Samuel Eilenberg y John C. Moore, en su artículo Adjoint functors and triples, muestran la correspondencia biyectiva que existe entre las mónadas con adjunto derecho y las comónadas con adjunto izquierdo. Sus resultados se pueden generalizar a una 2-categoría $K$ tal que $K$ y $K^{co}$ admitan la construcción de álgebras. Aquí los detalles de tal generalización.
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17 de diciembre de 2015
23 de febrero de 2015
Las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$
$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}}
\newcommand{\uno}{\mathbf{1}}
\newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}$
Comencemos esta exposición considerando el caso más general que elevar a la $A$ con $A$ un conjunto.
Hay un ejemplo clásico elemental (o toda una clase de ejemplos elementales) de 2-mónada. Tenemos que toda categoría pequeña $C\in\Cat$ tiene estructura de comonoide con counidad el único funtor $!_C:C\rightarrow\uno$ de $C$ a la categoría con un solo objeto y una sola flecha, y con comultiplicación el funtor diagonal $\delta_C:C\rightarrow C\times C$; es decir, los siguientes diagramas conmutan: \begin{equation}\label{counitcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[d]_\lambda\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^{\delta_C}\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^\varrho\\ \uno\times C & C\times C\ar[r]_{1\times !_C}\ar[l]^(.45){!_C\times 1} & C\times\uno }\end{xy} \end{equation} y \begin{equation}\label{comultcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[r]^{\delta_C}\ar[d]_{\delta_C} & C\times C\ar[d]^{\delta_C\times 1}\\ C\times C\ar[r]_(.4){1\times\delta_C} & C\times C\times C. }\end{xy} \end{equation} Del diagrama \eqref{comultcat}, tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ (((-)^C)^C)^C\ar[rr]^(.55){(-)^C(-)^{\delta_C}}\ar[d]_{(-)^{\delta_C}(-)^C} & & ((-)^C)^C\ar[d]^{(-)^{\delta_C}}\\ ((-)^C)^C\ar[rr]_{(-)^{\delta_C}} & & (-)^C }\end{xy}$$ conmuta. Del diagrama \eqref{counitcat}, $$\begin{xy}\xymatrix{ (-)^C\ar[rr]^{(-)^C(-)^{!_C}}\ar[drr]_{1_{(-)^C}} & & ((-)^C)^C\ar[d]^(.45){(-)^{\delta_C}} & & (-)^C\ar[ll]_(.45){(-)^{!_C}(-)^C}\ar[dll]^{1_{(-)^C}}\\ & & (-)^C & & }\end{xy}$$ conmuta. Además, $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ son transformaciones 2-naturales. Que $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ sean transformaciones 2-naturales se sigue del hecho de que $\Cat$ es cerrada cartesiana; más precisamente, de que tiene exponenciales; es decir, se tiene un isomorfismo $$\begin{xy}\xymatrix{\Cat(A\times B,D)\ar@{}|{\cong}[r]^{\overset{\quad\varphi^{-1}}{}} & \Cat(A,D^B),}\end{xy}$$ natural en $A$ y en $D$. En particular, como los $\varphi^{-1}_D$ son funtores para cada $D\in\Cat$, dada una transformación natural $\gamma:H\Rightarrow H':A\rightarrow D^B$ y un funtor $G:D\rightarrow D'$, $$G\circ\widehat{H}=\widehat{G^B\circ H}\quad\text{y}\quad G\circ \widehat{\gamma}=\widehat{G^B\circ\gamma}.$$ De la primera igualdad se seguiría la naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ y de la segunda, la 2-naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$.
Por lo tanto, $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$ es una 2-mónada.
Volvamos entonces a lo que nos interesa: las álgebras de $(-)^A$. En un chat, Omar Antolín me preguntó cuáles eran las álgebras de la mónada $(-)^A:\con\rightarrow\con$; a él mismo se le ocurrió la solución. Me dijo lo siguiente:
Sea $A\in\con$ no vacío. Definamos el funtor $A^\ast:\con\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con\ar[r]^(.45){A^\ast} &\con/A}\end{xy}\qquad\quad\;$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & X\times A\ar[r]^(.6){\pi_A^X}\ar[d]^{f\times A} & A\ar@{.>}[d]_1\\ Y\ar@{|->}[r] & Y\times A\ar[r]_(.6){\pi_A^Y} & A }\end{xy}$$ y el funtor producto dependiente $\prod_A:\con/A\rightarrow\con$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^(.55){\prod_A} & \con}\end{xy}\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{.>}[d]_1\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A} g^{-1}a\ar[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A}h^{-1}a, }\end{xy}$$ donde $$\prod_A f:=\begin{cases} f_\ast|_{\prod_A g} &\text{si $\prod_A g\neq\emptyset$,}\\ !_{\prod_A h} &\text{si $\prod_A g=\emptyset$,} \end{cases}$$ con $f_\ast=\con(A,f)$ y $!_{\prod_A h}$ la única flecha $\emptyset\rightarrow\prod_A h$. Este funtor está bien definido, pues si $g$ es suprayectiva, $h$ también. (Notemos que todo $s\in\prod_A g\neq\emptyset$ es sección de $g$, es decir, $g\circ s=1_A$).
Afirmamos que $A^\ast\dashv\prod_A:\con/A\rightarrow\con$. En efecto, dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, se tiene el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\times A\ar[dr]_{\pi_A^{\prod_A g}}\ar[rr]^(.55){ev_g} & & X\ar[dl]^g\\ & A, & }\end{xy}$$ donde $ev_g:\prod_A g\times A\rightarrow X$ claramente está definida como $ev_g(s,a):=sa$ para todo $a\in A$ si $\prod_A g\neq\emptyset$; si $\prod_A g=\emptyset$, es claro qué flecha es $ev_g$. Así que $$ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$$ en $\con/A$. Veamos que $ev_g$ es flecha universal del funtor $A^\ast$ a $g$. Sea $k:A^\ast Z\rightarrow g$: $$\begin{xy}\xymatrix{ Z\times A\ar[dr]_{\pi_A^Z}\ar[rr]^k & & X\ar[dl]^g\\ & A & }\end{xy}$$ y consideremos la correstricción de la transpuesta de $k:Z\times A\rightarrow X$ a $\prod_A g$; denotémosla $\hat{k}$, igual que a la transpuesta de $k$. (Notemos que si $g$ no es suprayectiva, como $\pi_A^Z$ siempre es suprayectiva si $Z\neq\emptyset$, entonces $Z=\emptyset$). Claramente, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ & A^\ast Z\ar[dl]_k\ar[d]^{A^\ast\hat{k}}\\ g & A^\ast\prod_A g\ar[l]^(.6){ev_g} }\end{xy}$$ y $\hat{k}$ es la única flecha $Z\rightarrow\prod_A g$ que hace conmutar el diagrama. Luego, $ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$ es universal para todo $g\in\con/A$; así que $A^\ast\dashv\prod_A$.
Ahora, recordemos que, dada una categoría $C\in\Cat$, esta induce la mónada 2 $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$, y si $C=A$, una categoría discreta (un conjunto), como las celdas 2 de $\con$ son triviales, obtenemos la mónada $(-)^A\mid_{\con}:\con\rightarrow\con$.
Caractericemos entonces las álgebras de $(-)^A:\con\rightarrow\con$: la solución se le pudo haber ocurrido de la siguiente manera. Notemos que si se tiene una familia de conjuntos $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por el conjunto $A$ donde cada $X_a\neq\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene una estructura canónica de $(-)^A$-álgebra; a saber, $$\begin{xy}\xymatrix{\left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){d_X} & \prod X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\; \begin{xy}\xymatrix{k \ar@{|->}[r] & \hat{k}\circ\delta_A;}\end{xy}$$ en efecto, los siguientes diagramas conmutan: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a \ar[rr]^{(\prod X_a)^{!_A}}\ar[drr]_{1_{\prod X_a}} & & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ & & \prod X_a, }\end{xy}$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\left(\prod X_a\right)^A\right)^A \ar[r]^(.6){{d_X}^A}\ar[d]_{\left(\prod X_a\right)^{\delta_A}} & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ \left(\prod X_a\right)^A\ar[r]_(.53){d_X} & \prod X_a. }\end{xy}$$ Más aún, las proyecciones son morfismos de $(-)^A$-álgebras, con $$\begin{xy}\xymatrix{(X_a)^A\ar[r]^(.6){ev_a} & X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\begin{xy}\xymatrix{f \ar@{|->}[r] & fa}\end{xy}$$ la estructura de $(-)^A$-álgebra sobre cada $X_a$. Es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){{p_a}^A}\ar[d]_{d_X} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ \prod X_a \ar[r]_{p_a} & X_a }\end{xy}$$ conmuta, y $$\begin{xy}\xymatrix{ X_a \ar[r]^(.47){(X_a)^{!_A}}\ar[dr]_{1_{X_a}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a} & ((X_a)^A)^A \ar[r]^(.55){{ev_a}^A}\ar[d]_{(X_a)^{\delta_A}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ & X_a & (X_a)^A \ar[r]_{ev_a} & X_a }\end{xy}$$ también. (Si algún $X_a=\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene como estructura de $(-)^A$-álgebra el álgebra vacía). Así que si $X\neq\emptyset$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra $\alpha:X^A\rightarrow X$, $X$ es el producto de los $X_a$ de una familia $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por $A$ y $p_{\sim_a}:X\rightarrow X_a$ es la proyección que determina a $X_a$, entonces $p_{\sim_a}$ debe satisfacer la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A \ar[r]^{{p_{\sim_a}}^A}\ar[d]_{\alpha} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ X \ar[r]_{p_{\sim_a}} & X_a; }\end{xy}$$ es decir, si $f\in X^A$, $\alpha(f)\sim_a fa$. Así que $X_a$ es el cociente de $X$ entre la relación de equivalencia más pequeña $\sim_a$ que identifica a $\alpha(f)$ y a $fa$. De hecho, la relación sobre $X$, para cada $a\in A$, dada por “$p,q\in X$ están relacionados si $\exists\,f:A\rightarrow X\; fa=p$ y $\alpha f=q$” es de equivalencia (denotemos a esta relación igualmente por $\sim_a$, después de todo son iguales). Reflexividad: sea $p\in X$; la función constante $\Delta_p:A\rightarrow X$ que manda todo $b\in A$ a $p$ cumple que $\Delta_p a=p$ y $\alpha\Delta_p=p$; esta última igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X. }\end{xy}$$ Luego, $p\sim_a p$.
Simetría. Sean $p,q\in X$ tales que existe una función $f:A\rightarrow X$ tal que $fa=p$ y $\alpha f=q$. Defínase $\varphi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\varphi(b):=\begin{cases} f &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_p &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $g:A\rightarrow X$ como $gb:=\alpha(\varphi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $\alpha g=p$ y $ga=q$; la primera igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ X^A\ar[r]_\alpha & X. }\end{xy}$$ Transitividad. Sean $p,q,r\in X$ tales que $p\sim_a q$ y $q\sim_a r$; es decir, $\exists\, f:A\rightarrow X\;fa=p$ y $\alpha f=q$ y $\exists\,g:A\rightarrow X\;ga=q$ y $\alpha g=r$. Por simetría, demostrada previamente, $\exists\,f':A\rightarrow X\;f'a=q$ y $\alpha f'=p$. Defínase $\psi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\psi(b):=\begin{cases} f' &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_{gb} &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $h:A\rightarrow X$ como $hb:=\alpha(\psi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $ha=p$ y $\alpha h=r$.
Afirmamos que la asignación anterior (la que, dada una $(-)^A$-álgebra $(X,\alpha)$, nos da la familia $\{X_a\}$ indexada por $A$ a través de las relaciones $\sim_a$ para cada $a\in A$) es funtorial: definamos $S:\con^{(-)^A}\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con^{(-)^A}\ar[r]^S & \con/A}\end{xy}\qquad\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & \coprod X_a\ar[d]_{\coprod f/\sim_a}\ar[r]^(.55){g_X} & A\ar@{.>}[d]_1\\ (Y,\beta)\ar@{|->}[r] & \coprod Y_a\ar[r]_(.55){g_Y} & A }\end{xy}$$ si $(X,\alpha)$ no es la $(-)^A$-álgebra vacía, donde $g_X$ está definida como $g_X x:= a$ si $x\in X_a$, y de manera similar $g_Y$ (de hecho, una familia indexada por $A$ nos da una $g\in\con/A$ definida de igual manera y una $g\in\con/A$ nos da una familida indexada por $A$), y donde $f/\sim_a$ y $\coprod f/\sim_a$ quedan definidas por el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[d]_f\ar[r]^{p_{\sim_a^X}} & X_a\ar@{-->}[d]^{f/\sim_a}\ar[r]^{i_a^X} &\coprod X_a\ar@{-->}[d]^{\coprod f/\sim_a}\\ Y\ar[r]_{p_{\sim_a^Y}} & Y_a\ar[r]_{i_a^Y} &\coprod Y_a }\end{xy}$$ La $f/\sim_a$ existe por la conmutatividad del siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^{f^A}\ar[d]_\alpha & Y^A\ar[d]^\beta & g\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & f\circ g\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_f & Y & \alpha g\ar@{|->}[r] & f(\alpha g)=\beta(f\circ g); }\end{xy}$$ es decir, $f(\alpha g)\sim_a^Y fga$, y $\alpha g\sim_a^X ga$; en otras palabras, $\ker p_{\sim_a^X}\subseteq\ker(p_{\sim_a^Y}f)$. Si $(X,\alpha)$ es el álgebra vacía, entonces $S(X,\alpha):=!_A$ y $Sf:=!_Y$.
Ahora, definamos $\prod_A:\con/A\rightarrow\con^{(-)^A}$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^{\prod_A} & \con^{(-)^A}}\end{xy}\qquad\qquad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{|->}[r]\ar@{.>}[d]_1 & (\prod_A g,d_g:(\prod_A g)^A\rightarrow\prod_A g)\ar@<-8ex>[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & (\prod_A h,d_h:(\prod_A h)^A\rightarrow\prod_A h) }\end{xy}$$ donde $\prod_A f$ es la misma función que aparece en la definición del adjunto derecho de $A^\ast$ (más adelante veremos por qué utilizamos el mismo nombre), y $d_g$ y $d_h$ son la estructura canónica de $(-)^A$-álgebra para una familia indexada. En efecto $\prod_A f$ es morfismo de $(-)^A$-álgebras: considérese el ejemplo clásico elemental de 2-mónada del principio; es decir, $\widehat{f^A\circ k}=f\circ\hat{k}$, donde $k\in(\prod_A g)^A$.
Veamos que $S\dashv\prod_A$. Sea $(X,\alpha)\in\con^{(-)^A}$; entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ & X\ar[dl]_{p_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]^{(p_{\sim_a})}\\ X_a & \prod X_a\ar[l]^{p_a} }\end{xy}$$ Tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X}\\ X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a }\end{xy}$$ conmuta, pues $p_{\sim_a}(\alpha f)=p_{\sim_a}(fa)$ para todo $f\in X^A$ y para todo $a\in A$. Es decir, se tiene el morfismo de $(-)^A$-álgebras $$\begin{xy}\xymatrix{(X,\alpha)\ar[r]^(.4){(p_{\sim_a})} & \prod_AS(X,\alpha).}\end{xy}$$ Afirmamos que $(p_{\sim_a})$ es una biyección $X\rightarrow\prod X_a$; más aún, es un isomorfismo en $\con^{(-)^A}$. En efecto, sea $([q_a])\in\prod X_a$. Defínase $f:A\rightarrow X$ como $fa:=q_a$ para todo $a\in A$. Sea $p':=\alpha f$; entonces, $p'\sim_a q_a$ para todo $a\in A$. Luego, $(p_{\sim_a})$ es suprayectiva. Veamos que es inyectiva: sean $p,q\in X$ tales que $p_{\sim_a}p=p_{\sim_a}q$ para todo $a\in A$; entonces, $\forall\,a\in A\,\exists\,\varphi_a:A\rightarrow X\; \varphi_a a=p$ y $\alpha(\varphi_a)=q$; $\varphi\in(X^A)^A$; luego, por la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha & (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X & X^A\ar[r]_\alpha & X, }\end{xy}$$ $p=\alpha(\hat{\varphi}\circ\delta_A)=\alpha(\alpha\circ\varphi)=q$, pues $\hat{\varphi}\circ\delta_A=\Delta_p$ y $\alpha\circ\varphi=\Delta_q$.
Así que, como $(p_{\sim_a})$ es una biyección, un isomorfismo en $\con$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A} & & X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X} &\\ & & X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X; }\end{xy}$$ de aquí, $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A}\ar[d]_{d_X} & & X^A\ar[d]^\alpha\\ \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X }\end{xy}$$ conmuta.
Renombremos a $(p_{\sim_a})$: denotémoslo como $\eta_{(X,\alpha)}$. Si $(X,\alpha)=(\emptyset,\emptyset)$, entonces definimos $\eta_{(X,\alpha)}:=1_\emptyset$. Afirmamos que $\eta_{(X,\alpha)}$ es flecha universal de $(X,\alpha)$ al funtor $\prod_A$. Sea $k:(X,\alpha)\rightarrow\prod_A h$ morfismo en $\con^{(-)^A}$ con $h:Y\rightarrow A$ (suprayectiva: si $X\neq\emptyset$, forzosamente $h$ es suprayectiva). Como $k$ es morfismo, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){k^A}\ar[d]_\alpha & (\prod_A h)^A\ar[d]^{d_Y} & f\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & k\circ f\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_(.4)k & \prod_A h & \alpha f\ar@{|->}[r] & k(\alpha f)=\widehat{k\circ f}\circ\delta_A; }\end{xy}$$ de aquí, si $\alpha f\sim_a fa$, entonces $k(\alpha f)a=k(fa)a$; así que $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker(q_a\circ k)$ para todo $a\in A$, donde los $q_a$ son las proyecciones $\prod_A h\rightarrow h^{-1}a$. Por lo tanto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[r]^(.45){i_a}\ar@{-->}[d]^{k_a} & \coprod X_a\ar[d]^{\coprod k_a}\ar[rr]^{g_X} & & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a\ar[r]_(.45){j_a} & \coprod h^{-1}a\ar@{}|(.6){=}[r] & Y\ar[r]_h & A. }\end{xy}$$ Como $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a\ar[dr]^{p_a}\ar[d]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}}\ar@/_4.7pc/[dd]_{\prod k_a} & \\ X\ar[r]_{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta, $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[r]^{(p_{\sim_a})}\ar[dr]_k & \prod X_a\ar[d]^{\prod k_a}\\ & \prod_a h }\end{xy}$$ también. Claramente, del diagrama anterior, si $s:S(X,\alpha)\rightarrow h$ es morfismo en $\con/A$ tal que $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[drr]_k\ar[rr]^(.45){(p_{\sim_a})} & & \prod_AS(X,\alpha)\ar[d]^{\prod_A s}\\ & & \prod_A h }\end{xy}$$ conmuta, entonces $s=\coprod k_a$. Si $X=\emptyset$, es claro quién tiene que ser el $k':S(X,\alpha)\rightarrow h$ que haga conmutar el diagrama anterior. Por lo tanto, $S\dashv\prod_A$.
Afirmamos que la counidad de la adjunción $S\dashv\prod_A$ es un isomorfimo para los objetos $g:X\rightarrow A$ suprayectivos de $\con/A$.
En efecto, sea $g:X\rightarrow A$ objeto suprayectivo de $\con/A$, y $G:=\prod_A g$. Veamos que $\ker p_a=\ker p_{\sim_a}$, donde $p_a:\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$ y $p_{\sim_a}:G\rightarrow G_a$, con $G_a=G/\sim_a$. Sean $s,t\in\prod_A g$ tales que $s\sim_a t$; entonces, $\exists f:A\rightarrow\prod_A g\quad fa=s$ y $d_Gf=\hat{f}\circ\delta_A=t$. (Notemos que $f:A\rightarrow\prod_A g\subseteq X^A$). De aquí, $sa=f(a)(a)=ta$. Luego, $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker p_a$. Recíprocamente, supóngase que $sa=ta$; defínase entonces $f:A\rightarrow\prod_A g$ como $$fb:=\begin{cases} s &\text{si $b=a$},\\ t &\text{si $b\neq a$}. \end{cases}$$ Claramente, $fa=s$ y $\hat{f}\circ\delta_A=t$; luego, $\ker p_a\subseteq\ker p_{\sim_a}$.
Como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]^{i_a}\ar@{-->}[d]^{1_a^G} & \coprod G_a\ar[r]^{g_G}\ar[d]^{\coprod 1_a^G} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A; }\end{xy}$$ más aún, como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, $\forall\,a\in A$ $1_a^G$ es mono; de hecho, cada $1_a^G$ también es epi: considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod g^{-1}a\ar[r]^{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar@{-->}[d]\\ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar@{-->}[d]^{1_a^G}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a. }\end{xy}$$ Así que $\coprod 1_a^G:S\prod_A g\rightarrow g$ es un isomorfismo en $\con/A$.
Dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, defínase $\epsilon_g:=\coprod 1_a^G$ si $g$ es suprayectivo y $\epsilon_g:=!_X$ si no. Veamos que $\epsilon$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$; hagámoslo mostrando que $\epsilon$ es universal de $S$ a $g$. Sea $k:S(Y,\beta)\rightarrow g$ en $\con/A$: $$\begin{xy}\xymatrix{ \coprod Y_a\ar[rr]^k\ar[dr]_{g_Y} & & X=\coprod g^{-1}a\ar[ld]^g\\ & A & }\end{xy}$$ conmuta. De la conmutatividad de este diagrama, tenemos que $kY_a\subseteq g^{-1}a$ para todo $a\in A$. De donde, $\forall\,a\in A\,\exists\;k_a:Y_a\rightarrow g^{-1}a$ funciones tales que $$\begin{xy}\xymatrix{ Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]_{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A }\end{xy}$$ conmuta. Luego, por la propiedad universal de $\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$, se sigue que $\exists!\, k':Y\rightarrow\prod g^{-1}a$ $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]_{k'} & Y_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta. Luego, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar[d]_{k'} & Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]^{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar[r]_{j_a}\ar[d]^{1_a^G} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g\ar[d]^{(\coprod 1_a^G)^{-1}} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A g\ar[r]_{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]_{i_a} & \coprod G_a\ar[r]_{g_G} & A; }\end{xy}$$ de donde, $Sk'=(\coprod 1_a^G)^{-1}\circ k$: $$\begin{xy}\xymatrix{ & \coprod Y_a\ar[ld]_k\ar[d]^{Sk'}\\ X & \coprod G_a\ar[l]^{\coprod 1_a^G} }\end{xy}$$ conmuta; es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ & S(Y,\beta)\ar[dl]_k\ar[d]^{Sk'}\\ g & S\prod_A g\ar[l]^{\epsilon_g} }\end{xy}$$ conmuta (para $g:X\rightarrow A$ suprayectivo). Para $g$ no suprayectivo, el único $k'$ es $!_{\prod_Ag}$. Luego, $\epsilon_g$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$, y $\epsilon_g$ es iso si $g$ es suprayectivo.
Considerando todo lo anterior, se tiene el siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ \con/A\ar@<1ex>[r]^{\prod_A}\ar@<-1ex>[d]_{\prod_A} & \con^{(-)^A}\ar@<1ex>[d]^{G^{(-)^A}}\ar@<1ex>[l]^S\\ \con\ar@<-1ex>[u]_{A^\ast}\ar@{}|{=}[r] & \con\ar@<1ex>[u]^{F^{(-)^A}} }\end{xy}$$ cuyos adjuntos derechos conmutan. Ahora, si definimos $\con_\emptyset$ como la subcategoría plena de $\con$ cuyos objetos son los conjuntos no vacíos, $\con/A_s$ la subcategoría plena de $\con/A$ cuyos objetos son las funciones suprayectivas sobre $A$ y $\con^{(-)^A}_\emptyset$ la subcategoría plena de $\con^{(-)^A}$ cuyos objetos son las álgebras no vacías, tenemos que $\con/A_s$ es equivalente a $\con^{(-)^A}_\emptyset$ y un diagrama conmutativo (salvo isomorfismo) similar al anterior.
Unos tres meses después de esa plática con Omar, me dijo: “el otro día vi que alguien preguntaba en Math.StackExchange por las álgebras de la mónada $(-)^A$ en la categoría de conjuntos. El que constestó (dando la caracterización que ya sabíamos) es Zhen Lin”, y me dio el enlace.
Nota. Aquí dejo un pdf de esta entrada.
Comencemos esta exposición considerando el caso más general que elevar a la $A$ con $A$ un conjunto.
Hay un ejemplo clásico elemental (o toda una clase de ejemplos elementales) de 2-mónada. Tenemos que toda categoría pequeña $C\in\Cat$ tiene estructura de comonoide con counidad el único funtor $!_C:C\rightarrow\uno$ de $C$ a la categoría con un solo objeto y una sola flecha, y con comultiplicación el funtor diagonal $\delta_C:C\rightarrow C\times C$; es decir, los siguientes diagramas conmutan: \begin{equation}\label{counitcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[d]_\lambda\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^{\delta_C}\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^\varrho\\ \uno\times C & C\times C\ar[r]_{1\times !_C}\ar[l]^(.45){!_C\times 1} & C\times\uno }\end{xy} \end{equation} y \begin{equation}\label{comultcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[r]^{\delta_C}\ar[d]_{\delta_C} & C\times C\ar[d]^{\delta_C\times 1}\\ C\times C\ar[r]_(.4){1\times\delta_C} & C\times C\times C. }\end{xy} \end{equation} Del diagrama \eqref{comultcat}, tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ (((-)^C)^C)^C\ar[rr]^(.55){(-)^C(-)^{\delta_C}}\ar[d]_{(-)^{\delta_C}(-)^C} & & ((-)^C)^C\ar[d]^{(-)^{\delta_C}}\\ ((-)^C)^C\ar[rr]_{(-)^{\delta_C}} & & (-)^C }\end{xy}$$ conmuta. Del diagrama \eqref{counitcat}, $$\begin{xy}\xymatrix{ (-)^C\ar[rr]^{(-)^C(-)^{!_C}}\ar[drr]_{1_{(-)^C}} & & ((-)^C)^C\ar[d]^(.45){(-)^{\delta_C}} & & (-)^C\ar[ll]_(.45){(-)^{!_C}(-)^C}\ar[dll]^{1_{(-)^C}}\\ & & (-)^C & & }\end{xy}$$ conmuta. Además, $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ son transformaciones 2-naturales. Que $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ sean transformaciones 2-naturales se sigue del hecho de que $\Cat$ es cerrada cartesiana; más precisamente, de que tiene exponenciales; es decir, se tiene un isomorfismo $$\begin{xy}\xymatrix{\Cat(A\times B,D)\ar@{}|{\cong}[r]^{\overset{\quad\varphi^{-1}}{}} & \Cat(A,D^B),}\end{xy}$$ natural en $A$ y en $D$. En particular, como los $\varphi^{-1}_D$ son funtores para cada $D\in\Cat$, dada una transformación natural $\gamma:H\Rightarrow H':A\rightarrow D^B$ y un funtor $G:D\rightarrow D'$, $$G\circ\widehat{H}=\widehat{G^B\circ H}\quad\text{y}\quad G\circ \widehat{\gamma}=\widehat{G^B\circ\gamma}.$$ De la primera igualdad se seguiría la naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ y de la segunda, la 2-naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$.
Por lo tanto, $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$ es una 2-mónada.
Volvamos entonces a lo que nos interesa: las álgebras de $(-)^A$. En un chat, Omar Antolín me preguntó cuáles eran las álgebras de la mónada $(-)^A:\con\rightarrow\con$; a él mismo se le ocurrió la solución. Me dijo lo siguiente:
Las álgebras para $(-)^A$ en la categoría de conjuntos son todas de la forma $X=\prod_{a\in A}X_a$ con la estructura de álgebra $X^A\rightarrow X$ dada por restricción a la diagonal (si todos los conjuntos $X_a$ son iguales a $Y$, esta $X$ es el álgebra libre generada por $Y$). Para probarlo, básicamente hay que saber cómo identificar, dada un álgebra $X$, qué es $X_a$. Esto se hace así: define que dos elementos $p,q\in X$ son $a$-equivalentes si hay alguna función $f:A\rightarrow X$ tal que $f(a)=p$ y que la estructura de álgebra de $X$ mande a $f$ en $q$. Es fácil ver que esto es una relación de equivalencia, y que si defines $X_a$ como el conjunto de clases de equivalencia, la función canónica $X\rightarrow\prod_{a\in A}X_a$ es un isomorfismo de álgebras.Antes de ver cómo se le pudo haber ocurrido la solución, veamos la siguiente adjunción.
Sea $A\in\con$ no vacío. Definamos el funtor $A^\ast:\con\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con\ar[r]^(.45){A^\ast} &\con/A}\end{xy}\qquad\quad\;$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & X\times A\ar[r]^(.6){\pi_A^X}\ar[d]^{f\times A} & A\ar@{.>}[d]_1\\ Y\ar@{|->}[r] & Y\times A\ar[r]_(.6){\pi_A^Y} & A }\end{xy}$$ y el funtor producto dependiente $\prod_A:\con/A\rightarrow\con$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^(.55){\prod_A} & \con}\end{xy}\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{.>}[d]_1\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A} g^{-1}a\ar[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A}h^{-1}a, }\end{xy}$$ donde $$\prod_A f:=\begin{cases} f_\ast|_{\prod_A g} &\text{si $\prod_A g\neq\emptyset$,}\\ !_{\prod_A h} &\text{si $\prod_A g=\emptyset$,} \end{cases}$$ con $f_\ast=\con(A,f)$ y $!_{\prod_A h}$ la única flecha $\emptyset\rightarrow\prod_A h$. Este funtor está bien definido, pues si $g$ es suprayectiva, $h$ también. (Notemos que todo $s\in\prod_A g\neq\emptyset$ es sección de $g$, es decir, $g\circ s=1_A$).
Afirmamos que $A^\ast\dashv\prod_A:\con/A\rightarrow\con$. En efecto, dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, se tiene el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\times A\ar[dr]_{\pi_A^{\prod_A g}}\ar[rr]^(.55){ev_g} & & X\ar[dl]^g\\ & A, & }\end{xy}$$ donde $ev_g:\prod_A g\times A\rightarrow X$ claramente está definida como $ev_g(s,a):=sa$ para todo $a\in A$ si $\prod_A g\neq\emptyset$; si $\prod_A g=\emptyset$, es claro qué flecha es $ev_g$. Así que $$ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$$ en $\con/A$. Veamos que $ev_g$ es flecha universal del funtor $A^\ast$ a $g$. Sea $k:A^\ast Z\rightarrow g$: $$\begin{xy}\xymatrix{ Z\times A\ar[dr]_{\pi_A^Z}\ar[rr]^k & & X\ar[dl]^g\\ & A & }\end{xy}$$ y consideremos la correstricción de la transpuesta de $k:Z\times A\rightarrow X$ a $\prod_A g$; denotémosla $\hat{k}$, igual que a la transpuesta de $k$. (Notemos que si $g$ no es suprayectiva, como $\pi_A^Z$ siempre es suprayectiva si $Z\neq\emptyset$, entonces $Z=\emptyset$). Claramente, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ & A^\ast Z\ar[dl]_k\ar[d]^{A^\ast\hat{k}}\\ g & A^\ast\prod_A g\ar[l]^(.6){ev_g} }\end{xy}$$ y $\hat{k}$ es la única flecha $Z\rightarrow\prod_A g$ que hace conmutar el diagrama. Luego, $ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$ es universal para todo $g\in\con/A$; así que $A^\ast\dashv\prod_A$.
Ahora, recordemos que, dada una categoría $C\in\Cat$, esta induce la mónada 2 $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$, y si $C=A$, una categoría discreta (un conjunto), como las celdas 2 de $\con$ son triviales, obtenemos la mónada $(-)^A\mid_{\con}:\con\rightarrow\con$.
Caractericemos entonces las álgebras de $(-)^A:\con\rightarrow\con$: la solución se le pudo haber ocurrido de la siguiente manera. Notemos que si se tiene una familia de conjuntos $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por el conjunto $A$ donde cada $X_a\neq\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene una estructura canónica de $(-)^A$-álgebra; a saber, $$\begin{xy}\xymatrix{\left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){d_X} & \prod X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\; \begin{xy}\xymatrix{k \ar@{|->}[r] & \hat{k}\circ\delta_A;}\end{xy}$$ en efecto, los siguientes diagramas conmutan: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a \ar[rr]^{(\prod X_a)^{!_A}}\ar[drr]_{1_{\prod X_a}} & & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ & & \prod X_a, }\end{xy}$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\left(\prod X_a\right)^A\right)^A \ar[r]^(.6){{d_X}^A}\ar[d]_{\left(\prod X_a\right)^{\delta_A}} & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ \left(\prod X_a\right)^A\ar[r]_(.53){d_X} & \prod X_a. }\end{xy}$$ Más aún, las proyecciones son morfismos de $(-)^A$-álgebras, con $$\begin{xy}\xymatrix{(X_a)^A\ar[r]^(.6){ev_a} & X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\begin{xy}\xymatrix{f \ar@{|->}[r] & fa}\end{xy}$$ la estructura de $(-)^A$-álgebra sobre cada $X_a$. Es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){{p_a}^A}\ar[d]_{d_X} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ \prod X_a \ar[r]_{p_a} & X_a }\end{xy}$$ conmuta, y $$\begin{xy}\xymatrix{ X_a \ar[r]^(.47){(X_a)^{!_A}}\ar[dr]_{1_{X_a}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a} & ((X_a)^A)^A \ar[r]^(.55){{ev_a}^A}\ar[d]_{(X_a)^{\delta_A}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ & X_a & (X_a)^A \ar[r]_{ev_a} & X_a }\end{xy}$$ también. (Si algún $X_a=\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene como estructura de $(-)^A$-álgebra el álgebra vacía). Así que si $X\neq\emptyset$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra $\alpha:X^A\rightarrow X$, $X$ es el producto de los $X_a$ de una familia $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por $A$ y $p_{\sim_a}:X\rightarrow X_a$ es la proyección que determina a $X_a$, entonces $p_{\sim_a}$ debe satisfacer la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A \ar[r]^{{p_{\sim_a}}^A}\ar[d]_{\alpha} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ X \ar[r]_{p_{\sim_a}} & X_a; }\end{xy}$$ es decir, si $f\in X^A$, $\alpha(f)\sim_a fa$. Así que $X_a$ es el cociente de $X$ entre la relación de equivalencia más pequeña $\sim_a$ que identifica a $\alpha(f)$ y a $fa$. De hecho, la relación sobre $X$, para cada $a\in A$, dada por “$p,q\in X$ están relacionados si $\exists\,f:A\rightarrow X\; fa=p$ y $\alpha f=q$” es de equivalencia (denotemos a esta relación igualmente por $\sim_a$, después de todo son iguales). Reflexividad: sea $p\in X$; la función constante $\Delta_p:A\rightarrow X$ que manda todo $b\in A$ a $p$ cumple que $\Delta_p a=p$ y $\alpha\Delta_p=p$; esta última igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X. }\end{xy}$$ Luego, $p\sim_a p$.
Simetría. Sean $p,q\in X$ tales que existe una función $f:A\rightarrow X$ tal que $fa=p$ y $\alpha f=q$. Defínase $\varphi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\varphi(b):=\begin{cases} f &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_p &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $g:A\rightarrow X$ como $gb:=\alpha(\varphi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $\alpha g=p$ y $ga=q$; la primera igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ X^A\ar[r]_\alpha & X. }\end{xy}$$ Transitividad. Sean $p,q,r\in X$ tales que $p\sim_a q$ y $q\sim_a r$; es decir, $\exists\, f:A\rightarrow X\;fa=p$ y $\alpha f=q$ y $\exists\,g:A\rightarrow X\;ga=q$ y $\alpha g=r$. Por simetría, demostrada previamente, $\exists\,f':A\rightarrow X\;f'a=q$ y $\alpha f'=p$. Defínase $\psi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\psi(b):=\begin{cases} f' &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_{gb} &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $h:A\rightarrow X$ como $hb:=\alpha(\psi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $ha=p$ y $\alpha h=r$.
Afirmamos que la asignación anterior (la que, dada una $(-)^A$-álgebra $(X,\alpha)$, nos da la familia $\{X_a\}$ indexada por $A$ a través de las relaciones $\sim_a$ para cada $a\in A$) es funtorial: definamos $S:\con^{(-)^A}\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con^{(-)^A}\ar[r]^S & \con/A}\end{xy}\qquad\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & \coprod X_a\ar[d]_{\coprod f/\sim_a}\ar[r]^(.55){g_X} & A\ar@{.>}[d]_1\\ (Y,\beta)\ar@{|->}[r] & \coprod Y_a\ar[r]_(.55){g_Y} & A }\end{xy}$$ si $(X,\alpha)$ no es la $(-)^A$-álgebra vacía, donde $g_X$ está definida como $g_X x:= a$ si $x\in X_a$, y de manera similar $g_Y$ (de hecho, una familia indexada por $A$ nos da una $g\in\con/A$ definida de igual manera y una $g\in\con/A$ nos da una familida indexada por $A$), y donde $f/\sim_a$ y $\coprod f/\sim_a$ quedan definidas por el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[d]_f\ar[r]^{p_{\sim_a^X}} & X_a\ar@{-->}[d]^{f/\sim_a}\ar[r]^{i_a^X} &\coprod X_a\ar@{-->}[d]^{\coprod f/\sim_a}\\ Y\ar[r]_{p_{\sim_a^Y}} & Y_a\ar[r]_{i_a^Y} &\coprod Y_a }\end{xy}$$ La $f/\sim_a$ existe por la conmutatividad del siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^{f^A}\ar[d]_\alpha & Y^A\ar[d]^\beta & g\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & f\circ g\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_f & Y & \alpha g\ar@{|->}[r] & f(\alpha g)=\beta(f\circ g); }\end{xy}$$ es decir, $f(\alpha g)\sim_a^Y fga$, y $\alpha g\sim_a^X ga$; en otras palabras, $\ker p_{\sim_a^X}\subseteq\ker(p_{\sim_a^Y}f)$. Si $(X,\alpha)$ es el álgebra vacía, entonces $S(X,\alpha):=!_A$ y $Sf:=!_Y$.
Ahora, definamos $\prod_A:\con/A\rightarrow\con^{(-)^A}$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^{\prod_A} & \con^{(-)^A}}\end{xy}\qquad\qquad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{|->}[r]\ar@{.>}[d]_1 & (\prod_A g,d_g:(\prod_A g)^A\rightarrow\prod_A g)\ar@<-8ex>[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & (\prod_A h,d_h:(\prod_A h)^A\rightarrow\prod_A h) }\end{xy}$$ donde $\prod_A f$ es la misma función que aparece en la definición del adjunto derecho de $A^\ast$ (más adelante veremos por qué utilizamos el mismo nombre), y $d_g$ y $d_h$ son la estructura canónica de $(-)^A$-álgebra para una familia indexada. En efecto $\prod_A f$ es morfismo de $(-)^A$-álgebras: considérese el ejemplo clásico elemental de 2-mónada del principio; es decir, $\widehat{f^A\circ k}=f\circ\hat{k}$, donde $k\in(\prod_A g)^A$.
Veamos que $S\dashv\prod_A$. Sea $(X,\alpha)\in\con^{(-)^A}$; entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ & X\ar[dl]_{p_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]^{(p_{\sim_a})}\\ X_a & \prod X_a\ar[l]^{p_a} }\end{xy}$$ Tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X}\\ X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a }\end{xy}$$ conmuta, pues $p_{\sim_a}(\alpha f)=p_{\sim_a}(fa)$ para todo $f\in X^A$ y para todo $a\in A$. Es decir, se tiene el morfismo de $(-)^A$-álgebras $$\begin{xy}\xymatrix{(X,\alpha)\ar[r]^(.4){(p_{\sim_a})} & \prod_AS(X,\alpha).}\end{xy}$$ Afirmamos que $(p_{\sim_a})$ es una biyección $X\rightarrow\prod X_a$; más aún, es un isomorfismo en $\con^{(-)^A}$. En efecto, sea $([q_a])\in\prod X_a$. Defínase $f:A\rightarrow X$ como $fa:=q_a$ para todo $a\in A$. Sea $p':=\alpha f$; entonces, $p'\sim_a q_a$ para todo $a\in A$. Luego, $(p_{\sim_a})$ es suprayectiva. Veamos que es inyectiva: sean $p,q\in X$ tales que $p_{\sim_a}p=p_{\sim_a}q$ para todo $a\in A$; entonces, $\forall\,a\in A\,\exists\,\varphi_a:A\rightarrow X\; \varphi_a a=p$ y $\alpha(\varphi_a)=q$; $\varphi\in(X^A)^A$; luego, por la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha & (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X & X^A\ar[r]_\alpha & X, }\end{xy}$$ $p=\alpha(\hat{\varphi}\circ\delta_A)=\alpha(\alpha\circ\varphi)=q$, pues $\hat{\varphi}\circ\delta_A=\Delta_p$ y $\alpha\circ\varphi=\Delta_q$.
Así que, como $(p_{\sim_a})$ es una biyección, un isomorfismo en $\con$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A} & & X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X} &\\ & & X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X; }\end{xy}$$ de aquí, $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A}\ar[d]_{d_X} & & X^A\ar[d]^\alpha\\ \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X }\end{xy}$$ conmuta.
Renombremos a $(p_{\sim_a})$: denotémoslo como $\eta_{(X,\alpha)}$. Si $(X,\alpha)=(\emptyset,\emptyset)$, entonces definimos $\eta_{(X,\alpha)}:=1_\emptyset$. Afirmamos que $\eta_{(X,\alpha)}$ es flecha universal de $(X,\alpha)$ al funtor $\prod_A$. Sea $k:(X,\alpha)\rightarrow\prod_A h$ morfismo en $\con^{(-)^A}$ con $h:Y\rightarrow A$ (suprayectiva: si $X\neq\emptyset$, forzosamente $h$ es suprayectiva). Como $k$ es morfismo, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){k^A}\ar[d]_\alpha & (\prod_A h)^A\ar[d]^{d_Y} & f\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & k\circ f\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_(.4)k & \prod_A h & \alpha f\ar@{|->}[r] & k(\alpha f)=\widehat{k\circ f}\circ\delta_A; }\end{xy}$$ de aquí, si $\alpha f\sim_a fa$, entonces $k(\alpha f)a=k(fa)a$; así que $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker(q_a\circ k)$ para todo $a\in A$, donde los $q_a$ son las proyecciones $\prod_A h\rightarrow h^{-1}a$. Por lo tanto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[r]^(.45){i_a}\ar@{-->}[d]^{k_a} & \coprod X_a\ar[d]^{\coprod k_a}\ar[rr]^{g_X} & & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a\ar[r]_(.45){j_a} & \coprod h^{-1}a\ar@{}|(.6){=}[r] & Y\ar[r]_h & A. }\end{xy}$$ Como $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a\ar[dr]^{p_a}\ar[d]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}}\ar@/_4.7pc/[dd]_{\prod k_a} & \\ X\ar[r]_{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta, $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[r]^{(p_{\sim_a})}\ar[dr]_k & \prod X_a\ar[d]^{\prod k_a}\\ & \prod_a h }\end{xy}$$ también. Claramente, del diagrama anterior, si $s:S(X,\alpha)\rightarrow h$ es morfismo en $\con/A$ tal que $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[drr]_k\ar[rr]^(.45){(p_{\sim_a})} & & \prod_AS(X,\alpha)\ar[d]^{\prod_A s}\\ & & \prod_A h }\end{xy}$$ conmuta, entonces $s=\coprod k_a$. Si $X=\emptyset$, es claro quién tiene que ser el $k':S(X,\alpha)\rightarrow h$ que haga conmutar el diagrama anterior. Por lo tanto, $S\dashv\prod_A$.
Afirmamos que la counidad de la adjunción $S\dashv\prod_A$ es un isomorfimo para los objetos $g:X\rightarrow A$ suprayectivos de $\con/A$.
En efecto, sea $g:X\rightarrow A$ objeto suprayectivo de $\con/A$, y $G:=\prod_A g$. Veamos que $\ker p_a=\ker p_{\sim_a}$, donde $p_a:\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$ y $p_{\sim_a}:G\rightarrow G_a$, con $G_a=G/\sim_a$. Sean $s,t\in\prod_A g$ tales que $s\sim_a t$; entonces, $\exists f:A\rightarrow\prod_A g\quad fa=s$ y $d_Gf=\hat{f}\circ\delta_A=t$. (Notemos que $f:A\rightarrow\prod_A g\subseteq X^A$). De aquí, $sa=f(a)(a)=ta$. Luego, $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker p_a$. Recíprocamente, supóngase que $sa=ta$; defínase entonces $f:A\rightarrow\prod_A g$ como $$fb:=\begin{cases} s &\text{si $b=a$},\\ t &\text{si $b\neq a$}. \end{cases}$$ Claramente, $fa=s$ y $\hat{f}\circ\delta_A=t$; luego, $\ker p_a\subseteq\ker p_{\sim_a}$.
Como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]^{i_a}\ar@{-->}[d]^{1_a^G} & \coprod G_a\ar[r]^{g_G}\ar[d]^{\coprod 1_a^G} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A; }\end{xy}$$ más aún, como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, $\forall\,a\in A$ $1_a^G$ es mono; de hecho, cada $1_a^G$ también es epi: considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod g^{-1}a\ar[r]^{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar@{-->}[d]\\ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar@{-->}[d]^{1_a^G}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a. }\end{xy}$$ Así que $\coprod 1_a^G:S\prod_A g\rightarrow g$ es un isomorfismo en $\con/A$.
Dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, defínase $\epsilon_g:=\coprod 1_a^G$ si $g$ es suprayectivo y $\epsilon_g:=!_X$ si no. Veamos que $\epsilon$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$; hagámoslo mostrando que $\epsilon$ es universal de $S$ a $g$. Sea $k:S(Y,\beta)\rightarrow g$ en $\con/A$: $$\begin{xy}\xymatrix{ \coprod Y_a\ar[rr]^k\ar[dr]_{g_Y} & & X=\coprod g^{-1}a\ar[ld]^g\\ & A & }\end{xy}$$ conmuta. De la conmutatividad de este diagrama, tenemos que $kY_a\subseteq g^{-1}a$ para todo $a\in A$. De donde, $\forall\,a\in A\,\exists\;k_a:Y_a\rightarrow g^{-1}a$ funciones tales que $$\begin{xy}\xymatrix{ Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]_{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A }\end{xy}$$ conmuta. Luego, por la propiedad universal de $\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$, se sigue que $\exists!\, k':Y\rightarrow\prod g^{-1}a$ $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]_{k'} & Y_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta. Luego, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar[d]_{k'} & Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]^{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar[r]_{j_a}\ar[d]^{1_a^G} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g\ar[d]^{(\coprod 1_a^G)^{-1}} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A g\ar[r]_{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]_{i_a} & \coprod G_a\ar[r]_{g_G} & A; }\end{xy}$$ de donde, $Sk'=(\coprod 1_a^G)^{-1}\circ k$: $$\begin{xy}\xymatrix{ & \coprod Y_a\ar[ld]_k\ar[d]^{Sk'}\\ X & \coprod G_a\ar[l]^{\coprod 1_a^G} }\end{xy}$$ conmuta; es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ & S(Y,\beta)\ar[dl]_k\ar[d]^{Sk'}\\ g & S\prod_A g\ar[l]^{\epsilon_g} }\end{xy}$$ conmuta (para $g:X\rightarrow A$ suprayectivo). Para $g$ no suprayectivo, el único $k'$ es $!_{\prod_Ag}$. Luego, $\epsilon_g$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$, y $\epsilon_g$ es iso si $g$ es suprayectivo.
Considerando todo lo anterior, se tiene el siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ \con/A\ar@<1ex>[r]^{\prod_A}\ar@<-1ex>[d]_{\prod_A} & \con^{(-)^A}\ar@<1ex>[d]^{G^{(-)^A}}\ar@<1ex>[l]^S\\ \con\ar@<-1ex>[u]_{A^\ast}\ar@{}|{=}[r] & \con\ar@<1ex>[u]^{F^{(-)^A}} }\end{xy}$$ cuyos adjuntos derechos conmutan. Ahora, si definimos $\con_\emptyset$ como la subcategoría plena de $\con$ cuyos objetos son los conjuntos no vacíos, $\con/A_s$ la subcategoría plena de $\con/A$ cuyos objetos son las funciones suprayectivas sobre $A$ y $\con^{(-)^A}_\emptyset$ la subcategoría plena de $\con^{(-)^A}$ cuyos objetos son las álgebras no vacías, tenemos que $\con/A_s$ es equivalente a $\con^{(-)^A}_\emptyset$ y un diagrama conmutativo (salvo isomorfismo) similar al anterior.
Unos tres meses después de esa plática con Omar, me dijo: “el otro día vi que alguien preguntaba en Math.StackExchange por las álgebras de la mónada $(-)^A$ en la categoría de conjuntos. El que constestó (dando la caracterización que ya sabíamos) es Zhen Lin”, y me dio el enlace.
Nota. Aquí dejo un pdf de esta entrada.
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