervalo $[0,1]$ es 1. Que haya una biyección entre $\mathbb{R}$ y $[0,1]$ no significa que se meta un conjunto de longitud infinita dentro de uno de longitud 1, sólo que tienen el mismo número de elementos y sólo eso: una biyección no mete un conjunto dentro de otro, sólo aparea elementros entre conjuntos. Se tiene que el área (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^2$) de $[0,1]\times [0,1]$ es 1 y el área del intervalo $[0,1]$ es 0, al igual que el área de $\mathbb{R}$. Es decir, la medida de Lebesgue definida sobre $\mathbb{R}$ no es la misma que la definida sobre $\mathbb{R}^2$.
     Una curva de Peano es una función continua suprayectiva que va del intervalo $[0,1]$ sobre $[0,1]^k$ para $k\leq\infty$. Las curvas de Peano no pueden ser inyectivas, pues de serlo eso significaría que $[0,1]$ y $[0,1]^k$ son homeomorfos; es decir, que como espacios se comportan igual, pero no es así, pues el cuadrado unitario $[0,1]\times [0,1]$ no tiene puntos de corte, pero el intervalo unitario $[0,1]$ sí (todos salvo los extremos). A pesar de eso, existe una biyección entre $[0,1]$ y $[0,1]\times [0,1]$, lo que significa que tienen el mismo número de elementos y sólo eso, no que como espacios sean iguales: dicha biyección no puede ni es continua, pues de serlo, como espacios serían iguales.
     Las dos observaciones anteriores lo que muestran es que cuando uno está interesado en comparar el número de elementos de dos conjuntos, uno sólo está interesado en los conjuntos sin considerar alguna estructura sobre estos, como podría ser un orden parcial, una topología, una medida, etc, pues si hemos de comparar esos conjuntos junto con sus estructuras, las funciones que hemos de considerar tienen que preservar dicha estructura: entre conjuntos ordenados las funciones tienen que preservar el orden (ser monótonas), entre espacios topológicos tienen que ser continuas, entre espacios medibles (con una medida) tienen que ser medibles, etc. Por ejemplo, hay una biyección entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario, pero no una biyección continua con inversa continua.
     Otro concepto que podría encontrarse asociado con la noción de infinito es el de distancia: se puede hablar de distancias infinitas.
     Se ha de notar que cuando se trata de medida o distancia, una medida o distancia infinita se denota $\infty$ y cuando se trata de número de elementos infinito, se denota con los $\aleph$, pues “longitud” y “número de elementos” son conceptos distintos.

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1. El texto anterior fue un mensaje que le mandé a Fermín Huerta por correo electrónico en respuesta a una entrada en su blog. No lo puse como comentario a dicha entrada debido a que Blogger sólo me deja poner comentarios de a lo más cuatro mil y cacho caracteres, y este texto tiene más de lo permitido. Fermín me pidió que publicara dicho texto. Las secciones 4 y 5 no estaban en el mensaje, pero resultan útiles para demostrar afirmaciones anteriores.
     Modifiqué un poco el texto para que cualquier lector lo pueda leer independientemente de los comentarios vertidos en la entrada mencionada.
     Me piqué con la entrada de Fermín y me entusiasmé por hablar de matemáticas en mi blog. Gracias, Fermín.↩

Zoroastrismo V

La muerte y el más allá¹

La mayor aflicción general humana es la muerte, y la muerte fuerza las almas individuales, a través del periodo de la Mezcla, a abandonar el mundo getig y a regresar, por un tiempo, al deficiente estado menog. Cuando un espíritu se marcha, según Zoroastro, es juzgado sobre lo que ha hecho en esta vida para contribuir a la causa de la bondad. Enseñó que tanto las mujeres como los hombres, que tanto los siervos como los amos, pueden esperar alcanzar el Paraíso, pues la barrera física de los días paganos, el “Puente del Separador”, se vuelve, en su revelación, en un lugar de juicio moral donde cada alma deberá depender, no del poder y riqueza de las ofrendas en la vida que haya dejado atrás, sino de sus propios logros éticos. En este juicio Mithra preside el tribunal, flanqueado por Sraosha y Rashnu, quien sostiene la balanza de la justicia. En esta se pesan los pensamientos, las palabras y las acciones del alma, el bien en un lado, el mal en el otro. Si el bien es más pesado, el alma es juzgada digna del Paraíso, y es guiada por una hermosa doncella, la personificación de su propia conciencia (“daena”), a través del amplio puente y hacia arriba en lo alto. Si la balanza se inclina hacia el lado del mal, el puente se contrae al ancho del filo de la hoja de un cuchillo, y una horrorosa bruja que se encuentra con el alma mientras intenta cruzar, la toma con sus brazos y se sumerge con ella en el infierno, “la morada de la Peor Intención” (Y 32.13), donde el malintencionado soporta un “largo periodo de miseria, de oscuridad, mala comida y de la verdadera aflicción” (Y 31.20). El concepto de infierno, un lugar de tormento presidido por Angra Mainyu, parece ser del propio Zoroastro, creado por su profundo sentido de la necesidad de justicia. Aquellas pocas almas “cuyas falsedades quedan en justo equilibrio” (Y 33.1) van al “Lugar de los Mezclados”, Misvan Gatu, donde, como en el antiguo reino de inframundo de los muertos, llevan una existencia gris, sin alegrías ni penas.
     Incluso para las almas en el Paraíso la dicha absoluta no será perfecta durante el periodo de Mezcla, pues la felicidad completa sólo podrá venir otra vez en el Frashegird. Los iranios paganos habían sostenido presumiblemente que inmediatamente después de que cada alma bendecida alcanzara el Paraíso, se reuniría con su cuerpo resucitado, para vivir otra vez una vida feliz con plena sensación; sin embargo, Zoroastro enseñaba que los bendecidos debían esperar esta culminación hasta el Frashegird y el “cuerpo futuro” (en los libros Pahlavi “tan i pasen”), cuando la tierra devolviera los huesos de los muertos (Y 30.7). Esta resurrección general será sucedida por el Juicio Final, el cual separará a todos los rectos de los perversos, tanto a aquellos que hayan vivido hasta ese momento, como a aquellos que ya hayan sido juzgados. Entonces Airyaman, el Yazata de la amistad y la curación, junto con Atar, el Fuego, fundirán todo el metal en las montañas, y este fluirá en un río resplandeciente sobre la tierra. Toda la humanidad deberá pasar por este río, y como se dice en un texto Pahlavi, “para aquel que es recto, parecerá leche tibia y para aquel que es malintencionado, parecerá como si caminara descalzo sobre metal fundido” (GBd XXXIV. r8-r9). En esta gran visión apocalíptica, Zoroastro fusionó, quizá inconscientemente, los relatos de erupciones volcánicas y corrientes de lava ardiente, con sus propias experiencias de las pruebas iranias con metal fundido; de acuerdo con su estricta enseñanza original, la justicia estricta prevalecerá entonces, como en cada juicio individual sobre la tierra por una prueba abrasadora. Así que en esta última prueba de todos, los perversos sufrirán una segunda muerte, y desaparecerán de la faz de la tierra. Los Daevas y las legiones de la oscuridad habrán sido aniquilados en una última gran batalla con los Yazatas, y el río de metal fluirá hacia el infierno, dando muerte a Angra Mainyu y quemando el último vestigio de la maldad en el universo.
     Ahura Mazda y los seis Amesha Spentas entonces celebrarán un último yasna espiritual, al ofrecer el último sacrificio (después del cual no habrá más) y al hacer una preparación del místico “haoma blanco”, el cual conferirá inmortalidad a los cuerpos resucitados de todos los bendecidos, quienes participarán de esta. A partir de entonces los hombres se volverán como los Inmortales mismos, de un solo pensamiento, palabra y acto, sin envejecer, libres de enfermedad, sin corrupción, para siempre felices en el reino de Dios sobre la tierra. Pues es en este mundo familiar y bienamado, restaurado a su perfección original, en que, según Zoroastro, la eternidad ocurrirá en felicidad absoluta, y no en un Paraíso remoto e insustancial. Así que el periodo de Separación será una renovación del periodo de Creación, salvo que no se profetiza ningún regreso a la unicidad original de las cosas vivientes. Montaña y valle darán lugar una vez más a la llanura; sin embargo, mientras que al principio había una sola planta, un solo animal y un solo hombre, permanecerá para siempre la rica variedad y número que ha surgido de aquellos desde entonces. Similarmente, las muchas divinidades a las que les dio existencia Ahura Mazda, seguirán teniendo sus existencias separadas. No hay ninguna profecía de su reabsorción en el Altísimo. Como lo pone un texto Pahlavi: “después de Frashegird, Ohrmazd y los Amahraspands y todos los Yazads y los hombres estarán juntos... Cada lugar parecerá un jardín en primavera en que hay todo tipo de árboles y flores... Y será por completo la Creación de Ohrmazd” (Pah.Riv.Dd. XLVIII, 99, 100, 107).
     Zoroastro fue de este modo el primero en enseñar las doctrinas de un juicio individual, un Cielo y un Infierno, la futura resurrección del cuerpo, el Juicio Final general y la vida eterna para el alma y cuerpo reunidos. Estas doctrinas hubieron de volverse artículos familiares de fe para muchos de los hombres, a través de préstamos por parte del judaísmo, cristianismo y el islam; sin embargo, es en el zoroastrismo mismo que tienen su máxima coherencia lógica, puesto que Zoroastro insistía tanto en la bondad de la creación material y, en consecuencia, en la del cuerpo físico, como en la inquebrantable imparcialidad de la justicia divina. Según él, la salvación para el individuo dependía de la suma de sus pensamientos, palabras y actos, no había ninguna intervención, fuera compasiva o caprichosa, por parte de algún Ser divino para alterarla. Con tal doctrina, la creencia en el Día del Juicio tenía su fatal significado pleno: cada hombre había de asumir la responsabilidad del destino de su propia alma, como también de recibir parte de la responsabilidad por el destino del mundo. El evangelio de Zoroastro fue de este modo uno noble y enérgico, que llamó tanto al coraje y a la resolución en aquellos dispuestos a recibirlo.

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Zoroastrismo IV

La creación y los tres periodos¹

Otro aspecto de la relación entre lo tangible y lo intangible se plasmó en las enseñanzas de Zoroastro: que Ahura Mazda realizó el acto de la creación en dos etapas. Primero le dio existencia a todas las cosas en un estado incorpóreo, llamado en los Pahlavi “menog”, es decir, “espiritual, inmaterial”. Entonces les dio existencia “material” o “getig”. La existencia getig es mejor que la previa menog, pues en aquella la creación perfecta de Ahura Mazda recibió el bien adicional de la forma sólida y sintiente. La formación de estos dos estados, juntos, constituyó el acto de la Creación, llamado en los Pahlavi “Bundahishn”. La realización del estado getig dispuso el terreno para la batalla contra el mal, pues, a diferencia del estado menog, aquel era vulnerable al ataque, y Angra Mainyu atacó enseguida. Según como se presenta el mito en los libros Pahlavi, Angra Mainyu irrumpió violentamente a través del cuenco inferior del cielo pétreo, estropenado de este modo su perfección. Entonces se zambulló hacia arriba por el agua, volviendo salada gran parte de ella, y atacó la tierra, creando desiertos. Enseguida marchitó la planta, y dio muerte al Toro únicamente Creado y al Primer Hombre. Finalmente, se abalanzó sobre la séptima creación, el fuego, y lo mancilló con el humo, de manera que hubo arruinado físicamente toda la buena creación.
     Los seres divinos unieron sus fuerzas. Ameretat tomó la planta, la machacó (como se machaca el haoma en el ritual yasna), y esparció su esencia por el mundo mediante nubes y lluvia, para que creciera por todos lados como más plantas. Las semillas del Toro y la del Hombre fueron purificadas en la luna y el sol, y más ganado y hombres brotaron de aquellas. Así que, en la versión zoroastrista del viejo mito, el sacrificio generoso, atribuido originalmente a los dioses paganos, se señaló como un acto malvado de Angra Mainyu, pues fue él quien trajo decadencia y muerte en el mundo perfecto y estático de Ahura Mazda. Sin embargo, los Amesha Spentas fueron capaces, a través de su poder santo, de convertir los actos malignos de Angra Mainyu en benignos, y tal debe ser el esfuerzo constante de toda la buena creación.
     La “Creación” fue el primero de los tres periodos en los que fue dividido el drama de la historia cósmica. El ataque de Angra Mainyu inauguró el segundo, el de la “Mezcla” (en los Pahlavi “Gumezisn”), durante el cual este mundo ya no es completamente bueno, sino una mezcla de bueno y malo; pues puesto en marcha el ciclo de la existencia, Angra Mainyu continuará atacando, con los Daevas y todas las otras legiones de la oscuridad a las que les dio existencia para oponerse a las Yazatas, y, juntos, no sólo inflingir males físicos sino también todo mal moral y espiritual que cada hombre padece. Para resistir sus ataques, el hombre ha de venerar a Ahura Mazda y a los seis Amesha Spenta, y traerlos tan plenamente en el propio corazón y ser, que no haya cabida para el vicio y la debilidad. También debe alabar a todos los generosos Yazatas, algunos de los cuales, como los Ahuras menores (dos veces invocados por Zoroastro mismo en los Gathas) lo ayudarán también en sus luchas morales, mientras que otros, como el Sol y la Luna, harán su parte manteniendo el mundo físico fuerte y conforme a asha.
     De acuerdo con la nueva revelación de Zoroastro, la humanidad compartió de este modo, con las divinidades spentas, el gran propósito común de gradualmente vencer al mal y restaurar el mundo a su perfecto estado original. Al momento glorioso en que esto se llevará a cabo se le llama “Frashokereti” (en los Pahlavi “Frashegird”), un término que probablemente significa “Curación” o “Renovación”. Con ese momento, la historia cesará, pues el tercer periodo, el de la “Separación” (en los Pahlavi “`Wizarishn”), tendrá lugar. Este es el periodo en que lo bueno, de vuelta, estará separado del mal, y puesto que el mal será completamente destruido, el periodo de la Separación será eterno, y en él Ahura Mazda y todos los Yazatas y los hombres y las mujeres vivirán juntos para siempre en paz y en perfecta y tranquila bondad.
     Postulando de esta manera no sólo un comienzo sino también un final de la historia humana, Zoroastro hizo una ruptura profunda con las ideas anteriores, según las cuales el proceso de la vida, una vez comenzado, se esperaba que continuara para siempre, si los hombres y los disoses hacían lo que les correspondía. El viejo concepto de la cooperación entre divinidad y adorador, como necesaria para mantener el mundo conforme a asha, persistió en sus enseñanzas, pero le dio a esta cooperación un nuevo significado: no sólo estaba dirigida a preservar el mundo tal cual es, sino a alcanzar una meta final de perfección restaurada. Más aún, su revelación le dio al hombre nueva dignidad, pues conforme a esa revelación fue creado para ser aliado de Dios, trabajando con él para lograr la victoria sobre el mal, la cual es anhelada por ambos.
     La doctrina de los Tres Periodos ---la Creación, la Mezcla, la Separación--- hace a la historia, en cierto sentido, cíclica: en el tercer periodo, el mundo getig será restaurado a la perfección que poseía en el primero. Mientras tanto todas las penas y luchas del periodo presente de la Mezcla son parte de la batalla contra Angra Mainyu. De esta manera, Zoroastro no sólo vio un propósito noble para la humanidad, sino también ofreció a los hombres una explicación razonada para lo que tienen que soportar en esta vida, al considerar esto como aflicción traida por el Espíritu Hostil, y no al imputar, a la voluntad de un Creador todopoderoso, el sufrimiento de sus creaturas aquí abajo.

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Zoroastrismo III

La heptada y las siete creaciones¹

Estas enseñanzas eran fundamentalemente nuevas, pero fue la vieja cosmogonía que proveyó la base para el pensamiento de Zoroastro. Así que el primer acto que concibió Zoroastro realizó Ahura Mazda fue la evocación (a través de su Espíritu Santo, Spenta Mainyu) de seis divinidades menores, los Seres radiantes de la primera visión de Zoroastro. Estas divinidades formaron una heptada con Ahura Mazda mismo, y procedieron, junto con él, a dar forma a las siete creaciones que hacen el mundo. La evocación de las seis está descrita variadamente en los trabajos zoroastristas, pero siempre se hace de maneras que sugieren la unidad esencial de la divinidad generosa. De esta manera, se dice que Ahura Mazda es su padre, o que se ha fundido con ellas, y, en un texto Pahlavi, la creación que él ha hecho de ellos se compara a encender, con una antorcha, otras antorchas.
     Los seis grandes Seres a su vez, Zoroastro enseñaba, evacaban a otras divinidades generosas, quienes son de hecho los dioses generosos del panteón pagano iranio. (él mismo invoca a un número de ellos en los Gathas, notablemente a los otros Ahuras, es decir, a Mithra y Apam Napat, a Sraosha, Ashi y Geush Urvan). Todos estos seres divinos, que son, según su doctrina, directa o indirectamente las emanaciones de Ahura Mazda, luchan bajo su mando, según sus varias tareas asignadas, para favorecer el bien y derrotar el mal. En conjunto, son conocidos en el zoroastrismo como los Yazatas, los “Seres dignos de alabanza”, o los Amesha Spenta, los “Santos Inmortales”. Aunque el último término no ocurre en los Gathas, lo más probable es que haya sido acuñado por Zoroastro mismo para distinguir aquellos seres revelados a él como generosos, de la generalidad de los dioses paganos, que eran invocados como “Todos los Inmortales” en los Vedas; pues Zoroastro rechazaba con los mayores coraje y firmeza la alabanza de los belicosos, amorales Daevas —es decir, Indra y sus compinches—, a quienes consideraba seres de la raza de intención maligna (Y 32.3). “Los Daevas no eligieron correctamente, pues el Impostor vino a ellos cuando lo consultaron, de manera que eligieron la peor intención. Entonces fueron poseídos por la Ira, a través de quien afligieron la vida del hombre” (Y 30.6). Para Zoroastro, los Daevas eran malignos por naturaleza y malignos por elección, como Angra Mainyu mismo —falsos dioses que no debían de ser alabados porque estaban ahí para el conflicto entre los hombres, atrayéndolos a través de la codicia por ofrendas al derramamiento de sangre y a los conflictos destructivos—.
     La palabra crucial “spenta”, usada por Zoroastro para Ahura Mazda y toda su creación, es uno de los términos más importantes en su revelación. Básicamente, parece, significa “poseer poder”, y cuando se usa para las divinidades generosas, como “poseer poder para ayudar, socorrer”; de aquí, “favorecer, sostener, beneficiar”. A través del constante uso religioso, spenta adquirió matices de significado, como la palabra “sacro, santo [holy]”, que, de manera similar, origininalmente significaba “poderoso, fuerte”. Por lo tanto, “santo” es una interpretación cercana para “spenta”; pero para evitar conceptos ajenos al zoroastrismo, algunos expertos han preferido “generoso [bounteous]” como traducción estándar. Sin embargo, esta palabra tiene la debilidad de que no tiene ninguna asociación religiosa en inglés, y por lo tanto no conlleva el sentido de veneración implícita en el spenta zoroastrista. La interpretación como “santo” se ha preferido de manera general en este libro.
     Aunque el título de Amesha Spenta puede usarse para cualquiera de las divinidades de la creación de Ahura Mazda, se aplica particularmente a las seis grandes de la propia visión del profeta, las otras divinidades menores referidas como los Yazatas. La doctrina de los seis Santos Inmortales es fundamental en las enseñanzas de Zoroastro, y tiene consecuencias éticas y espirituales de largo alcance, puesto que estos Seres hipostasian cualidades o atributos de Ahura Mazda mismo, y pueden, a su vez (si se les solicita y venera apropiadamente) conferirlas a los hombres. Para cada individuo, como para el profeta mismo, el Inmortal que dirige el camino hacia todos los demás es Vohu Manah, “la Buena Intención”; y su más cercano confederado es Asha Vahishta, “la Mejor Rectitud” —la divinidad que personifica el poderoso principio de asha, a quien Zoroastro menciona en los Gathas más veces que a cualquier otro de los seis—. Luego está Spenta Armaiti, “la Santa Devoción”, que encarna la entrega a lo que es bueno y justo; y Khshathra Vairya, “el Deseable Dominio”, que representa tanto el poder que cada persona debería ejercer adecuadamente para la rectitud en esta vida, como el poder y reino de Dios. El último par es Haurvatat y Ameretat, “la Salud” y “la Larga Vida”, quienes no sólo alargan esta existencia mortal, sino quienes también confieren ese bienestar y vida eternos, los cuales pueden obtenerse mediante la rectitud en presencia de Ahura Mazda.
     Que los atributos divinos deban aislarse, y luego invocarse y alabarse como seres independientes era una característica de la religión irania pagana, como hemos visto en el caso de Mithra, rodeado de la Amistad, la Obediencia, la Justicia, el Coraje y la Gracia Divina. Así que el molde en que Zoroastro vació su nueva doctrina ya era antiguo. Consideró a los seis grandes como similarmente cercanos al Señor Supremo; y se dice de ellos en el Avesta más temprano (Yt 19.16-18) que son una “sola mente, una sola voz, un solo acto... De uno se contempla el alma del otro, al pensar en buenos pensamientos, buenas palabras, buenas acciones... Ellos que son los creadores, formadores, hacedores, observadores y guardianes de las creaciones de Ahura Mazda”. En la antigua religión irania, también existió la tendencia de asociar divinidades “abstractas” con fenómenos físicos, tan estrechamente que (como en el caso de Mithra y Apam Napat) se consideraba que los fenómenos podían representar a las divinidades mismas; ya en los Gathas, la asociación de los siete Amesha Spentas con las siete creaciones era de este tipo. La naturaleza del vínculo en cada caso parece haber sido entendida por el profeta a través de sus meditaciones acerca del yasna, el acto diario de alabanza por el cual las siete creaciones eran preservadas y bendecidas. Cavilando sobre los rituales del yasna, llegó a reconocer que, dentro de cada una de las cosas que como sacerdote veía y manipulaba, había una presencia inmaterial, una divinidad oculta, de modo que, a través de estos ritos, realizados principalmente para la preservación del mundo físico, sacerdote y creyentes podrían al mismo tiempo, buscar un bien moral y espiritual, honrando y esforzándose para unirse a los grandes e invisibles Amesha Spentas. Así fue añadida una nueva dimensión a las prácticas religiosas de tiempos antiguos.
     El vínculo de cada divinidad con su creación es uno razonable, pues el zoroastrismo, una vez que sus premisas sostenidas de manera intuitiva —o reveladas de manera divina— se toman por ciertas, es esencialmente una fe racional. De modo que Khshathra, el Deseable Dominio, es el señor del sólido cielo de piedra, quien se arquea de manera protectora sobre la tierra. La modesta tierra pertenece a Spenta Armaiti, la Santa Devoción. El agua es la creación de Haurvatat, la Salud, y las plantas pertenecen a Ameretat, la Larga Vida o la Inmortalidad. Vohu Manah, la Buena Intención, es el señor de la vaca dulce y generosa, quien era, para los nómadas iranios, un poderoso símbolo de bondad creativa, de aquello que sustenta y nutre. El fuego, que se encuentra presente en las otras creaciones y que, a través del sol, controla las estaciones, está bajo la protección de Asha Vahishta, el Orden que ha de regular y correr por el mundo. Finalmente, el hombre mismo, con su inteligencia y poder de elección, pertenece especialmente a Ahura Mazda, el Señor Sabiduría, quien efectuó la primera elección de todas. Estas asociaciones, sutilmente aludidas en los Gathas, están claramente presentadas en la literatura posterior.
     El orden de la gran heptada de divinidades frecuentemente no corresponde con la secuencia cronológica de las siete creaciones. Esto se debe a que era natural mencionarlos, de manera habitual, según su valor y dignidad espirituales, con Ahura Mazda a la cabeza, como legítimamente le correspondía. Cualquiera de las siete grandes podía ser interpelada por cualquier devoto individual —en realidad, debía invocarlas a todas, si ha de convertirse en un hombre perfecto; sin embargo, dos de ellas tenían un vínculo especial con dos grupos sociales—. Armaiti, en tanto que guardian de la modesta tierra, era el protector de los pastores, quienes dependían estrechamente de su generosidad, y quienes, dado que eran los miembros más modestos de la sociedad, particularmente necesitaban la virtud de la sumisión; mientras que Khshathra, señor del noble y protector cielo y, por lo tanto, completamente pétreo, era, apropiadamente, el guardian de los guerreros, los cuales tenían el deber de usar sus armas —sus flechas y lanzas de punta de pedernal, sus hondas y sus pesadas mazas— para proteger al pobre y al débil, y no para despojarlo o perjudicarlo. El tercer grupo social, los sacerdotes, quienes eran la clase educada, se sentía sin duda particularmente bajo la protección de Ahura Mazda, el Señor Sabiduría, cuya creación, la humanidad, representaban los sacerdotes en el yasna, pero el poder del Señor Supremo es tan omnímodo, que en la tradición no se le da tanta importancia.
     Siendo creación de Ahura Mazda, todo hombre debe no sólo valorar las seis creaciones menores, sino también debe velar por su propio bienestar físico y moral, y cuidar a su prójimo, pues este es igualmente la criatura especial de Dios. El código ético particular que Zoroastro les dio a sus seguidores bajo el cual vivir les exigía buenos pensamientos, buenas palabras y buenas acciones —una ley moral admirable que parece una generalización de la triple exigencia hecha al sacerdote iranio, el cual, para realizar un acto de alabanza, necesitaba en efecto una intención buena, palabras correctas y rituales apropiados—.
     De este modo, la doctrina de los siete Amesha Spentas y las siete creaciones inspiró una moral de conjunto e inculcaba en el hombre un profundo sentido de responsabilidad por el mundo a su alrededor. Es el líder de las creaciones, pero está ligado a las otras seis por el vínculo de un propósito compartido, pues toda creación spenta lucha por una meta común, el hombre de manera consciente, el resto de manera instintiva o natural, pues a todos se les dio existencia con este único fin, a saber, la derrota total del mal.


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Θεός πολίτικον (o el problema del mal)

Dios es como un político: en sus presentaciones aparece con grandes capacidades: todo bueno, todo justo, brillante, luminoso; sin embargo, no hace absolutamente nada, y cuando llega a hacer algo que usualmente debería de hacer, su séquito se lo alaba como un gran logro de su mandato (algo extraordinario, un milagro)¹.


¹La existencia del mal y la de un dios omnipotente, omnisciente y moralmente perfecto plantea un problema. A este se le llama en filosofía el problema del mal. El enlace da a la entrada sobre el tema en la Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Hablar en cuarta, quinta, sexta persona

Estábamos Luis Rodrigo, Cuqui y yo en casa de José Luis comiendo tamales, por la Fiesta de la Candelaria, cuando José Luis nos dijo que Quijote, su gato, no se acercaba a su comida porque ya la había olido un gato. Y comenzó a explicarnos que los gatos suelen acercarse a oler la comida (me imagino que sobre las mesas) aunque no la coman y que hay personas a las que les desagrada que los gatos hagan eso con su comida (la de las personas, no la de los gatos); que así le pasa a Quijote: ya no se acerca a su comida porque él ya la ha olido. Entonces Cuqui replicó: “Entonces tu gato hace lo que tú: se piensa en tercera, cuarta, quinta persona”. Luis Rodrigo preguntó: “¿Cómo sería una cuarta persona?”, y continuó: “Estaría padre que hubiera tercera persona del plural para el caso en que uno se incluye y otra [también tercera] para el caso en que no”. Yo repliqué: “Es la primera persona del plural, y es que uno incluya o no a alguno de los interlocutores”. Dijo: “Sí, la primera”.
     La plática se desvió, no recuerdo hacia qué tema; sin embargo, yo me quedé pensando en cómo o qué o cuál podría ser la cuarta persona, así que aproveché cuando se hizo un silencio corto para decir cuál sería: “La cuarta persona sería la persona de la que hablaría un tercero [y que no estuviera presente]... Se haría añadiendo una terminación a la tercera persona, y se añadiría otra vez para la quinta, y otra vez para la sexta, y otra vez para la séptima, y así”. A lo que Luis Rodrigo rápidamente sugirió: “Elet”. Y continué: “Ajá, elet, eletet, eletetet, y así; para la cuarta, quinta, sexta persona, y así. Por ejemplo, ‘Él dijo que elet es...’”. E interrumpiéndome, más o menos retador, me preguntó: “¿Y cómo se conjugaría el verbo ser en la cuarta persona?”. Nos miramos todos, salvo Luis Rodrigo, haciéndonos cara de “nooo, se está complicando”. Y Luis Rodrigo sugirió: “Eset... Ah, y para la cuarta persona del plural Ellots sonet”. Y todos nos empezamos a reír. José Luis dijo que parecía catalán. Y seguimos: “Ellats sonet”. Pero entonces pregunté: “¿Y si hay dos cuartas personas?”. Me contesté: “Habría que utilizar algo como los subíndices”. Y José Luis gritó desde la cocina (porque se paraba, caminaba a la cocina y se regresaba a la mesa): “¡Con un prefijo!”. Sugerí: “Pro”, y luego Luis Rodrigo: “Proto... Ah, no”. Proseguí: “Sí... No, mejor como español: ono, doso, treso..: onoelet”. Luis Rodrigo dijo: “Mejor sec para el segundo”. Sugerí: “seco”. Asintió: “Se oye bien”. Y solté una frase: “Onoelet le platicaba a sequelet que eletet era... muy loco”. (Por supuesto, no conjugué correctamente, pues debí decir: “Onoelet le platicábat a sequelet que eletet ératet muy loco”). Y nos empezamos a reír. Entonces añadí: “Se entiende todo, ¿no? Porque si no, diríamos: ‘Él le platicaba a él que él estaba muy loco’. No se entiende nada”.
     Entonces cambiamos de tema otra vez. Pero luego de un buen rato de charla, me volví hacia Luis Rodrigo y le dije: “Creo que también habría que hacer pronombres de complemento directo, indirecto para las cuarta, quinta, sexta personas... Y así”.
     En algún momento durante la plática sobre las personas posterciarias, Luis Rodrigo dijo que en el idioma de los huicholes sólo se puede hablar de lo que uno ve o de lo que otro le ha contado a uno que ha visto, pero no más allá; pero empezó a dudar si se trataba de los huicholes. Yo le dije que así era el idioma de los pirahãs; en palabras de su estudioso, Daniel Everett: “[Their] Grammar and... are restricted to concrete, immediate experience (where an experience is immediate in Pirahã if it has been seen or recounted as seen by a person alive at the time of telling)...”.
     ...Ahora que lo pienso, se podría decir: “El primero le platicaba al segundo que un tercero era muy loco”. Sin embargo, no queda claro si el tercero estaba presente o no (aunque eso se puede arreglar con una cláusula: “...un tercero, quien no estaba presente”). Me gustan más los sufijos, y los prefijos también.

Zoroastrismo II

Ahura Mazda y su Adversario¹

Esta fue la primera de varias ocasiones en que Zoroastro vio a Ahura Mazda en una visión, o en que sintió su presencia, en que escuchó sus palabras que lo llamaban por su servicio, un llamado que él obedeció de todo corazón. “Para esto” (declara) “he sido distinguido como tuyo desde el principio” (Y 44.11). “Mientras tenga poder y fuerzas, enseñaré a los hombres a procurar lo correcto (asha)” (Y 28.4). Fue como amo del asha (el orden, lo correcto y la justicia) que veneraba a Ahura Mazda. Esto era según la tradición, ya que Mazda había sido alabado desde tiempos pasados como el más grande de los tres Ahuras, los guardianas del asha; pero Zoroastro fue más allá y, a partir de las creencias aceptadas, sorprendentemente proclamó que Ahura Mazda era el único Dios increado, que existía eternamente, y era el Creador de todo lo demás que es bueno, incluyendo a todas las otras divinidades generosas.
     No se puede esperar, sin ninguna certeza, volver sobre los pasos de los procesos mentales que llevaron a Zoroastro a esta creencia exaltada, pero parece probable que haya llegado a ella a través de la meditación sobre el acto diario de la alabanza que él, como sacerdote, realizaba, y sobre las teorías cosmogónicas relacionadas con este acto. Expertos sacerdotes, como hemos visto, habían desarrollado una doctrina del génesis del mundo en siete etapas, con las siete creaciones representadas todas en el yasna, y habían postulado la unidad fundamental en la esfera de lo físico, con toda la vida proveniente de una sola planta original, un solo animal y un solo hombre. Parecería que Zoroastro se inspiró de esta doctrina para reconocer también una unicidad original semejante en la esfera de lo divino, con un único Ser generoso existente en el universo desde el comienzo, Ahura Mazda, el todo sabio, y también el todo justo y todo bueno, de quien todos los demás seres divinos emanaron.
     Las duras experiencias habían convencido evidentemente al profeta de que la sabiduría, la justicia, la bondad estaban completamente separados, por naturaleza, de la maldad y la crueldad, y en una visión observó, coexistiendo con Ahura Mazda, a un Adversario, el “Espíritu Hostil”, Angra Mainyu, igualmente increado, pero ignorante y todo maldad. Zoroastro contempló a estos dos grandes Seres con ojo profético en su remoto encuentro original: “Verdaderamente hay dos Seres primordiales, gemelos, renombrados por estar en conflicto. En pensamiento y palabra y acto son dos, lo bueno y lo malo... Y cuando estos dos Seres se encontraron por primera vez, crearon la vida y la no-vida, y que al final la peor existencia será para los seguidores de la falsedad (drug), pero la mejor morada para aquellos que posean la rectitud (asha). De los dos Espíritus, el que sigue la falsedad eligió hacer las peores cosas; el Espíritu más Santo de todos, cuya vestimenta es de la piedra más dura [es decir, el cielo] eligió la rectitud, y (asimismo lo harán todos) aquellos que satisfagan a Ahura Mazda mediante acciones justas” (Y 30.3-5).
     Un elemento esencial de esta revelación es que cada uno de estos dos Seres primordiales hicieron una elección deliberada (aunque cada uno, al parecer, según su propia naturaleza) entre el bien y el mal, un acto que prefigura la misma elección que cada hombre debía hacer para sí mismo en esta vida. El ejercicio de la elección convirtió el antagonismo inherente entre estos dos Seres en uno activo, el cual quedó expresado en una decisión tomada por Ahura Mazda, en la creación y la contra-creación, o, como lo puso el profeta, en la creación de la “vida” y la “no-vida” (es decir, la muerte); pues Ahura Mazda entendió en su sabiduría que si se convertía en Creador y creaba este mundo, entonces el Espíritu Hostil lo atacaría, porque este mundo era bueno, y se convertiría en un campo de batalla para sus dos fuerzas, y al final, Él, Dios, ganaría la gran batalla y podría destruir el mal, y así haría realidad un universo que sería todo bueno para siempre.

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Zoroastrismo I

Como ya había comentado en una entrada anterior, encuentro harto interesantes las convergencias y divergencias entre las religiones brahmánicas o abrahámicas y el zoroastrismo. Hago y comparto una traducción libre de las segunda, tercera, cuarta, quinta y sexta secciones del segundo capítulo del ya mencionado libro de Mary Boyce. Los títulos de las secciones son los mismos que los que aparecen en el libro.

Zoroastro y su misión¹

Los tiempos de Zoroastro no pueden establecerse con ninguna precisión, ya que vivió en lo que para su pueblo eran tiempos prehistóricos. El lenguaje de los Gathas es arcaico, y próximo al del Rigveda (cuya composición se ha señalado que es de alrededor de 1700 A.C., o posterior); la imagen del mundo que se obtiene de ellos es, en correspondencia, la de uno antiguo: la de una sociedad de la Edad de Piedra. Podría tener que hacerse alguna concesión por conservadurismo literario; también es posible que la gente avéstica (como es llamada la tribu de Zoroastro a falta de un mejor nombre) fuera pobre o estuviera aislada, y no fuera, de este modo, rápidamente influenciada por los desarrollos de la Edad de Bronce. Por lo tanto, sólo es posible aventurar una conjetura razonada de que vivió entre el 1700 y 1500 A.C.
     En los Gathas, él se refiere a sí mismo como “zaotar”, es decir, como sacerdote plenamente calificado; es el único fundador de una relgión mundial que fuera al mismo tiempo sacerdote y profeta. (En el Avesta más temprano, se habla de él mediante la palabra general para sacerdote “athaurvan”). También se llama a sí mismo “manthran”, es decir, alguien capaz de componer “manthra” (en sánscrito, “mantra”), palabras de poder que vienen por inspiración. La formación para el sacerdocio iniciaba temprano entre los indo-iranios, probablemente alrededor de los siete años de edad, y se llevaba a cabo de manera oral, pues no tenían el conocimiento de la escritura. Básicamente debió haber consistido en aprender los rituales y la doctrina, también en adquirir la habilidad para improvisar versos en la invocación y alabanzas de los dioses y en aprender de memoria grandes manthras compuestos por sabios anteriores. Los iranios sostenían que la madurez se alcanzaba a los quince, y se puede suponer que fue a esa edad a la que Zoroastro fue hecho sacerdote. Sus propios Gathas sugieren que debió haber buscado, a partir de entonces, todo conocimiento más elevado que pudiera obtener de varios maestros, y se describe más adelante como un “vaedemna” o “uno que conoce”, un iniciado poseído por la sabiduría de inspiración divina. De acuerdo a la tradición zoroastrista (preservada en los libros Pahlavi), pasó años deambulando en una búsqueda por la verdad; sus cánticos sugieren que ha de haber presenciado actos de violencia, de bandas de guerra, fieles seguidores de los Daevas, que bajaban a comunidades pacíficas para saquear, matar y robar ganado. Zoroastro, consciente de su incapacidad física, se llenó de un profundo deseo de justicia, de que la ley moral de los Ahuras se instaurara para los fuertes y débiles por igual, de modo que el orden y la tranquilidad prevalecieran y todos pudieran llevar una vida en paz.
     Según la tradición, Zoroastro tenía treinta, tiempo de la madurez de la sabiduría, cuando por fin la revelación vino a él. Este gran suceso es aludido en uno de los Gathas (Y 43) y es descrito lacónicamente en una obra Pahlavi (Zadspram XX-XXI). Aquí se dice que Zoroastro, estando en una reunión, asistió a celebrar un festival por la primavera, al alba fue al río a buscar agua para la ceremonia del haoma. Vadeó hasta el medio de la corriente para sacarla, y cuando regresó a la orilla — en un estado de pureza ritual, surgiendo del elemento puro, el agua, en la frescura de un alba de primavera— tuvo una visión. Vio en la orilla a un Ser luminoso, que se reveló a sí mismo como Vohu Manah, la “Buena Intención”, y este Ser llevó a Zoroastro ante la presencia de Ahura Mazda y otras cinco figuras resplandecientes, ante quienes “no vio su propia sombra sobre la tierra, debido a su gran resplandor”. Fue entonces que, de esta gran heptada, recibió su gran revelación.
¹Continúa por acá.

Cruzada acariana, un cuento navideño que no ganó

Hace dos meses más o menos, Ángel nos envió a Pedro, Ovidio, Manuel, Neftalí y a mí, un mensaje por correo electrónico en el que nos retaba a escribir un cuento para el XIV Concurso Internacional de Cuento Navideño, Súbito, Breve y Electrónico. De hecho, sus palabras exactas fueron “Los reto todos, maricas... Escribamos un cuento y vamos a chupar a la premiación”. Yo contesté que no concursaría por sensibilidad al rechazo. A lo que Ovidio contestó: “Hagamos algo, Quique. Tú lo escribes y lo mandas con mis datos. Para que me rechacen a mí y no a ti. Y si gana el texto, pasaré a recibir el premio y diré públicamente que es tuyo. ¿Cómo ves? Incluso podríamos escribir un cuento entre todos. (Para que no sintamos tan feo)”. A mí me pareció una buena idea, así que propuse que fuera por turnos de cinco palabras. Sin que yo lo esperara, Neftalí propuso el inicio de la historia: “...para festejar el pasado bimilenario de la revolución religiosa: un reloj de arenavidad que señala el fin del mundo libre”. Francamente me sentí emocionado de que alguien se animara a que colectivamente hiciéramos un cuento (aunque no hubiera sido un comienzo de cinco palabras); así que me animé a continuar. Inopidamente, Ángel añadió las suyas.

[Neftalí]...para festejar el pasado bimilenario de la revolución religiosa: un reloj de arenavidad que señala el fin del mundo libre. [Quique] Mientras Nicolás de Patara miraba los granos caer con vehemente atención y una sonrisa demencial, Arrio se alistaba a montar su caballo para poder hacer llegar lo más pronto posible, a todos los rincones del mundo, el mensaje de que Cristo no era Dios. [Angel] Debía hacerlo antes de que se agotara la arenavidad, pues de otra forma Nicolás ganaría la apuesta y con ella el derecho de decidir cómo destruirían el universo.

Me emocioné de que el cuento colectivo creciera, pues unas líneas de Pedro sucedieron a las de Ángel, hasta que llegaron las nuevas líneas de Neftalí.

[Neftalí]...para festejar el pasado bimilenario de la revolución religiosa: un reloj de arenavidad que señala el fin del mundo libre. [Quique] Mientras Nicolás de Patara miraba los granos caer con vehemente atención y una sonrisa demencial, Arrio se alistaba a montar su caballo para poder hacer llegar lo más pronto posible, a todos los rincones del mundo, el mensaje de que Cristo no era Dios. [Angel] Debía hacerlo antes de que se agotara la arenavidad, pues de otra forma Nicolás ganaría la apuesta y con ella el derecho de decidir cómo destruirían el universo. [Pedro] Nicolás quería que todo acabara en una fiesta de luces y fanfarrías tan escandalosas que incluso en el pasado se escucharían las colisiones de galaxias. Arrio, de naturaleza más tranquila y espiritual, buscaba un final limpio, implosivo, que llevara al Ser a un quietismo eterno y una armonía inmóvil. [Neftalí_2] Arrio llegó sobre su caballo Luzbelén al primer gran rincón del mundo: el mayor nodo de comunicaciones de todo un continente. Y comenzó su comunicación viral: El sur es el lado surdo, por eso el colibrí solar es el verdadero Dios. Huitzilo. He aquí el poder de su brazo crispado, ha renacido en un niño entre ustedes. Y entonces la gente vio como ahora cada segundo tuvo su larga noche y su pequeño día.

Así que externé mi inconformidad: “Creo que el cuento se nos está saliendo de las manos. Está perdiendo consistencie y coherencia: está Arrio, que afirma que Cristo no es Dios. También tenemos que el verdadero Dios es un colibrí solar, Huitzilo. Nicolás y Arrio hicieron una apuesta de cómo destruir el universo: tienen capacidades divinas. Así que tenemos cuatro dioses o cuatro personajes con capacidades divinas. Por otro lado, tenemos que el reloj de arenavidad señala el fin del mundo libre; por otro, no sólo será el fin del mundo libre, sino del mundo sin más, pues Nicolás y Arrio lo destruirán. Sugiero que decidamos dejar un solo Dios (a lo más dos, sin que la historia pierda consistencia o coherencia) y un solo fin del mundo (¿va a ser fin del mundo sin más o fin del mundo libre?). ¿Qué hacemos?”.
     También sugerí que cada quien explicara lo que tenía en mente para que el siguiente que añadiera algo, tuviera más o menos clara la idea del anterior y puediera añadir algo que no fuera en detrimento de la consistencia o coherencia de la historia. Así que le pregunté a Neftalí en qué estaba pensando cuando introdujo el término ‘arenavidad’, que qué era. Lueog le expliqué el porqué de mis líneas. Él me contestó que no le gustaría poner demasiadas referencias históricas, que porque el cuento perdería frescura, que porque él no era un académico: que todo lo sentía ajustado: “no me gusta porque no soy culto, jaja”. Además, dio una descripción de lo que posiblemente era la arenavidad. A mí me gustó mucho esa descripción y sugerí que se añadiera al cuento. También le respondí en lo que concernía a la aparente academicidad de mi referencia histórica: “la Wikipedia hace parecer culto a cualquiera”. Finalmente pregunté a los demás su opinión acerca de mis observaciones. Pedro externó sus pensamientos al respecto.

A ver. Yo creo que todo iba bien hasta, y no me lo tomes a mal Neftalí, que se metió la onda del dios huitzilo. Si se fijan, la estructura iba así:

• Neftalí dio la imagen inicial.
• Quique puso a los personajes.
• Ángel describió el conflicto.
• Yo propuse las líneas generales de los carácteres de los personajes.
• Neftalí puso la primera acción: la llegada al nodo de comunicaciones.

     Hasta ahí, el cuento pinta chido. Me gusta la parte de Neftalí de que Arrio llega con Luzbelén y al nodo de comunicaciones.
     De este punto, es sólo cuestión de volver a agarrar situación y conflicto. Llega Arrio a Luzbelén, ¿a qué? A decir que Cristo no es Dios. Pero ¿de qué manera influye eso en su apuesta? ¿por qué habría de decirles a los hombres ese mensaje?
     Otra cosa, mejor modificar lo del mundo libre y que sea simplemente la destrucción del universo.
     Sin dejar la espontaneidad de la creación colectiva y sin llegar a querer mezclar cuentos que cada uno tiene pensados ya completos, hay que tratar de agarrar el hilo de lo que dijo el anterior y no dispararlo de más.

Y ¡bolas: Pedro le quitó un cacho a las líneas de Neftalí! Además, añadió unas líneas suyas.

[Neftalí]...para festejar el pasado bimilenario de la revolución religiosa: un reloj de arenavidad que señala el fin del mundo libre. [Quique] Mientras Nicolás de Patara miraba los granos caer con vehemente atención y una sonrisa demencial, Arrio se alistaba a montar su caballo para poder hacer llegar lo más pronto posible, a todos los rincones del mundo, el mensaje de que Cristo no era Dios. [Angel] Debía hacerlo antes de que se agotara la arenavidad, pues de otra forma Nicolás ganaría la apuesta y con ella el derecho de decidir cómo destruirían el universo. [Pedro] Nicolás quería que todo acabara en una fiesta de luces y fanfarrias tan escandalosas que incluso en el pasado se escucharían las colisiones de galaxias. Arrio, de naturaleza más tranquila y espiritual, buscaba un final limpio, implosivo, que llevara al Ser a un quietismo eterno y una armonía inmóvil. [Neftalí_2] Arrio llegó sobre su caballo Luzbelén al primer gran rincón del mundo: el mayor nodo de comunicaciones de todo un continente. [Pedro_2] Si acaso pudiera esparcir su mensaje antes del 24 de diciembre, según el calendario humano occidental, los planes de Nicolás de perturbar el equilibrio cósmico se verían frustrados, puesto que, al no ser Cristo Dios, nadie querría seguir a ese nazareno de pelo largo en sus ataques terroristas a todas las instituciones (el banco extramundano, el fondo monetario intergaláctico y la organización de los noúmenos unidos).

En fin, luego Ángel añadió las suyas, después de lo cual expresó su sorpresa, ya que el cuento crecía, parecía seguir con vida: “¡¡¡No mames!!!! ¡¡¡¡Ya escribí yo también!!!!: el cuento sigue”.
     Pero Neftalí se quejó con Pedro, que porque le tocó su partecita, que había sido un chingo, que su partecita, que había sido un chingo... En fin.
     Entonces sugerí que cada turno consistiera en añadir una nueva línea y en editar el texto entero, como si cada quien fuera quien generara el texto entero. Así que añadí y edité; Pedro ya lo había hecho. Pensé que todo resulataría sin consecuencias. Pero no. Todos se quejaron: Pedro se sintió como portero inglés: porque se sintió embaucado por la mano invisible; Ángel sintió que dejé muy cortas sus líneas, etcétera, etcétera... Qué caray. A pesar de todo, defendí mi sugestión (y con eso los cambios que había hecho), nadie la suscribió. Volví a defenderla, igual respuesta.
     Todo quedó en que añadiéramos líneas y líneas, que al final editáramos todos juntos. Así que continúamos: añadíamos líneas tras líneas, hasta que recordé que había un límite para el número de caracteres o el número de cuartillas. Nos pasamos, en ambas cosas. Así que sugerí que cada quien editara lo que teníamos, que todas las versiones se sometieran a votación para elegir cuál sería aquella que concursaría. Hice mi versión. Nadie más hizo la suya. Así que enviamos mi versión. No ganamos. Esta fue la versión. Los autores: Pedro Acuña, Enrique Ángel González Cuevas, Neftalí Báez y yo. Los hermanos Ríos no se animaron en esta cruzada.

Cruzada acariana

Para festejar el pasado bimilenario de la revolución religiosa, un reloj de arenavidad señalaría el fin del universo (diminutos ácaros de arenieve que peleaban entre sí: los muertos en la trifulca caían al fondo del reloj; ese era el tiempo: aquel que le tomaba a un acarito matar a otro acarito, distraído en matar a otro, este ocupado en matar a otro, este enajenado en matar a otro, este imaginando matar a otro, este catatónico, el enésimo intentando matar al primero...). Mientras Nicolás de Patara miraba, con vehemente atención y sonrisa demencial, los gránulos acarianos caer, Arrio se alistaba a montar su caballo para hacer llegar lo más pronto posible, a todos los rincones del mundo, el mensaje de que Cristo no era Dios. Cuando la arenavidad se agotara, todo acabaría en una fiesta de luces y fanfarrias noumeicas.
     Arrio llegó sobre su caballo Luzbelén al mayor nodo de comunicaciones de todo el planeta. Si Cristo no era Dios, los planes de Nicolás de terminar el cosmos en una fiesta colosal se verían frustrados, ya que entonces la organización de los noúmenos unidos jamás podría ser enlazada para desencadenar las fanfarrias bullangueras. Desde el gran nodo, Arrio mandó una epístola electrónica ecuménica. El mensaje era claro: “Cristo no es Dios. Los noúmenos son inalcanzables”.
     Los insurgentes arrianistas, que eran pocos, planeaban atacar la base de los nicolasistas, donde se encontraba aquel reloj estentorogénico. Nicolás bailaba en trance a fin de ver las cosas en sí, ahí donde mora Cristo, en fiesta permanente, gozo infinito, charanga apoteósica. Nicolás bien sabía de la carta: tenía espías por todo el orbe. Mientras bailaba para llegar a los noúmenos, ordenó a sus espías detener, mediante cualquier medida necesaria, los avances de la epístola arriana, la cual se encontraba saliendo, apenas unos milisegundos, de la primera etapa de procesamiento y comunicación.
     Arrio se percató del primer enemigo contra su empresa: un interferente se trasladaba hacia él con rapidez formidable por la zona psíquica del universo. El espíritu de Arrio lo percibió de la forma en que sería más fácil combatirlo: lo vio como una quimera cinocefálica: la cabeza era completamente canina, el cuerpo era alargado y con aletas de pez, las patas y fuerza eran las de un toro cebado. Arrio se abalanzó sobre él; después de todo, esperaba dificultades en su misión; así que sacó una de sus armas más espirituales: suspendido en todo lo alto, con una psica larguísima y de una brillantez relampaguina, lanzó un corte diagonal. El interferente contuvo la hoja con su cola incorpórea acerada, girando rápidamente, dos veces. En el segundo giro, la cola golpeó la muñeca anímica de Arrio, lo que lo hizo perder la psica; así que, recuperando su psica al lanzarse sobre ella, desdobló su ánima 384 veces: un corro de 385 Arrios rodeó al interferente; uno de los Arrios se elevó cientos de metros encima de este; enseguida, más abajo, 4, luego 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, formando una perfecta pirámide cuadrada. En tan solo un nanosegundo la pirámide quedó configurada. Trescientas ochenta y cinco psicas arremetieron contra el interferente. Y otra vez y otra vez y otra vez: 385 veces. El interferente sucumbió: la cabeza canina babeaba a mares y jadeaba fuertemente; el tronco escamado se convulsionaba de pronto; la cola estaba desprendida: yacía sobre el piso como una bolita de papel. Antes de volverse a unir, los 385 Arrios mandaron la misma epístola a cuantos seres pudieron, de tal forma que, aunque Nicolás lograra detener la carta de un Arrio, 384 más siguieran su trayecto.
     Pero Nicolás tenía otros recursos para detenerla, algunos ya los utilizaba; quizá Arrio ya los combatía sin aún verse reflejados en su conciencia material. Sin embargo, algunos habitantes del mundo ya recibían la misiva: Ama de Hogar corrió a releer su biblia, luego buscó una cajita bajo su cama, extrajo un juego de navajas pequeñas, como si fueran una réplica en miniatura para niños; comenzó con una caricia sobre su muslo derecho. Xiudadano_5 no podía creer que recibiera un mensaje tan a su manera de pensar: le pareció un reflejo de su pensamiento, pero venido de otro lugar, como si su conciencia estuviera uniforme y radialmente distribuida. Se sintió un dios hibernado que recobraba conciencia de su divinidad. Salió al mercado con una bomba casera bajo el brazo. Materialista Gris tomó un sorbo de vino, pensando en la transubstanciación de él mismo en Cristo y luego Dios. Salió gritando a las calles que él era el Hijo de Dios.
     La primera parte del plan arriano se había completado: el mensaje se esparcía virulentamente y se modificaba, tomaba vida propia; en el fondo, era el mismo: Cristo no es Dios. Convocó a dieciséis de sus más fieles hombres y se dirigió a toda prisa a la fortaleza patarense, esperando que ninguno quedara en la fe más que Nicolás. Sin embargo, al llegar, Arrio vio con vértigo, como a Nicolás lo acompañaban millones de seguidores, los cuales voluntariamente habían ofrendado su cordura a Nicolás, para no escuchar dentro de sus mentes el penetrante mensaje arriano. Los fieles de Arrio se multiplicaron por millones, y con un grito desaforado se lanzaron a la batalla... Sólo era cuestión de tiempo saber quién ganaría, el tiempo que le tomaba a cada fiel matar a otro fiel, distraído en matar a otro, este ocupado en matar a otro, este enajenado en matar a otro, este imaginando matar a otro, este catatónico, el enésimo intentando matar al primero...

Nota. Volvimos a concursar con este cuento. Yo creo que no ganamos otra vez: supuestamente era un concurso para seleccionr unos cuentos para una antología; supuestamente nos iban a avisar si quedaba o no entre los seleccionados; nunca nos enviaron mensaje alguno para avisarnos si sí o no. Cuando lo metimos al primer concurso era un solo párrafo. Para el segundo lo dividí en varios, como aquí arriba.

Cosmogonía proto-zoroastrista

Me pareció muy interesante la cosmogonía proto-zoroastrista por dos razones (y otras también): (1) los dioses, creadores del mundo, están situados fuera del tiempo y el espacio (justo como San Agustín sitúa a Dios): son creadores del tiempo y el espacio; (2) al lado de los dioses, el hombre aparece como copartícipe de la manutención del orden del universo: ayudan a los dioses a mantener el orden (llamado asha por los proto-indo-iranios; asha también tiene otros significados: rectitud, justicia) que gobierna el universo.

“Los dioses crearon el mundo en siete fases. Primero hicieron el cielo de piedra, sólido como un enorme cascarón redondo. En la mitad inferior de este cascarón, colocaron agua. Enseguida crearon la tierra, apoyada sobre el agua como un gran plato plano; y entonces, en el centro de la tierra, formaron las tres creaciones animadas en la forma de una sola planta, un solo animal (el Toro Únicamente Creado) y un solo hombre (Gayo-Maretan, la Vida Mortal). En séptimo lugar, crearon el fuego, de manera visible, como él mismo, y también invisible, la fuerza vital que está presente en todas las creaturas animadas. El sol, parte de la creación del fuego, permanecía inmóvil en las alturas como si siempre fuera medio día, pues al mundo se le dio existencia inmóvil e inmutable. Entonces los dioses ofrecieron un triple sacrificio: machacaron la planta y mataron al toro y al hombre. Por este sacrificio generoso, comenzaron a existir más plantas, animales y hombres. El ciclo del ser y la existencia fue así puesto en movimiento, junto con la muerte, seguida de la nueva vida; y el sol comenzó a moverse a través del cielo y a regular las estaciones según asha.
     Estos procesos natulares, a juzgar por fuentes indias, eran considerados eternos, interminables. Al ser iniciados por los dioses, seguirían para siempre, si los hombres hacían su parte. Así que los sacerdotes pensaban que recreaban el sacrificio original cada día con plantas y animales, con el fin de garantizar que el mundo siguiera su propio curso; y mediante este rito diario, conscientemente purificaban, bendecían y fortalecían cada una de las siete creaciones, las cuales estaban todas representadas en este: la tierra en el terreno ritual mismo; el agua y el fuego en recipientes ante el sacerdote; la piedra del cielo en el pedernal y en el pilón y el mortero de piedra; las plantas en el baresman y la haoma; los animales en la bestia sacrificada (o en productos animales, leche y mantequilla). Finalmente, el hombre estaba presente en la persona del sacerdote oficiante, quien era, de este modo, un cómplice y compañero de los dioses en la tarea de mantener al mundo en un estado de pureza y fortaleza”.

El fragmento anterior se encuentra en la sección quinta del primer capítulo del libro Zoroastrians, their religious beliefs and practices de Mary Boyce.
     Hay otras particularidades del proto-zoroastrismo que llamaron mi atención. Como su visión del mundo, interdependiente y emparentado. Se veneraba a Geush Urvan, el Alma del Toro, divinidad en la que era absorbida el alma de los animales sacrificados, reverenciada al igual que el alma del hombre (estaban emparentados), pues este se alimentaba de la carne de aquellos. Cuando se realizaba el yasna, el rito diario para devolverle fortaleza a la creación toda, se esparcía pasto a los pies de la bestia sacrificada, pues la víctima tenía al pasto como cuerpo. No había una visión de que los recursos estaban ahí para ser explotados.
     O su antigüedad e influencia sobre las religiones más importantes en el mundo: es anterior al zoroastrismo, la religión más vieja de las religiones reveladas, cuyos elementos, algunos, aparecen en las religiones tanto brahmánicas como abrahámicas.

El tema sigue por acá.

Esplín

Despertó contento, contentísimo: soñaba que era un científico de renombre; que asistía a un congreso en Hungría; que tenía, con sus iguales, discusiones estimulantísimas: hablaban de cosas importantes, de cosas que impactarían la vida de grandes conjuntos de seres humanos... Poco a poco ese sentimiento ufano se desvaneció mientras miraba a través de la ventana desde su apartamentito del piso 12: el cielo era gris, la ventana estaba sucia, los árboles no tenían hojas, debía la renta, al día siguiente se levantaría a las cuatro de la mañana, llevaba años solo teniendo como único amor los movimientos mecánicos de una prostituta que nunca era la misma en cada acostón, el piso estaba sucio y lleno de pelusas, sus uñas de los pies llenas de hongos, sus manos estaban cansadas, su corazón estaba exhausto, su cuerpo se deterioraba, sus ojos estaban vidriosos... Un cañón que iba de la sala hasta su habitación le apuntaba a la cabeza: el esplín acerado penetró el cráneo: menos de media cabeza con un ojo izquierdo tristísimo y ensimismado miraba desde la ventana, los sesos en el muro se resbalan lentamente.

Libro para descargar

De 100 ejemplares que tenía, ya no me queda ninguno, así que he decidido subir el libro para descargar: Neftis Amonet y otros relatos. Aquí una reseñitita sobre el libro.

Una mafufada reticular (o sobre el talento III)

Este es el antecedente a esta entrada.

Denotemos por T_a a la función que, al ser evaluada en una persona p, nos da el tiempo que ha dedicado p para lograr la acción a. Así que dadas dos personas p₁ y p₂, tenemos tres posibilidades para los tiempos de dedicación para lograr a:

T_a(p₁) > T_a(p₂),
T_a(p₁)=T_a(p₂),
T_a(p₁) < T_a(p₂).

Al primer caso denotémoslo como 1, al segundo como 0 y al tercero como -1. Esto sugiere el siguiente retículo:


Denotémoslo como 3. Ahora, si se tiene una acción a descomponible en las subacciones (o acciones parciales) a₁ y a₂, entonces se tienen nueve posibilidades y el retículo 3×3:


Decidí entonces reflejar este producto de retículos en la descomposición, escribiendo a=a₁×a₂ en lugar de a=a₁+a₂.

Notemos que los vértices contenidos en la recta que corta justo a la mitad el diagrama de Hasse de 3×3 tienen coordenadas (o componentes) cuya suma es cero: (-1,1),(0,0),(1,-1):

-1+1=0+0=1+(-1)=0.

Esto sugiere que consideremos que p₁ y p₂ son igual de talentosos para la acción conjunta a=a₁×a₂ si y sólo si

T_a1(p₁) < T_a1(p₂) y T_a2(p₁) > T_a2(p₂) o
T_a1(p₁) = T_a1(p₂) y T_a2(p₁) = T_a2(p₂) o
T_a1(p₁) > T_a1(p₂) y T_a2(p₁) < T_a2(p₂).

El primero caso sugiere que, como para lo que uno es bueno el otro no y viceversa, la acción total a queda compensada para ambas personas en cuanto al talento; asimismo para el último caso. Esto no tiene nada de especial, es lo que seguramente se ha de hacer en los concursos donde no se usa un sistema de puntuación para evaluar una acción o una obra.

Notemos que la recta x+y=0 contiene a los vértices donde se da la igualdad. Si consideráramos una acción descompuesta en tres subacciones, los vértices de igualdad estarían contenidos en el plano x+y+z=0.

Definición. Dada una acción a descomponible como a=a₁×a₂×···×a_n y dadas las personas p₁, p₂, diremos que p₁ y p₂ son igual de talentosos para realizar a=a₁×a₂×···×a_n (si no se quiere contar o no se cuenta con un sistema de puntuación) si y sólo si la suma de las coordenadas del vector o vértice de talento para p₁,p₂ para realizar a es cero, p₁ más talentoso que p₂ para realizar a si la suma es mayor que 0 y lo opuesto si es menor que 0.

Se puede postular que toda acción es descomponible en acciones parciales distintas a la acción nula, y entonces, para una acción cualquiera a, aplicar la vieja estrategia de divide et vinces, que es lo que normalmente se hace para evaluar el talento mediante un conjunto de criterios (parecido a descomponer una acción en subacciones) en una competencia o concurso.

Un sistema de puntuación sería simplemente sumar los tiempos de dedicación para cada subacción. El más talentoso será aquel cuya suma sea la menor de todas.

Talento e innovación (o sobre el talento II)

En respuesta al comentario de Macías en la entrada anterior.

La delitimación (o la especificidad) de una acción no necesariamente determina completamente su realización. Por ejemplo, ¿cuántas cosas no caben en la acción ⌈hacer una novela⌉?: si se les diera la instrucción de hacer una novela a diez personas, seguramente las diez personas entregarían diez novelas distintas. Para detectar talento en las realizaciones de la acción ⌈hacer una novela⌉, dicha acción podría descomponerse en acciones parciales, como ⌈hacer personajes redondos⌉, ⌈hacer una historia consistente dentro de la lógica del mundo que propone⌉. A pesar de la mayor delimitación (o especificidad) dada por esta descomposición en acciones parciales, sigue sin haber una determinación completa de la realización de la acción conjunta ⌈hacer una novela⌉=⌈hacer personajes redondos⌉×⌈hacer una historia consistente dentro de la lógica del mundo que propone⌉¹.
     Por otro lado, creo que no hay que confundir talento con innovación. Puede haber gente innovadora pero no talentosa o gente talentosa pero no innovadora o talentosa e innovadora. Por ejemplo, el famoso inodoro de Duchamp es innovador pero no requiere talento colocar, como obra de arte, un urinario en una galería. O si a un pintor se le ocurre usar tortillas dentro de sus materiales, la acción de usarlas es innovador; pero no necesariamente implica talento su uso, eso depende de cómo se use. Es verdad que hay ciertas innovaciones que necesariamente requieren talento, pero eso se debe a la complejidad de la innovación, pues para realizarla requeriría práctica, dedicación para lograrla. Confundir el talento con la innovación sería como confundir la inteligencia con la creatividad; son dos cosas distintas.
     Sí veo una relación entre el talento (así como se definió en la entrada anterior) y lograr algo estético. Hipotetizo que lo estético está relacionado con la estructuración. Lograr estructuración en una obra requiere talento. Si una obra no presenta estructuración, sospecho que difícilmente puede parecernos bella: una estructuración pobre nos fascinará poco, nos hará contemplarla poco. Quisiera aclarar que no hay que confundir la estructuración con la complejidad: algo puede ser complejo pero desestructurado (o desordenado) o simple pero estructurado (las dunas del desierto parecen tener una estructura repetitiva pero simple (simple porque se repite). Hipotetizo que lo grotesco está relacionado con la complejidad desestructurada; las deformidades humanas son grotescas. Puede haber combinaciones interesantes: una complejidad desestructurada dentro de un entorno complejo y estructurado, y crear una sensación de belleza grotesca, como las fotografías de Joel Peter Witkin; o ruido dentro de un entorno armónico o melodioso, como en la música de Ambassador 21 (breakcore y digital noise).
     Estas dos conjeturas las dejo como tales, como conjeturas: habría que aclarar los conceptos “bello”, “grotesco”, “complejo” y “estructura” y considerar lo que nos dicen las ciencias pertinentes en relación a tales conceptos ya aclarados y a lo que nos interesa.
     No me queda claro qué tienen que ver los recursos financieros con el talento para tocar piano, por ejemplo.

¹En la continuación a esta entrada explico por qué elegir ‘×’ en lugar de ‘+’.

Tres preguntas a Avelina Lésper: talento y perfórmanz1 (o sobre el talento I)

En la presentación del sexto volumen de Performagia, Avelina Lésper estuvo entre los presentadores. Cuando terminó de leer el texto que llevaba preparado para esa presentación, le hicieron varias preguntas.
     Le hicieron tres que me pareció no contestó. (1) ¿qué es el talento?, (2) ¿el arte busca la novedad?, (3) ¿cómo sería mostrar talento en el perfórmanz? o ¿cómo se podría mostrar talento en el perfórmanz?
     La manera en que respondió la primera pregunta fue dando ejemplos de obras que consideraba que no mostraban talento y de obras que consideraba que sí (yo coincidí con ella en sus ejemplos).
     La segunda pregunta la respondió diciendo que los artistas o las escuelas o los perfomanceros (no escuché quiénes o no me quedó claro quiénes) están obsesionados con la novedad, que por esa razón hacen la misma obra una y otra vez con distintos nombres.
     La tercera pregunta no la respondió, o al menos no lo recuerdo.
     Me quedé pensando en cómo responder esas tres preguntas.
     La primera definición que me vino a la mente para responder la primera pregunta fue la siguiente. Se dice que alguien es talentoso si es capaz de hacer algo que a muchos les cuesta trabajo realizar. Esta definición me pareció burda, pues incluso los talentosos hacen esfuerzos (o entrenan horas) para realizar lo que hacen.
     Lo primero que pensé para tratar de responder la tercera pregunta fue lo siguiente. La dificultad de mostrar talento en el perfórmanz no es la espontaneidad: ¿la improvisación en el jazz no es espontaneidad? Tampoco está en la poca duración de la ejecución: ¿un salto gimnástico no toma unos cuantos segundos?
     Dada la primera definición, uno podría pensar que quizá el talento está en las acciones osadas, pues a muchos nos costaría trabajo realizar las acciones osadas llevadas a cabo por algunos performanceros. Sin embargo, la osadía no encaja con la noción de talento. Así que repensé la definición de talento.
     ¿Por qué la osadía no se percibe como un talento? Es decir, ¿por qué realizar acciones osadas no requiere talento? Hay algo que distingue a las acciones con talento de las osadas. ¿Por qué, cuando se trata de pintar, jugar tenis, esculpir, hacer gimnasia (por sólo mencionar algunos ejemplos) tiene sentido hablar de talento y no cuando se trata de acciones osadas?

Definición. Se dice que una persona p₁ es más talentosa que una persona p₂ para realizar una acción a mediante los instrumentos i si y sólo si p₁ ha dedicado menos tiempo que p₂ para lograr realizar a mediante i (esto lo vamos a abreviar así: “para realizar (a,i)”).

Definición. Se dice que una persona p es talentosa o tiene talento para realizar (a,i) (por ejemplo, pintar) si existe un grupo grande g de personas tal que p es más talentosa que cualquier persona de g para realizar (a,i).

Observación. Si pudiéramos hacer grandes saltos gimnásticos sin una diferencia significativa en el tiempo de dedicación para lograrlos de persona a persona, entonces lograrlos difícilmente lo consideraríamos un talento, por más espectulares que fuesen. No tiene sentido hablar del talento del habitante único de una isla o del hipotético sobreviviente único de un desastre planetario. El talento forzosamente implica una comparación.

Observación. Para hablar de talento es necesario hablar de instrumentos delimitados y necesarios para realizar la acción a (por ejemplo, pinceles para pintar; raqueta y una cancha para jugar tenis) y un tiempo de dedicación; el tiempo de dedicación dependará de la acción, de su dificultad para lograrse. Si no existen ni instrumentos delimitados y necesarios para realizar a ni un tiempo de dedicación para lograr a, no se puede hablar de talento. En consecuencia, sólo se puede mostrar talento cuando se han delimitado las acciones a realizar, cuando se ha delimitado el tipo de instrumentos determinados para la realización de a. Si no hay tal delimitación en las acciones ni en los instrumentos necesarios para estas, no podrá haber un perfeccionamiento o diferencias significativas entre personas en el tiempo de dedicación para lograr dichas acciones: difícilmente puede haber perfeccionamiento en la amplia dispersión, o talento en las acciones que la mayoría puede realizar, pues el talento sólo se percibe en las diferencias significativas en el tiempo de dedicación para lograr una acción. Ahora, como realizar acciones osadas no requiere ni de dedicación ni de los mismos instrumentos cada vez, la osadía no es un talento.

Observación. Si consideramos el perfórmanz (tomé la definición de “perfórmanz” de la Wikipedia, la cual reza como sigue: “Performance may be either scripted or unscripted, random or carefully orchestrated; spontaneous or otherwise carefully planned with or without audience participation. The performance can be live or via media; the performer can be present or absent. It can be any situation that involves four basic elements: time, space, the performer’s body, or presence in a medium, and a relationship between performer and audience. Performance art can happen anywhere, in any venue or setting and for any length of time. The actions of an individual or a group at a particular place and in a particular time constitute the work”), este carece de una delimitación en las acciones a realizar, lo cual no permite mostrar talento, pues, para mostrarlo, son necesarios un conjunto A de acciones delimitadas y un conjunto I de instrumentos delimitados (determinados por las acciones) necesarios para realizar las acciones del conjunto A; es decir, como ya se observó, no se puede mostrar talento en la dispersión (que implica una dificultad en el perfeccionamiento por falta de una delimitación de acciones) ni en las acciones fáciles (que implican diferencias despreciables o imperceptibles en el tiempo de dedicación entre personas para lograr dichas acciones); en pocas palabras, no se puede mostrar talento en el perfórmanz o hay una gran dificultad para ello.

Ahora, para añadir o considerar otras actividades en que se considera que se puede encontrar talento (como la actuación o la danza: se habla de actores y de bailarines talentosos), hay que refinar las definiciones anteriores.

Definición. Se dice que una persona p₁ es más talentosa que una persona p₂ para realizar una acción a mediante los instrumentos i y las acciones parciales s si y sólo si p₁ ha dedicado menos tiempo que p₂ para lograr realizar a mediante i y s (esto lo vamos a abreviar así: “para realizar (a,i,s)”).

Definición. Se dice que una persona p es talentosa o tiene talento para realizar (a,i,s) (por ejemplo, pintar) si existe un grupo grande g de personas tal que p es más talentosa que cualquier persona de g para realizar (a,i,s).

Esas acciones parciales serían los gestos, los tonos de voz que conforman una actuación completa. Algo parecido ocurre en la danza.
     A mi parecer, en las observaciones anteriores, se responden la primera y tercera preguntas.
     ¿Qué hay del talento en las matemáticas o la escritura?

Definición. Se dice que una persona p₁ es más talentosa que una persona p₂ para realizar una acción a mediante los instrumentos i, las acciones parciales s y sobre los materiales m (los materiales pueden ser conceptos u objetos físicos) si y sólo si p₁ ha dedicado menos tiempo que p₂ para lograr realizar a mediante i, s y sobre m (esto lo vamos a abreviar así: “para realizar (a,i,s,m)”).

Definición. Se dice que p es talentosa o tiene talento para realizar (a,i,s,m) (por ejemplo, pintar) si existe un grupo grande g de personas tal que p es más talentosa que cualquier persona de g para realizar (a,i,s,m).

Observación. Había que incluir los conceptos como materiales para poder hablar de talento en las matemáticas o en la literatura o la filosofía.

Nota. Hay matemáticos que consideran que las matemáticas son un arte. Esto me hace considerar la pregunta “¿la literatura y las matemáticas son el arte conceptual con talento?”.

Ahora, lo siguiente no responde la segunda pregunta, pero sí propone una posible solución para la novedad con talento. Una manera de inventar nuevas disciplinas artísticas que involucren talento sería proponer materiales e instrumentos específicos; por ejemplo, hacer objetos con sólo madera, papel y chicles, o sólo refrigeradores y cuchillos. Como las acciones están delimitadas por los instrumentos y los materiales, puede haber dedicación y, por lo tanto, perfeccionamiento y, finalmente, talento.

Nota. Habría que refinar aún más las definiciones para incluir los productos de las acciones; por ejemplo, un cuadro en la Pintura; una escultura en la Escultura; etc.

Para concluir, me gustaría hacer una pequeña observación. Cuando Avelina terminó su texto, Lorena Wolffer la interpeló diciéndole que no se puede competir con la realidad, que la realidad siempre será mucho más cabrona. Creo que se percibió impertinente que se compararan acciones deliberadas de autosufrimiento con el padecer hambre o alguna desgracia, precisamente porque quien padece hambre o alguna desgracia no elige padecerlas. Así que ejemplos pertinentes serían, creo, comparaciones entre personas que han elegido padecer: performanceros y, por ejemplo, luchadores de lucha libre o luchadores sociales o Buda o Cristo... Sin embargo, la osadía, la temeridad o el atrevimiento no son un talento.
     Alguien podría sentir curiosidad por saber las definiciones de “talento” del Pequeño Larousse o el DRAE. Pequeño Larousse: 1. Inteligencia, capacidad intelectual de una persona. 2. Aptitud o capacidad para realizar algo. 3. Persona que posee alguna de estas cualidades. 4. Antigua unidad de peso del oriente mediterráneo. DRAE: 1. m. inteligencia (‖ capacidad de entender). 2. m. aptitud (‖ capacidad para el desempeño o ejercicio de una ocupación). 3. m. Persona inteligente o apta para determinada ocupación. 4. m. Moneda de cuenta de los griegos y de los romanos. Sin embargo, las definiciones que sí tendrían algo que decirnos serían las que pudieran ofrecernos las neurociencias y la psicología. Si alguien las conoce, que las mencione por favor.

¹Escribo ‘perfórmanz’ en lugar de ‘performance’ para castellanizar la palabra inglesa e, incluso así, conservar la ‘c’ de su derivado ‘performancero’

Acá está la contestación a Macías.

Realismo ingenuo

Hoy vi un nohipopótamo inlocalizado en mi cartera. Sabía como cualquier nomosca inaplastada por un nomatamoscas; tenía unos nodedos tan nolargos, que cualquier nopersona lo hubiera innotado.