El mundo de $n^m$ espacios

Reempezando a leer la novela El mundo de ocho espacios de Jaime Romero Robledo, me vino a la mente la entrada El problema que me planteó la novela El mundo de ocho espacios (nunca terminé de leer la novela, por cierto), y se me ocurrió generalizar el problema a un 4-cubo (o un hipercubo de dimensión 4): calcular el número de caras interiores en un 4-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales. Sin embargo, el problema se puede generalizar aún más: calcular el número de $k$-caras interiores y exteriores de un $m$-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales.
     Obtuve lo siguiente. Si tenemos un $m$-cubo y dividimos cada arista (cada 1-cara) en $n$ partes iguales, obtenemos $$\binom{m}{k}(n-1)^{m-k}n^k\text{ $k$-caras interiores},$$ donde $k < m$ y $1\leq n$.
     Todavía no tengo muy claro cómo calcular el número de $k$-caras exteriores.

Un problema, una pregunta sin respuesta y rarezas de las redes

En el libro Elementary topology de Michael C. Gemignani, aparece un problema que me dejó pensando si hay algo que no estoy entendiendo o si Gemignani tergiversó algún resultado. El problema dice lo siguiente.

Suppose $X, D$ is a metric space and $\{s_i\},i\in I$, is a net in $X$.

1. Suppose $s_i\rightarrow x$. Prove that a subsequence of $\{s_i\}, i\in I$, converges to $x$.
2. Prove that if every subsequence of $\{s_i\}$ converges to $x$, then $s_i\rightarrow x$.
3. Prove a and b when it is merely assumed that $X,\tau$ is a first countable space.

El problema me desconcierta porque, dado un espacio topológico $(X,\sigma)$, siempre podemos encontrar una red¹ en $X$ sin subsucesiones; más aún, en $\mathbb{R}$ con su topología usual, podemos encontrar una red $\{r_i\}$ sin subsucesiones no convergente; de donde, podemos encontrar, en un métrico, una red no convergente de la cual toda subsucesión converge a un punto $m\in M$, por vacuidad.
     Demuestro mi primera afirmación. Sea $(Y,\tau)$ el espacio topológico con $Y:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ y $\tau$ la topología cuyos básicos son los $$U(f,F,p):=\{h\in Y\mid \forall\,x\in F\, |hx-fx|< p\},$$ donde $f\in Y$, $F$ es subconjunto finito de $\mathbb{R}$ y $p\in\mathbb{R}^+$. Dado $f\in Y$, $$T(Y,f):=\{V\in\tau\mid f\in V\}$$ es un conjunto dirigido con el orden $\leq$ dado por $U\leq V$ si y sólo si $V\subseteq U$. Tenemos que toda red $s:T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow X$ no tiene subsucesiones. En efecto, supóngase que $s\circ k$ es subsucesión de $s$; es decir, supongamos que $\forall\, U\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\,\exists\,n\in\mathbb{N}\;\; k_n\subseteq U$. Sea $p\in\mathbb{R}^+$; entonces, $\forall\,x\in\mathbb{R}\,\exists\,m_x\in\mathbb{N}\;\;k_{m_x}\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Esto nos da una función $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ dada por $\alpha x:=m_x$. Tenemos que $$\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\alpha^{-1}n;$$ de aquí, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;|\alpha^{-1}r|=|\mathbb{R}|$; es decir, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;k_r\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$ para todo $x\in\alpha^{-1}r=:S$, con $|S|=|\mathbb{R}|$. Luego, $k_r\subseteq\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Por otro lado, como $k_r\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\subseteq\tau\;$ y $\forall\,n\in\mathbb{N}\;\;k_n\neq\{\mathrm{conts}\,0\}$ (porque $\{\mathrm{conts}\,0\}$ no es abierto), dado $f\in k_r\setminus\{\mathrm{const}\,0\}$, $\exists\,F\subseteq\mathbb{R}$ finito y $\exists\,q\in\mathbb{R}^+\;\;U(f,F,q)\subseteq k_r$. Defínase $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$hx:=\begin{cases} fx+\frac{q}{2}&\text{ si $x\in F$},\\ p+1&\text{ si $x\notin F$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(f,F,q)$ pero $h\notin\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)\;$!! Luego, $s$ no tiene subsucesiones.
     Así que toda subsucesión de $s$ satisface cualquier propiedad, puesto que un condicional es falso si y sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente falso; en otras palabras, $\forall\,r\;\;(r\text{ es subsucesión de }s\Rightarrow Pr)$ es siempre verdadera, pues el predicado “subsucesión de $s$” corresponde a un conjunto vacío. Como cuando uno considera un espacio con más de un punto que tiene la topología trivial; dicho espacio es $\mathrm{T}_4$ porque no tiene subconjuntos cerrados no vacíos distintos de él mismo.
     Demuestro mi segunda afirmación. Definamos $s'':L\rightarrow\mathbb{R}$, donde $$L:=\{U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)\mid n\in\mathbb{N}\},$$ como $s''U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1):=(-1)^n\,$ y $s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow L$ como $$s'V:=\begin{cases} U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)&\text{si $V=U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)$},\\ U(\mathrm{const}\,0,\{0\},1)&\text{si $V\notin L$}. \end{cases}$$ Entonces, $s:=s''\circ s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow\mathbb{R}$ no converge y tiene como punto límite a 1 pero no a -1; sin embargo, toda subsucesión de $s$ converge a 1 (o a cualquier otro real).
     Tratando de encontrar un resultado en el cual podría estar pensando Gemignani, hallé lo siguiente (en el Introduction to General Topology de K. D. Joshi): un espacio con una sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen, y que si $X$ es un espacio primero numerable y $\{x_n\}$ es una sucesión en $X$ con punto límite $x$ entonces existe una subsucesión de $\{x_n\}$ que converge a $x$.
     El espacio de la sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen es el siguiente. Consideremos a $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$; dado $k\in\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{N}\times\{k\}$ lo llamaremos el $k$-ésimo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Sea $\infty$ un símbolo que no está en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (por alguna razón poco misteriosa me estoy acordando de lo poco que leí sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con átomos; ZFA le llaman). Sean $Z:=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\cup\{\infty\}$, $S_1:=\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ y $S_2$ el conjunto de los $A\subseteq Z$ tales que $\infty\in A$ y $A$ contiene casi todos los puntos en casi todos los renglones; es decir, $\forall^\infty\,k\in\mathbb{N}\,\forall^\infty\,n\in\mathbb{N}\;\;(n,k)\in A$, (donde ‘$\forall^\infty$’ simboliza “para casi todo” significando “ para todo salvo un número finito”); dicho de otra manera, dado $A\in S_2$, existe un número finito de renglones $\mathbb{N}\times\{k\}$ de los cuales hay un número infinito de puntos de cada renglón $\mathbb{N}\times\{k\}$ que no contiene $A$, y para el resto de los renglones hay a lo más un número finito de puntos de cada uno de estos renglones que no contiene $A$ (no sé cómo podría poner esto con cuantificadores; por cierto, el dual de ‘$\forall^\infty$’ es ‘$\exists^\infty$’ “existe una cantidad infinita tal que”). Sea $\sigma:=S_1\cup S_2$; $\sigma$ es una topología sobre $Z$.
     Veamos que ninguna sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ puede converger a $\infty$. Sea $\{x_n\}$ una sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tal que $x_n\rightarrow\infty$, así que $\forall\,A\in T(Z,\infty)\exists\,n\in\mathbb{N}\,\forall\,m\in\mathbb{N}\;\;(n\leq m\Rightarrow x_m\in A)$. De aquí, no puede ser que haya un renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que contenga una cantidad infinita de términos de $\{x_n\}$, pues si así fuera, podríamos obtener un $A\in T(Z,\infty)$ tal que $x_n\notin A$ para una infinidad de términos de $\{x_n\}$. Así que todo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tiene a lo más un número finito de términos de $\{x_n\}$. Si quitamos de cada renglón esos términos de $\{x_n\}$, obtenemos un abierto $B\in T(Z,\infty)$ que no contiene a ningún término de $\{x_n\}$ !! Así que una sucesión converge a un punto en $(Z,\sigma)$ si y sólo si es eventualmente constante.
     Ahora, sea $z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ una biyección. Entonces, $\infty$ es punto límite de $\{z_n\}$; es decir, $\forall\, A\in T(Z,\infty)\,\forall\,n\in\mathbb{N}\,\exists\,m\in\mathbb{N}\;\;m\geq n\;\text{y}\;x_m\in A$. En efecto, dado $n\in\mathbb{N}$ y dado $A\in T(Z,\infty)$, no puede ser que $\forall\,m\geq n\;\;x_m\notin A$, puesto que $z(\mathbb{N})=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, así que debe existir un $m\geq n$ tal que $x_m\in A$. Ninguna subsucesión de $\{z_n\}$ converge a $\infty$.
     Quizá Gemignani estaba pensando en el segundo resultado que encontré (el cual es fácil de demostrar): ocurre en los métricos, pues son primero numebrales. No lo sé.

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1. Una red $\{s_i\}_{i\in I}$ en un espacio $(X,\sigma)$ es una función $s:I\rightarrow X$ cuyo dominio $I$ es un conjunto dirigido.
     Sea $J$ un conjunto dirigido y $k:J\rightarrow I$ una función tal que

1. $k$ es monótona,
2. $\forall\,i\in I\,\exists\,j\in J\;\;i\leq k(j)$.

Se dice que la composición $s\circ k:J\rightarrow X$ es una subred de $s$. En particular, si $J=\mathbb{N}$, se dice que $s\circ k$ es una subsucesión de $s$.↩

$\pi$ el oráculo

Ayer fue Día de $\pi$, así que me encontré en la red con comentarios e imágenes aludiendo a $\pi$. Me topé con un texto cuyos decires ya he oído o leído antes:

Pi is an infinite nonrepeating decimal —meaning that every possible number combination exists somewhere in pi. Converted into ASCII text, somewhere in that infinite string of digits is the name of every person you will ever love, the date, time, and manner of your death, and the answers to all the great questions of the universe. Converted into a bitmap, somewhere in that infinite string of digits is a pixel-perfect represantion of the first thing you saw on this earth, the last thing you will see before your life leaves you, and all the moments, momentous and mundane that will occur between those two points. All information that has ever existed or will ever exist, the DNA of every being in the universe...

Me pareció, y me ha parecido, extraño que se le atribuya a $\pi$ la propiedad de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo por el solo hecho de tener una expansión decimal infinita aperiódica. Primero, porque todo número irracional tiene una expansión decimal infinita aperiódica, y segundo, porque, de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo, $\pi$, y cualquier otro irracional, sería un oráculo. Le compartí tal extrañeza a un cuate de la prepa y la secundaria, y este me contestó: “Tienes razón, pero entonces ¿no será que todo número irracional contiene toda esa información? Supongo que a lo más se puede decir ‘no sabemos’ ”.
     Yo creo que ningún irracional contiene toda esa información. (1) En principio, no contienen ninguna información sobre el mundo, el universo: los números por sí solos (ni cualquier otro objeto matemático) no se refieren a nada en el mundo, no tienen referentes fácticos; por otro lado, no hay una función inyectiva canónica de las letras del alfabeto a las cadenas finitas de dígitos de cualquier irracional. (2) A pesar de (1), supongamos que ya establecimos una función inyectiva de las letras a las cadenas finitas de dígitos de un irracional, como la del código ASCII; entonces, nos faltaría determinar si las proposiciones contenidas en $\pi$, o cualquier otro irracional de nuestra elección, son verdaderas o no, y para eso habría que contrastarlas con la realidad; por otro lado, para que una proposición sea información (acerca de la realidad), pienso, tiene que ya estar constrastada y ser verdadera; mientras no esté constrastada o no sea verdadera, no puede ser información: si voy a un puesto de información, no espero que lo que me digan sean enunciados falsos o de los cuales no se sabe si son ciertos o no: la información falsa no es información (es desinformación), como tampoco las proposiciones sin contrastar (si soy un turista al que le dan información sobre un paraje turístico y a mí me toca averiguar, quizá sin saberlo, si lo que me dicen es cierto o no, entonces lo que me dieron no es información).
     Ahora, considerando sólo el aspecto matemático, de la aperiodicidad y la infinitud de la expansión decimal de un irracional no se sigue que toda combinación de números aparezca en su expansión decimal. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los irracionales que no tengan en su expansión decimal al 1 y al 7. Dicho conjunto es no vacío: si pensamos en el conjunto $T$ de las funciones que van del conjunto de los naturales al $\{0,2,3,4,5,6,8,9\}$ , tal conjunto $T$ tiene cardinalidad $\aleph_1$. Al quitarle a $T$ las sucesiones periódicas, seguimos teniendo un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$.
     El texto al que hago referencia, además, me hizo recordar que en Math.Stackexchange alguien preguntó: “Does Pi contain all possible number combination?”.

Una mera curiosidad sobre grupos en una categoría I

1. Introducción

En la sección §6 del capítulo III del Categories for the working mathematician, Mac Lane define un grupo en una categoría $C$ con productos finitos y objeto terminal $t$ como un objeto $c$ junto con los morfismos (en $C$) $\mu:c\times c\rightarrow c$, $\eta:t\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ tales que los siguientes diagramas conmutan:

     Me pareció curioso que no incluyera el diagrama

así que me pregunté si la conmutatividad del penúltimo diagrama implicaba la conmutatividad del último; es decir, me pregunté si se podía demostrar, con puras flechas, la conmutatividad del último diagrama. Resultó que sí.

2. Un monoide con inversos derechos es un grupo

Se sabe que si $M$ es un monoide en $\mathbf{Set}$ entonces si $a,a_i,a_d\in M$ son tales que $$a_ia=e=aa_d,$$ entonces $a_i=a_d$. También se sabe que si $\forall\,a\in M\;\exists\, a_d\in M$ tal que $aa_d=e$ entonces $M$ es un grupo. La manera en que se demuestra la primera afirmación es así: $$a_i=a_ie=a_i(aa_d)=(a_ia)a_d=ea_d=a_d.$$ Una demostración de la segunda es como sigue: sea $a\in M$; entonces, $\exists\, a_d\in M\; aa_d=e$; por otro lado, $\exists\, (a_d)_d\in M\; a_d(a_d)_d=e$. Por lo tanto, $a_d$ tiene inverso izquierdo $a$ e inverso derecho $(a_d)_d$, y, como $M$ es monoide, $a=(a_d)_d$; es decir, $a_d$ es inverso izquierdo y derecho de $a$. Así que $M$ es grupo.      Volviendo a la pregunta, tratemos de imitar las demostraciones categóricamente.
     La primera afirmación sería como sigue:

Proposición A1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta':c\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

conmutan, entonces $\zeta'=\zeta$.

La segunda afirmación sería como sigue:

Proposición A2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta:c\rightarrow c$ es un morfismo en $C$ tal que

conmuta, entonces

también conmuta.

     Se podría tratar de proceder como en la demostración en $\mathbf{Set}$: demostrar la Proposición A1 y luego usar la Proposición A1 para demostrar la Proposición A2; sin embargo, tratemos de demostrar la Proposición A2. Si imitamos, más o menos, la demostración de la Proposición A2 en el caso de $\mathbf{Set}$, primero demostraríamos, suponiendo la hipótesis de la Proposición A2, que

conmuta, es decir, que

conmuta. Segundo, que $\zeta\zeta=1_c$. Tercero, si $\zeta\zeta=1_c$ entonces, como (3) conmuta, (2) también.
     Notemos que mostrar que $\zeta\zeta=1_c$ tiene algo en común con la Proposición A1: supongamos la hipótesis de la Proposición A1; queremos mostrar que si

conmutan, entonces $1_c=\zeta\zeta$. Generalicemos aquello que tienen en común.

Proposicion A3. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta_1,f,\zeta_2:b\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

y

conmutan, entonces $\zeta_1=\zeta_2$.

Antes de demostrar la Proposición A3, demostraremos el siguiente lema.

Lema L1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $g:b\rightarrow c$ un morfismo en $C$, entonces $$\mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b=\mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b=g,$$ donde $\eta':b\rightarrow c$ es la composición $b\overset{!_b}{\rightarrow}t\overset{\eta}{\rightarrow}c$.

Demostración. Notemos que, como

conmutan, entonces $$!_b\times 1\circ\delta_b=\lambda_b^{-1}\quad\text{y}\quad 1\times !_b\circ\delta_b=\rho_b^{-1},$$ que son naturales. Finalmente, tenemos, de las igualdades anteriores y de la naturalidad de $\lambda$ y $\rho$, que \begin{align} \mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b &=\mu\eta\times 1\circ 1\times g\circ !_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\lambda_c\circ 1\times g\circ\lambda_b^{-1}\notag\\ &=g\notag\\ \notag\\ \mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b &=\mu\circ 1\times\eta\circ g\times 1\circ 1\times !_b\circ\delta_b\notag\\ &=\rho_c\circ g\times 1\circ\rho_b^{-1}\notag\\ &=g\notag. \end{align} Demostración de la Proposición A3. Es fácil ver que $$\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b=\delta_b\times 1\circ\delta_b.$$ Entonces, de aquí, del Lema L1, de la naturalidad de $\alpha$, de la asociatividad de $\mu$ y de la conmutatividad de (5) y (6), \begin{align} \zeta_1 &=\mu\circ\zeta_1\times\eta'\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\zeta_1\times(f\times\zeta_2)\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\alpha^{-1}\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\delta_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\eta'\times\zeta_2\circ\delta_b\notag\\ &=\zeta_2\notag. \end{align} Ahora, demostremos la conmutatividad de (3). Esto se sigue de algo más general.

Lema L2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ con $\zeta:c\rightarrow c,f:b\rightarrow c$ morfismos en $C$ y (1) conmuta, entonces

conmuta.

Demostración. Se sigue de la naturalidad de $\delta$ y la conmutatividad de (1): el diagrama

conmuta. Así que la Proposición A2 se sigue del Lema L2 y la Proposición A3, y la Proposición A1 de la Proposición A3.

Rejas encandadadas

Hace muchos días, Cris y yo fuimos con Iralia y Macías a Pachuca, con la intención de pasear. Nos hospedamos en la casa de la abuela y de la mamá de Iralia. Justo antes de comer, fuimos al Centro de las Artes de Pachuca Hidalgo; no permanecimos largo rato ahí, pues estaban por cerrar.
     Entramos y cruzamos rápidamente el vestíbulo de la entrada, donde había un mural que iba del techo a los muros izquierdo y derecho, y llegamos a un patio con una fuente octagonal en el centro. El patio estaba rodeado por una arquería usual en la planta baja y por otra inusual en el primer piso (ahí los arcos en realidad no eran curvos sino rectangulares y muy muy altos). Tomamos algunas fotografías en el atrio y subimos al primer piso, desde donde hicimos lo mismo. Después de que recorrimos tres muros del pasillo de la arquería del primer piso, subimos otro poco por unas escaleras estrechas hasta un cruce de pasillos, donde el espacio pareció hacerse laberíntico y confuso; a la izquierda, enseguida e inesperadamente, al pasillo le creció una joroba: era una pequeña bahía a cielo abierto en cuyo centro se encontraba una fuente que contrastaba muy bonito con el intenso cielo azul y las paredes completamente blancas y sobrias. Continuamos por el mismo pasillo hasta terminar al pie de unas escaleras, las cuales iban a una azotea, en donde, al fondo (si una azotea puede tener fondo), había algo parecido a una capilla, cuyas rejas estaban cerradas con un candado.
     Entonces, Macías comentó (o el papá o la mamá de Iralia, no lo recuerdo) que el teatro estaba con candado. Entonces pregunté, o quizá la mamá de Iralia: “¿el teatro está encandadado?”. A lo que Macías o el papá de Iralia respondieron: “Sería encandado”. Macías arguyó que candado ya era un participio y que entonces el verbo tenía que ser encandar y no encandadar. Yo afirmaba que no, que no era un participio y que la raíz o el morfema raíz no debía perder ninguna d al formar el nuevo verbo.
     Al día siguiente siguió la discusión, a orillas de la presa de San Antonio Regla, a un lado de los Prismas Basálticos de la barranca de Santa María Regla. Ahí acordamos que teníamos que averiguar si era o no un participio. Volvimos a casa, el papá de Iralia subió al primer piso, encendió la computadora, fue a la página del diccionario de la RAE y encontró el verbo candar, el cual tiene dos acepciones: “cerrar con llave” y “cerrar de cualquier modo”: Macías tenía razón en que candado era el participio de algún verbo. El papá de Iralia y yo bajamos para comunicarles a los demás que existía el verbo candar y que significaba “cerrar con llave”; sin embargo, afirmé que la discusión no estaba terminada.
     En lingüística, las palabras, cuando son consideradas como partes de una oración, se clasifican en las siguientes categorías (o clases) léxicas (o partes de la oración): sustantivo, verbo, adjetivo, adverbio, conjunción, preposición, etc. ([1, pp. 21–24] y [2, pp. 133–135]).
     Cuando se forma una nueva palabra, su creación puede hacerse mediante varios procedimientos: derivación, abreviación, acortamiento, préstamo, calco, composición, parasíntesis, etc. ([1, pp. 25–45] y [2, pp. 175–200]). Ahora, la derivación consiste en formar, mediante la adición de afijos, palabras nuevas cuya categoría léxica pueda ser distinta de la de la base y cuyo referente sea distinto del de la base. En la formación de delgadez a partir de delgado, hay cambio de categoría léxica y cambio de referente, así que esto es una derivación; en la formación de niñez a partir de niño, no hay cambio de categoría léxica pero sí hay cambio de referente, así que esta formación también es una derivación. En particular, la derivación de verbos a partir de sustantivos o adjetivos es la formación de palabras concerniente a la discusión.
     Eugeniu Coșeriu, lingüista rumano especializado en lenguas romances, llama relaciones paragramaticales a “las relaciones que se establecen al interior de las palabras que son producto de procedimientos formativos y que son análogas a las relaciones gramaticales, aunque menos definidas por inexplícitas. Se refiere al hecho de que una operación de formación de palabras incluye siempre una determinación gramatical impuesta a un contenido lexemático de existencia previa, de donde deriva el significado lexemático secundario” ([3, p. 20]). En otras palabras, una relación paragramatical es la relación sintáctica y semántica (restringida al contexto de formación de palabras) entre categorías léxicas. La relación sintáctica se refiere a la relación entre categorías léxicas dentro de la estructura interna de una frase (como al orden al que estas están sujetas para que la frase tenga sentido, o a la jerarquía que estas ocupan en segmentos de frases) y a la función que pueden desempeñar dichas categorías dentro de esa estructura (por ejemplo, un sustantivo puede ser sujeto u objeto ([1, p. 179] y [2, p. 213]). La relación semántica, dentro del contexto de formación de palabras, se refiere a las posibles situaciones a las que puede referirse una palabra derivada, de acuerdo a las maneras de significar de las categorías léxicas involucradas.
     En el caso que concierne a la discusión, la derivación de verbos a partir de sustantivos y adjetivos, son las maneras de significar del verbo y el sustantivo (y en el caso de verbos deadjetivales el adjetivo) las que determinarán los posibles significados de la palabra derivada.
     La función del verbo dentro de la frase es predicar, pero tiene varias maneras de predicar. Puede predicar existencia: “la luna existe”, “hay relámpagos”; una cualidad: “el negro va con todo”, “se apellida Rodríguez”; la percepción, sensación o aprehensión de algo: “oír”, “sentir”, “entender”; un estado: “brillar”, “dormir”; sucesos: “acontecer”, “caer”, “morir”; acciones: “correr”, “comprar”; la causación: “dormir al niño”, “romper un plato” ([3, p. 28]). Elisabeth Beniers dice en [3]: “Constituir una palabra motivada¹ implica concebir una determinación paragramatical para ella, determinación que queda codificada en su significado y que refleja en algo las posibles relaciones semántico-sintácticas entre clases”.
     De acuerdo a la observación de las maneras de significar de un verbo, dado que un adjetivo denota cualidad, estado, apariencia o propensión, las posibles maneras de significar de un verbo deadjetival quedan determinadas por las maneras de significar de ambos y resultan en sólo cuatro ([3, p. 29]); he aquí las paráfrasis que corresponderían a esas maneras de significar:

1. “ser (estar/pasar a ser) lo que el adjetivo expresa”: escasear, albear;
2. “parecer lo que el adjetivo expresa”: verdear, negrear;
3. “volverse o volver algo tal como lo expresa el adjetivo”: alegrar;
4. “actuar de una forma como la caracteriza el adjetivo”: tontear.

Es decir, cuando un verbo se deriva a partir de un adjetivo, aquel predicará la posesión, adquisición o transmisión de una característica única, o la tendencia a manifestarla ([3, p. 20]).
     En cambio, cuando un verbo se deriva de un sustantivo, este quedará determinado como participante o circunstante del hecho denotado por aquel, o como elemento predicativo de cuyo denotado pueden derivarse un solo rasgo o un conjuntos de rasgos, los cuales serán predicados por aquel ([3, pp. 20–21]).
     Beniers señala diez posibles maneras de significar de un verbo denominal. Puede predicar existencia, atribución, transformación, posesión, instrumento o medio, modo, ubicación, producto, actividad y paciente ([3, pp. 39–52]).
     El caso que interesa en la discusión es la predicación de posesión. Dicha relación puede ser estática o dinámica. En el primer caso el sustantivo que denota lo poseído queda incorporado en el verbo derivado y el complemento adnominal del complemento directo de la oración queda como complemento directo del nuevo verbo, como en

“Ricardo tiene la ambición de un auto”.
“Ricardo ambiciona un auto”.

“Luisa tiene el deseo de una camioneta”.
“Luisa desea una camioneta”.

     En el segundo caso, se tienen dos subcasos.
     Uno. La relación de posesión se refiere al sujeto, así que es una relación de adquisición: hay un traslado del objeto denotado por el sustantivo base hacia el sujeto como su poseedor inminente:

“La res adquirió garrapatas”.
“La res se engarrapató”.

“César se puso traje”.
“César se trajeó”.

     Dos. La relación de posesión se refiere al objeto, así que es una relación de dotación: el sustantivo base denota lo poseído, pero el traslado es al objeto receptor. En este caso, el sustantivo que denota lo poseído queda incorporado en el verbo derivado y el complemento indirecto de la oración queda como complemento directo del nuevo verbo (o el sujeto de la oración de complemento queda como complemento directo del nuevo verbo: estas descripciones dependen de la paráfrasis²):

“La abuela le dio a su nieta un ajuar”, “la abuela hizo que su nieta tuviera un ajuar”.
“La abuela ajuareó a su nieta”.

“El novio prodigó caricias a la novia”.
“El novio acarició a la novia”.

“El estado otorgó soldada a varios de sus ciudadanos”.
“El Estado asoldadó a varios de sus ciudadanos”.

     Quisiera señalar que, en el proceso de derivación, “entra el contexto cultural, que legitima unas actividades como suficientemente institucionalizadas para merecer designarse por medio de una unidad léxica y desautoriza la cualidad de denotata de otras” ([3, p. 23]). Es decir, las palabras base indicarán una situación particular que es relevante para una comunidad, como en el caso de encebadar, que significa “dar a las caballerías tanta cebada que les haga daño”; o representarán un uso o un giro particulares de sí mismas, como en el caso de fogoso, donde la base fuego está en un uso figurado, como pasión, o como en el caso de viborear, que significa “hablar mal de una persona”, víbora se está usando con el valor de persona malintencionada, basado en un juicio negativo sobre las víboras. En síntesis, por no dar más ejemplos, como afirma Beniers en [3], “las palabras base se comportan como en el habla” y una palabra nueva se crea para algún aspecto relevante para una comunidad; en nuestro caso, para señalar que a una puerta se le ha colocado un candado y para la pequeñísima comunidad de seis personas.
     Ahora, las afijaciones para derivar verbos denominales que indican posesión dinámica para objetos, dadas de mayor frecuencia a menor, como las encontró Beniers en el Diccionario del español usual en México, son -ar, en- -ar, a- -ar, -izar, -ear, -ificar, in- -ar, en- -ecer. Encontré registrados seis verbos denominales derivados de participios sustantivados para indicar posesión dinámica en objetos, cinco en el DRAE en línea y uno en el Diccionario Abierto de Lengua Española (el cual es un proyecto educativo y de investigación de la lengua Española en Internet): cebadar, que significa “dar cebada a las bestias”; encebadar, “dar a las caballerías tanta cebada que les haga daño” o, dicho de una caballería, “enfermar de encebadamiento”; sobradar, “poner sobrado a los edificios”; asoldadar, “tomar a sueldo, asalariar”, se usaba especialmente en lo antiguo tratándose de gente de guerra; apartidar, “alzar o tomar partido” o “adherirse a una parcialidad”, y apuñadar, “dar puñadas o puñetazos a alguien”.
     Quisiera hacer notar que el verbo encebadar ha sido derivado del sustantivo cebada, el cual a su vez ha sido derivado del verbo cebar, que significa “dar comida a los animales para aumentar su peso” o “dar a los animales comida para atraerlos o alimentarlos” (primeras dos acepciones que aparecen en el DRAE en línea; las otras nueve son irrelevantes para nuestra discusión). A pesar de que encebadar ha sido derivado de un participio sustantivado, no existe la forma derivada encebar para señalar la situación indicada por encebadar, ni cebadar es sinónimo de cebar ni sobradar es sinónimo de sobrar ni puñadar es sinónimo de puñar, etc. Hay una única excepción a esta regularidad: asoldadar es sinónimo de asoldar; sin embargo, según aparece en el DRAE en línea, asoldadar se deriva de soldada y asoldar de sueldo. Es decir, como ya se dijo antes, cuando un verbo se deriva de un sustantivo, este quedará determinado como participante o circunstante del hecho denotado por aquel, o como elemento predicativo de cuyo denotado pueden derivarse un solo rasgo o un conjuntos de rasgos, los cuales serán predicados por aquel; en otras palabras, el verbo postsustantivo indica un aspecto específico dentro del hecho denotado por él mismo; por otro lado, como Beniers afirma, “en este proceso [la derivación] la palabra base funciona cómo índice del tipo de situación a denotar por el que se orienta el oyente en su construcción de la intensión”: se perdería la transparencia o motivación del verbo derivado para su desciframiento si se hiciera una derivación suprimiendo un afijo de la palabra base porque esta a su vez fuera derivada. Así que conjeturo, como muestran los paradigmas anteriores, que son inusuales o de plano inexistentes las derivaciones en- + participio − ado (afijo del participio) + -ar por falta de transparencia para el oyente, ya que la ausencia del participio no indicaría el posible aspecto del hecho denotado por el verbo que se quiere resaltar; es decir, el verbo cuya palabra base sea un participio sustantivado con el -ado eliminado aparecería como desmotivado y, por tanto, difícil de descifrar; de aquí, encandado y encandar son construcciones desmotivadas y, por tanto, poco probables.
     La frecuencia registrada por Beniers para las formas derivadas de verbos postsustantivos que indican posesión dinámica en objetos sugiere como posibles y probables las construcciones candadar, encandadar, acandadar, candadizar, candadear, candadificar, incandadar y encandadecer.

Referencias

[1] Adrian Akmajian, Richard A. Demers, Ann K. Farmer, Robert M. Harnish, Linguistics: an introduction to language and communication, MIT Press, 2010.
[2] José I. Hualde, Antxon Olarrea, Anna M. Escobar, Introducción a la lingüística hispánica, Cambridge University, 2001.
[3] Elisabeth Beniers, La formación de verbos en el español de México, El Colegio de México, UNAM, 2004.
[4] David Crystal, A dictionary of linguistics and phonetics, Blackwell Publishing, 2008.
[5] Justo Fernández López, Diccionario de Lingüística y ciencias afines, 2013

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1. Motivación. La relación normalmente arbitraria que une el significado al significante de un signo puede, en un momento dado, mostrarse al hablante en el momento de su constitución inicial. Si la motivación de un signo puede ser advertida por el hablante, el signo se podrá denominar motivado o transparente, en caso contrario se habla de signo desmotivado u opaco. Existen varios tipos de motivación: etimológica (barista respecto a bar), fonética o fonosimbólica (en las palabras basadas en una analogía, no importa cuán subjetiva y arbitraria sea, entre significante y cosa designada), metasémica (si tenemos una transformación del sentido primario del signo, como en el it. bonaccia $<$esp. bonanza$>$ del gr. \textit{malkia} id.), morfológica (interna al sistema de la lengua con uso de los procedimientos de derivación y composición propios de la lengua misma: beso, besar, besuquear), paronímica (por fusión de formas homónimas y parónimas, como en el it. disguido $<$extravío$>$ percibido como dis- y guido, cuando, en cambio, procede del esp. descuido). Definición tomada de [5].↩
2. Paraphrase. A term used in linguistics for the result or process of producing alternative versions of a sentence or text without changing the meaning. One sentence may have several paraphrases, e.g. The dog is eating a bone, A bone is being eaten by the dog, It's the dog who is eating a bone, and so on. Most semantic theories would treat all these sentences as having a single semantic representation (though variations in focus and presupposition could differentiate them). Linguists use syntactic paraphrase as a major procedure for establishing certain types of transformational relations. Definición tomada de [4].↩

Concepto de número

1. Funciones

El concepto de función se puede definir de varias maneras. En la Teoría de conjuntos se define de dos maneras, una presenta problemas y la otra no. En la Teoría de categorías es un término primitivo. Intentaré dar una definición informal y después la formal.
     Una función que va de un conjunto $A$ (llamado su dominio) a un conjunto $B$ (llamado su codominio) es una regla que asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
La definición formal es la siguiente.

Definición Dados dos conjuntos $A$ y $B$ con $B\neq\emptyset$, una función $f$ de $A$ a $B$, denotada $f:A\rightarrow B$, es una tripleta $(A,\bar{f},B)$ donde $\bar{f}$ es un subconjunto de $A\times B$ (el producto cartesiano de $A$ y $B$) tal que si $(a,b_1)$ y $(a,b_2)$ son elementos de $\bar{f}$ entonces $b_1=b_2$ y tal que para todo $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $(a,b)\in\bar{f}$. A $A$ se le llama dominio de $f$ y a $B$ codominio de $f$.

     Lo que significa la condición después del `tal' es que la regla que determina a $f$ asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
     Por ejemplo, consideremos dos diagramas de Venn, llamémosle a uno $S$ y a otro $T$. Ahora dibujemos dentro del diagrama $S$ tres puntitos y dentro de $T$ cinco puntitos. Ahora vamos a hacer una correspondencia entre los puntitos de $S$ y los de $T$. Digamos que el diagrama de $S$ lo dibujamos a la izquierda y $T$ a la derecha.
     Hagamos una flecha para cada puntito en $S$ que vaya a un solo elemento de $T$. Esta correspondencia es una función. Llamémosle $f_1$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Digamos que los puntitos de $S$ se llaman $s_1,s_2,s_3$ y los de $T$ se llaman $t_1,...,t_5$. Entonces, hagamos una flecha de $s_1$ a $t_1$, otra de $s_2$ a $t_5$, otra de $s_3$ a $t_3$ y otra de $s_1$ a $t_2$. Entonces, esta regla de correspondencia que va de $S$ a $T$ no es una función porque a $s_1$ le estamos asignando dos elementos distintos de $T$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Hagamos una flecha de $s_2$ a $t_1$ y una de $s_3$ a $t_2$. Esta regla de correspondencia tampoco es una función, porque no asigna a cada elemento de $S$ un elemento de $T$: a $s_1$ no se le ha asignado ningún elemento de $T$.
     Ahora definamos lo que es una función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $C\subseteq A$, la imagen de $C$ bajo $f$ es el conjunto $$f(C):=\{f(c)\mid c\in C\}.$$ A la imagen de $A$ bajo $f$ también se la llama la imagen de $f$.



Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $b\in B$ existe un $a\in A$ tal que $f(a)=b$.

     Lo que esto significa es que si $f$ es una función suprayectiva, entonces $B$ queda completamente cubierto por la imagen de $f$. En otras palabras, si $f:A\rightarrow B$ es suprayectiva entonces $f(A)=B$.
     Veamos algunos ejemplos.
     Consideremos a nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio.
     Notemos que es imposible definir una función suprayectiva de $S$ a $T$: siempre nos van a sobrar elementos de $T$. Sin embargo, sí podemos definir una función suprayectiva de $T$ a $S$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $D$ de $B$, definimos la imagen inversa de $D$ bajo $f$ como $$f^{-1}(D)=\{a\in A\mid \exists d\in D\ f(a)=d\}.$$


Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $f(a_1)=f(a_2)$ entonces $a_1=a_2$. O dicho de otro modo (con la contrapositiva), si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $a_1\neq a_2$ entonces $f(a_1)\neq f(a_2)$.

     Lo que esto significa es que si queremos definir una función inyectiva de $A$ a $B$, no podemos asignarle a dos elementos de $A$ un mismo elemento de $B$. O dicho de otra manera, que $f^{-1}(\{b\})$ o es vacío o tiene un solo elemento: que $f^{-1}(\{b\})$ tiene a lo más un elemento. O que $f$ asigna a elementos distintos de $A$ elementos distintos de $B$.
     Consideremos otra vez nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio. Notemos que es imposible definir una función inyectiva de $T$ a $S$, pero sí podemos definir una (de hecho, varias) de $S$ a $T$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva.

     Antes de seguir, quisiera explicar por qué es importante considerar una función $f:A\rightarrow B$ como una tripleta $(A,\bar{f},B)$ y no sólo como su gráfica $\bar{f}$.

Definición. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$ tales que $B=C$, se define la composición $g\circ f:A\rightarrow D$ de $g$ con $f$ como sigue: $$\forall x\in A\ g\circ f(x)=g(f(x)).$$
     Notemos que no se puede definir la composición de funciones, a menos que $\mathit{cod}(f)=\mathit{dom}(g)$.
     Entonces, por ejemplo, la función identidad $id_{\mathbb{Z}}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tiene la misma gráfica que la función inclusión $j:\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$, que incluye los enteros en los racionales; sin embargo, no son la misma función. Debido a la composición, es importante considerar a las funciones con sus dominios y codominios, no sólo con sus gráficas. Esa es la definición de función en la Teoría de Conjuntos que presenta problemas, la considera a una función sólo como su gráfica. Por otro lado, la identidad y la inclusión son conceptualmente diferentes.
     Sigamos. Ahora consideremos otra vez a nuestros conjuntos $S$ y $T$. Definamos la siguiente función suprayectiva $g$ de $T$ sobre $S$: $t_1$ va a $s_1$, $t_2$ a $s_2$, $t_3$ a $s_3$, $t_4$ a $s_2$ y $t_5$ a $s_2$. Recomiendo hacer el dibujo de los diagramas de Venn.
     Ahora consideremos las siguientes imágenes inversas: \begin{align} g^{-1}(\{s_1\})&=\{t_1\}\notag\\ g^{-1}(\{s_2\})&=\{t_2,t_4,t_5\}\notag\\ g^{-1}(\{s_3\})&=\{t_3\}\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $h:S\rightarrow T$ tal que $g\circ h_1=id_S$, la identidad de $S$. A saber, $h_1(s_1)=t_1$, $h_1(s_2)=t_4$ y $h_1(s_3)=t_3$. De hecho, tenemos otras dos funciones de $S$ a $T$ que hacen eso. Sólo habría que enviar el $s_2$ al $t_2$ o al $t_5$.
     De hecho, esto es cierto para toda función suprayectiva; es decir, toda función suprayectiva $f:A\rightarrow B$ tiene una inversa derecha. Si $B$ es infinito, que $f$ tenga inversa derecha es equivalente al axioma de elección. Y recíprocamente, toda función con inversa derecha es suprayectiva.
     Ahora consideremos la función $h:S\rightarrow T$ definida como sigue: $h(s_1)=t_1$, $h(s_2)=t_2$ y $h(s_3)=t_3$. Tenemos que $h$ es inyectiva. Consideremos las imágenes inversas: \begin{align} h^{-1}(\{t_1\})&=\{s_1\}\notag\\ h^{-1}(\{t_2\})&=\{s_2\}\notag\\ h^{-1}(\{t_3\})&=\{s_3\}\notag\\ h^{-1}(\{t_4\})&=\emptyset\notag\\ h^{-1}(\{t_5\})&=\emptyset\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $k:T\rightarrow S$ tal que $k\circ h=id_S$, si definimos $k$ como sigue: $k(t_1)=s_1$, $k(t_2)=s_2$, $k(t_3)=s_3$, $k(t_4)=s_1$ y $k(t_5)=s_1$. (Nótese que hay más funciones que son inversa izquierda de $h$).
     De hecho, es cierto que para toda función inyectiva $f:A\rightarrow B$ existe una inversa izquierda $g:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=id_A$. Y recíprocamente toda función con inversa derecha es inyectiva.
     Ahora, supóngase que tenemos una función biyectiva $f:A\rightarrow B$. Como $f$ es biyectiva, es suprayectiva y entonces existe $g:B\rightarrow A$ tal que $f\circ g=id_B$, y como es $f$ es inyectiva, existe una $h:B\rightarrow A$ tal que $h\circ f=id_A$. Tenemos que $$h=h\circ id_B=h\circ (f\circ g)=(h\circ f)\circ g=id_A\circ g=g.$$ Entonces, $f$ tiene una sola inversa, tanto izquierda como derecha. Además, $g$, la sola inversa, es inyectiva y suprayectiva, pues su inversa izquierda y derecha es $f$. Dijimos que toda función con una inversa izquierda es inyectiva y que toda con inversa derecha es suprayectiva.

2. Primeros números

Imaginemos que estamos en los comienzos de la domesticación y que nuestro idioma sólo cuenta con los cardinales uno, dos y tres, y ningún otro. Ahora imaginemos que somos pastores de ovejas y que tenemos muchas muchas ovejas, y que un día, hartos de perder muchas ovejas, decidimos inventar una manera de tener el número exacto de ovejas que tenemos para no perderlas. Se nos han ocurrido dos maneras de hacerlo. Una es hacer nudos en una cuerda y ponerlos en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Otra es tener una caja con piedras y ponerlas en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Es decir, a pesar de que nuestro idioma no cuente con un nombre para números mayores que tres, vamos a saber exactamente cuántas ovejas tenemos. Esa correspondencia biyectiva (o biyección) encierra el concepto de número: si tenemos dos conjuntos finitos $A$ y $B$ y definimos entre ellos una función biyectiva, entonces esto significará que tienen el mismo número de elementos. Si tal cosa no es posible, entonces sus números de elementos son distintos, o uno mayor que otro. Sin embargo, si es posible definir una función suprayectiva de $A$ sobre $B$ entonces sabremos que el número de elementos de $A$ es mayor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una función inyectiva de $A$ a $B$ entonces el número de elementos de $A$ es menor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una biyección de $A$ sobre $B$ entonces el número de elementos de $A$ y $B$ es el mismo. Estas pequeñas observaciones para conjuntos finitos se pueden extender para conjuntos infinitos. Es decir, este mismo método de contar, mediante biyecciones entre conjuntos, se puede extender a cualquier conjunto, sea finito o infinito. Es decir, con la ayuda de las biyecciones podemos definir la noción de número de cualquier tamaño.
     Ahora, veamos que el número de elementos del conjunto de números pares es el mismo que el de los números naturales. Denotemos por $\mathbb{PAR}$ el conjunto de números pares; es decir, $$\mathbb{PAR}=\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}.$$ Definamos $g:\mathbb{PAR}\rightarrow\mathbb{N}$ como sigue: \begin{align} g:\mathbb{PAR}&\rightarrow\mathbb{N}\notag\\ k&\mapsto \frac{k}{2}\notag. \end{align}      Esta función $g$ es suprayectiva e inyectiva. Veamos que es suprayectiva, es decir, que $g(\mathbb{PAR})=\mathbb{N}$. Sea $n\in\mathbb{N}$; entonces $2n\in\mathbb{PAR}$ y $g(2n)=n$. Por lo tanto, para todo $n\in\mathbb{N}$ exite $k\in\mathbb{PAR}$ tal que $g(k)=n$; a saber, $k=2n$. Veamos que $g$ es inyectiva. Sean $k,p\in\mathbb{PAR}$ tales que $g(k)=g(p)$. Entonces, por definición de $g$, tenemos que $$\frac{k}{2}=\frac{p}{2}.$$ De aquí, $k=p$; por lo tanto, $g$ es inyectiva, y por lo tanto biyectiva, así que el número de elementos de $\mathbb{PAR}$ es igual que el de $\mathbb{N}$.
     Notemos que la función inversa de $g$ es \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathbb{PAR}\notag\\ n&\mapsto 2n\notag. \end{align} Y $f$ también es biyectiva.
     Ahora consideremos la $f$ anterior y la inclusión $j:\mathbb{PAR}\hookrightarrow\mathbb{N}$. La composición $j\circ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ no es una biyección, pues en esta composición nos sobran los impares en el lado derecho; es decir, esta función no aparea biunívocamente elementos de uno y otro conjunto; dicho de otro modo, esta función no es un conteo.

3. Números transfinitos

Un resultado conocido dentro de las matemáticas (el Teorema de Cantor) es que dado un conjunto $A$ (sea finito o infinito), no es posible encontrar o definir una función suprayectiva $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ (de $A$ sobre su conjunto potencia $\mathcal{P}(A)$). Sin embargo, sí se puede definir una función inyectiva $g$ de $A$ en $\mathcal{P}(A)$; a saber \begin{align} g:A&\rightarrow\mathcal{P}(A)\notag\\ a&\mapsto\{a\}\notag. \end{align} Así que esto nos dice que siempre, sea $A$ finito o infinito, el número de elementos de $\mathcal{P}(A)$ es estrictamente mayor que el de $A$. En particular, esto es cierto para $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mathbb{N}$.
     Ahora, por otro lado, se tiene que dado un conjunto $A$ y $B\subseteq A$, podemos definir la siguiente función $\chi_B:A\rightarrow 2$ (llamada la función característica de $B$), donde $2=\{0,1\}$, como $$\chi_B(a)=\begin{cases} 1 &\text{si $a\in B$}\\ 0 &\text{si $a\notin B$}. \end{cases}$$      Entonces, veamos que existe una biyección entre $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ (el conjunto de todas las funciones que van de $A$ a 2).
     Definamos esa función $h:\mathcal{P}(A)\rightarrow 2^A$ como \begin{align} h:\mathcal{P}(A)&\rightarrow 2^A\notag\\ B&\mapsto\chi_B\notag. \end{align} Veamos que $h$ es suprayectiva. Sea $f:A\rightarrow 2$ una función cualquiera de $A$ a $2$. Definamos entonces $$C:=f^{-1}(\{1\}).$$      Entonces, $C\subseteq A$ y se tiene que $\chi_C=f$; por lo tanto, $h(C)=f$, así que $h$ es suprayectiva.
     Es fácil ver que si $B,C\subseteq A$ y $\chi_B=\chi_C$ entonces $B=C$, y por lo tanto $h$ es inyectiva. Así que $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ tienen el mismo número de elementos.
     Entonces, volviendo a $\mathbb{N}$, tenemos que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$ tienen el mismo número de elementos, y sabemos que el número de elementos de $2^{\mathbb{N}}$ es $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, que es el número de elementos de $\mathbb{R}$, así que $\aleph_0=|\mathbb{N}|<|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=\aleph_1$ (las barras denotan “número de elementos”). Entonces, de manera indirecta se ha demostrado que hay más números reales que naturales, sin usar el argumento de las expansiones decimales.
     Así que podemos encontrar números infinitos cada vez más grandes: si $A$ es infinito, $$|A|<|\mathcal{P}(A)|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A)))|<\ldots$$

4. Teorema de Cantor y el argumento por la diagonal¹

Lo que se demuestra en el Teorema de Cantor es que dado un conjunto $A$, no se puede definir una función suprayectiva de $A$ sobre $\mathcal{P}(A)$. La demostración es bastante simple; es la siguiente.
     Sea $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ una función. Veamos que no es suprayectiva. Sea $$B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}.$$ Se tiene que $B\subseteq A$ y no hay $a\in A$ tal que $f(a)=B$, pues de haberlo si $a\in B$ entonces $a\notin f(a)=B$, contradicción; si $a\notin B=f(a)$ entonces $a\in B$ por definición de $B$, contradicción.
     La definición de $B$ es una generalización del argumento por la diagonal. Ahora veamos en qué consiste el argumento por la diagonal de Cantor. Tal argumento demuestra que no es posible definir una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$. Para hacerlo bastará demostrar que $|[0,1]|\neq\aleph_0$ (basta demostrarlo para $[0,1]$ porque se tiene la siguiente sucesión de funciones inyectivas: $$\mathbb{R}\overset{h}{\rightarrow}(0,1)\hookrightarrow[0,1]\hookrightarrow\mathbb{R},$$ donde \begin{align} h:\mathbb{R}&\rightarrow (0,1)\notag\\ x&\mapsto \frac{e^x}{1+e^x}\notag \end{align} y las otras dos funciones son las inclusiones. Así que se tiene que $$|\mathbb{R}|\leq |(0,1)|\leq |[0,1]|\leq|\mathbb{R}|,$$ y, por lo tanto, $|\mathbb{R}|=|(0,1)|=|[0,1]|$). La demostración será por contradicción. Supongamos que [0,1] y $\mathbb{N}$ tienen el mismo número de elementos. Es decir, supongamos que existe una función biyectiva f:N→[0,1]; en otras palabras, que para todo $s\in[0,1]$ existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $f(n)=s$, y para cualesquiera $n,m\in\mathbb{N}$, si $f(n)=f(m)$ entonces $n=m$. Esto significa que podemos numerar todos los elementos de [0,1]. Digamos que dicha numeración es la siguiente: $$b_0, b_1, b_2,\ldots$$ Es decir que $f(0)=b_0$, $f(1)=b_1$, $f(2)=b_2,\ldots$ Que en general, $f(n)=b_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, donde $b_n\in [0,1]$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. Entonces, tenemos lo siguiente: \begin{align} b_0&=0.b_{00} b_{01} b_{02}\ldots\notag\\ b_1&=0.b_{10} b_{11} b_{12}\ldots\notag\\ b_2&=0.b_{20} b_{21} b_{22}\ldots\notag\\ \vdots\notag \end{align} Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada $b_{ii}$, sea $0\leq a_i\leq 9$ un dígito distinto de $b_{ii}$. Entonces, el número real $a$ con expansión decimal $$0.a_0 a_1 a_2\ldots$$ no es ninguno de los $b_i$. Se tiene que $a\neq b_0$, porque $a_0\neq b_{00}$; que $a\neq b_1$, porque $a_1\neq b_{11}$; que $a\neq b_2$, porque $a_2\neq b_{22}$; en general, $\forall i\in\mathbb{N}\ a\neq b_i$, porque $\forall i\in\mathbb{N}\ a_i\neq b_{ii}$. Esto significa que $f$ no es una suprayección, pues no existe $i\in\mathbb{N}$ tal que $f(i)=a$. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre $[0,1]$ y $\mathbb{N}$, y en consecuencia entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$.
     Ahora veamos por qué definir $B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$ es una generalización del argumento por la diagonal. Tenemos que $2^{\mathbb{N}}$ es el conjunto de todas las funciones que van de $\mathbb{N}$ a $2=\{0,1\}$. En otras palabras, son sucesiones de 0s y 1s. Si $g$ fuera una tal función, $g$ podría ser $$g(0)=0,g(1)=1,g(2)=1,g(3)=0,g(4)=0,\ldots$$ es decir, $$01100\ldots$$ Si la escribiéramos como $0.01100\ldots$ tendríamos la expansión binaria de un número en el intervalo $[0,1]$. Es decir, $2^{\mathbb{N}}$ podemos considerarlo como $[0,1]$.
     Si $A=\mathbb{N}$ en la demostración del Teorema de Cantor entonces tendríamos que $$B=\{n\in\mathbb{N}\mid n\notin f(n)\}.$$ Tenemos que $f(n)$ nos da un subconjunto de $\mathbb{N}$; si pensamos en la biyección entre $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$, lo que obtendríamos sería $\chi_{f(n)}$, la función característica de $f(n)$, y entonces que “$n\notin f(n)$” significaría que $\chi_{f(n)}(n)=0$. Entonces, al considerar $B$ como elemento de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, lo que obtenemos del otro lado es $\chi_B$, que cambia los 0s por 1s y los 1s por 0s en la diagonal $\chi_{f(i)}(i)$ de la matriz infinita $\chi_{f(-)}(-)$.

5. Aclaraciones

Hay varios conceptos que se pueden encontrar asociados con la noción de infinito, además del de número de elementos. Uno de ellos es el de medida (sugiero mejor leer la entrada en inglés). Por ejemplo, la longitud (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$) de la recta real es infinita y la del intervalo $[0,1]$ es 1. Que haya una biyección entre $\mathbb{R}$ y $[0,1]$ no significa que se meta un conjunto de longitud infinita dentro de uno de longitud 1, sólo que tienen el mismo número de elementos y sólo eso: una biyección no mete un conjunto dentro de otro, sólo aparea elementros entre conjuntos. Se tiene que el área (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^2$) de $[0,1]\times [0,1]$ es 1 y el área del intervalo $[0,1]$ es 0, al igual que el área de $\mathbb{R}$. Es decir, la medida de Lebesgue definida sobre $\mathbb{R}$ no es la misma que la definida sobre $\mathbb{R}^2$.
     Una curva de Peano es una función continua suprayectiva que va del intervalo $[0,1]$ sobre $[0,1]^k$ para $k\leq\infty$. Las curvas de Peano no pueden ser inyectivas, pues de serlo eso significaría que $[0,1]$ y $[0,1]^k$ son homeomorfos; es decir, que como espacios se comportan igual, pero no es así, pues el cuadrado unitario $[0,1]\times [0,1]$ no tiene puntos de corte, pero el intervalo unitario $[0,1]$ sí (todos salvo los extremos). A pesar de eso, existe una biyección entre $[0,1]$ y $[0,1]\times [0,1]$, lo que significa que tienen el mismo número de elementos y sólo eso, no que como espacios sean iguales: dicha biyección no puede ni es continua, pues de serlo, como espacios serían iguales.
     Las dos observaciones anteriores lo que muestran es que cuando uno está interesado en comparar el número de elementos de dos conjuntos, uno sólo está interesado en los conjuntos sin considerar alguna estructura sobre estos, como podría ser un orden parcial, una topología, una medida, etc, pues si hemos de comparar esos conjuntos junto con sus estructuras, las funciones que hemos de considerar tienen que preservar dicha estructura: entre conjuntos ordenados las funciones tienen que preservar el orden (ser monótonas), entre espacios topológicos tienen que ser continuas, entre espacios medibles (con una medida) tienen que ser medibles, etc. Por ejemplo, hay una biyección entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario, pero no una biyección continua con inversa continua.
     Otro concepto que podría encontrarse asociado con la noción de infinito es el de distancia: se puede hablar de distancias infinitas.
     Se ha de notar que cuando se trata de medida o distancia, una medida o distancia infinita se denota $\infty$ y cuando se trata de número de elementos infinito, se denota con los $\aleph$, pues “longitud” y “número de elementos” son conceptos distintos.

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1. El texto anterior fue un mensaje que le mandé a Fermín Huerta por correo electrónico en respuesta a una entrada en su blog. No lo puse como comentario a dicha entrada debido a que Blogger sólo me deja poner comentarios de a lo más cuatro mil y cacho caracteres, y este texto tiene más de lo permitido. Fermín me pidió que publicara dicho texto. Las secciones 4 y 5 no estaban en el mensaje, pero resultan útiles para demostrar afirmaciones anteriores.
     Modifiqué un poco el texto para que cualquier lector lo pueda leer independientemente de los comentarios vertidos en la entrada mencionada.
     Me piqué con la entrada de Fermín y me entusiasmé por hablar de matemáticas en mi blog. Gracias, Fermín.↩

Θεός πολίτικον (o el problema del mal)

Dios es como un político: en sus presentaciones aparece con grandes capacidades: todo bueno, todo justo, brillante, luminoso; sin embargo, no hace absolutamente nada, y cuando llega a hacer algo que usualmente debería de hacer, su séquito se lo alaba como un gran logro de su mandato (algo extraordinario, un milagro)¹.


¹La existencia del mal y la de un dios omnipotente, omnisciente y moralmente perfecto plantea un problema. A este se le llama en filosofía el problema del mal. El enlace da a la entrada sobre el tema en la Stanford Encyclopedia of Philosophy.

Hablar en cuarta, quinta, sexta persona

Estábamos Luis Rodrigo, Cuqui y yo en casa de José Luis comiendo tamales, por la Fiesta de la Candelaria, cuando José Luis nos dijo que Quijote, su gato, no se acercaba a su comida porque ya la había olido un gato. Y comenzó a explicarnos que los gatos suelen acercarse a oler la comida (me imagino que sobre las mesas) aunque no la coman y que hay personas a las que les desagrada que los gatos hagan eso con su comida (la de las personas, no la de los gatos); que así le pasa a Quijote: ya no se acerca a su comida porque él ya la ha olido. Entonces Cuqui replicó: “Entonces tu gato hace lo que tú: se piensa en tercera, cuarta, quinta persona”. Luis Rodrigo preguntó: “¿Cómo sería una cuarta persona?”, y continuó: “Estaría padre que hubiera tercera persona del plural para el caso en que uno se incluye y otra [también tercera] para el caso en que no”. Yo repliqué: “Es la primera persona del plural, y es que uno incluya o no a alguno de los interlocutores”. Dijo: “Sí, la primera”.
     La plática se desvió, no recuerdo hacia qué tema; sin embargo, yo me quedé pensando en cómo o qué o cuál podría ser la cuarta persona, así que aproveché cuando se hizo un silencio corto para decir cuál sería: “La cuarta persona sería la persona de la que hablaría un tercero [y que no estuviera presente]... Se haría añadiendo una terminación a la tercera persona, y se añadiría otra vez para la quinta, y otra vez para la sexta, y otra vez para la séptima, y así”. A lo que Luis Rodrigo rápidamente sugirió: “Elet”. Y continué: “Ajá, elet, eletet, eletetet, y así; para la cuarta, quinta, sexta persona, y así. Por ejemplo, ‘Él dijo que elet es...’”. E interrumpiéndome, más o menos retador, me preguntó: “¿Y cómo se conjugaría el verbo ser en la cuarta persona?”. Nos miramos todos, salvo Luis Rodrigo, haciéndonos cara de “nooo, se está complicando”. Y Luis Rodrigo sugirió: “Eset... Ah, y para la cuarta persona del plural Ellots sonet”. Y todos nos empezamos a reír. José Luis dijo que parecía catalán. Y seguimos: “Ellats sonet”. Pero entonces pregunté: “¿Y si hay dos cuartas personas?”. Me contesté: “Habría que utilizar algo como los subíndices”. Y José Luis gritó desde la cocina (porque se paraba, caminaba a la cocina y se regresaba a la mesa): “¡Con un prefijo!”. Sugerí: “Pro”, y luego Luis Rodrigo: “Proto... Ah, no”. Proseguí: “Sí... No, mejor como español: ono, doso, treso..: onoelet”. Luis Rodrigo dijo: “Mejor sec para el segundo”. Sugerí: “seco”. Asintió: “Se oye bien”. Y solté una frase: “Onoelet le platicaba a sequelet que eletet era... muy loco”. (Por supuesto, no conjugué correctamente, pues debí decir: “Onoelet le platicábat a sequelet que eletet ératet muy loco”). Y nos empezamos a reír. Entonces añadí: “Se entiende todo, ¿no? Porque si no, diríamos: ‘Él le platicaba a él que él estaba muy loco’. No se entiende nada”.
     Entonces cambiamos de tema otra vez. Pero luego de un buen rato de charla, me volví hacia Luis Rodrigo y le dije: “Creo que también habría que hacer pronombres de complemento directo, indirecto para las cuarta, quinta, sexta personas... Y así”.
     En algún momento durante la plática sobre las personas posterciarias, Luis Rodrigo dijo que en el idioma de los huicholes sólo se puede hablar de lo que uno ve o de lo que otro le ha contado a uno que ha visto, pero no más allá; pero empezó a dudar si se trataba de los huicholes. Yo le dije que así era el idioma de los pirahãs; en palabras de su estudioso, Daniel Everett: “[Their] Grammar and... are restricted to concrete, immediate experience (where an experience is immediate in Pirahã if it has been seen or recounted as seen by a person alive at the time of telling)...”.
     ...Ahora que lo pienso, se podría decir: “El primero le platicaba al segundo que un tercero era muy loco”. Sin embargo, no queda claro si el tercero estaba presente o no (aunque eso se puede arreglar con una cláusula: “...un tercero, quien no estaba presente”). Me gustan más los sufijos, y los prefijos también.

Una mafufada reticular (o sobre el talento III)

Este es el antecedente a esta entrada.

Denotemos por T_a a la función que, al ser evaluada en una persona p, nos da el tiempo que ha dedicado p para lograr la acción a. Así que dadas dos personas p₁ y p₂, tenemos tres posibilidades para los tiempos de dedicación para lograr a:

T_a(p₁) > T_a(p₂),
T_a(p₁)=T_a(p₂),
T_a(p₁) < T_a(p₂).

Al primer caso denotémoslo como 1, al segundo como 0 y al tercero como -1. Esto sugiere el siguiente retículo:


Denotémoslo como 3. Ahora, si se tiene una acción a descomponible en las subacciones (o acciones parciales) a₁ y a₂, entonces se tienen nueve posibilidades y el retículo 3×3:


Decidí entonces reflejar este producto de retículos en la descomposición, escribiendo a=a₁×a₂ en lugar de a=a₁+a₂.

Notemos que los vértices contenidos en la recta que corta justo a la mitad el diagrama de Hasse de 3×3 tienen coordenadas (o componentes) cuya suma es cero: (-1,1),(0,0),(1,-1):

-1+1=0+0=1+(-1)=0.

Esto sugiere que consideremos que p₁ y p₂ son igual de talentosos para la acción conjunta a=a₁×a₂ si y sólo si

T_a1(p₁) < T_a1(p₂) y T_a2(p₁) > T_a2(p₂) o
T_a1(p₁) = T_a1(p₂) y T_a2(p₁) = T_a2(p₂) o
T_a1(p₁) > T_a1(p₂) y T_a2(p₁) < T_a2(p₂).

El primero caso sugiere que, como para lo que uno es bueno el otro no y viceversa, la acción total a queda compensada para ambas personas en cuanto al talento; asimismo para el último caso. Esto no tiene nada de especial, es lo que seguramente se ha de hacer en los concursos donde no se usa un sistema de puntuación para evaluar una acción o una obra.

Notemos que la recta x+y=0 contiene a los vértices donde se da la igualdad. Si consideráramos una acción descompuesta en tres subacciones, los vértices de igualdad estarían contenidos en el plano x+y+z=0.

Definición. Dada una acción a descomponible como a=a₁×a₂×···×a_n y dadas las personas p₁, p₂, diremos que p₁ y p₂ son igual de talentosos para realizar a=a₁×a₂×···×a_n (si no se quiere contar o no se cuenta con un sistema de puntuación) si y sólo si la suma de las coordenadas del vector o vértice de talento para p₁,p₂ para realizar a es cero, p₁ más talentoso que p₂ para realizar a si la suma es mayor que 0 y lo opuesto si es menor que 0.

Se puede postular que toda acción es descomponible en acciones parciales distintas a la acción nula, y entonces, para una acción cualquiera a, aplicar la vieja estrategia de divide et vinces, que es lo que normalmente se hace para evaluar el talento mediante un conjunto de criterios (parecido a descomponer una acción en subacciones) en una competencia o concurso.

Un sistema de puntuación sería simplemente sumar los tiempos de dedicación para cada subacción. El más talentoso será aquel cuya suma sea la menor de todas.

Talento e innovación (o sobre el talento II)

En respuesta al comentario de Macías en la entrada anterior.

La delitimación (o la especificidad) de una acción no necesariamente determina completamente su realización. Por ejemplo, ¿cuántas cosas no caben en la acción ⌈hacer una novela⌉?: si se les diera la instrucción de hacer una novela a diez personas, seguramente las diez personas entregarían diez novelas distintas. Para detectar talento en las realizaciones de la acción ⌈hacer una novela⌉, dicha acción podría descomponerse en acciones parciales, como ⌈hacer personajes redondos⌉, ⌈hacer una historia consistente dentro de la lógica del mundo que propone⌉. A pesar de la mayor delimitación (o especificidad) dada por esta descomposición en acciones parciales, sigue sin haber una determinación completa de la realización de la acción conjunta ⌈hacer una novela⌉=⌈hacer personajes redondos⌉×⌈hacer una historia consistente dentro de la lógica del mundo que propone⌉¹.
     Por otro lado, creo que no hay que confundir talento con innovación. Puede haber gente innovadora pero no talentosa o gente talentosa pero no innovadora o talentosa e innovadora. Por ejemplo, el famoso inodoro de Duchamp es innovador pero no requiere talento colocar, como obra de arte, un urinario en una galería. O si a un pintor se le ocurre usar tortillas dentro de sus materiales, la acción de usarlas es innovador; pero no necesariamente implica talento su uso, eso depende de cómo se use. Es verdad que hay ciertas innovaciones que necesariamente requieren talento, pero eso se debe a la complejidad de la innovación, pues para realizarla requeriría práctica, dedicación para lograrla. Confundir el talento con la innovación sería como confundir la inteligencia con la creatividad; son dos cosas distintas.
     Sí veo una relación entre el talento (así como se definió en la entrada anterior) y lograr algo estético. Hipotetizo que lo estético está relacionado con la estructuración. Lograr estructuración en una obra requiere talento. Si una obra no presenta estructuración, sospecho que difícilmente puede parecernos bella: una estructuración pobre nos fascinará poco, nos hará contemplarla poco. Quisiera aclarar que no hay que confundir la estructuración con la complejidad: algo puede ser complejo pero desestructurado (o desordenado) o simple pero estructurado (las dunas del desierto parecen tener una estructura repetitiva pero simple (simple porque se repite). Hipotetizo que lo grotesco está relacionado con la complejidad desestructurada; las deformidades humanas son grotescas. Puede haber combinaciones interesantes: una complejidad desestructurada dentro de un entorno complejo y estructurado, y crear una sensación de belleza grotesca, como las fotografías de Joel Peter Witkin; o ruido dentro de un entorno armónico o melodioso, como en la música de Ambassador 21 (breakcore y digital noise).
     Estas dos conjeturas las dejo como tales, como conjeturas: habría que aclarar los conceptos “bello”, “grotesco”, “complejo” y “estructura” y considerar lo que nos dicen las ciencias pertinentes en relación a tales conceptos ya aclarados y a lo que nos interesa.
     No me queda claro qué tienen que ver los recursos financieros con el talento para tocar piano, por ejemplo.

¹En la continuación a esta entrada explico por qué elegir ‘×’ en lugar de ‘+’.

Tres preguntas a Avelina Lésper: talento y perfórmanz1 (o sobre el talento I)

En la presentación del sexto volumen de Performagia, Avelina Lésper estuvo entre los presentadores. Cuando terminó de leer el texto que llevaba preparado para esa presentación, le hicieron varias preguntas.
     Le hicieron tres que me pareció no contestó. (1) ¿qué es el talento?, (2) ¿el arte busca la novedad?, (3) ¿cómo sería mostrar talento en el perfórmanz? o ¿cómo se podría mostrar talento en el perfórmanz?
     La manera en que respondió la primera pregunta fue dando ejemplos de obras que consideraba que no mostraban talento y de obras que consideraba que sí (yo coincidí con ella en sus ejemplos).
     La segunda pregunta la respondió diciendo que los artistas o las escuelas o los perfomanceros (no escuché quiénes o no me quedó claro quiénes) están obsesionados con la novedad, que por esa razón hacen la misma obra una y otra vez con distintos nombres.
     La tercera pregunta no la respondió, o al menos no lo recuerdo.
     Me quedé pensando en cómo responder esas tres preguntas.
     La primera definición que me vino a la mente para responder la primera pregunta fue la siguiente. Se dice que alguien es talentoso si es capaz de hacer algo que a muchos les cuesta trabajo realizar. Esta definición me pareció burda, pues incluso los talentosos hacen esfuerzos (o entrenan horas) para realizar lo que hacen.
     Lo primero que pensé para tratar de responder la tercera pregunta fue lo siguiente. La dificultad de mostrar talento en el perfórmanz no es la espontaneidad: ¿la improvisación en el jazz no es espontaneidad? Tampoco está en la poca duración de la ejecución: ¿un salto gimnástico no toma unos cuantos segundos?
     Dada la primera definición, uno podría pensar que quizá el talento está en las acciones osadas, pues a muchos nos costaría trabajo realizar las acciones osadas llevadas a cabo por algunos performanceros. Sin embargo, la osadía no encaja con la noción de talento. Así que repensé la definición de talento.
     ¿Por qué la osadía no se percibe como un talento? Es decir, ¿por qué realizar acciones osadas no requiere talento? Hay algo que distingue a las acciones con talento de las osadas. ¿Por qué, cuando se trata de pintar, jugar tenis, esculpir, hacer gimnasia (por sólo mencionar algunos ejemplos) tiene sentido hablar de talento y no cuando se trata de acciones osadas?

Definición. Se dice que una persona p₁ es más talentosa que una persona p₂ para realizar una acción a mediante los instrumentos i si y sólo si p₁ ha dedicado menos tiempo que p₂ para lograr realizar a mediante i (esto lo vamos a abreviar así: “para realizar (a,i)”).

Definición. Se dice que una persona p es talentosa o tiene talento para realizar (a,i) (por ejemplo, pintar) si existe un grupo grande g de personas tal que p es más talentosa que cualquier persona de g para realizar (a,i).

Observación. Si pudiéramos hacer grandes saltos gimnásticos sin una diferencia significativa en el tiempo de dedicación para lograrlos de persona a persona, entonces lograrlos difícilmente lo consideraríamos un talento, por más espectulares que fuesen. No tiene sentido hablar del talento del habitante único de una isla o del hipotético sobreviviente único de un desastre planetario. El talento forzosamente implica una comparación.

Observación. Para hablar de talento es necesario hablar de instrumentos delimitados y necesarios para realizar la acción a (por ejemplo, pinceles para pintar; raqueta y una cancha para jugar tenis) y un tiempo de dedicación; el tiempo de dedicación dependará de la acción, de su dificultad para lograrse. Si no existen ni instrumentos delimitados y necesarios para realizar a ni un tiempo de dedicación para lograr a, no se puede hablar de talento. En consecuencia, sólo se puede mostrar talento cuando se han delimitado las acciones a realizar, cuando se ha delimitado el tipo de instrumentos determinados para la realización de a. Si no hay tal delimitación en las acciones ni en los instrumentos necesarios para estas, no podrá haber un perfeccionamiento o diferencias significativas entre personas en el tiempo de dedicación para lograr dichas acciones: difícilmente puede haber perfeccionamiento en la amplia dispersión, o talento en las acciones que la mayoría puede realizar, pues el talento sólo se percibe en las diferencias significativas en el tiempo de dedicación para lograr una acción. Ahora, como realizar acciones osadas no requiere ni de dedicación ni de los mismos instrumentos cada vez, la osadía no es un talento.

Observación. Si consideramos el perfórmanz (tomé la definición de “perfórmanz” de la Wikipedia, la cual reza como sigue: “Performance may be either scripted or unscripted, random or carefully orchestrated; spontaneous or otherwise carefully planned with or without audience participation. The performance can be live or via media; the performer can be present or absent. It can be any situation that involves four basic elements: time, space, the performer’s body, or presence in a medium, and a relationship between performer and audience. Performance art can happen anywhere, in any venue or setting and for any length of time. The actions of an individual or a group at a particular place and in a particular time constitute the work”), este carece de una delimitación en las acciones a realizar, lo cual no permite mostrar talento, pues, para mostrarlo, son necesarios un conjunto A de acciones delimitadas y un conjunto I de instrumentos delimitados (determinados por las acciones) necesarios para realizar las acciones del conjunto A; es decir, como ya se observó, no se puede mostrar talento en la dispersión (que implica una dificultad en el perfeccionamiento por falta de una delimitación de acciones) ni en las acciones fáciles (que implican diferencias despreciables o imperceptibles en el tiempo de dedicación entre personas para lograr dichas acciones); en pocas palabras, no se puede mostrar talento en el perfórmanz o hay una gran dificultad para ello.

Ahora, para añadir o considerar otras actividades en que se considera que se puede encontrar talento (como la actuación o la danza: se habla de actores y de bailarines talentosos), hay que refinar las definiciones anteriores.

Definición. Se dice que una persona p₁ es más talentosa que una persona p₂ para realizar una acción a mediante los instrumentos i y las acciones parciales s si y sólo si p₁ ha dedicado menos tiempo que p₂ para lograr realizar a mediante i y s (esto lo vamos a abreviar así: “para realizar (a,i,s)”).

Definición. Se dice que una persona p es talentosa o tiene talento para realizar (a,i,s) (por ejemplo, pintar) si existe un grupo grande g de personas tal que p es más talentosa que cualquier persona de g para realizar (a,i,s).

Esas acciones parciales serían los gestos, los tonos de voz que conforman una actuación completa. Algo parecido ocurre en la danza.
     A mi parecer, en las observaciones anteriores, se responden la primera y tercera preguntas.
     ¿Qué hay del talento en las matemáticas o la escritura?

Definición. Se dice que una persona p₁ es más talentosa que una persona p₂ para realizar una acción a mediante los instrumentos i, las acciones parciales s y sobre los materiales m (los materiales pueden ser conceptos u objetos físicos) si y sólo si p₁ ha dedicado menos tiempo que p₂ para lograr realizar a mediante i, s y sobre m (esto lo vamos a abreviar así: “para realizar (a,i,s,m)”).

Definición. Se dice que p es talentosa o tiene talento para realizar (a,i,s,m) (por ejemplo, pintar) si existe un grupo grande g de personas tal que p es más talentosa que cualquier persona de g para realizar (a,i,s,m).

Observación. Había que incluir los conceptos como materiales para poder hablar de talento en las matemáticas o en la literatura o la filosofía.

Nota. Hay matemáticos que consideran que las matemáticas son un arte. Esto me hace considerar la pregunta “¿la literatura y las matemáticas son el arte conceptual con talento?”.

Ahora, lo siguiente no responde la segunda pregunta, pero sí propone una posible solución para la novedad con talento. Una manera de inventar nuevas disciplinas artísticas que involucren talento sería proponer materiales e instrumentos específicos; por ejemplo, hacer objetos con sólo madera, papel y chicles, o sólo refrigeradores y cuchillos. Como las acciones están delimitadas por los instrumentos y los materiales, puede haber dedicación y, por lo tanto, perfeccionamiento y, finalmente, talento.

Nota. Habría que refinar aún más las definiciones para incluir los productos de las acciones; por ejemplo, un cuadro en la Pintura; una escultura en la Escultura; etc.

Para concluir, me gustaría hacer una pequeña observación. Cuando Avelina terminó su texto, Lorena Wolffer la interpeló diciéndole que no se puede competir con la realidad, que la realidad siempre será mucho más cabrona. Creo que se percibió impertinente que se compararan acciones deliberadas de autosufrimiento con el padecer hambre o alguna desgracia, precisamente porque quien padece hambre o alguna desgracia no elige padecerlas. Así que ejemplos pertinentes serían, creo, comparaciones entre personas que han elegido padecer: performanceros y, por ejemplo, luchadores de lucha libre o luchadores sociales o Buda o Cristo... Sin embargo, la osadía, la temeridad o el atrevimiento no son un talento.
     Alguien podría sentir curiosidad por saber las definiciones de “talento” del Pequeño Larousse o el DRAE. Pequeño Larousse: 1. Inteligencia, capacidad intelectual de una persona. 2. Aptitud o capacidad para realizar algo. 3. Persona que posee alguna de estas cualidades. 4. Antigua unidad de peso del oriente mediterráneo. DRAE: 1. m. inteligencia (‖ capacidad de entender). 2. m. aptitud (‖ capacidad para el desempeño o ejercicio de una ocupación). 3. m. Persona inteligente o apta para determinada ocupación. 4. m. Moneda de cuenta de los griegos y de los romanos. Sin embargo, las definiciones que sí tendrían algo que decirnos serían las que pudieran ofrecernos las neurociencias y la psicología. Si alguien las conoce, que las mencione por favor.

¹Escribo ‘perfórmanz’ en lugar de ‘performance’ para castellanizar la palabra inglesa e, incluso así, conservar la ‘c’ de su derivado ‘performancero’

Acá está la contestación a Macías.

Comentario silente

Si un comentario es “sin palabras”, me imagino que, puesto que “sin palabras” son palabras, “sin palabras” no se refiere al comentario sino al pensamiento de quien lo escribe.

El problema que me planteó la novela El mundo de ocho espacios

En la novela El mundo de ocho espacios de Jaime Romero Robledo se habla de un cubo con ocho cuartos. Yo interpreté tal cubo como un cubo hecho de ocho subcubos conectados por puertas a través de sus caras; es decir, no consideré las caras externas de los subcubos puesto que no los conectan con otros subcubos. En el texto se habla de 24 puertas.
     En ese cubo hecho de ocho subcubos, cada subcubo tiene exactamente tres caras compartidas, las tres que no quedan visibles, así que cada subcubo debe tener tres puertas. Cualquier puerta dentro de las caras externas de un subcubo llevaría al exterior, así que esas caras no las consideré, como ya había dicho antes. Hice el siguiente razonamiento para contar el número de puertas interiores dentro del cubo: cada subcubo tiene 3 puertas y son ocho subcubos, así que debe haber 24 puertas. También hice otro razonamiento: si considero las caras del cubo, cada una de ellas presentaría una cruz, lo que serían los bordes de las caras compartidas por los subcubos. Cada cara del cubo tendría 4 bordes visibles. Esos bordes serían los de las caras compartidas dentro de las cuales tendrían que estar las puertas que interconectarían los subcubos. Son cuatro bordes por cada cara del cubo y el cubo tiene 6 caras, así que debe haber 24 puertas
     Los dos razonamientos anteriores están errados, pues, en ambos, se están contando varias veces las puertas: dos veces. Queda claro que se está contando dos veces cada puerta, si consideramos, digamos, el subcubo anterior superior derecho y luego el subcubo anterior superior izquierdo; con cualquiera de los razonamientos anteriores, estaríamos contando dos veces la puerta que comunica a estos dos subcubos. Así que cómo contar sin repeteciones el número exacto de puertas dentro del cubo. Se me ocurrieron dos razonamientos.¹
     Primero. Consideremos el subcubo anterior superior derecho. Este subcubo tiene tres puertas. Llevamos 3 en nuestra cuenta. Ahora consideremos los tres subcubos con los cuales se comunica: el anterior superior izquierdo, el posterior superior derecho y el anterior inferior derecho. Para estos tres, ya hemos contado una de sus puertas, aquella que los comunica con el subcubo anterior superior derecho. Tres por dos es seis. Son 6 puertas más. Llevamos 9 puertas. Ahora consideremos cada subcubo que queda entre dos de los últimos tres. Dichos cubos son tres, a saber, el subcubo anterior inferior izquierdo, el posterior inferior derecho y el posterior superior izquierdo. Para estos tres subcubos, ya hemos contado dos de sus puertas, aquellos que los conectan a dos de los tres subcubos precentes. Tres por uno es tres. Son 3 puertas más. Llevamos 12 puertas en nuestra cuenta. Finalmente, nos queda contar las puertas del subcubo posterior inferior izquierdo; sin embargo, ya han sido contadas, al contar la de los tres subcubos precedentes. Por lo tanto, son 12 las puertas dentro del cubo grande.
     Segundo. Consideremos la cara anterior del cubo grande y los cuatro bordes visibles, los cuales serían las caras compartidas de los cuatro subcubos anteriores. Así que para esa cara del cubo, podemos contar 4 puertas. Llevamos 4 en nuestra cuenta. Ahora consideremos las dos caras laterales del cubo grande: la derecha y la izquierda. Para cada una de estas dos caras, igualmente veríamos cuatro bordes. Si viéramos de frente la cara derecha, el borde horizontal izquierdo sería el borde de la cara compartida por los subcubos anteriores derechos, así que la puerta dentro de esa cara compartida ya la hemos contado. Sólo no hemos contado las puertas de los otros tres bordes: los dos verticales y el horizontal derecho. Algo similar ocurre con la cara izquierda del cubo grande. Tres por dos es seis. Son 6 puertas más en nuestra cuenta. Llevamos 10 puertas en nuestra cuenta. Consideremos la cara posterior del cubo grande. Si viéramos de frente esa cara, los dos bordes horizontales ya los hemos contado, pues el horizontal izquierdo sería el borde horizontal derecho de la cara derecha del cubo grande y el horizontal derecho sería el borde horizontal izquierdo de la cara izquierda del cubo grande, y ya las hemos contado. Sólo no hemos contado los dos bordes verticales restantes de la cara posterior. Son 2 puertas más. Llevamos 12 puertas en nuestra cuenta. Ahora sólo nos faltan la tapa del cubo, la cara superior, y el fondo, la cara inferior. Si miramos de frente la cara superior (voy a obviar cómo tiene que ser la rotación), el borde horizontal derecho correspondería al borde vertical superior de la cara derecha y el borde horizontal izquierdo correspondería al borde vertical superior de la cara izquierda, los cuales ya han sido contados. El borde vertical superior de la cara superior correspondería al borde vertical superior de la cara posterior y el vertical inferior al borde vertical superior de la cara anterior. Así que ya hemos contado todas las posibles puertas para esa cara. Similarmente ocurre para la cara inferior del cubo grande. Por lo tanto, hay 12 las puertas dentro del cubo grande.
     Ya que tenía el número correcto, pensé: “cómo puedo contar el número de puertas dentro de un cubo hecho de 27 (=3³) subcubos. O uno de 4³ subcubos. O uno de n³ subcubos.
     Mis primeros intentos fueron inútiles. Pensaba en el cubo de 3³ subcubos y se me ocurría considerar algún cubo dentro del cubo grande hecho de 2³ (=8) subcubos, del cual ya sabía cuántas puertas tenía dentro. Pero luego se dificultaba la manera en cómo contar las puertas restantes. Dicho método complicaba las cosas si pensaba en cubos más grandes.
     Se me ocurrió otra cosa. Conté desde el mero principio de la construcción del cubo con los subcubos. Consideré 3 subcubos puestos en línea. Dicha línea de subcubos tendría 2 puertas dentro. Consideré otras 2 líneas de 3 subcubos. Cada línea tendría 2 puertas. Llevaría entonces 2·3 puertas; sin embargo, cuando empatara las 3 líneas, ocurriría que 3 caras quedarían compartidas para cada 2 líneas, y son 3 líneas; así que hay añadir otras 3·2 puertas. Llevamos entonces 12 puertas. Si considero 3 placas de 9 subcubos, tendría 3·12 puertas. Cuando empatara las placas, ocurriría que 9 caras quedarían compartidas para cada 2 placas, y son 3 placas, así que tendría que añadir 9·2 puertas. Lo que me da un total de 36+18=54 puertas.
     Lo interesante del método anterior es que se puede realizar para el cubo hecho de 8 subcubos. Y no sólo eso, sino para un cubo hecho de n³. Consideremos una línea de n subcubos. La línea tendría n-1 puertas. Ahora considero n líneas de n subcubos, lo que me daría (n-)n puertas. Al empalmar las líneas, se obtendrían n(n-1) puertas más. Lo que nos da

(n-1)n+n(n-1)

puertas para una placa de n² subcubos. Si consideramos n placas de n² subcubos, obtendríamos

n[(n-1)n+n(n-1)]

puertas para el cubo de hecho de n³ subcubos. Pero nos faltan considerar las caras compartidas entre placas. El número de caras compartidas entre placas es n², y son n placas. Por lo tanto, hay que añadir a nuestra cuenta

n²(n-1).

Así que si hacemos la suma

p=n[(n-1)n+n(n-1)]+n²(n-1)

y simplificamos, tenemos que el número de puertas dentro de un cubo hecho de n³ subcubos es

p=3n²(n-1).

Si n=2, p=3·4·1=12. Si n=3, p=3·9·2=54. Si n=4, p=3·16·3=144. Si n=5, p=3·25·4=300.
     Ahora es más fácil contar el número de puertas para un bloque hecho de subcubos de largo a, ancho b y altura c. A saber, el número de puertas para tal bloque sería

p=(a-1)bc+a(b-1)c+ab(c-1).

Y ese número sería impar sólo cuando dos de los tres a, b y c fueran impares y la otra par.
     Si consideráramos también las caras externas de los subcubos para alojar una puerta, entonces tendríamos n² caras por cada cara en el cubo grande, así que tendríamos que añadir a nuestra cuenta 6n², lo que, al simplicar, nos da

p=3n²(n+1).

Si n=2 entonces tendríamos 36 puertas para un cubo hecho de 8 subcubos.
     Para el caso general del bloque de largo a subcubos, ancho b subcubos y altura c subcubos, si las caras externas tuvieran puertas, una por cada cara, entonces se tendría que

p=(a-1)bc+a(b-1)c+ab(c-1)+2(ab+bc+ca).

     Volviendo a la primera técnica de conteo que usamos, dicha conteo se puede generalizar para el caso n³; sólo hay que tener en cuenta que cada puerta se estará contando dos veces, así que sólo tendríamos que dividir por dos toda nuestra cuenta. No sé por qué no se me ocurrió esto (dividir entre dos) antes de llegar a la tercera técnica de conteo, aquella que nos llevó a la primera fórmula. Contemos. Pensemos en un cubo hecho de n³ subcubos. Consideremos entonces todos los subcubos que tienen una puerta en cada una de sus 6 caras; esos son todos los subcubos del interior, que son (n-2)³ subucubos. Esto nos da

6(n-2)³.

Ahora consideremos todos los subcubos que tienen puerta en sólo 5 de sus caras. Son los cubos de las caras del cubo grande, salvo los subcubos de los bordes o aristas y los de las esquinas. El número subcubos en una cara salvo bordes es (n-2)². El número de caras del cubo es 6 y el número de caras de sucubo con puerta es 5. Esto nos da

30(n-2)².

Los subcubos que tienen puerta en sólo 4 de sus caras son precisamente los de las aristas, salvo los de las esquinas. El número de subcubos es una arista salvo esquinas es (n-2). El número de aristas en un cubo es 12 y el número de caras de subcubo con puerta es 4. Esto nos da

48(n-2).

Finalmente sólo nos quedan los subcubos de las esquinas, los cuales sólo tienen 3 caras con puerta. El número total de subcubos de esquina es 8. Esto nos da

24.

Así que, si hacemos la suma y dividimos por 2, nos queda el siguiente polinomio:

p=3(n-2)³+15(n-2)²+24(n-2)+12.

Este polinomio me gusta mucho porque aparecen todas las potencias en él. El primero me gusta por la sencillez de su apariencia.
     Si evaluamos en el polinomio, obtenemos lo esperado. Evalúen ambas fórmulas para n=1 sólo por curiosidad.
     Esto fue un poco de matemáticas recreativas: son para entretenerse y no son necesarias matemáticas avanzadas para entenderlas.
     Volviendo a la novela. Se las recomiendo (en realidad, sería mejor gramaticalmente que escribiera “Se la recomiendo”, porque el ‘las’ se refiere a un complemento de objeto directo plural, que no hay en este caso, pues les estoy recomendando la novela, no las novelas; sin embargo, en el español hablado, por lo menos en el mexicano, como no tenemos manera de pluralizar con un signo más el pronombre ‘se’ para el complemento indirecto, ya que me refiero a ustedes y no a usted, recurrimos a la pluralización del pronombre que sí admite una ‘s’: el pronombre ‘la’. En otras palabras, no existe el pronombre ‘ses’, pero si sí existiera, pues les escribiría “Ses la recomiendo”. Hmmmm, me gusta ese pronombre inexistente). He aquí una reseña de la novela hecha por Chimal.

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1. Los siguientes razonamientos no son los más eficientes. El que da Omar en un comentario es mucho más eficiente.↩