Forma normal conjuntiva y demostración automática de teoremas

En los pocos libros de lógica que he hojeado o leído, los autores no llegan a explicar la importancia de las formas normales clausales (la normal conjuntiva y la normal disyuntiva), a pesar de que sí les dedican unas líneas a describirlas. Supongo que ha sido así porque son libros poco inclinados a la demostración automática de teoremas; por lo menos, la importancia de la forma normal conjuntiva radica ahí. Así que las siguientes líneas las dedico a establecer la conexión entre la forma normal conjuntiva y la demostración automática de teoremas.
     Para mostrar la relación entre la forma normal conjuntiva y la demostración automática de teoremas, haré lo siguiente: (1) calcular, salvo equivalencia lógica, el número total de proposiciones formadas a partir de otras; (2) describir la forma normal conjuntiva; (3) dar, salvo equivalencia lógica, formas explícitas de todas las proposiciones a partir de otras mediante una forma normal conjuntiva distinguida, y (4) dar expresiones explícitas de todas las proposiciones que son deducciones de un conjunto finito de axiomas.
     Calculemos, salvo equivalencia lógica, el número total de proposiciones a partir de otras. La totalidad de proposiciones que se pueden formar por combinación mediante los conectivos lógicos a partir de un número finito de proposiciones elementales $P_1,\ldots,P_n$ es, salvo equivalencia lógica, $2^{2^n}$. En efecto, para la verdad o falsedad de las proposiciones elementales hay $2^n$ posibilidades, puesto que cada $P_1,\ldots,P_n$ puede ser verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición compuesta por $P_1,\ldots,P_n$ está determinada por la verdad o falsedad de cada uno de los $2^n$ casos.
     Definamos y describamos las formas normales conjuntivas. Toda combinación de proposiciones formada mediante los conectivos lógicos (es decir, toda fórmula) se puede llevar a cierta forma normal a través de equivalencias lógicas. Esta forma normal consiste en una conjunción de disyunciones en las que cada componente es o una proposición elemental o la negación de una. Esto se puede hacer mediante las siguientes reglas.

• Aplicar las leyes asociativas, conmutativas y distributivas para los conectivos $\wedge$ y $\vee$
• Sustituir $\neg\neg P$ con $P$
• Sustituir $\neg(P\wedge Q)$ con $\neg P\vee\neg Q$ y $\neg(P\vee Q)$ con $\neg P\wedge\neg Q$.
• Sustituir $P\Rightarrow Q$ con $\neg P\vee Q$ y $P\Leftrightarrow Q$ con $(\neg P\vee Q)\wedge(\neg Q\vee P)$.

Por ejemplo, la expresión $$\neg((PQ\wedge\neg Q)\vee(R\wedge Q))$$ es equivalente a $$\neg P Q\wedge\neg Q Q\wedge\neg R\neg Q,$$ y la expresión $$(P\Rightarrow Q)\equiv(\neg Q\Rightarrow\neg P)$$ a $$PQ\neg P\wedge\neg QQ\neg P\wedge\neg Q\neg PQ\wedge P\neg PQ.$$ (Para simplicar las expresiones, se está omitiendo a $\vee$ y adoptando la convención de que hay prioridad de $\wedge$ sobre $\vee$ para los paréntesis).
     Demos, salvo equivalencia lógica, expresiones explícitas de todas las proposiciones a partir de otras. Salvo las expresiones tautológicas, toda expresión construida a partir de las proposiciones $P_1,\ldots,P_n$ es equivalente a una conjunción que es parte de la conjunción obtenida al desarrollar, de acuerdo a la ley distributiva $P(Q\wedge R)\equiv PQ\wedge PR$, la expresión $(P_1\wedge \neg P_1)(P_2\wedge\neg P_2)\cdots(P_n\wedge\neg P_n)$. En efecto, llevemos la expresión construida a partir de $P_1,\ldots,P_n$ a una forma normal conjuntiva. Como el valor de verdad de la expresión no cambia si se omite un conyunto verdadero, omitimos los conyuntos que contengan a $P$ y a $\neg P$. También cambiamos los $P\vee P$ por $P$. Así que cada uno de los conyuntos restantes es simplemente una disyunción cuyos disyuntos son elementos, con subíndice distinto, del conjunto $\{P_1,\ldots,P_n\}$. Si una disyunción no tiene ni a $P_i$ ni a $\neg P_i$, insertamos el término $(P_i\wedge\neg P_i)$ y aplicamos $P(Q\wedge R)\equiv PQ\wedge PR$. Luego, cada conyunto contiene o a $P_i$ o a $\neg P_i$ para todo $i$. Es decir, hay $2^n$ conyuntos posibles y un total de $\sum_{k=0}^{k=2^n}\binom{2^n}{k}=\mathcal{P}(2^n)=2^{2^n}$ conjunciones posibles con estos conyuntos. La conjunción impropia que surge de omitir todos los conyuntos es considerada una tautología.
     Por ejemplo, las cuatro diferentes proposiciones construidas a partir de $P$ son $$P\wedge\neg P\,,P\,,\neg P\,,P\vee\neg P.$$ Notemos que $P\vee\neg P$ corresponde a la conjunción impropia. Las dieciséis diferentes proposiciones construidas a partir de $P$ y $Q$ son \begin{align} &PQ\wedge\neg PQ\wedge P\neg Q\wedge\neg P\neg Q\,,PQ\wedge\neg PQ\wedge P\neg Q,\notag\\ &PQ\wedge P\neg Q\wedge\neg P\neg Q\,,PQ\wedge\neg PQ\wedge\neg P\neg Q\,,\neg PQ\wedge P\neg Q\wedge\neg P\neg Q,\notag\\ &PQ\wedge\neg PQ\,,PQ\wedge P\neg Q\,,PQ\wedge\neg P\neg Q\,,\neg PQ\wedge P\neg Q\,,\neg PQ\wedge\neg P\neg Q,\notag\\ &P\neg Q\wedge\neg P\neg Q\,,PQ\,,\neg PQ\,,P\neg Q\,,\neg P\neg Q,\notag\\ &(P\vee\neg P)\wedge (Q\vee\neg Q).\notag \end{align} Notemos que $(P\vee\neg P)\wedge (Q\vee\neg Q)$ corresponde a la conjunción impropia.
     Dadas las proposiciones $P_1,\ldots,P_n$, a los conyuntos individuales de la expresión $(P_1\wedge \neg P_1)(P_2\wedge\neg P_2)\cdots(P_n\wedge\neg P_n)$ desarrollada mediante la ley distributiva $P(Q\wedge R)\equiv PQ\wedge PR$ se los llama los constituyentes de $P_1,\ldots,P_n$, y diremos que las conjunciones obtenidas, como se mostró anteriormente, de las combinaciones de los conyuntos de esa expresión son las formas normales distinguidas de las proposiciones construidas a partir de $P_1,\ldots,P_n$.
     Calculemos, salvo equivalencia lógica, todas las deducciones a partir de los axiomas $A_1,\ldots, A_n$. Se tiene que la proposición $B$ es consecuencia lógica de estos si y sólo si $(A_1\wedge\cdots\wedge A_n)\Rightarrow B$ es una tautología. Sean $P_1,\ldots,P_m$ todas las proposiciones elementales que aparecen en $A_1,\ldots, A_n$ y conectemos todos nuestros axiomas $A_1,\ldots,A_n$ con $\wedge$, y supongamos que la combinación de proposiciones así obtenida está desarrollada en su forma normal distinguida en términos de $P_1,\ldots,P_m$. Tomemos entonces cualquier constituyente de $P_1,\ldots,P_m$ que no aparezca como conyunto en esta forma normal distinguida. Estos constituyentes se pueden transformar en una proposición falsa mediante una sustitució apropidada: un $P_i$ sustituido por una proposición verdadera si este $P_i$ está negado y un $P_i$ por una proposición falsa si este $P_i$ no lo está. Por otro lado, por medio de esta sustitución, nuestra forma normal distinguida queda transformada en una proposición verdadera, pues cada uno de sus conyuntos difieren de los constituyentes que no aparecen en ella en tener en al menos un lugar un disyunto que es la negación del del constituyente. Luego, los constituyentes que no aparecen en nuestra forma normal distinguida no son consecuencia lógica de los axiomas $A_1,\ldots,A_n$. Así que, obtenemos, salvo equivalencia lógica, a partir de nuestros axiomas, todas las consecuencias lógicas en las que aparecen las proposiciones elementales de nuestros axiomas como sigue: conectamos todos los axiomas mediante $\wedge$ y formamos la forma normal conjuntiva distinguida para la expresión resultante; finalmente, elegimos cualesquiera de los conyuntos de la forma normal distinguida de la conjunción de nuestros axiomas y hacemos su conjunción.

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Estas notas están basadas en el libro Principles of mathematical logic de Hilbert y Ackermann. Interesante, aunque no extraño, que la conexión entre la forma normal conjuntiva y la demostración automática de teoremas la encontrara en un libro de Hilbert.

Mónadas adjuntas en una 2-categoría

Samuel Eilenberg y John C. Moore, en su artículo Adjoint functors and triples, muestran la correspondencia biyectiva que existe entre las mónadas con adjunto derecho y las comónadas con adjunto izquierdo. Sus resultados se pueden generalizar a una 2-categoría $K$ tal que $K$ y $K^{co}$ admitan la construcción de álgebras. Aquí los detalles de tal generalización.

No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos

Mac Lane en su Categories for the working mathematician da dos ejemplos de funtores continuos con dominio pequeño-completo que no satisfacen la condición conjunto solución del Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Tal teorema dice lo siquiente.

Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Si $A$ es una categoría pequeño-completa con homoconjuntos pequeños, entonces un funtor $G:A\rightarrow X$ tiene adjunto izquierdo si y sólo si preserva todo límite pequeño y satisface lo siguiente.
     Condición conjunto solución. Para todo objeto $x\in X$, existe un conjunto pequeño $I$ y una familia de flechas $f_i:x\rightarrow Ga_i$ indexada por $I$ tal que toda flecha $h:x\rightarrow Ga$ se puede escribir como la composición $h=Gt\circ f_i$ para algún índice $i$ y alguna $t:a_i\rightarrow a$.

El ejemplo que me sorprendió e intrigó fue el segundo. Este empieza diciendo: “Dado un conjunto numerable $D$, uno puede construir un álgebra booleana completa arbitrariamente grande generada por $D$”. Tal afirmación la demostraron primero Gaifman y Hales de manera independiente utilizando argumentos de la lógica infinitaria y luego la demostró Solovay haciendo uso del álgebra abierta regular. La demostración de Solovay es mucho más simple. Hago un recuento detallado de esta demostración.

Sea $\kappa$ un cardinal infinito y dótese a $\kappa$ de la topología discreta. Considérese ahora a $\kappa^\omega$ con la topología producto. Sea $X:=\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$, el álgebra abierta regular del espacio $\kappa^\omega$. Notemos que todo cerrabierto es regular; de donde, los $$A_{n,\eta}:=\{f\in \kappa^\omega\mid fn=\eta\},$$ con $\eta<\kappa$, son elementos de $X$: el conjunto $\{\eta\}$ es cerrabierto de $\kappa$; más aún, los $A_{n,\eta}$ son subbásicos de $\kappa^\omega$. Tenemos que la familia $\{A_{n,\eta}\mid n<\omega,\eta<\kappa\}$ genera a $X$; en efecto, sea $V\in X$; entonces, $V$ es unión de intersecciones finitas de $A_{n,\eta}$ s, digamos, $V=\bigcup V_i$; de donde, como $V$ es abierto regular y $\bigvee V_i=\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)$ es el abierto regular más pequeño que contiene a $\bigcup V_i$, tenemos que $V=\bigvee V_i$.
     Ahora, la cardinalidad de $X$ es al menos $\kappa$, pues si $\eta<\eta'<\kappa$, entonces $A_{0,\eta}$ y $A_{0,\eta'}$ son distintos.
     Antes de seguir, notemos que si $B\subseteq\kappa^\omega$ y $B$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $B$ es cerrabierto. En efecto, que $B$ dependa de un número finito de coordenadas significa que $\exists\,n_1,\ldots,n_m\in\mathbb{N}$ $$B=\{f\in\kappa^\omega\mid R(fn_1,\ldots,fn_m)\},$$ donde $R\subseteq\kappa^m$ y $m\in\mathbb{N}$. Tenemos que $R$ es cerrabierto de $\kappa^m$ y $B=p^{-1}R$ con $p:\kappa^\omega\rightarrow\kappa^m$ definida como $pf:=(fn_1,\ldots,fn_m)$; $p$ es continua.
     Prosigamos. Dados $n,m<\omega$, defínase $$B_{n,m}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fm\leq fn\}.$$ Entonces, por la observación anterior, $B_{n,m}$ es cerrabierto luego abierto regular. Afirmamos que los $B_{n,m}$ generan a $X$. En efecto, sea $Y$ la subálgebra completa más pequeña de $X$ que contiene a $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$. Bastará demostrar que $A_{n,\eta}\in Y$ para todo $n<\omega$ y para todo $\eta<\kappa$; hagámoslo por inducción sobre $\eta$; supongamos entonces que para $m<\omega$ y $\xi<\eta$ se tiene que $A_{m,\xi}\in Y$. Ahora, sean $$D_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn<\eta\}\quad\text{y}\quad E_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq\eta\}$$ para $n<\omega$ y $\eta<\kappa$. Lo que queremos hacer es ver que $D_{n,\eta},E_{n,\eta}\in Y$, ya que $$A_{n,\eta}=D_{n,\eta}\cap E_{n,\eta}=D_{n,\eta}\wedge E_{n,\eta}.$$ Como $D_{n,\eta}$ y $E_{n,\eta}$ dependen sólo de una coordeanada, son cerrabiertos; luego, son elementos de $X$. Por inducción, estamos suponiendo que $A_{n,\xi}\in Y$, así que como $D_{n,\eta}$ es abierto regular y $$D_{n,\eta}=\bigcup_{\xi<\eta} A_{n,\xi},$$ entonces $D_{n,\eta}=\bigvee_{\xi<\eta} A_{n,\xi}\in Y$.
     Por otro lado, dados $n,m<\omega$, $$C_{m,n}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq fm\text{ o }fm<\eta\}$$ es cerrabierto, ya que su definición depende sólo de $m$ y $n$; luego, $C_{m,n}\in X$. Notemos que $$C_{m,n}=B_{m,n}\cup\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}.$$ Nuevamente, como $C_{m,n}\in X$, se tiene que $C_{m,n}=B_{m,n}\vee\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}$. De donde, $C_{m,n}\in Y$. Demostremos que $E_{n,\eta}=\bigwedge_{m<\omega} C_{m,n}$; es decir, que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$.
     Ahora, dados $n<\omega$ y $f\in\kappa^\omega$, los $$U(n,f):=\{h\in\kappa^\omega\mid\forall\,m\leq n\; hm=fm\}$$ forman una base para $\kappa^\omega$ (es claro que $U(n,f)\in\tau(\kappa^\omega)$). En efecto, sea $\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$ un básico de $\kappa^\omega$ y sea $f\in\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$. Sin pérdida de generalidad, supóngase que $i_1<\cdots < i_m$. Entonces, $U(i_m,f)\subseteq\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$.
     Demostremos que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$. Sea $g\in E_{n,\eta}$; es decir, $gn\leq\eta$. Entonces, $U(n,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$, pues si $h\in U(n,g)$, entonces dado $m<\omega$, si $hn\leq hm$ entonces $h\in C_{m,n}$ y si $hm< hn=gn$ entonces $hm<\eta$ y $h\in C_{m,n}$; luego, $h\in\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$.
     Recíprocamente, sea $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$ y supóngase que $gn>\eta$. Como $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$, existe $N\in\omega$ tal que $U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$. Como $U(k,g)\subseteq U(N,g)$ para todo $k\geq N$, podemos suponer que $N\geq n$. Ahora defínase $h:\omega\rightarrow\kappa$ como $$hm:=\begin{cases} gm &\text{si $m\leq N$,}\\ \eta &\text{si $m > N$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$; de donde, $h\in C_{N+1}$; es decir, $hn< h(N+1)$ o $h(N+1)<\eta$. Sin embargo, $h(N+1)=\eta< gn=hn$ y $h(N+1)\geq\eta$ !! Luego, $g\in E_{n,\eta}$. Así que $E_{n,\eta}\in Y$.
     Por lo tanto, $X$, que tiene cardinalidad por lo menos $\kappa$, es generado por $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$, que es numerable.
     Así que tenemos el siguiente teorema.

Teorema (Solovay). Sea $\kappa$ un cardinal infinito. Si $\kappa$ tiene la topología discreta y $\kappa^\omega$ la topología producto, entonces $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es un álgebra boolena completa numerablemente generada con cardinalidad por lo menos $\kappa$.

Y tenemos el siguiente corolario.

Corolario. No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos.

Demostración. Sean $X$ un conjunto infinito, $FX$ el álgebra completa libre generada por $X$ y $\eta_X:X\rightarrow FX$ la función con la propiedad universal de álgebra libre. Sea $\kappa$ un cardinal mayor que $|FX|$. Entonces, por el teorema anterior, $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ tiene un conjunto numerable $Y$ de generadores. Sea $f:X\rightarrow Y$ una función suprayectiva. Entonces, si $g:FX\rightarrow\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es homomorfismo de álgebras booleanas completas y $g\circ\eta_X=f$, entonces $gFX$ es una subálgebra completa de $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ que incluye a $Y$; de donde, $g$ sería suprayectiva y $\kappa\leq|\mathbf{AR}(\kappa^\omega)|\leq|FX|<\kappa$ !!

El álgebra abierta regular de un espacio topológico

Leyendo sobre el Teorema de Freyd del Funtor Adjunto, me topé con un álgebra booleana completa que no conocía y que resultó ser un ejemplo estándar en teoría de álgebras booleanas: el álgebra abierta regular de un espacio topológico.
     Tal álgebra booleana se construye como sigue. Sea $X$ un espacio topológico. Definimos $$\mathbf{AR}(X):=\{V\subseteq X\mid V=\mathrm{IntCl}V\},$$ donde $\mathrm{Int}$ es el operador interior y $\mathrm{Cl}$ el operador cerradura. Es decir, $\mathbf{AR}(X)$ es el conjunto de los abiertos regulares de $X$ (un subconjunto $U\subseteq X$ se dice que es abierto regular si $U=\mathrm{IntCl}U$; dado $A\subseteq X$, a $\mathrm{IntCl}A$ se la llama la regularización de $A$). Se tiene que $\mathbf{AR}(X)$ es un álgebra booleana completa con el orden dado por la inclusión y bajo las siguientes operaciones $\bigvee$, $\bigwedge$ y $'$: $$\begin{align} \bigvee\mathcal{U} &:=\mathrm{IntCl}(\bigcup\mathcal{U})&(\mathcal{U}\subseteq\mathbf{AR}(X))\notag\\ \bigwedge\mathcal{U} &:=\mathrm{Int}(\bigcap\mathcal{U})&\notag\\ V' &:=\mathrm{Int}(X-V)&(V\in\mathbf{AR}(X)).\notag \end{align}$$      En general se tiene que \begin{equation} \text{si $A$ es un cerrado de un espacio $Y$, entonces $\mathrm{Int}A$ es abierto regular.} \end{equation} En efecto, sea $A$ cerrado de un espacio $Y$; entonces, $$\mathrm{Int}A\subseteq\mathrm{IntClInt}A.$$ Recíprocamente, se tiene que $\mathrm{Int}A\subseteq A$; de aquí, $\mathrm{ClInt}A\subseteq A$; luego, $$\mathrm{IntClInt}A\subseteq\mathrm{Int}A.$$      Ahora, tenemos entonces que $\bigvee\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$, pues $\mathrm{Cl}(\bigcup\mathcal{U})$ es cerrado de $X$, y $V'\in\mathbf{AR}(X)$ porque $X-V$ también es cerrado de $X$.      En general se tiene si $\{A_i\}$ es una familia de subconjuntos de un espacio topológico $Y$, entonces \begin{align} &\mathrm{Cl}(\bigcap A_i)\subseteq \bigcap\mathrm{Cl}A_i \\ &\mathrm{Int}(\bigcap A_i)\subseteq \bigcap\mathrm{Int}A_i. \end{align} En efecto, (2) se sigue de que $\bigcap A_i\subseteq\bigcap\mathrm{Cl}A_i$ y (3) de que $\mathrm{Int}(\bigcap A_i)\subseteq\mathrm{Int}A_i$.
     Veamos entonces que $\bigwedge\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$. Sea $\{V_i\}$ una familia de elementos de $\mathbf{AR}(X)$. Ya se tiene que $\mathrm{Int}(\bigcap V_i)\subseteq\mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)$, así que basta ver la contención recíproca. Notemos que como cada $V_i\in\mathbf{AR}(X)$, $$V_i=\mathrm{IntCl}V_i.$$ Entonces, \begin{align} \mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)&\subseteq\mathrm{IntClInCl}(\bigcap V_i)\notag\\ &=\mathrm{IntCl}(\bigcap V_i)&\text{(por (1)}\notag\\ &\subseteq\bigcap\mathrm{IntCl}V_i &\text{(por (2) y (3))}\notag\\ &=\bigcap V_i\notag; \end{align} de donde, $\mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)\subseteq\mathrm{Int}(\bigcap V_i)$.
     Se tiene que $\emptyset,X\in\mathbf{AR}(X)$, y es fácil ver que $$V\wedge V'=\emptyset\qquad\text{y}\qquad V\vee V'=X.$$      Sea $\mathcal{U}\subseteq\mathbf{AR}(X)$. Veamos que $\bigvee\mathcal{U}$ es la mínima cota superior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$ y que $\bigwedge\mathcal{U}$ es la máxima cota inferior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$. Se tiene que $\bigcup\mathcal{U}$ es abierto y es el conjunto más pequeño que incluye a cada $V\in\mathcal{U}$; de donde, $\bigvee\mathcal{U}$ es la mínima cota superior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$. Ahora, tenemos que $\bigwedge\mathcal{U}\subseteq V$ para todo $V\in\mathcal{U}$ y $\bigwedge\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$. Sea $B$ otra cosa inferior de $\mathcal{U}$; entonces, $B\subseteq\bigcap\mathcal{U}$; de donde, $B\subseteq\bigwedge\mathcal{U}$, pues $B$ es abierto de $X$.
     Finalmente, veamos que $$V\wedge(\bigvee V_i)=\bigvee(V\wedge V_i).$$      En general, se tiene que \begin{equation} \text{si $U$ es abierto de un espacio $Y$, entonces $\mathrm{Cl}(U\cap A)=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$ para todo subconjunto $A$ de $Y$} \end{equation} (véase el punto 1 de la entrada anterior). De aquí, \begin{equation} \text{si $U$ es abierto de $Y$, $U\cap\mathrm{Cl}A\subseteq\mathrm{Cl}(U\cap A)$ para todo $A\subseteq Y$.} \end{equation}      Ahora, sea $\{V_i\}$ una familia de elementos de $\mathbf{AR}(X)$ y sea $V\in\mathbf{AR}(X)$. Entonces, \begin{align} V\wedge\bigvee V_i &=V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)\notag\\ &=\mathrm{Int}V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)\notag\\ &=\mathrm{Int}(V\cap\mathrm{Cl}(\bigcup V_i)) &\text{(propiedad de $\mathrm{Int}$)}\notag\\ &\subseteq\mathrm{IntCl}(V\cap\bigcup V_i) &\text{(por (5))}\notag\\ &=\bigvee(V\wedge V_i)\notag. \end{align} Recíprocamente, \begin{align} \bigvee(V\wedge V_i) &=\mathrm{IntCl}(\bigcup V\cap V_i)\notag\\ &=\mathrm{IntCl}(V\cap\bigcup V_i)\notag\\ &\subseteq\mathrm{IntCl}V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)&\text{(por (2) y (3))}\notag\\ &=V\wedge\bigvee V_i\notag. \end{align}      Por lo tanto, $(\mathbf{AR}(X),\vee,\wedge,',\emptyset,X)$ es un álgebra booleana completa. A dicha álgebra se la llama el álgebra abierta regular de $X$.

Las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$

$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}$
Comencemos esta exposición considerando el caso más general que elevar a la $A$ con $A$ un conjunto.

Hay un ejemplo clásico elemental (o toda una clase de ejemplos elementales) de 2-mónada. Tenemos que toda categoría pequeña $C\in\Cat$ tiene estructura de comonoide con counidad el único funtor $!_C:C\rightarrow\uno$ de $C$ a la categoría con un solo objeto y una sola flecha, y con comultiplicación el funtor diagonal $\delta_C:C\rightarrow C\times C$; es decir, los siguientes diagramas conmutan: \begin{equation}\label{counitcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[d]_\lambda\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^{\delta_C}\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^\varrho\\ \uno\times C & C\times C\ar[r]_{1\times !_C}\ar[l]^(.45){!_C\times 1} & C\times\uno }\end{xy} \end{equation} y \begin{equation}\label{comultcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[r]^{\delta_C}\ar[d]_{\delta_C} & C\times C\ar[d]^{\delta_C\times 1}\\ C\times C\ar[r]_(.4){1\times\delta_C} & C\times C\times C. }\end{xy} \end{equation} Del diagrama \eqref{comultcat}, tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ (((-)^C)^C)^C\ar[rr]^(.55){(-)^C(-)^{\delta_C}}\ar[d]_{(-)^{\delta_C}(-)^C} & & ((-)^C)^C\ar[d]^{(-)^{\delta_C}}\\ ((-)^C)^C\ar[rr]_{(-)^{\delta_C}} & & (-)^C }\end{xy}$$ conmuta. Del diagrama \eqref{counitcat}, $$\begin{xy}\xymatrix{ (-)^C\ar[rr]^{(-)^C(-)^{!_C}}\ar[drr]_{1_{(-)^C}} & & ((-)^C)^C\ar[d]^(.45){(-)^{\delta_C}} & & (-)^C\ar[ll]_(.45){(-)^{!_C}(-)^C}\ar[dll]^{1_{(-)^C}}\\ & & (-)^C & & }\end{xy}$$ conmuta. Además, $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ son transformaciones 2-naturales. Que $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ sean transformaciones 2-naturales se sigue del hecho de que $\Cat$ es cerrada cartesiana; más precisamente, de que tiene exponenciales; es decir, se tiene un isomorfismo $$\begin{xy}\xymatrix{\Cat(A\times B,D)\ar@{}|{\cong}[r]^{\overset{\quad\varphi^{-1}}{}} & \Cat(A,D^B),}\end{xy}$$ natural en $A$ y en $D$. En particular, como los $\varphi^{-1}_D$ son funtores para cada $D\in\Cat$, dada una transformación natural $\gamma:H\Rightarrow H':A\rightarrow D^B$ y un funtor $G:D\rightarrow D'$, $$G\circ\widehat{H}=\widehat{G^B\circ H}\quad\text{y}\quad G\circ \widehat{\gamma}=\widehat{G^B\circ\gamma}.$$ De la primera igualdad se seguiría la naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ y de la segunda, la 2-naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$.
     Por lo tanto, $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$ es una 2-mónada.

Volvamos entonces a lo que nos interesa: las álgebras de $(-)^A$. En un chat, Omar Antolín me preguntó cuáles eran las álgebras de la mónada $(-)^A:\con\rightarrow\con$; a él mismo se le ocurrió la solución. Me dijo lo siguiente:

Las álgebras para $(-)^A$ en la categoría de conjuntos son todas de la forma $X=\prod_{a\in A}X_a$ con la estructura de álgebra $X^A\rightarrow X$ dada por restricción a la diagonal (si todos los conjuntos $X_a$ son iguales a $Y$, esta $X$ es el álgebra libre generada por $Y$). Para probarlo, básicamente hay que saber cómo identificar, dada un álgebra $X$, qué es $X_a$. Esto se hace así: define que dos elementos $p,q\in X$ son $a$-equivalentes si hay alguna función $f:A\rightarrow X$ tal que $f(a)=p$ y que la estructura de álgebra de $X$ mande a $f$ en $q$. Es fácil ver que esto es una relación de equivalencia, y que si defines $X_a$ como el conjunto de clases de equivalencia, la función canónica $X\rightarrow\prod_{a\in A}X_a$ es un isomorfismo de álgebras.

     Antes de ver cómo se le pudo haber ocurrido la solución, veamos la siguiente adjunción.
     Sea $A\in\con$ no vacío. Definamos el funtor $A^\ast:\con\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con\ar[r]^(.45){A^\ast} &\con/A}\end{xy}\qquad\quad\;$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & X\times A\ar[r]^(.6){\pi_A^X}\ar[d]^{f\times A} & A\ar@{.>}[d]_1\\ Y\ar@{|->}[r] & Y\times A\ar[r]_(.6){\pi_A^Y} & A }\end{xy}$$ y el funtor producto dependiente $\prod_A:\con/A\rightarrow\con$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^(.55){\prod_A} & \con}\end{xy}\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{.>}[d]_1\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A} g^{-1}a\ar[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A}h^{-1}a, }\end{xy}$$ donde $$\prod_A f:=\begin{cases} f_\ast|_{\prod_A g} &\text{si $\prod_A g\neq\emptyset$,}\\ !_{\prod_A h} &\text{si $\prod_A g=\emptyset$,} \end{cases}$$ con $f_\ast=\con(A,f)$ y $!_{\prod_A h}$ la única flecha $\emptyset\rightarrow\prod_A h$. Este funtor está bien definido, pues si $g$ es suprayectiva, $h$ también. (Notemos que todo $s\in\prod_A g\neq\emptyset$ es sección de $g$, es decir, $g\circ s=1_A$).
     Afirmamos que $A^\ast\dashv\prod_A:\con/A\rightarrow\con$. En efecto, dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, se tiene el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\times A\ar[dr]_{\pi_A^{\prod_A g}}\ar[rr]^(.55){ev_g} & & X\ar[dl]^g\\ & A, & }\end{xy}$$ donde $ev_g:\prod_A g\times A\rightarrow X$ claramente está definida como $ev_g(s,a):=sa$ para todo $a\in A$ si $\prod_A g\neq\emptyset$; si $\prod_A g=\emptyset$, es claro qué flecha es $ev_g$. Así que $$ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$$ en $\con/A$. Veamos que $ev_g$ es flecha universal del funtor $A^\ast$ a $g$. Sea $k:A^\ast Z\rightarrow g$: $$\begin{xy}\xymatrix{ Z\times A\ar[dr]_{\pi_A^Z}\ar[rr]^k & & X\ar[dl]^g\\ & A & }\end{xy}$$ y consideremos la correstricción de la transpuesta de $k:Z\times A\rightarrow X$ a $\prod_A g$; denotémosla $\hat{k}$, igual que a la transpuesta de $k$. (Notemos que si $g$ no es suprayectiva, como $\pi_A^Z$ siempre es suprayectiva si $Z\neq\emptyset$, entonces $Z=\emptyset$). Claramente, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ & A^\ast Z\ar[dl]_k\ar[d]^{A^\ast\hat{k}}\\ g & A^\ast\prod_A g\ar[l]^(.6){ev_g} }\end{xy}$$ y $\hat{k}$ es la única flecha $Z\rightarrow\prod_A g$ que hace conmutar el diagrama. Luego, $ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$ es universal para todo $g\in\con/A$; así que $A^\ast\dashv\prod_A$.
     Ahora, recordemos que, dada una categoría $C\in\Cat$, esta induce la mónada 2 $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$, y si $C=A$, una categoría discreta (un conjunto), como las celdas 2 de $\con$ son triviales, obtenemos la mónada $(-)^A\mid_{\con}:\con\rightarrow\con$.
     Caractericemos entonces las álgebras de $(-)^A:\con\rightarrow\con$: la solución se le pudo haber ocurrido de la siguiente manera. Notemos que si se tiene una familia de conjuntos $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por el conjunto $A$ donde cada $X_a\neq\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene una estructura canónica de $(-)^A$-álgebra; a saber, $$\begin{xy}\xymatrix{\left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){d_X} & \prod X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\; \begin{xy}\xymatrix{k \ar@{|->}[r] & \hat{k}\circ\delta_A;}\end{xy}$$ en efecto, los siguientes diagramas conmutan: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a \ar[rr]^{(\prod X_a)^{!_A}}\ar[drr]_{1_{\prod X_a}} & & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ & & \prod X_a, }\end{xy}$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\left(\prod X_a\right)^A\right)^A \ar[r]^(.6){{d_X}^A}\ar[d]_{\left(\prod X_a\right)^{\delta_A}} & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ \left(\prod X_a\right)^A\ar[r]_(.53){d_X} & \prod X_a. }\end{xy}$$ Más aún, las proyecciones son morfismos de $(-)^A$-álgebras, con $$\begin{xy}\xymatrix{(X_a)^A\ar[r]^(.6){ev_a} & X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\begin{xy}\xymatrix{f \ar@{|->}[r] & fa}\end{xy}$$ la estructura de $(-)^A$-álgebra sobre cada $X_a$. Es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){{p_a}^A}\ar[d]_{d_X} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ \prod X_a \ar[r]_{p_a} & X_a }\end{xy}$$ conmuta, y $$\begin{xy}\xymatrix{ X_a \ar[r]^(.47){(X_a)^{!_A}}\ar[dr]_{1_{X_a}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a} & ((X_a)^A)^A \ar[r]^(.55){{ev_a}^A}\ar[d]_{(X_a)^{\delta_A}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ & X_a & (X_a)^A \ar[r]_{ev_a} & X_a }\end{xy}$$ también. (Si algún $X_a=\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene como estructura de $(-)^A$-álgebra el álgebra vacía). Así que si $X\neq\emptyset$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra $\alpha:X^A\rightarrow X$, $X$ es el producto de los $X_a$ de una familia $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por $A$ y $p_{\sim_a}:X\rightarrow X_a$ es la proyección que determina a $X_a$, entonces $p_{\sim_a}$ debe satisfacer la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A \ar[r]^{{p_{\sim_a}}^A}\ar[d]_{\alpha} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ X \ar[r]_{p_{\sim_a}} & X_a; }\end{xy}$$ es decir, si $f\in X^A$, $\alpha(f)\sim_a fa$. Así que $X_a$ es el cociente de $X$ entre la relación de equivalencia más pequeña $\sim_a$ que identifica a $\alpha(f)$ y a $fa$. De hecho, la relación sobre $X$, para cada $a\in A$, dada por “$p,q\in X$ están relacionados si $\exists\,f:A\rightarrow X\; fa=p$ y $\alpha f=q$” es de equivalencia (denotemos a esta relación igualmente por $\sim_a$, después de todo son iguales). Reflexividad: sea $p\in X$; la función constante $\Delta_p:A\rightarrow X$ que manda todo $b\in A$ a $p$ cumple que $\Delta_p a=p$ y $\alpha\Delta_p=p$; esta última igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X. }\end{xy}$$ Luego, $p\sim_a p$.
     Simetría. Sean $p,q\in X$ tales que existe una función $f:A\rightarrow X$ tal que $fa=p$ y $\alpha f=q$. Defínase $\varphi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\varphi(b):=\begin{cases} f &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_p &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $g:A\rightarrow X$ como $gb:=\alpha(\varphi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $\alpha g=p$ y $ga=q$; la primera igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ X^A\ar[r]_\alpha & X. }\end{xy}$$      Transitividad. Sean $p,q,r\in X$ tales que $p\sim_a q$ y $q\sim_a r$; es decir, $\exists\, f:A\rightarrow X\;fa=p$ y $\alpha f=q$ y $\exists\,g:A\rightarrow X\;ga=q$ y $\alpha g=r$. Por simetría, demostrada previamente, $\exists\,f':A\rightarrow X\;f'a=q$ y $\alpha f'=p$. Defínase $\psi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\psi(b):=\begin{cases} f' &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_{gb} &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $h:A\rightarrow X$ como $hb:=\alpha(\psi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $ha=p$ y $\alpha h=r$.
     Afirmamos que la asignación anterior (la que, dada una $(-)^A$-álgebra $(X,\alpha)$, nos da la familia $\{X_a\}$ indexada por $A$ a través de las relaciones $\sim_a$ para cada $a\in A$) es funtorial: definamos $S:\con^{(-)^A}\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con^{(-)^A}\ar[r]^S & \con/A}\end{xy}\qquad\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & \coprod X_a\ar[d]_{\coprod f/\sim_a}\ar[r]^(.55){g_X} & A\ar@{.>}[d]_1\\ (Y,\beta)\ar@{|->}[r] & \coprod Y_a\ar[r]_(.55){g_Y} & A }\end{xy}$$ si $(X,\alpha)$ no es la $(-)^A$-álgebra vacía, donde $g_X$ está definida como $g_X x:= a$ si $x\in X_a$, y de manera similar $g_Y$ (de hecho, una familia indexada por $A$ nos da una $g\in\con/A$ definida de igual manera y una $g\in\con/A$ nos da una familida indexada por $A$), y donde $f/\sim_a$ y $\coprod f/\sim_a$ quedan definidas por el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[d]_f\ar[r]^{p_{\sim_a^X}} & X_a\ar@{-->}[d]^{f/\sim_a}\ar[r]^{i_a^X} &\coprod X_a\ar@{-->}[d]^{\coprod f/\sim_a}\\ Y\ar[r]_{p_{\sim_a^Y}} & Y_a\ar[r]_{i_a^Y} &\coprod Y_a }\end{xy}$$ La $f/\sim_a$ existe por la conmutatividad del siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^{f^A}\ar[d]_\alpha & Y^A\ar[d]^\beta & g\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & f\circ g\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_f & Y & \alpha g\ar@{|->}[r] & f(\alpha g)=\beta(f\circ g); }\end{xy}$$ es decir, $f(\alpha g)\sim_a^Y fga$, y $\alpha g\sim_a^X ga$; en otras palabras, $\ker p_{\sim_a^X}\subseteq\ker(p_{\sim_a^Y}f)$. Si $(X,\alpha)$ es el álgebra vacía, entonces $S(X,\alpha):=!_A$ y $Sf:=!_Y$.
     Ahora, definamos $\prod_A:\con/A\rightarrow\con^{(-)^A}$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^{\prod_A} & \con^{(-)^A}}\end{xy}\qquad\qquad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{|->}[r]\ar@{.>}[d]_1 & (\prod_A g,d_g:(\prod_A g)^A\rightarrow\prod_A g)\ar@<-8ex>[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & (\prod_A h,d_h:(\prod_A h)^A\rightarrow\prod_A h) }\end{xy}$$ donde $\prod_A f$ es la misma función que aparece en la definición del adjunto derecho de $A^\ast$ (más adelante veremos por qué utilizamos el mismo nombre), y $d_g$ y $d_h$ son la estructura canónica de $(-)^A$-álgebra para una familia indexada. En efecto $\prod_A f$ es morfismo de $(-)^A$-álgebras: considérese el ejemplo clásico elemental de 2-mónada del principio; es decir, $\widehat{f^A\circ k}=f\circ\hat{k}$, donde $k\in(\prod_A g)^A$.
     Veamos que $S\dashv\prod_A$. Sea $(X,\alpha)\in\con^{(-)^A}$; entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ & X\ar[dl]_{p_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]^{(p_{\sim_a})}\\ X_a & \prod X_a\ar[l]^{p_a} }\end{xy}$$ Tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X}\\ X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a }\end{xy}$$ conmuta, pues $p_{\sim_a}(\alpha f)=p_{\sim_a}(fa)$ para todo $f\in X^A$ y para todo $a\in A$. Es decir, se tiene el morfismo de $(-)^A$-álgebras $$\begin{xy}\xymatrix{(X,\alpha)\ar[r]^(.4){(p_{\sim_a})} & \prod_AS(X,\alpha).}\end{xy}$$ Afirmamos que $(p_{\sim_a})$ es una biyección $X\rightarrow\prod X_a$; más aún, es un isomorfismo en $\con^{(-)^A}$. En efecto, sea $([q_a])\in\prod X_a$. Defínase $f:A\rightarrow X$ como $fa:=q_a$ para todo $a\in A$. Sea $p':=\alpha f$; entonces, $p'\sim_a q_a$ para todo $a\in A$. Luego, $(p_{\sim_a})$ es suprayectiva. Veamos que es inyectiva: sean $p,q\in X$ tales que $p_{\sim_a}p=p_{\sim_a}q$ para todo $a\in A$; entonces, $\forall\,a\in A\,\exists\,\varphi_a:A\rightarrow X\; \varphi_a a=p$ y $\alpha(\varphi_a)=q$; $\varphi\in(X^A)^A$; luego, por la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha & (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X & X^A\ar[r]_\alpha & X, }\end{xy}$$ $p=\alpha(\hat{\varphi}\circ\delta_A)=\alpha(\alpha\circ\varphi)=q$, pues $\hat{\varphi}\circ\delta_A=\Delta_p$ y $\alpha\circ\varphi=\Delta_q$.
     Así que, como $(p_{\sim_a})$ es una biyección, un isomorfismo en $\con$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A} & & X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X} &\\ & & X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X; }\end{xy}$$ de aquí, $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A}\ar[d]_{d_X} & & X^A\ar[d]^\alpha\\ \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X }\end{xy}$$ conmuta.
     Renombremos a $(p_{\sim_a})$: denotémoslo como $\eta_{(X,\alpha)}$. Si $(X,\alpha)=(\emptyset,\emptyset)$, entonces definimos $\eta_{(X,\alpha)}:=1_\emptyset$. Afirmamos que $\eta_{(X,\alpha)}$ es flecha universal de $(X,\alpha)$ al funtor $\prod_A$. Sea $k:(X,\alpha)\rightarrow\prod_A h$ morfismo en $\con^{(-)^A}$ con $h:Y\rightarrow A$ (suprayectiva: si $X\neq\emptyset$, forzosamente $h$ es suprayectiva). Como $k$ es morfismo, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){k^A}\ar[d]_\alpha & (\prod_A h)^A\ar[d]^{d_Y} & f\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & k\circ f\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_(.4)k & \prod_A h & \alpha f\ar@{|->}[r] & k(\alpha f)=\widehat{k\circ f}\circ\delta_A; }\end{xy}$$ de aquí, si $\alpha f\sim_a fa$, entonces $k(\alpha f)a=k(fa)a$; así que $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker(q_a\circ k)$ para todo $a\in A$, donde los $q_a$ son las proyecciones $\prod_A h\rightarrow h^{-1}a$. Por lo tanto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[r]^(.45){i_a}\ar@{-->}[d]^{k_a} & \coprod X_a\ar[d]^{\coprod k_a}\ar[rr]^{g_X} & & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a\ar[r]_(.45){j_a} & \coprod h^{-1}a\ar@{}|(.6){=}[r] & Y\ar[r]_h & A. }\end{xy}$$ Como $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a\ar[dr]^{p_a}\ar[d]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}}\ar@/_4.7pc/[dd]_{\prod k_a} & \\ X\ar[r]_{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta, $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[r]^{(p_{\sim_a})}\ar[dr]_k & \prod X_a\ar[d]^{\prod k_a}\\ & \prod_a h }\end{xy}$$ también. Claramente, del diagrama anterior, si $s:S(X,\alpha)\rightarrow h$ es morfismo en $\con/A$ tal que $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[drr]_k\ar[rr]^(.45){(p_{\sim_a})} & & \prod_AS(X,\alpha)\ar[d]^{\prod_A s}\\ & & \prod_A h }\end{xy}$$ conmuta, entonces $s=\coprod k_a$. Si $X=\emptyset$, es claro quién tiene que ser el $k':S(X,\alpha)\rightarrow h$ que haga conmutar el diagrama anterior. Por lo tanto, $S\dashv\prod_A$.
     Afirmamos que la counidad de la adjunción $S\dashv\prod_A$ es un isomorfimo para los objetos $g:X\rightarrow A$ suprayectivos de $\con/A$.
     En efecto, sea $g:X\rightarrow A$ objeto suprayectivo de $\con/A$, y $G:=\prod_A g$. Veamos que $\ker p_a=\ker p_{\sim_a}$, donde $p_a:\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$ y $p_{\sim_a}:G\rightarrow G_a$, con $G_a=G/\sim_a$. Sean $s,t\in\prod_A g$ tales que $s\sim_a t$; entonces, $\exists f:A\rightarrow\prod_A g\quad fa=s$ y $d_Gf=\hat{f}\circ\delta_A=t$. (Notemos que $f:A\rightarrow\prod_A g\subseteq X^A$). De aquí, $sa=f(a)(a)=ta$. Luego, $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker p_a$. Recíprocamente, supóngase que $sa=ta$; defínase entonces $f:A\rightarrow\prod_A g$ como $$fb:=\begin{cases} s &\text{si $b=a$},\\ t &\text{si $b\neq a$}. \end{cases}$$ Claramente, $fa=s$ y $\hat{f}\circ\delta_A=t$; luego, $\ker p_a\subseteq\ker p_{\sim_a}$.
     Como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]^{i_a}\ar@{-->}[d]^{1_a^G} & \coprod G_a\ar[r]^{g_G}\ar[d]^{\coprod 1_a^G} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A; }\end{xy}$$ más aún, como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, $\forall\,a\in A$ $1_a^G$ es mono; de hecho, cada $1_a^G$ también es epi: considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod g^{-1}a\ar[r]^{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar@{-->}[d]\\ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar@{-->}[d]^{1_a^G}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a. }\end{xy}$$ Así que $\coprod 1_a^G:S\prod_A g\rightarrow g$ es un isomorfismo en $\con/A$.
     Dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, defínase $\epsilon_g:=\coprod 1_a^G$ si $g$ es suprayectivo y $\epsilon_g:=!_X$ si no. Veamos que $\epsilon$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$; hagámoslo mostrando que $\epsilon$ es universal de $S$ a $g$. Sea $k:S(Y,\beta)\rightarrow g$ en $\con/A$: $$\begin{xy}\xymatrix{ \coprod Y_a\ar[rr]^k\ar[dr]_{g_Y} & & X=\coprod g^{-1}a\ar[ld]^g\\ & A & }\end{xy}$$ conmuta. De la conmutatividad de este diagrama, tenemos que $kY_a\subseteq g^{-1}a$ para todo $a\in A$. De donde, $\forall\,a\in A\,\exists\;k_a:Y_a\rightarrow g^{-1}a$ funciones tales que $$\begin{xy}\xymatrix{ Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]_{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A }\end{xy}$$ conmuta. Luego, por la propiedad universal de $\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$, se sigue que $\exists!\, k':Y\rightarrow\prod g^{-1}a$ $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]_{k'} & Y_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta. Luego, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar[d]_{k'} & Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]^{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar[r]_{j_a}\ar[d]^{1_a^G} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g\ar[d]^{(\coprod 1_a^G)^{-1}} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A g\ar[r]_{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]_{i_a} & \coprod G_a\ar[r]_{g_G} & A; }\end{xy}$$ de donde, $Sk'=(\coprod 1_a^G)^{-1}\circ k$: $$\begin{xy}\xymatrix{ & \coprod Y_a\ar[ld]_k\ar[d]^{Sk'}\\ X & \coprod G_a\ar[l]^{\coprod 1_a^G} }\end{xy}$$ conmuta; es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ & S(Y,\beta)\ar[dl]_k\ar[d]^{Sk'}\\ g & S\prod_A g\ar[l]^{\epsilon_g} }\end{xy}$$ conmuta (para $g:X\rightarrow A$ suprayectivo). Para $g$ no suprayectivo, el único $k'$ es $!_{\prod_Ag}$. Luego, $\epsilon_g$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$, y $\epsilon_g$ es iso si $g$ es suprayectivo.
     Considerando todo lo anterior, se tiene el siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ \con/A\ar@<1ex>[r]^{\prod_A}\ar@<-1ex>[d]_{\prod_A} & \con^{(-)^A}\ar@<1ex>[d]^{G^{(-)^A}}\ar@<1ex>[l]^S\\ \con\ar@<-1ex>[u]_{A^\ast}\ar@{}|{=}[r] & \con\ar@<1ex>[u]^{F^{(-)^A}} }\end{xy}$$ cuyos adjuntos derechos conmutan. Ahora, si definimos $\con_\emptyset$ como la subcategoría plena de $\con$ cuyos objetos son los conjuntos no vacíos, $\con/A_s$ la subcategoría plena de $\con/A$ cuyos objetos son las funciones suprayectivas sobre $A$ y $\con^{(-)^A}_\emptyset$ la subcategoría plena de $\con^{(-)^A}$ cuyos objetos son las álgebras no vacías, tenemos que $\con/A_s$ es equivalente a $\con^{(-)^A}_\emptyset$ y un diagrama conmutativo (salvo isomorfismo) similar al anterior.
     Unos tres meses después de esa plática con Omar, me dijo: “el otro día vi que alguien preguntaba en Math.StackExchange por las álgebras de la mónada $(-)^A$ en la categoría de conjuntos. El que constestó (dando la caracterización que ya sabíamos) es Zhen Lin”, y me dio el enlace.

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Nota. Aquí dejo un pdf de esta entrada.