A fixing in a fence

— You know, a fence in lattice theory, more precisely an $n$-element fence in lattice theory, is an ordered set $\{x_1,\ldots,x_n\}$ in which $x_1$ is greater than $x_2$, $x_2$ less than $x_3$, $x_3$ greater than the next one, etc., and $x_n$ greater or less than $x_{n-1}$ depending whether $n$ is odd or even, or $x_1$ less than $x_2$, $x_2$ greater than $x_3$, etc., and its Hasse diagram looks like a zigzag.
— I see. So a defense is quite the opposite, and its Hasse diagram looks like a zagzig.
— No offense, but no!
— Exactly! (You're so emphatic, I like that.)

Don't be irrational

— This is Math.
— Hi, Math. So, what's your phone number?
— RATIONAL... You wouldn't like to dial forever, right?
— But...
— I know, I know, I know,...

Mónadas adjuntas en una 2-categoría

Samuel Eilenberg y John C. Moore, en su artículo Adjoint functors and triples, muestran la correspondencia biyectiva que existe entre las mónadas con adjunto derecho y las comónadas con adjunto izquierdo. Sus resultados se pueden generalizar a una 2-categoría $K$ tal que $K$ y $K^{co}$ admitan la construcción de álgebras. Aquí los detalles de tal generalización.

El mundo de $n^m$ espacios

Reempezando a leer la novela El mundo de ocho espacios de Jaime Romero Robledo, me vino a la mente la entrada El problema que me planteó la novela El mundo de ocho espacios (nunca terminé de leer la novela, por cierto), y se me ocurrió generalizar el problema a un 4-cubo (o un hipercubo de dimensión 4): calcular el número de caras interiores en un 4-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales. Sin embargo, el problema se puede generalizar aún más: calcular el número de $k$-caras interiores y exteriores de un $m$-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales.
     Obtuve lo siguiente. Si tenemos un $m$-cubo y dividimos cada arista (cada 1-cara) en $n$ partes iguales, obtenemos $$\binom{m}{k}(n-1)^{m-k}n^k\text{ $k$-caras interiores},$$ donde $k < m$ y $1\leq n$.
     Todavía no tengo muy claro cómo calcular el número de $k$-caras exteriores.

No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos

Mac Lane en su Categories for the working mathematician da dos ejemplos de funtores continuos con dominio pequeño-completo que no satisfacen la condición conjunto solución del Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Tal teorema dice lo siquiente.

Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Si $A$ es una categoría pequeño-completa con homoconjuntos pequeños, entonces un funtor $G:A\rightarrow X$ tiene adjunto izquierdo si y sólo si preserva todo límite pequeño y satisface lo siguiente.
     Condición conjunto solución. Para todo objeto $x\in X$, existe un conjunto pequeño $I$ y una familia de flechas $f_i:x\rightarrow Ga_i$ indexada por $I$ tal que toda flecha $h:x\rightarrow Ga$ se puede escribir como la composición $h=Gt\circ f_i$ para algún índice $i$ y alguna $t:a_i\rightarrow a$.

El ejemplo que me sorprendió e intrigó fue el segundo. Este empieza diciendo: “Dado un conjunto numerable $D$, uno puede construir un álgebra booleana completa arbitrariamente grande generada por $D$”. Tal afirmación la demostraron primero Gaifman y Hales de manera independiente utilizando argumentos de la lógica infinitaria y luego la demostró Solovay haciendo uso del álgebra abierta regular. La demostración de Solovay es mucho más simple. Hago un recuento detallado de esta demostración.

Sea $\kappa$ un cardinal infinito y dótese a $\kappa$ de la topología discreta. Considérese ahora a $\kappa^\omega$ con la topología producto. Sea $X:=\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$, el álgebra abierta regular del espacio $\kappa^\omega$. Notemos que todo cerrabierto es regular; de donde, los $$A_{n,\eta}:=\{f\in \kappa^\omega\mid fn=\eta\},$$ con $\eta<\kappa$, son elementos de $X$: el conjunto $\{\eta\}$ es cerrabierto de $\kappa$; más aún, los $A_{n,\eta}$ son subbásicos de $\kappa^\omega$. Tenemos que la familia $\{A_{n,\eta}\mid n<\omega,\eta<\kappa\}$ genera a $X$; en efecto, sea $V\in X$; entonces, $V$ es unión de intersecciones finitas de $A_{n,\eta}$ s, digamos, $V=\bigcup V_i$; de donde, como $V$ es abierto regular y $\bigvee V_i=\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)$ es el abierto regular más pequeño que contiene a $\bigcup V_i$, tenemos que $V=\bigvee V_i$.
     Ahora, la cardinalidad de $X$ es al menos $\kappa$, pues si $\eta<\eta'<\kappa$, entonces $A_{0,\eta}$ y $A_{0,\eta'}$ son distintos.
     Antes de seguir, notemos que si $B\subseteq\kappa^\omega$ y $B$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $B$ es cerrabierto. En efecto, que $B$ dependa de un número finito de coordenadas significa que $\exists\,n_1,\ldots,n_m\in\mathbb{N}$ $$B=\{f\in\kappa^\omega\mid R(fn_1,\ldots,fn_m)\},$$ donde $R\subseteq\kappa^m$ y $m\in\mathbb{N}$. Tenemos que $R$ es cerrabierto de $\kappa^m$ y $B=p^{-1}R$ con $p:\kappa^\omega\rightarrow\kappa^m$ definida como $pf:=(fn_1,\ldots,fn_m)$; $p$ es continua.
     Prosigamos. Dados $n,m<\omega$, defínase $$B_{n,m}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fm\leq fn\}.$$ Entonces, por la observación anterior, $B_{n,m}$ es cerrabierto luego abierto regular. Afirmamos que los $B_{n,m}$ generan a $X$. En efecto, sea $Y$ la subálgebra completa más pequeña de $X$ que contiene a $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$. Bastará demostrar que $A_{n,\eta}\in Y$ para todo $n<\omega$ y para todo $\eta<\kappa$; hagámoslo por inducción sobre $\eta$; supongamos entonces que para $m<\omega$ y $\xi<\eta$ se tiene que $A_{m,\xi}\in Y$. Ahora, sean $$D_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn<\eta\}\quad\text{y}\quad E_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq\eta\}$$ para $n<\omega$ y $\eta<\kappa$. Lo que queremos hacer es ver que $D_{n,\eta},E_{n,\eta}\in Y$, ya que $$A_{n,\eta}=D_{n,\eta}\cap E_{n,\eta}=D_{n,\eta}\wedge E_{n,\eta}.$$ Como $D_{n,\eta}$ y $E_{n,\eta}$ dependen sólo de una coordeanada, son cerrabiertos; luego, son elementos de $X$. Por inducción, estamos suponiendo que $A_{n,\xi}\in Y$, así que como $D_{n,\eta}$ es abierto regular y $$D_{n,\eta}=\bigcup_{\xi<\eta} A_{n,\xi},$$ entonces $D_{n,\eta}=\bigvee_{\xi<\eta} A_{n,\xi}\in Y$.
     Por otro lado, dados $n,m<\omega$, $$C_{m,n}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq fm\text{ o }fm<\eta\}$$ es cerrabierto, ya que su definición depende sólo de $m$ y $n$; luego, $C_{m,n}\in X$. Notemos que $$C_{m,n}=B_{m,n}\cup\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}.$$ Nuevamente, como $C_{m,n}\in X$, se tiene que $C_{m,n}=B_{m,n}\vee\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}$. De donde, $C_{m,n}\in Y$. Demostremos que $E_{n,\eta}=\bigwedge_{m<\omega} C_{m,n}$; es decir, que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$.
     Ahora, dados $n<\omega$ y $f\in\kappa^\omega$, los $$U(n,f):=\{h\in\kappa^\omega\mid\forall\,m\leq n\; hm=fm\}$$ forman una base para $\kappa^\omega$ (es claro que $U(n,f)\in\tau(\kappa^\omega)$). En efecto, sea $\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$ un básico de $\kappa^\omega$ y sea $f\in\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$. Sin pérdida de generalidad, supóngase que $i_1<\cdots < i_m$. Entonces, $U(i_m,f)\subseteq\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$.
     Demostremos que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$. Sea $g\in E_{n,\eta}$; es decir, $gn\leq\eta$. Entonces, $U(n,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$, pues si $h\in U(n,g)$, entonces dado $m<\omega$, si $hn\leq hm$ entonces $h\in C_{m,n}$ y si $hm< hn=gn$ entonces $hm<\eta$ y $h\in C_{m,n}$; luego, $h\in\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$.
     Recíprocamente, sea $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$ y supóngase que $gn>\eta$. Como $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$, existe $N\in\omega$ tal que $U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$. Como $U(k,g)\subseteq U(N,g)$ para todo $k\geq N$, podemos suponer que $N\geq n$. Ahora defínase $h:\omega\rightarrow\kappa$ como $$hm:=\begin{cases} gm &\text{si $m\leq N$,}\\ \eta &\text{si $m > N$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$; de donde, $h\in C_{N+1}$; es decir, $hn< h(N+1)$ o $h(N+1)<\eta$. Sin embargo, $h(N+1)=\eta< gn=hn$ y $h(N+1)\geq\eta$ !! Luego, $g\in E_{n,\eta}$. Así que $E_{n,\eta}\in Y$.
     Por lo tanto, $X$, que tiene cardinalidad por lo menos $\kappa$, es generado por $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$, que es numerable.
     Así que tenemos el siguiente teorema.

Teorema (Solovay). Sea $\kappa$ un cardinal infinito. Si $\kappa$ tiene la topología discreta y $\kappa^\omega$ la topología producto, entonces $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es un álgebra boolena completa numerablemente generada con cardinalidad por lo menos $\kappa$.

Y tenemos el siguiente corolario.

Corolario. No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos.

Demostración. Sean $X$ un conjunto infinito, $FX$ el álgebra completa libre generada por $X$ y $\eta_X:X\rightarrow FX$ la función con la propiedad universal de álgebra libre. Sea $\kappa$ un cardinal mayor que $|FX|$. Entonces, por el teorema anterior, $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ tiene un conjunto numerable $Y$ de generadores. Sea $f:X\rightarrow Y$ una función suprayectiva. Entonces, si $g:FX\rightarrow\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es homomorfismo de álgebras booleanas completas y $g\circ\eta_X=f$, entonces $gFX$ es una subálgebra completa de $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ que incluye a $Y$; de donde, $g$ sería suprayectiva y $\kappa\leq|\mathbf{AR}(\kappa^\omega)|\leq|FX|<\kappa$ !!

El álgebra abierta regular de un espacio topológico

Leyendo sobre el Teorema de Freyd del Funtor Adjunto, me topé con un álgebra booleana completa que no conocía y que resultó ser un ejemplo estándar en teoría de álgebras booleanas: el álgebra abierta regular de un espacio topológico.
     Tal álgebra booleana se construye como sigue. Sea $X$ un espacio topológico. Definimos $$\mathbf{AR}(X):=\{V\subseteq X\mid V=\mathrm{IntCl}V\},$$ donde $\mathrm{Int}$ es el operador interior y $\mathrm{Cl}$ el operador cerradura. Es decir, $\mathbf{AR}(X)$ es el conjunto de los abiertos regulares de $X$ (un subconjunto $U\subseteq X$ se dice que es abierto regular si $U=\mathrm{IntCl}U$; dado $A\subseteq X$, a $\mathrm{IntCl}A$ se la llama la regularización de $A$). Se tiene que $\mathbf{AR}(X)$ es un álgebra booleana completa con el orden dado por la inclusión y bajo las siguientes operaciones $\bigvee$, $\bigwedge$ y $'$: $$\begin{align} \bigvee\mathcal{U} &:=\mathrm{IntCl}(\bigcup\mathcal{U})&(\mathcal{U}\subseteq\mathbf{AR}(X))\notag\\ \bigwedge\mathcal{U} &:=\mathrm{Int}(\bigcap\mathcal{U})&\notag\\ V' &:=\mathrm{Int}(X-V)&(V\in\mathbf{AR}(X)).\notag \end{align}$$      En general se tiene que \begin{equation} \text{si $A$ es un cerrado de un espacio $Y$, entonces $\mathrm{Int}A$ es abierto regular.} \end{equation} En efecto, sea $A$ cerrado de un espacio $Y$; entonces, $$\mathrm{Int}A\subseteq\mathrm{IntClInt}A.$$ Recíprocamente, se tiene que $\mathrm{Int}A\subseteq A$; de aquí, $\mathrm{ClInt}A\subseteq A$; luego, $$\mathrm{IntClInt}A\subseteq\mathrm{Int}A.$$      Ahora, tenemos entonces que $\bigvee\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$, pues $\mathrm{Cl}(\bigcup\mathcal{U})$ es cerrado de $X$, y $V'\in\mathbf{AR}(X)$ porque $X-V$ también es cerrado de $X$.      En general se tiene si $\{A_i\}$ es una familia de subconjuntos de un espacio topológico $Y$, entonces \begin{align} &\mathrm{Cl}(\bigcap A_i)\subseteq \bigcap\mathrm{Cl}A_i \\ &\mathrm{Int}(\bigcap A_i)\subseteq \bigcap\mathrm{Int}A_i. \end{align} En efecto, (2) se sigue de que $\bigcap A_i\subseteq\bigcap\mathrm{Cl}A_i$ y (3) de que $\mathrm{Int}(\bigcap A_i)\subseteq\mathrm{Int}A_i$.
     Veamos entonces que $\bigwedge\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$. Sea $\{V_i\}$ una familia de elementos de $\mathbf{AR}(X)$. Ya se tiene que $\mathrm{Int}(\bigcap V_i)\subseteq\mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)$, así que basta ver la contención recíproca. Notemos que como cada $V_i\in\mathbf{AR}(X)$, $$V_i=\mathrm{IntCl}V_i.$$ Entonces, \begin{align} \mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)&\subseteq\mathrm{IntClInCl}(\bigcap V_i)\notag\\ &=\mathrm{IntCl}(\bigcap V_i)&\text{(por (1)}\notag\\ &\subseteq\bigcap\mathrm{IntCl}V_i &\text{(por (2) y (3))}\notag\\ &=\bigcap V_i\notag; \end{align} de donde, $\mathrm{IntClInt}(\bigcap V_i)\subseteq\mathrm{Int}(\bigcap V_i)$.
     Se tiene que $\emptyset,X\in\mathbf{AR}(X)$, y es fácil ver que $$V\wedge V'=\emptyset\qquad\text{y}\qquad V\vee V'=X.$$      Sea $\mathcal{U}\subseteq\mathbf{AR}(X)$. Veamos que $\bigvee\mathcal{U}$ es la mínima cota superior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$ y que $\bigwedge\mathcal{U}$ es la máxima cota inferior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$. Se tiene que $\bigcup\mathcal{U}$ es abierto y es el conjunto más pequeño que incluye a cada $V\in\mathcal{U}$; de donde, $\bigvee\mathcal{U}$ es la mínima cota superior de $\mathcal{U}$ en $\mathbf{AR}(X)$. Ahora, tenemos que $\bigwedge\mathcal{U}\subseteq V$ para todo $V\in\mathcal{U}$ y $\bigwedge\mathcal{U}\in\mathbf{AR}(X)$. Sea $B$ otra cosa inferior de $\mathcal{U}$; entonces, $B\subseteq\bigcap\mathcal{U}$; de donde, $B\subseteq\bigwedge\mathcal{U}$, pues $B$ es abierto de $X$.
     Finalmente, veamos que $$V\wedge(\bigvee V_i)=\bigvee(V\wedge V_i).$$      En general, se tiene que \begin{equation} \text{si $U$ es abierto de un espacio $Y$, entonces $\mathrm{Cl}(U\cap A)=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$ para todo subconjunto $A$ de $Y$} \end{equation} (véase el punto 1 de la entrada anterior). De aquí, \begin{equation} \text{si $U$ es abierto de $Y$, $U\cap\mathrm{Cl}A\subseteq\mathrm{Cl}(U\cap A)$ para todo $A\subseteq Y$.} \end{equation}      Ahora, sea $\{V_i\}$ una familia de elementos de $\mathbf{AR}(X)$ y sea $V\in\mathbf{AR}(X)$. Entonces, \begin{align} V\wedge\bigvee V_i &=V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)\notag\\ &=\mathrm{Int}V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)\notag\\ &=\mathrm{Int}(V\cap\mathrm{Cl}(\bigcup V_i)) &\text{(propiedad de $\mathrm{Int}$)}\notag\\ &\subseteq\mathrm{IntCl}(V\cap\bigcup V_i) &\text{(por (5))}\notag\\ &=\bigvee(V\wedge V_i)\notag. \end{align} Recíprocamente, \begin{align} \bigvee(V\wedge V_i) &=\mathrm{IntCl}(\bigcup V\cap V_i)\notag\\ &=\mathrm{IntCl}(V\cap\bigcup V_i)\notag\\ &\subseteq\mathrm{IntCl}V\cap\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)&\text{(por (2) y (3))}\notag\\ &=V\wedge\bigvee V_i\notag. \end{align}      Por lo tanto, $(\mathbf{AR}(X),\vee,\wedge,',\emptyset,X)$ es un álgebra booleana completa. A dicha álgebra se la llama el álgebra abierta regular de $X$.

Topología general julio 2015

1. Sea $(X,\tau)\in\mathbf{Top}$ y sea $U\subseteq X$. Entonces, $U\in\tau$ si y sólo si $\forall\,A\subseteq X\;\mathrm{Cl}(U\cap A)=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$.
   
   Supóngase que $U\in\tau$ y sea $A\subseteq X$. Como $U\cap A\subseteq U\cap\mathrm{Cl}A$, $\mathrm{Cl}(U\cap A)\subseteq\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$. Veamos entonces que $\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)\subseteq\mathrm{Cl}(U\cap A)$. Sea $x\in\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$ y $V\in\tau(x,X)$ (un abierto de $X$ que contiene a $x$). Entonces, $V\cap U\cap\mathrm{Cl}A\neq\emptyset$; sea entonces $y\in V\cap U\cap\mathrm{Cl}A$; de aquí, $y\in V\cap U$ y $y\in\mathrm{Cl}A$; de donde, $V\cap U\cap A\neq\emptyset$. Por lo tanto, $x\in\mathrm{Cl}(U\cap A)$.
        Recíprocamente, supóngase que $\forall\,A\subseteq X\;\mathrm{Cl}(U\cap A)=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}A)$. Entonces, $$\emptyset=\mathrm{Cl}(U\cap(X-U))=\mathrm{Cl}(U\cap\mathrm{Cl}(X-U));$$ de donde, $U\cap\mathrm{Cl}(X-U)=\emptyset$; de aquí, $U\cap\mathrm{Fr}U=\emptyset$; luego, $U\in\tau$.
2. Sea $\{(X_\alpha,\tau_\alpha)\}$ una familia infinita de espacios topológicos tal que $\mathcal{B}:=\{\alpha\mid X_\alpha\text{ es compacto}\}$ es finito. Sea $B\subseteq\prod X_\alpha$. Si $B$ es compacto, entonces $\mathrm{Int}B=\emptyset$.
   
   Supóngase que $B$ es compacto y que $\mathrm{Int}B\neq\emptyset$. Entonces, dado $(x_\alpha)\in\mathrm{Int}B$, existe $\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle$ básico de $\tau$ (la topología producto) tal que $$(x_\alpha)\in\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\subseteq\mathrm{Int}B\subseteq B.$$ Sea $\beta\notin\mathcal{B}$ tal que $\beta\neq\alpha_i$; así que $X_\beta$ no es compacto. Por otro lado, $$X_\beta=p_\beta\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\subseteq p_\beta B\subseteq X_\beta,$$ donde $p_\beta:\prod X_\alpha\rightarrow X_\beta$ es la proyección en $X_\beta$. Entonces, $p_\beta B=X_\beta$; es decir, $X_\beta$ es compacto !!
        Otra manera. Supóngase que $B$ es compacto y que $\mathrm{Int}B\neq\emptyset$. Entonces, dado $(x_\alpha)\in\mathrm{Int}B$, existe $\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle$ básico de $\tau$ (la topología producto) tal que $$(x_\alpha)\in\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\subseteq\mathrm{Int}B\subseteq B.$$ Sea $\beta\notin\mathcal{B}$ tal que $\beta\neq\alpha_i$; así que $X_\beta$ no es compacto. Luego, existe una cubierta abierta $\{V_i\}$ de $X_\beta$ que no tiene subcubierta finita. Sea $Y_\beta:=\prod_{\alpha\neq\beta} X_\alpha$. Entonces, $\{V_i\times Y_\beta\}$ es cubierta abierta de $B$, pero $B$ es compacto; luego, existen $V_{i_1},\ldots,V_{i_m}$ de $\{V_i\}$ tal que $$B\subseteq(V_{i_1}\times Y_\beta)\cup\cdots\cup(V_{i_m}\times Y_\beta),$$ pero $\langle U_{\alpha_1},\ldots,U_{\alpha_n}\rangle\not\subseteq (\cup V_{i_j})\times Y_\beta$ !!
3. Sea $(X,\tau)\in\mathbf{Top}$ $T_2$ y $f:[0,1]\rightarrow(X,\tau)$ continua y suprayectiva, donde $[0,1]$ tiene la topología usual. Entonces, $X$ es localmente conexo.
   
   Esta afirmación se puede generalizar. Sean $(Y,\tau'),(X,\tau)\in\mathbf{Top}$ con $(Y,\tau')$ compacto y $T_2$ y $(X,\tau)$ $T_2$. Sea $f:(Y,\tau')\rightarrow(X,\tau)$ continua y suprayectiva. Si $Y$ es localmente conexo, entonces $X$ también.
   
   Veamos primero que $f:Y\rightarrow X$ es cerrada. Sea $B\subseteq Y$ cerrado; entonces, como $Y$ es compacto, $B$ es compacto; de aquí, $fB$ es compacto en $X$, que es $T_2$; luego, $fB$ es cerrado.
        Por otro lado, toda función continua cerrada (o abierta) y suprayectiva es una identificación, un mapeo cociente. En efecto, sea $g:(Z,\sigma)\rightarrow(Z',\sigma')$ una tal función y sea $V\subseteq Z'$ tal que $g^{-1}V\in\sigma$. Entonces, $Z-g^{-1}V=g^{-1}(Z'-V)$ es cerrado de $Z$. Como $g$ es cerrada y suprayectiva, $Z'-V=gg^{-1}(Z'-V)$ es cerrado de $Z'$; de donde $V\in\sigma'$.
        Ahora, veamos que toda identificación preserva conexidad local. Sea $h:(Z,\sigma)\rightarrow(Z',\sigma')$ una identificación y supóngase que $Z$ es localmente conexo. Demostremos que las componentes de todo subespacio abierto $A$ de $Z'$ son abiertos de $Z'$. Sea $A\subseteq Z'$ tal que $A\in\sigma'$. Sea $C$ componente de $A$. Veamos que $C\in\sigma'$. Sea $B$ componente de $h^{-1}C\subseteq h^{-1}A$. Afirmamos que $B$ es componente de $h^{-1}A$; en efecto, sea $B'$ componente de $h^{-1}A$ tal que $B\subseteq B'$. Entonces, tenemos que $hB\subseteq hB',C\subseteq A$, pero $hB$ y $hB'$ son conexos así que, como $C$ es componente de $A$ y $hB\subseteq hB',C$, se tiene que $hB'\subseteq C$; de donde, $B'\subseteq h^{-1}C$ con $B'$ conexo y $B\subset B'$, pero $B$ es componente de $h^{-1}C$; luego, $B=B'$.
        Por otro lado, como $h^{-1}A\in\sigma$ y $Z$ es localmente conexo, toda componente de $h^{-1}A$ es abierta, así que $B\in\sigma$. Entonces, como $h^{-1}C$ es la unión de sus componentes, que son abiertas, $h^{-1}C\in\sigma$; de donde, como $h$ es identificación, $C\in\sigma'$. Luego, $Z'$ es localmente conexo.
4. Considérese la recta de Sorgenfrey. Un espacio topológico $(X,\tau)$ se dice que es homogéneo si $\forall\,x,y\in X\,\exists\, f:X\rightarrow X\;$ homeomorfismo tal que $fx=y$.
   1. La recta de Sorgenfrey es homogénea.
   2. El producto de espacios homogéneos es homogéneo.
   
   4(a). Sean $x,y\in\mathbb{R}$. Defínase $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$fz:=z+y-x.$$ Claramente, $fx=y$, y dado un intervalo $[a,b)$, $$f^{-1}[a,b)=[a-x+y,b-x+y);$$ de donde, $f$ es continua. Es claro que su inversa $f^{-1}z=z-x+y$ también es continua.
   
   4(b). Sea $\{X_\alpha\}$ una familia de espacios homogéneos. Sean $(x_\alpha),(y_\alpha)\in\prod X_\alpha$. Entonces, $\forall\,\alpha\;\exists\,f_\alpha:X_\alpha\rightarrow X_\alpha\;$ homeomorfismo tal que $f_\alpha x_\alpha=y_\alpha$. Considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} \prod X_\alpha @>p_\beta>> X_\beta\\ @V\prod f_\alpha VV & @VVf_\beta V\\ \prod X_\alpha @>>p_\beta> X_\beta\\ @V\prod f^{-1}_\alpha VV @VVf^{-1}_\beta V\\ \prod X_\alpha @>>p_\beta> X_\beta \end{CD}$$ Entonces, por la propiedad universal del producto y porque $f^{-1}_\beta f_\beta=1$ para todo $\beta$, $\prod f^{-1}_\alpha\prod f_\alpha=1$; similarmente, $\prod f_\alpha\prod f^{-1}_\alpha=1$. Luego, $\prod f_\alpha$ es homeomorfismo, y $\prod f_\alpha(x_\alpha)=(y_\alpha)$.
5. 1. No existe un espacio conexo completamente regular y numerable con al menos dos puntos.
   2. No existe un espacio conexo regular y numerable con al menos dos puntos.
   
   5(b). Si $(X,\tau)$ es un espacio con un solo punto, es regular conexo y numerable.
        Supóngase que $X$ tiene al menos dos puntos, que es regular conexo y numerable. Entonces, como $X$ es numerable, $X$ es Lindelöf. Como todo Lindelöf $T_3$ es $T_4$, se tiene que, dados $x,y\in X$, $x\neq y$, existe una función continua $f:X\rightarrow[0,1]$ tal que $fx=0$ y $fy=1$ (notemos que como $X$ es regular, $X$ también es $T_2$, así que $\{x\}$ y $\{y\}$ son cerrados). Sin embargo, como $f$ es continua y $X$ es conexo, $fX$ es conexo. Por otro lado, $fX$ es numerable; de donde, $fX$ es disconexo !!
        Otra manera. Supóngase que $X$ tiene al menos dos puntos, que es regular conexo y numerable. Entonces, como $X$ es numerable, $X$ es Lindelöf. Como todo Lindelöf $T_3$ es $T_4$, se tiene que, dados $x,y\in X$, $x\neq y$, existe una función continua $f:X\rightarrow[0,1]$ tal que $fx=0$ y $fy=1$. Ahora, como $f$ es continua y $X$ es conexo, $fX$ es conexo con $0,1\in fX$. Luego, $[0,1]=fX$; de donde, $$|X|\geq |[0,1]|;$$ de aquí, $X$ es no numerable !!
   
   5(a). Todo espacio $T_{3\frac{1}{2}}$ es $T_3$.
6. Si $(X,\tau)$ es un espacio compacto $T_2$ entonces $\forall\,f:X\rightarrow X$ continua $\exists\,A\subseteq X$ cerrado no vacío tal que $fA=A$.
   
   Antes de demostrar el resultado, demostremos la siguiente afirmación. Si $f:X\rightarrow Y$ es una función continua con $X$ compacto y $Y$ $T_2$ y $\{F_n\}$ es una sucesión decreciente de subconjuntos cerrados de $X$, entonces $f(\cap F_n)=\cap fF_n$. En efecto, si existe $n$ tal que $F_n=\emptyset$, entonces se tiene la igualdad deseada. Supóngase entonces que $F_n\neq\emptyset$ para todo $n$. Ahora, como ya se tiene que $f(\cap F_n)\subseteq\cap fF_n$, basta ver que $\cap fF_n\subseteq f(\cap F_n)$.
        Como $f$ es continua, $fF_1$ es compacto, y como $\{fF_n\}$ es decreciente, $\cap fF_n\neq\emptyset$. Sea $y\in\cap fF_n$; entonces, $\forall\,n\;\exists\; b_n\in F_n\; y=fb_n$. De donde, $\forall\,n\; F_n\cap f^{-1}y\neq\emptyset$. Como $Y$ es $T_2$, $\{y\}$ es cerrado de $Y$, así que $f^{-1}y$ es cerrado de $X$. Luego, tenemos una sucesión decreciente $\{F_n\cap f^{-1}y\}$ de subconjuntos cerrados no vacíos de $X$, que es compacto. Por lo tanto, $\cap F_n\cap f^{-1}y\neq\emptyset$, y $$y\in f(\cap F_n\cap f^{-1}y)\subseteq f(\cap F_n).$$ Luego, $\cap fF_n\subseteq f(\cap F_n)$.
        Ahora, volviendo al resultado que queríamos demostrar, sea $g:X\rightarrow X$ una función continua con $X$ compacto y $T_2$. Tenemos entonces la siguiente sucesión decreciente de subconjuntos cerrados no vacíos de $X$: $\{g^nX\}$, donde $g^n$ es simplemente la composición $g\circ\cdots\circ g$ con $g$ apareciendo n veces. De la afirmación anterior, $g(\cap g^nX)=\cap g^{n+1}X=\cap g^nX$ y $\cap g^nX\neq\emptyset$. Sea $A:=\cap g^nX$.
7. Sea $(X,\tau)$ un espacio topológico y $R$ una relación de equivalencia sobre $X$. Supóngase que la proyección canónica $p:X\rightarrow X/R$ es abierta. Sea $B\subseteq X/R$. Entonces, $B$ es homeomorfo a $p^{-1}B/R_0$, donde $R_0$ es la relación inducida por $R$ sobre $p^{-1}B$.
   
   Otra vez, antes de demostrar la afirmación que nos concierne, demostremos el siguiente resultado. Si $f:X\rightarrow Y$ es una identificación abierta y $B\subseteq Y$, entonces $\tau(B)=\tau(f,B)$, donde $\tau(B)$ es la topología de subespacio inducida sobre $B$ por la topología $\tau(Y)$ de $Y$ y donde $\tau(f,B)$ es la topología de identificación inducida sobre $B$ por la suprayección $f\mid_{f^{-1}B}:f^{-1}B\rightarrow B$. En efecto, supóngase que $f:X\rightarrow Y$ es una identificación abierta. Como $\tau(f,B)$ es la topología más grande que hace a $f\mid_{f^{-1}B}:f^{-1}B\rightarrow B$ continua y como $f\mid_{f^{-1}B}:f^{-1}B\rightarrow B$ es continua si $B$ tiene la topología $\tau(B)$, entonces $\tau(B)\subseteq\tau(f,B)$. Veamos que se tiene la otra contención. Sea $V\in\tau(f,B)$; entonces, $f^{-1}V\in\tau(f^{-1}B)$; de donde, existe $W\in\tau(X)$ tal que $f^{-1}V=f^{-1}B\cap W$; de aquí, $$V=ff^{-1}V=B\cap fW;$$ luego, como $f$ es abierta, $V\in\tau(B)$.
        Volvamos a la afirmación que queríamos demostrar. Del resultado anterior, tenemos entonces que $p\mid_{p^{-1}B}:p^{-1}B\rightarrow B$ es una identificación; es decir, $p\mid_{p^{-1}B}:p^{-1}B\rightarrow B$ es continua suprayectiva y $\tau(B)=\tau(p,B)$. Por otro lado, notemos que $R_0=(p^{-1}B\times p^{-1}B)\cap R$. Sea $q:p^{-1}B\rightarrow p^{-1}B/R_0$ la proyección canónica. Veamos que $\mathrm{ker\,}p\mid_{p^{-1}B}=\mathrm{ker\,}q$. Sean $x,y\in p^{-1}B\times p^{-1}B$. Entonces, $$(x,y)\in\mathrm{ker\,}p\mid_{p^{-1}B}\;\Leftrightarrow\; px=py\;\Leftrightarrow\;x R_0 y\;\Leftrightarrow\;qx=qy\;\Leftrightarrow\;(x,y)\in\mathrm{ker\,}q.$$ De aquí y por la propiedad universal de una identificación, existen únicas $s:B\rightarrow p^{-1}B/R_0$ y $t:p^{-1}B/R_0\rightarrow B$ funciones inyectivas continuas tales que el siguiente diagrama conmuta: $$\require{AMScd} \begin{CD} p^{-1}B @> p\mid_{p^{-1}B} >> B\\ @| & @VsVV\\ p^{-1}B @> q >> p^{-1}B/R_0\\ @| & @VtVV\\ p^{-1}B @>> p\mid_{p^{-1}B} > B; \end{CD}$$ de aquí, por la propiedad universal de $p\mid_{p^{-1}B}$, $ts=1_B$. Luego, $t$ es suprayectiva; por lo tanto, $t$ es un homeomorfismo con inversa $s$.
8. Considérese a $\mathbb{R}$ con la topología $\sigma$ cuyos básicos son los intervalos $[a,b)$; en otras palabras, $(\mathbb{R},\sigma)$ es la recta de Sorgenfrey. Sea $\tau$ la topología sobre $\mathbb{R}$ dada por los básicos $[q,b)$ con $q\in\mathbb{Q}$.
   1. $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$ no es metrizable.
   2. $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ no es metrizable.
   3. $(\mathbb{R},\tau)\times(\mathbb{R},\tau)$ es metrizable.
   
   8(a). $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$ es el cuadrado de Sorgenfrey, el cual no es $T_4$, y todo espacio métrico es $T_4$; luego, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\sigma)$ no es metrizable.
   
   8(b). Afirmamos que la recta de Sorgenfrey no es segundo numerable. En efecto, si lo fuera, entonces el cuadrado de Sorgenfrey lo sería; luego, el cuadrado de Sorgenfrey sería Lindelöf. Por otro lado, la recta de Sorgenfrey es $T_3$, pues los intervalos $[a,b)$ son abiertos y cerrados; así que el cuadrado de Sorgenfrey es $T_3$. Todo espacio Lindelöf y $T_3$ es $T_4$; por lo tanto, el cuadrado de Sorgenfrey es $T_4$ !! Así que la recta de Sorgenfrey no es segundo numerable.
        Ahora veamos que $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ no es metrizable. Es claro que la recta de Sorgenfrey es separable y regular y que $(\mathbb{R},\tau)$ también. De donde, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ es separable y regular; sin embargo, como la recta de Sorgenfrey no es segundo numberable, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ tampoco lo es; de donde, $(\mathbb{R},\sigma)\times(\mathbb{R},\tau)$ no es metrizable.
   
   8(c). Afirmamos que $(\mathbb{R},\tau)$ es segundo numerable. Se tiene que $$S:=\{[q,r)\mid q,r\in\mathbb{Q}\}$$ es una base para $\tau$. En efecto, dado $[q,b)$ básico de $\tau$, $[q,b)$ se puede escribir como unión de elementos de $S$.
        Ahora, $(\mathbb{R},\tau)$ es regular, así que como $(\mathbb{R},\tau)$ es regular y segundo numerable, es metrizable; de donde, $(\mathbb{R},\tau)\times(\mathbb{R},\tau)$ también.

Extender endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$

Leyendo sobre redes, de manera inesperada llegué al artículo Relational algebras, el cual me pareció muy interesante, pues en él se demuestran varios resultados con tal atributo. El primero que me gustó es el siguiente.
     Hay un funtor $L:\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$, el cual extiende los endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$, donde $\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$ es la categoría cuyos objetos son los funtores oplaxos $F:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ y cuyas flechas son las transformaciones laxas entre estos. Enseguida hago un recuento detallado del asunto.

Observación 1. Toda relación $r:X\rightarrow Y$ se puede factorizar como $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>dr^\circ >> G_r @>cr >> Y, \end{CD}$$ donde $G_r$ es la gráfica de $r$, $dr:=p_X\mid_{G_r}$ y $cr:=p_Y\mid_{G_r}$, con $p_X$ y $p_Y$ las proyecciones del producto $X\times Y$. Lo que hace $(-)^\circ$ es darnos la relación recíproca.

Definición. Decimos que una relación $r:X\rightarrow Y$ es epi, mono, está definida en todas partes o es una función parcial si $cr$ es epi, $cr$ es mono, $dr$ es epi o $dr$ es mono, respectivamente.

Observación 2. El siguiente diagrama de funciones conmuta $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} X @>v>> Y\\ @VuVV @VVgV\\ Z @>>f> A, \end{CD} \end{equation}$$ si y sólo si $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$; en efecto, se tiene que $$u\cdot v^\circ=\{(vx,ux)\in Y\times Z\mid x\in X\}$$ y $$f^\circ\cdot g=\{(y,z)\in Y\times Z\mid gy=fz\}.$$ Nótese que $g^\circ\cdot f$ es la retrotracción (pullback) en $\mathbf{Con}$ de $f$ y $g$.
     Tenemos que (1) es una retrotracción débil si y sólo si $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. En efecto, supóngase que (1) es retrotracción débil; entonces, $\exists\, s:g^\circ\cdot f\rightarrow X$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< p_Z << g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @| @VVsV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y \end{CD}$$ conmuta, donde $p_Z:g^\circ\cdot f\rightarrow Z$ y $p_Y:g^\circ\cdot f\rightarrow Y$ son las proyecciones de la retrotracción $\mathrm{Rt}(f,g)=g^\circ\cdot f$ de $f$ y $g$: $$\require{AMScd} \begin{CD} g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @Vp_ZVV @VVgV\\ Z @>>f> A. \end{CD}$$ Por otro lado, $\exists!\,t:X\rightarrow g^\circ\cdot f$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< u << X @>v>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< p_Z < g^\circ\cdot f @>>p_Y> Y \end{CD}$$ conmuta. Por la propiedad universal de $g^\circ\cdot f$, se tiene que $ts=1$; de donde, $t$ es epi. De aquí, $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$.
     Recíprocamente, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Sea $$\require{AMScd} \begin{CD} B @>s>> Y\\ @VrVV @VVgV\\ Z @>>f> A \end{CD}$$ un diagrama conmutativo en $\mathbf{Con}$ y sea $b\in B$; entonces, como $r\cdot s^\circ\subseteq f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ\;$, $\exists\,x_b\in X\;\;(sb,rb)=(vx_b,ux_b)$. Defínase entonces $t:B\rightarrow X$ como $tb:=x_b$ para todo $b\in B$. Claramente, $t$ hace conmutar el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< r << B @>s>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y. \end{CD}$$ Proposición 1. Para toda relación $r:X\rightarrow Y$

1. $r$ es epi $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\supseteq \Delta_Y,$
2. $r$ es mono $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\subseteq \Delta_X,$
3. $r$ está definida en todas partes $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X,$
4. $r$ es función parcial $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y,$
5. $r$ es función $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X\;$ y $\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y$.

Observación 3. $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2: sus homoconjuntos $\mathbf{Rel}(X,Y)$ están parcialmente ordenados, y la composición es compatible con el orden; es decir, si $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'AA{\leq} @AAs'A\\ Y @= Y\\ @ArAA{\leq} @AAsA\\ X @= X \end{CD}$$ entonces $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'\cdot rAA{\leq} @AAs'\cdot sA\\ X @= X \end{CD}$$ (aquí estoy escribiendo verticalmente la composición horizontal de celdas 2). Tal compatibilidad nos dice cómo definir la composición horizontal de celdas 2. Es claro que tal composición es asociativa y funtorial.

Observación 4. Si se tiene el diagrama de funciones $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} A @>u>> Y\\ @VvVV @AAgA\\ X @<< f < Z \end{CD} \end{equation}$$ entonces $g\cdot f^\circ\subseteq u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;\exists\,h:Z\rightarrow A\;\;$ el diagrama (2) conmuta. Simplemente notemos que $$g\cdot f^\circ=\{(fz,gz)\in X\times Y\mid z\in Z\}$$ y que $$u\cdot v^\circ=\{(va,ua)\in X\times Y\mid a\in A\}.$$ Es claro que $g\cdot f^\circ=u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;$ $h$ es epi.

Proposición 2. Dados $X\in\mathbf{Con}$, $T:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ funtor y $\alpha:T\Rightarrow S:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ transformación natural, defínase $LTX:=TX$, $LT:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ como $LTr:=Tg\cdot Tf^\circ$, donde $r=g\cdot f^\circ$ es una factorización en funciones de $r$, y $L\alpha:=\alpha$. Entonces $LT$ es un funtor oplaxo y $L$ es un funtor $\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$.

Demostración. Notemos que $LT(r^\circ)=(LTr)^\circ$, así que denotemos a cualquiera de estos dos como $LTr^\circ$.
     Demostremos primero que $LT$ está bien definido. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación y $u\cdot v^\circ=r$ otra factorización en funciones de $r$; entonces, $u\cdot v^\circ=cr\cdot dr^\circ$; de la Observación 4 y del hecho de que $T$ preserva epis (pues todo epi en $\mathbf{Con}$ es epi escindido), $Tu\cdot Tv^\circ=Tcr\cdot Tdr^\circ$.
     Ahora, que $LT$ sea oplaxo significa que dados $X\in\mathbf{Con}$ y $r,s$ relaciones, $LT\Delta_X\subseteq\Delta_{LTX}$, $r\subseteq s\Rightarrow LTr\subseteq LTs$ y $LT(s\cdot r)\subseteq LTs\cdot LTr$.
     Sea $X\in\mathbf{Con}$; entonces $\Delta_X=1_X\cdot 1_X^\circ$, así que, por la Observación 4, $$LT\Delta_X=1_{TX}\cdot 1_{TX}^\circ=\Delta_{TX}=\Delta_{LTX}.$$      Sean $r,s:X\rightarrow Y$ relaciones y supóngase que $r\subseteq s$. Entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} X @< ds << G_s @>cs>> Y\\ @| @AAiA @|\\ X @<< dr < G_r @>>cr> Y, \end{CD}$$ donde $i$ es la inclusión. Si aplicamos $T$, obtenemos un diagrama conmutativo igual al anterior, salvo que aparece una $T$ delante de cada cosa; luego, por la Observación 4, $$LTr=Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ=LTs.$$      Sean $r,s$ relaciones tales que $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>r>> Y @>s>> Z; \end{CD}$$ entonces, $s\cdot r=cs\cdot ds^\circ\cdot cr\cdot dr^\circ$. Por la Observación 1, la relación $ds^\circ\cdot cr:G_r\rightarrow G_s$ se puede factorizar en funciones como $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$. De la observación 2, tenemos que el siguiente diagrama es una retrotracción débil: $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>q>> G_r\\ @VpVV @VVcrV\\ G_s @>>ds> Y; \end{CD}$$ así que al aplicar $T$ al diagrama anterior, funtor que quizá no preserva retrotracciones débiles, obtenemos, por lo menos, un diagrama conmutativo; luego, por la Observación 2, $Tp\cdot Tq^\circ\subseteq Tds^\circ\cdot Tcr$. Por otro lado, como $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2, $$Tcs\cdot Tp\cdot Tq^\circ\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ.$$ El lado izquierdo en la inclusión es $LT(s\cdot r)$ y el lado derecho es $LTs\cdot LTr$. (Que $Tcs\cdot Tp=T(cs\cdot p)$ considerando a $Tcs, Tp$ y $T(cs\cdot p)$ como relaciones, se sigue del hecho de que si $h=g\cdot f$ como funciones entonces $h=g\cdot f$ como relaciones).
     Finalmente veamos que $L\alpha$ es una transformación laxa $LT\Rightarrow LS$. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación. Entonces, de la naturalidad de $\alpha$, el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} TG_r @>Tdr>> TX\\ @V\alpha G_rVV @VV\alpha XV\\ SG_r @>>Sdr> SX \end{CD}$$ conmuta. Por la Observación 2, $\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Sdr^\circ\cdot\alpha X$; de aquí, como $\mathbf{Rel}$ es categoría 2, $$Scr\cdot\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X.$$ Como $\alpha Y\cdot Tcr=Scr\cdot\alpha G_r$ (por la naturalidad de $\alpha$), $$\alpha Y\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X;$$ es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} LTX @>L\alpha X>> LSX\\ @V LTr VV{\leq} @VV LSr V\\ LTY @>>L\alpha Y> LSY. \end{CD}$$      La funtorialidad de $L$ se sigue del hecho de que si $\beta:S\Rightarrow R:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ entonces $\beta\cdot\alpha(X)=\beta X\cdot\alpha X$ y de que $\mathbf{Rel}$ es categoría 2.

Observación 5. Sean $u,v,f,g$ funciones como en la Observación 2. Supóngase que el diagrama (1) conmuta y que $f$ es iso. Entonces, (1) es retrotracción débil si y sólo s $v$ es epi. En efecto, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Veamos que $v$ es epi. Sea $y\in Y$; entonces, $gy\in A$; luego, como $f$ es iso, $\exists !\, z\in Z\;\; gy=fz$; de aquí, $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; por lo tanto, como $f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ,\,$ $\exists\,x\in X\;\; vx=y,\,ux=z$. Luego, $v$ es epi.
     Recíprocamente, supóngase que $v$ es epi. Veamos que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Basta mostrar que $f^\circ\cdot g\subseteq u\cdot v^\circ$. Sea $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; luego, $gy=fz$. Por otro lado, como $v$ es sobre, $\exists\,x\in X\;\;y=vx$. Finalmente, veamos que $ux=z$. Ya se tiene que $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$, así que $(vx,ux)\in f^\circ\cdot g$; de donde, $$fux=gvx=gy=fz,$$ pero $f$ es mono; luego, $z=ux$.

Corolario. Sean $T\in\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})$ y $X\overset{r}{\rightarrow}Y\overset{s}{\rightarrow}Z$ realciones. Si $s$ es función o $r$ es bimorfismo (epi y mono), entonces $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.

Demostración. Si $s$ es función, entonces, por la Proposición 1, $ds$ es iso, y si $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$ como en la proposición anterior, entonces $q$ es epi, por la observación anterior. Como $T$ preserva epis e isos, $Tds$ es iso y $Tq$ es epi. Por otro lado, $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>Tq>> \bullet\\ @VTpVV @VVTcrV\\ \bullet @>>Tds> \bullet \end{CD}$$ conmuta; luego, por la observación anterior, $Tds^\circ\cdot Tcr=Tp\cdot Tq^\circ$, así que $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
     Si $r$ es bimorfismo, $cr$ es iso.

Un problema, una pregunta sin respuesta y rarezas de las redes

En el libro Elementary topology de Michael C. Gemignani, aparece un problema que me dejó pensando si hay algo que no estoy entendiendo o si Gemignani tergiversó algún resultado. El problema dice lo siguiente.

Suppose $X, D$ is a metric space and $\{s_i\},i\in I$, is a net in $X$.

1. Suppose $s_i\rightarrow x$. Prove that a subsequence of $\{s_i\}, i\in I$, converges to $x$.
2. Prove that if every subsequence of $\{s_i\}$ converges to $x$, then $s_i\rightarrow x$.
3. Prove a and b when it is merely assumed that $X,\tau$ is a first countable space.

El problema me desconcierta porque, dado un espacio topológico $(X,\sigma)$, siempre podemos encontrar una red¹ en $X$ sin subsucesiones; más aún, en $\mathbb{R}$ con su topología usual, podemos encontrar una red $\{r_i\}$ sin subsucesiones no convergente; de donde, podemos encontrar, en un métrico, una red no convergente de la cual toda subsucesión converge a un punto $m\in M$, por vacuidad.
     Demuestro mi primera afirmación. Sea $(Y,\tau)$ el espacio topológico con $Y:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ y $\tau$ la topología cuyos básicos son los $$U(f,F,p):=\{h\in Y\mid \forall\,x\in F\, |hx-fx|< p\},$$ donde $f\in Y$, $F$ es subconjunto finito de $\mathbb{R}$ y $p\in\mathbb{R}^+$. Dado $f\in Y$, $$T(Y,f):=\{V\in\tau\mid f\in V\}$$ es un conjunto dirigido con el orden $\leq$ dado por $U\leq V$ si y sólo si $V\subseteq U$. Tenemos que toda red $s:T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow X$ no tiene subsucesiones. En efecto, supóngase que $s\circ k$ es subsucesión de $s$; es decir, supongamos que $\forall\, U\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\,\exists\,n\in\mathbb{N}\;\; k_n\subseteq U$. Sea $p\in\mathbb{R}^+$; entonces, $\forall\,x\in\mathbb{R}\,\exists\,m_x\in\mathbb{N}\;\;k_{m_x}\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Esto nos da una función $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ dada por $\alpha x:=m_x$. Tenemos que $$\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\alpha^{-1}n;$$ de aquí, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;|\alpha^{-1}r|=|\mathbb{R}|$; es decir, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;k_r\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$ para todo $x\in\alpha^{-1}r=:S$, con $|S|=|\mathbb{R}|$. Luego, $k_r\subseteq\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Por otro lado, como $k_r\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\subseteq\tau\;$ y $\forall\,n\in\mathbb{N}\;\;k_n\neq\{\mathrm{conts}\,0\}$ (porque $\{\mathrm{conts}\,0\}$ no es abierto), dado $f\in k_r\setminus\{\mathrm{const}\,0\}$, $\exists\,F\subseteq\mathbb{R}$ finito y $\exists\,q\in\mathbb{R}^+\;\;U(f,F,q)\subseteq k_r$. Defínase $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$hx:=\begin{cases} fx+\frac{q}{2}&\text{ si $x\in F$},\\ p+1&\text{ si $x\notin F$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(f,F,q)$ pero $h\notin\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)\;$!! Luego, $s$ no tiene subsucesiones.
     Así que toda subsucesión de $s$ satisface cualquier propiedad, puesto que un condicional es falso si y sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente falso; en otras palabras, $\forall\,r\;\;(r\text{ es subsucesión de }s\Rightarrow Pr)$ es siempre verdadera, pues el predicado “subsucesión de $s$” corresponde a un conjunto vacío. Como cuando uno considera un espacio con más de un punto que tiene la topología trivial; dicho espacio es $\mathrm{T}_4$ porque no tiene subconjuntos cerrados no vacíos distintos de él mismo.
     Demuestro mi segunda afirmación. Definamos $s'':L\rightarrow\mathbb{R}$, donde $$L:=\{U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)\mid n\in\mathbb{N}\},$$ como $s''U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1):=(-1)^n\,$ y $s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow L$ como $$s'V:=\begin{cases} U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)&\text{si $V=U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)$},\\ U(\mathrm{const}\,0,\{0\},1)&\text{si $V\notin L$}. \end{cases}$$ Entonces, $s:=s''\circ s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow\mathbb{R}$ no converge y tiene como punto límite a 1 pero no a -1; sin embargo, toda subsucesión de $s$ converge a 1 (o a cualquier otro real).
     Tratando de encontrar un resultado en el cual podría estar pensando Gemignani, hallé lo siguiente (en el Introduction to General Topology de K. D. Joshi): un espacio con una sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen, y que si $X$ es un espacio primero numerable y $\{x_n\}$ es una sucesión en $X$ con punto límite $x$ entonces existe una subsucesión de $\{x_n\}$ que converge a $x$.
     El espacio de la sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen es el siguiente. Consideremos a $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$; dado $k\in\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{N}\times\{k\}$ lo llamaremos el $k$-ésimo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Sea $\infty$ un símbolo que no está en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (por alguna razón poco misteriosa me estoy acordando de lo poco que leí sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con átomos; ZFA le llaman). Sean $Z:=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\cup\{\infty\}$, $S_1:=\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ y $S_2$ el conjunto de los $A\subseteq Z$ tales que $\infty\in A$ y $A$ contiene casi todos los puntos en casi todos los renglones; es decir, $\forall^\infty\,k\in\mathbb{N}\,\forall^\infty\,n\in\mathbb{N}\;\;(n,k)\in A$, (donde ‘$\forall^\infty$’ simboliza “para casi todo” significando “ para todo salvo un número finito”); dicho de otra manera, dado $A\in S_2$, existe un número finito de renglones $\mathbb{N}\times\{k\}$ de los cuales hay un número infinito de puntos de cada renglón $\mathbb{N}\times\{k\}$ que no contiene $A$, y para el resto de los renglones hay a lo más un número finito de puntos de cada uno de estos renglones que no contiene $A$ (no sé cómo podría poner esto con cuantificadores; por cierto, el dual de ‘$\forall^\infty$’ es ‘$\exists^\infty$’ “existe una cantidad infinita tal que”). Sea $\sigma:=S_1\cup S_2$; $\sigma$ es una topología sobre $Z$.
     Veamos que ninguna sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ puede converger a $\infty$. Sea $\{x_n\}$ una sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tal que $x_n\rightarrow\infty$, así que $\forall\,A\in T(Z,\infty)\exists\,n\in\mathbb{N}\,\forall\,m\in\mathbb{N}\;\;(n\leq m\Rightarrow x_m\in A)$. De aquí, no puede ser que haya un renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que contenga una cantidad infinita de términos de $\{x_n\}$, pues si así fuera, podríamos obtener un $A\in T(Z,\infty)$ tal que $x_n\notin A$ para una infinidad de términos de $\{x_n\}$. Así que todo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tiene a lo más un número finito de términos de $\{x_n\}$. Si quitamos de cada renglón esos términos de $\{x_n\}$, obtenemos un abierto $B\in T(Z,\infty)$ que no contiene a ningún término de $\{x_n\}$ !! Así que una sucesión converge a un punto en $(Z,\sigma)$ si y sólo si es eventualmente constante.
     Ahora, sea $z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ una biyección. Entonces, $\infty$ es punto límite de $\{z_n\}$; es decir, $\forall\, A\in T(Z,\infty)\,\forall\,n\in\mathbb{N}\,\exists\,m\in\mathbb{N}\;\;m\geq n\;\text{y}\;x_m\in A$. En efecto, dado $n\in\mathbb{N}$ y dado $A\in T(Z,\infty)$, no puede ser que $\forall\,m\geq n\;\;x_m\notin A$, puesto que $z(\mathbb{N})=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, así que debe existir un $m\geq n$ tal que $x_m\in A$. Ninguna subsucesión de $\{z_n\}$ converge a $\infty$.
     Quizá Gemignani estaba pensando en el segundo resultado que encontré (el cual es fácil de demostrar): ocurre en los métricos, pues son primero numebrales. No lo sé.

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1. Una red $\{s_i\}_{i\in I}$ en un espacio $(X,\sigma)$ es una función $s:I\rightarrow X$ cuyo dominio $I$ es un conjunto dirigido.
     Sea $J$ un conjunto dirigido y $k:J\rightarrow I$ una función tal que

1. $k$ es monótona,
2. $\forall\,i\in I\,\exists\,j\in J\;\;i\leq k(j)$.

Se dice que la composición $s\circ k:J\rightarrow X$ es una subred de $s$. En particular, si $J=\mathbb{N}$, se dice que $s\circ k$ es una subsucesión de $s$.↩

$\pi$ el oráculo

Ayer fue Día de $\pi$, así que me encontré en la red con comentarios e imágenes aludiendo a $\pi$. Me topé con un texto cuyos decires ya he oído o leído antes:

Pi is an infinite nonrepeating decimal —meaning that every possible number combination exists somewhere in pi. Converted into ASCII text, somewhere in that infinite string of digits is the name of every person you will ever love, the date, time, and manner of your death, and the answers to all the great questions of the universe. Converted into a bitmap, somewhere in that infinite string of digits is a pixel-perfect represantion of the first thing you saw on this earth, the last thing you will see before your life leaves you, and all the moments, momentous and mundane that will occur between those two points. All information that has ever existed or will ever exist, the DNA of every being in the universe...

Me pareció, y me ha parecido, extraño que se le atribuya a $\pi$ la propiedad de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo por el solo hecho de tener una expansión decimal infinita aperiódica. Primero, porque todo número irracional tiene una expansión decimal infinita aperiódica, y segundo, porque, de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo, $\pi$, y cualquier otro irracional, sería un oráculo. Le compartí tal extrañeza a un cuate de la prepa y la secundaria, y este me contestó: “Tienes razón, pero entonces ¿no será que todo número irracional contiene toda esa información? Supongo que a lo más se puede decir ‘no sabemos’ ”.
     Yo creo que ningún irracional contiene toda esa información. (1) En principio, no contienen ninguna información sobre el mundo, el universo: los números por sí solos (ni cualquier otro objeto matemático) no se refieren a nada en el mundo, no tienen referentes fácticos; por otro lado, no hay una función inyectiva canónica de las letras del alfabeto a las cadenas finitas de dígitos de cualquier irracional. (2) A pesar de (1), supongamos que ya establecimos una función inyectiva de las letras a las cadenas finitas de dígitos de un irracional, como la del código ASCII; entonces, nos faltaría determinar si las proposiciones contenidas en $\pi$, o cualquier otro irracional de nuestra elección, son verdaderas o no, y para eso habría que contrastarlas con la realidad; por otro lado, para que una proposición sea información (acerca de la realidad), pienso, tiene que ya estar constrastada y ser verdadera; mientras no esté constrastada o no sea verdadera, no puede ser información: si voy a un puesto de información, no espero que lo que me digan sean enunciados falsos o de los cuales no se sabe si son ciertos o no: la información falsa no es información (es desinformación), como tampoco las proposiciones sin contrastar (si soy un turista al que le dan información sobre un paraje turístico y a mí me toca averiguar, quizá sin saberlo, si lo que me dicen es cierto o no, entonces lo que me dieron no es información).
     Ahora, considerando sólo el aspecto matemático, de la aperiodicidad y la infinitud de la expansión decimal de un irracional no se sigue que toda combinación de números aparezca en su expansión decimal. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los irracionales que no tengan en su expansión decimal al 1 y al 7. Dicho conjunto es no vacío: si pensamos en el conjunto $T$ de las funciones que van del conjunto de los naturales al $\{0,2,3,4,5,6,8,9\}$ , tal conjunto $T$ tiene cardinalidad $\aleph_1$. Al quitarle a $T$ las sucesiones periódicas, seguimos teniendo un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$.
     El texto al que hago referencia, además, me hizo recordar que en Math.Stackexchange alguien preguntó: “Does Pi contain all possible number combination?”.

Chauve-souris

     Après de longues études durant des années, j'ai enfin compris les cris des chauve-souris: elles veulent de retour leur humanité. Lorsque tombe la nuit, elles commencent leurs chants aigûment angoissants parlant d'une sorcière et son maléfice pour chauve-sourettre les humains.

Las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$

$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}$
Comencemos esta exposición considerando el caso más general que elevar a la $A$ con $A$ un conjunto.

Hay un ejemplo clásico elemental (o toda una clase de ejemplos elementales) de 2-mónada. Tenemos que toda categoría pequeña $C\in\Cat$ tiene estructura de comonoide con counidad el único funtor $!_C:C\rightarrow\uno$ de $C$ a la categoría con un solo objeto y una sola flecha, y con comultiplicación el funtor diagonal $\delta_C:C\rightarrow C\times C$; es decir, los siguientes diagramas conmutan: \begin{equation}\label{counitcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[d]_\lambda\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^{\delta_C}\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^\varrho\\ \uno\times C & C\times C\ar[r]_{1\times !_C}\ar[l]^(.45){!_C\times 1} & C\times\uno }\end{xy} \end{equation} y \begin{equation}\label{comultcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[r]^{\delta_C}\ar[d]_{\delta_C} & C\times C\ar[d]^{\delta_C\times 1}\\ C\times C\ar[r]_(.4){1\times\delta_C} & C\times C\times C. }\end{xy} \end{equation} Del diagrama \eqref{comultcat}, tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ (((-)^C)^C)^C\ar[rr]^(.55){(-)^C(-)^{\delta_C}}\ar[d]_{(-)^{\delta_C}(-)^C} & & ((-)^C)^C\ar[d]^{(-)^{\delta_C}}\\ ((-)^C)^C\ar[rr]_{(-)^{\delta_C}} & & (-)^C }\end{xy}$$ conmuta. Del diagrama \eqref{counitcat}, $$\begin{xy}\xymatrix{ (-)^C\ar[rr]^{(-)^C(-)^{!_C}}\ar[drr]_{1_{(-)^C}} & & ((-)^C)^C\ar[d]^(.45){(-)^{\delta_C}} & & (-)^C\ar[ll]_(.45){(-)^{!_C}(-)^C}\ar[dll]^{1_{(-)^C}}\\ & & (-)^C & & }\end{xy}$$ conmuta. Además, $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ son transformaciones 2-naturales. Que $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ sean transformaciones 2-naturales se sigue del hecho de que $\Cat$ es cerrada cartesiana; más precisamente, de que tiene exponenciales; es decir, se tiene un isomorfismo $$\begin{xy}\xymatrix{\Cat(A\times B,D)\ar@{}|{\cong}[r]^{\overset{\quad\varphi^{-1}}{}} & \Cat(A,D^B),}\end{xy}$$ natural en $A$ y en $D$. En particular, como los $\varphi^{-1}_D$ son funtores para cada $D\in\Cat$, dada una transformación natural $\gamma:H\Rightarrow H':A\rightarrow D^B$ y un funtor $G:D\rightarrow D'$, $$G\circ\widehat{H}=\widehat{G^B\circ H}\quad\text{y}\quad G\circ \widehat{\gamma}=\widehat{G^B\circ\gamma}.$$ De la primera igualdad se seguiría la naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ y de la segunda, la 2-naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$.
     Por lo tanto, $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$ es una 2-mónada.

Volvamos entonces a lo que nos interesa: las álgebras de $(-)^A$. En un chat, Omar Antolín me preguntó cuáles eran las álgebras de la mónada $(-)^A:\con\rightarrow\con$; a él mismo se le ocurrió la solución. Me dijo lo siguiente:

Las álgebras para $(-)^A$ en la categoría de conjuntos son todas de la forma $X=\prod_{a\in A}X_a$ con la estructura de álgebra $X^A\rightarrow X$ dada por restricción a la diagonal (si todos los conjuntos $X_a$ son iguales a $Y$, esta $X$ es el álgebra libre generada por $Y$). Para probarlo, básicamente hay que saber cómo identificar, dada un álgebra $X$, qué es $X_a$. Esto se hace así: define que dos elementos $p,q\in X$ son $a$-equivalentes si hay alguna función $f:A\rightarrow X$ tal que $f(a)=p$ y que la estructura de álgebra de $X$ mande a $f$ en $q$. Es fácil ver que esto es una relación de equivalencia, y que si defines $X_a$ como el conjunto de clases de equivalencia, la función canónica $X\rightarrow\prod_{a\in A}X_a$ es un isomorfismo de álgebras.

     Antes de ver cómo se le pudo haber ocurrido la solución, veamos la siguiente adjunción.
     Sea $A\in\con$ no vacío. Definamos el funtor $A^\ast:\con\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con\ar[r]^(.45){A^\ast} &\con/A}\end{xy}\qquad\quad\;$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & X\times A\ar[r]^(.6){\pi_A^X}\ar[d]^{f\times A} & A\ar@{.>}[d]_1\\ Y\ar@{|->}[r] & Y\times A\ar[r]_(.6){\pi_A^Y} & A }\end{xy}$$ y el funtor producto dependiente $\prod_A:\con/A\rightarrow\con$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^(.55){\prod_A} & \con}\end{xy}\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{.>}[d]_1\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A} g^{-1}a\ar[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A}h^{-1}a, }\end{xy}$$ donde $$\prod_A f:=\begin{cases} f_\ast|_{\prod_A g} &\text{si $\prod_A g\neq\emptyset$,}\\ !_{\prod_A h} &\text{si $\prod_A g=\emptyset$,} \end{cases}$$ con $f_\ast=\con(A,f)$ y $!_{\prod_A h}$ la única flecha $\emptyset\rightarrow\prod_A h$. Este funtor está bien definido, pues si $g$ es suprayectiva, $h$ también. (Notemos que todo $s\in\prod_A g\neq\emptyset$ es sección de $g$, es decir, $g\circ s=1_A$).
     Afirmamos que $A^\ast\dashv\prod_A:\con/A\rightarrow\con$. En efecto, dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, se tiene el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\times A\ar[dr]_{\pi_A^{\prod_A g}}\ar[rr]^(.55){ev_g} & & X\ar[dl]^g\\ & A, & }\end{xy}$$ donde $ev_g:\prod_A g\times A\rightarrow X$ claramente está definida como $ev_g(s,a):=sa$ para todo $a\in A$ si $\prod_A g\neq\emptyset$; si $\prod_A g=\emptyset$, es claro qué flecha es $ev_g$. Así que $$ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$$ en $\con/A$. Veamos que $ev_g$ es flecha universal del funtor $A^\ast$ a $g$. Sea $k:A^\ast Z\rightarrow g$: $$\begin{xy}\xymatrix{ Z\times A\ar[dr]_{\pi_A^Z}\ar[rr]^k & & X\ar[dl]^g\\ & A & }\end{xy}$$ y consideremos la correstricción de la transpuesta de $k:Z\times A\rightarrow X$ a $\prod_A g$; denotémosla $\hat{k}$, igual que a la transpuesta de $k$. (Notemos que si $g$ no es suprayectiva, como $\pi_A^Z$ siempre es suprayectiva si $Z\neq\emptyset$, entonces $Z=\emptyset$). Claramente, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ & A^\ast Z\ar[dl]_k\ar[d]^{A^\ast\hat{k}}\\ g & A^\ast\prod_A g\ar[l]^(.6){ev_g} }\end{xy}$$ y $\hat{k}$ es la única flecha $Z\rightarrow\prod_A g$ que hace conmutar el diagrama. Luego, $ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$ es universal para todo $g\in\con/A$; así que $A^\ast\dashv\prod_A$.
     Ahora, recordemos que, dada una categoría $C\in\Cat$, esta induce la mónada 2 $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$, y si $C=A$, una categoría discreta (un conjunto), como las celdas 2 de $\con$ son triviales, obtenemos la mónada $(-)^A\mid_{\con}:\con\rightarrow\con$.
     Caractericemos entonces las álgebras de $(-)^A:\con\rightarrow\con$: la solución se le pudo haber ocurrido de la siguiente manera. Notemos que si se tiene una familia de conjuntos $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por el conjunto $A$ donde cada $X_a\neq\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene una estructura canónica de $(-)^A$-álgebra; a saber, $$\begin{xy}\xymatrix{\left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){d_X} & \prod X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\; \begin{xy}\xymatrix{k \ar@{|->}[r] & \hat{k}\circ\delta_A;}\end{xy}$$ en efecto, los siguientes diagramas conmutan: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a \ar[rr]^{(\prod X_a)^{!_A}}\ar[drr]_{1_{\prod X_a}} & & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ & & \prod X_a, }\end{xy}$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\left(\prod X_a\right)^A\right)^A \ar[r]^(.6){{d_X}^A}\ar[d]_{\left(\prod X_a\right)^{\delta_A}} & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ \left(\prod X_a\right)^A\ar[r]_(.53){d_X} & \prod X_a. }\end{xy}$$ Más aún, las proyecciones son morfismos de $(-)^A$-álgebras, con $$\begin{xy}\xymatrix{(X_a)^A\ar[r]^(.6){ev_a} & X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\begin{xy}\xymatrix{f \ar@{|->}[r] & fa}\end{xy}$$ la estructura de $(-)^A$-álgebra sobre cada $X_a$. Es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){{p_a}^A}\ar[d]_{d_X} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ \prod X_a \ar[r]_{p_a} & X_a }\end{xy}$$ conmuta, y $$\begin{xy}\xymatrix{ X_a \ar[r]^(.47){(X_a)^{!_A}}\ar[dr]_{1_{X_a}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a} & ((X_a)^A)^A \ar[r]^(.55){{ev_a}^A}\ar[d]_{(X_a)^{\delta_A}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ & X_a & (X_a)^A \ar[r]_{ev_a} & X_a }\end{xy}$$ también. (Si algún $X_a=\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene como estructura de $(-)^A$-álgebra el álgebra vacía). Así que si $X\neq\emptyset$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra $\alpha:X^A\rightarrow X$, $X$ es el producto de los $X_a$ de una familia $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por $A$ y $p_{\sim_a}:X\rightarrow X_a$ es la proyección que determina a $X_a$, entonces $p_{\sim_a}$ debe satisfacer la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A \ar[r]^{{p_{\sim_a}}^A}\ar[d]_{\alpha} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ X \ar[r]_{p_{\sim_a}} & X_a; }\end{xy}$$ es decir, si $f\in X^A$, $\alpha(f)\sim_a fa$. Así que $X_a$ es el cociente de $X$ entre la relación de equivalencia más pequeña $\sim_a$ que identifica a $\alpha(f)$ y a $fa$. De hecho, la relación sobre $X$, para cada $a\in A$, dada por “$p,q\in X$ están relacionados si $\exists\,f:A\rightarrow X\; fa=p$ y $\alpha f=q$” es de equivalencia (denotemos a esta relación igualmente por $\sim_a$, después de todo son iguales). Reflexividad: sea $p\in X$; la función constante $\Delta_p:A\rightarrow X$ que manda todo $b\in A$ a $p$ cumple que $\Delta_p a=p$ y $\alpha\Delta_p=p$; esta última igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X. }\end{xy}$$ Luego, $p\sim_a p$.
     Simetría. Sean $p,q\in X$ tales que existe una función $f:A\rightarrow X$ tal que $fa=p$ y $\alpha f=q$. Defínase $\varphi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\varphi(b):=\begin{cases} f &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_p &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $g:A\rightarrow X$ como $gb:=\alpha(\varphi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $\alpha g=p$ y $ga=q$; la primera igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ X^A\ar[r]_\alpha & X. }\end{xy}$$      Transitividad. Sean $p,q,r\in X$ tales que $p\sim_a q$ y $q\sim_a r$; es decir, $\exists\, f:A\rightarrow X\;fa=p$ y $\alpha f=q$ y $\exists\,g:A\rightarrow X\;ga=q$ y $\alpha g=r$. Por simetría, demostrada previamente, $\exists\,f':A\rightarrow X\;f'a=q$ y $\alpha f'=p$. Defínase $\psi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\psi(b):=\begin{cases} f' &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_{gb} &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $h:A\rightarrow X$ como $hb:=\alpha(\psi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $ha=p$ y $\alpha h=r$.
     Afirmamos que la asignación anterior (la que, dada una $(-)^A$-álgebra $(X,\alpha)$, nos da la familia $\{X_a\}$ indexada por $A$ a través de las relaciones $\sim_a$ para cada $a\in A$) es funtorial: definamos $S:\con^{(-)^A}\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con^{(-)^A}\ar[r]^S & \con/A}\end{xy}\qquad\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & \coprod X_a\ar[d]_{\coprod f/\sim_a}\ar[r]^(.55){g_X} & A\ar@{.>}[d]_1\\ (Y,\beta)\ar@{|->}[r] & \coprod Y_a\ar[r]_(.55){g_Y} & A }\end{xy}$$ si $(X,\alpha)$ no es la $(-)^A$-álgebra vacía, donde $g_X$ está definida como $g_X x:= a$ si $x\in X_a$, y de manera similar $g_Y$ (de hecho, una familia indexada por $A$ nos da una $g\in\con/A$ definida de igual manera y una $g\in\con/A$ nos da una familida indexada por $A$), y donde $f/\sim_a$ y $\coprod f/\sim_a$ quedan definidas por el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[d]_f\ar[r]^{p_{\sim_a^X}} & X_a\ar@{-->}[d]^{f/\sim_a}\ar[r]^{i_a^X} &\coprod X_a\ar@{-->}[d]^{\coprod f/\sim_a}\\ Y\ar[r]_{p_{\sim_a^Y}} & Y_a\ar[r]_{i_a^Y} &\coprod Y_a }\end{xy}$$ La $f/\sim_a$ existe por la conmutatividad del siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^{f^A}\ar[d]_\alpha & Y^A\ar[d]^\beta & g\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & f\circ g\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_f & Y & \alpha g\ar@{|->}[r] & f(\alpha g)=\beta(f\circ g); }\end{xy}$$ es decir, $f(\alpha g)\sim_a^Y fga$, y $\alpha g\sim_a^X ga$; en otras palabras, $\ker p_{\sim_a^X}\subseteq\ker(p_{\sim_a^Y}f)$. Si $(X,\alpha)$ es el álgebra vacía, entonces $S(X,\alpha):=!_A$ y $Sf:=!_Y$.
     Ahora, definamos $\prod_A:\con/A\rightarrow\con^{(-)^A}$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^{\prod_A} & \con^{(-)^A}}\end{xy}\qquad\qquad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{|->}[r]\ar@{.>}[d]_1 & (\prod_A g,d_g:(\prod_A g)^A\rightarrow\prod_A g)\ar@<-8ex>[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & (\prod_A h,d_h:(\prod_A h)^A\rightarrow\prod_A h) }\end{xy}$$ donde $\prod_A f$ es la misma función que aparece en la definición del adjunto derecho de $A^\ast$ (más adelante veremos por qué utilizamos el mismo nombre), y $d_g$ y $d_h$ son la estructura canónica de $(-)^A$-álgebra para una familia indexada. En efecto $\prod_A f$ es morfismo de $(-)^A$-álgebras: considérese el ejemplo clásico elemental de 2-mónada del principio; es decir, $\widehat{f^A\circ k}=f\circ\hat{k}$, donde $k\in(\prod_A g)^A$.
     Veamos que $S\dashv\prod_A$. Sea $(X,\alpha)\in\con^{(-)^A}$; entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ & X\ar[dl]_{p_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]^{(p_{\sim_a})}\\ X_a & \prod X_a\ar[l]^{p_a} }\end{xy}$$ Tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X}\\ X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a }\end{xy}$$ conmuta, pues $p_{\sim_a}(\alpha f)=p_{\sim_a}(fa)$ para todo $f\in X^A$ y para todo $a\in A$. Es decir, se tiene el morfismo de $(-)^A$-álgebras $$\begin{xy}\xymatrix{(X,\alpha)\ar[r]^(.4){(p_{\sim_a})} & \prod_AS(X,\alpha).}\end{xy}$$ Afirmamos que $(p_{\sim_a})$ es una biyección $X\rightarrow\prod X_a$; más aún, es un isomorfismo en $\con^{(-)^A}$. En efecto, sea $([q_a])\in\prod X_a$. Defínase $f:A\rightarrow X$ como $fa:=q_a$ para todo $a\in A$. Sea $p':=\alpha f$; entonces, $p'\sim_a q_a$ para todo $a\in A$. Luego, $(p_{\sim_a})$ es suprayectiva. Veamos que es inyectiva: sean $p,q\in X$ tales que $p_{\sim_a}p=p_{\sim_a}q$ para todo $a\in A$; entonces, $\forall\,a\in A\,\exists\,\varphi_a:A\rightarrow X\; \varphi_a a=p$ y $\alpha(\varphi_a)=q$; $\varphi\in(X^A)^A$; luego, por la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha & (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X & X^A\ar[r]_\alpha & X, }\end{xy}$$ $p=\alpha(\hat{\varphi}\circ\delta_A)=\alpha(\alpha\circ\varphi)=q$, pues $\hat{\varphi}\circ\delta_A=\Delta_p$ y $\alpha\circ\varphi=\Delta_q$.
     Así que, como $(p_{\sim_a})$ es una biyección, un isomorfismo en $\con$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A} & & X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X} &\\ & & X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X; }\end{xy}$$ de aquí, $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A}\ar[d]_{d_X} & & X^A\ar[d]^\alpha\\ \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X }\end{xy}$$ conmuta.
     Renombremos a $(p_{\sim_a})$: denotémoslo como $\eta_{(X,\alpha)}$. Si $(X,\alpha)=(\emptyset,\emptyset)$, entonces definimos $\eta_{(X,\alpha)}:=1_\emptyset$. Afirmamos que $\eta_{(X,\alpha)}$ es flecha universal de $(X,\alpha)$ al funtor $\prod_A$. Sea $k:(X,\alpha)\rightarrow\prod_A h$ morfismo en $\con^{(-)^A}$ con $h:Y\rightarrow A$ (suprayectiva: si $X\neq\emptyset$, forzosamente $h$ es suprayectiva). Como $k$ es morfismo, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){k^A}\ar[d]_\alpha & (\prod_A h)^A\ar[d]^{d_Y} & f\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & k\circ f\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_(.4)k & \prod_A h & \alpha f\ar@{|->}[r] & k(\alpha f)=\widehat{k\circ f}\circ\delta_A; }\end{xy}$$ de aquí, si $\alpha f\sim_a fa$, entonces $k(\alpha f)a=k(fa)a$; así que $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker(q_a\circ k)$ para todo $a\in A$, donde los $q_a$ son las proyecciones $\prod_A h\rightarrow h^{-1}a$. Por lo tanto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[r]^(.45){i_a}\ar@{-->}[d]^{k_a} & \coprod X_a\ar[d]^{\coprod k_a}\ar[rr]^{g_X} & & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a\ar[r]_(.45){j_a} & \coprod h^{-1}a\ar@{}|(.6){=}[r] & Y\ar[r]_h & A. }\end{xy}$$ Como $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a\ar[dr]^{p_a}\ar[d]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}}\ar@/_4.7pc/[dd]_{\prod k_a} & \\ X\ar[r]_{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta, $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[r]^{(p_{\sim_a})}\ar[dr]_k & \prod X_a\ar[d]^{\prod k_a}\\ & \prod_a h }\end{xy}$$ también. Claramente, del diagrama anterior, si $s:S(X,\alpha)\rightarrow h$ es morfismo en $\con/A$ tal que $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[drr]_k\ar[rr]^(.45){(p_{\sim_a})} & & \prod_AS(X,\alpha)\ar[d]^{\prod_A s}\\ & & \prod_A h }\end{xy}$$ conmuta, entonces $s=\coprod k_a$. Si $X=\emptyset$, es claro quién tiene que ser el $k':S(X,\alpha)\rightarrow h$ que haga conmutar el diagrama anterior. Por lo tanto, $S\dashv\prod_A$.
     Afirmamos que la counidad de la adjunción $S\dashv\prod_A$ es un isomorfimo para los objetos $g:X\rightarrow A$ suprayectivos de $\con/A$.
     En efecto, sea $g:X\rightarrow A$ objeto suprayectivo de $\con/A$, y $G:=\prod_A g$. Veamos que $\ker p_a=\ker p_{\sim_a}$, donde $p_a:\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$ y $p_{\sim_a}:G\rightarrow G_a$, con $G_a=G/\sim_a$. Sean $s,t\in\prod_A g$ tales que $s\sim_a t$; entonces, $\exists f:A\rightarrow\prod_A g\quad fa=s$ y $d_Gf=\hat{f}\circ\delta_A=t$. (Notemos que $f:A\rightarrow\prod_A g\subseteq X^A$). De aquí, $sa=f(a)(a)=ta$. Luego, $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker p_a$. Recíprocamente, supóngase que $sa=ta$; defínase entonces $f:A\rightarrow\prod_A g$ como $$fb:=\begin{cases} s &\text{si $b=a$},\\ t &\text{si $b\neq a$}. \end{cases}$$ Claramente, $fa=s$ y $\hat{f}\circ\delta_A=t$; luego, $\ker p_a\subseteq\ker p_{\sim_a}$.
     Como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]^{i_a}\ar@{-->}[d]^{1_a^G} & \coprod G_a\ar[r]^{g_G}\ar[d]^{\coprod 1_a^G} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A; }\end{xy}$$ más aún, como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, $\forall\,a\in A$ $1_a^G$ es mono; de hecho, cada $1_a^G$ también es epi: considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod g^{-1}a\ar[r]^{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar@{-->}[d]\\ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar@{-->}[d]^{1_a^G}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a. }\end{xy}$$ Así que $\coprod 1_a^G:S\prod_A g\rightarrow g$ es un isomorfismo en $\con/A$.
     Dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, defínase $\epsilon_g:=\coprod 1_a^G$ si $g$ es suprayectivo y $\epsilon_g:=!_X$ si no. Veamos que $\epsilon$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$; hagámoslo mostrando que $\epsilon$ es universal de $S$ a $g$. Sea $k:S(Y,\beta)\rightarrow g$ en $\con/A$: $$\begin{xy}\xymatrix{ \coprod Y_a\ar[rr]^k\ar[dr]_{g_Y} & & X=\coprod g^{-1}a\ar[ld]^g\\ & A & }\end{xy}$$ conmuta. De la conmutatividad de este diagrama, tenemos que $kY_a\subseteq g^{-1}a$ para todo $a\in A$. De donde, $\forall\,a\in A\,\exists\;k_a:Y_a\rightarrow g^{-1}a$ funciones tales que $$\begin{xy}\xymatrix{ Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]_{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A }\end{xy}$$ conmuta. Luego, por la propiedad universal de $\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$, se sigue que $\exists!\, k':Y\rightarrow\prod g^{-1}a$ $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]_{k'} & Y_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta. Luego, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar[d]_{k'} & Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]^{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar[r]_{j_a}\ar[d]^{1_a^G} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g\ar[d]^{(\coprod 1_a^G)^{-1}} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A g\ar[r]_{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]_{i_a} & \coprod G_a\ar[r]_{g_G} & A; }\end{xy}$$ de donde, $Sk'=(\coprod 1_a^G)^{-1}\circ k$: $$\begin{xy}\xymatrix{ & \coprod Y_a\ar[ld]_k\ar[d]^{Sk'}\\ X & \coprod G_a\ar[l]^{\coprod 1_a^G} }\end{xy}$$ conmuta; es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ & S(Y,\beta)\ar[dl]_k\ar[d]^{Sk'}\\ g & S\prod_A g\ar[l]^{\epsilon_g} }\end{xy}$$ conmuta (para $g:X\rightarrow A$ suprayectivo). Para $g$ no suprayectivo, el único $k'$ es $!_{\prod_Ag}$. Luego, $\epsilon_g$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$, y $\epsilon_g$ es iso si $g$ es suprayectivo.
     Considerando todo lo anterior, se tiene el siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ \con/A\ar@<1ex>[r]^{\prod_A}\ar@<-1ex>[d]_{\prod_A} & \con^{(-)^A}\ar@<1ex>[d]^{G^{(-)^A}}\ar@<1ex>[l]^S\\ \con\ar@<-1ex>[u]_{A^\ast}\ar@{}|{=}[r] & \con\ar@<1ex>[u]^{F^{(-)^A}} }\end{xy}$$ cuyos adjuntos derechos conmutan. Ahora, si definimos $\con_\emptyset$ como la subcategoría plena de $\con$ cuyos objetos son los conjuntos no vacíos, $\con/A_s$ la subcategoría plena de $\con/A$ cuyos objetos son las funciones suprayectivas sobre $A$ y $\con^{(-)^A}_\emptyset$ la subcategoría plena de $\con^{(-)^A}$ cuyos objetos son las álgebras no vacías, tenemos que $\con/A_s$ es equivalente a $\con^{(-)^A}_\emptyset$ y un diagrama conmutativo (salvo isomorfismo) similar al anterior.
     Unos tres meses después de esa plática con Omar, me dijo: “el otro día vi que alguien preguntaba en Math.StackExchange por las álgebras de la mónada $(-)^A$ en la categoría de conjuntos. El que constestó (dando la caracterización que ya sabíamos) es Zhen Lin”, y me dio el enlace.

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Nota. Aquí dejo un pdf de esta entrada.

La ciencia adolescente

Corría por unas calles que crecían a través de todo el espacio frente a mí. Las personas corrían hacia todos lados, alarmadas, gritando, tropezando; algunas morían en la estampida con la boca sumamente abierta, en un grito ahogado, con una garganta roja, enrojecida por unos vasos sanguíneos congestionadísimos que, en ocasiones, estallaban en borbotones escarlata.
     Entre todo ese caos visual, corporal y humano, logré divisar un adolescente (o una) que permanecía quieto (o quieta), de pie, y asombrosamente intacto. Balbuceaba palabras que yo deseaba adivinar (por qué era intocable); quizá había un secreto científico en sus palabras, un secreto que mantenía el orden, la tensión, la cohesión, el determinismo (en su sentido más amplio).
     Miré sus manos, que prestidigitaban; sin embargo, no eran las manos de un mago; eran las manos de un ilusionista (un escéptico, por supuesto), un ateo.
     Sin darme cuenta, comencé a fijarme, atrancarme en mi cuerpo, perdía caoticidad: ganaba fijeza: calma pero no certidumbre... Calma pero no certidumbre... Calma

Operador frontera y operador exterior

Una topología se puede determinar mediante un operador interior o un operador cerradura. No sabía que también se puede hacer mediante un operador frontera o un operador exterior; lo que más me sorprende es que pueda hacerse mediante un operador frontera.
     Dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:

1. $\partial X=\emptyset$;
2. $\forall\, A\subseteq X\ \partial A=\partial A^c$;
3. $\forall\,A,B\subseteq X\ \partial(A\cup B)\subseteq \partial A\cup\partial B$;
4. para toda familia $\{A_i\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $X$, se tiene que $$\partial(\cap A_i)\subseteq\bigcup_{J\subseteq I,J\neq\emptyset}\cap_{j\in J}\partial A_j\bigcap\cap_{i\in I\setminus J}A_i.$$

Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A\cap\partial A=\emptyset$.
     Toda función $\partial:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.
     Ahora, dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:

1. $\mathrm{Ext} X=\emptyset,\, \mathrm{Ext}\emptyset=X$;
2. $\forall\, A,B\subseteq X\ A\subseteq B\Rightarrow\mathrm{Ext} B\subseteq\mathrm{Ext}A$;
3. $\forall\, A,B\subseteq X\ \mathrm{Ext}(A\cup B)=\mathrm{Ext}A\cap\mathrm{Ext}B$;
4. $\forall\, A\subseteq X\ \mathrm{Ext}A^c\subseteq A$.

Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A=\mathrm{Ext}A^c$.
     Toda función $\mathrm{Ext}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.

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Nota. Algunos días después de publicar la entrada, encontré en el Topology de Dugundji que él define un operador frontera de manera distinta a la que se me ocurrió. La de él es más sencilla.
     Sea $X$ un conjunto y sea $\mathrm{Fr}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ una función tal que

1. $\mathrm{Fr}\emptyset=\emptyset$;
2. $\mathrm{Fr}A=\mathrm{Fr} A^c$;
3. $\mathrm{FrFr}A\subseteq\mathrm{Fr}A$;
4. $A\cap B\cap\mathrm{Fr}(A\cap B)=A\cap B\cap(\mathrm{Fr}A\cup\mathrm{Fr}B)$.

Un subconjunto $A$ de $X$ se dice que es abierto si $A^c=A^c\cup\mathrm{Fr}A^c$

Teoría de categorías II

Aquí está el segundo capítulo junto con el primer capítulo corregido (pues tenía algunas partes cuya redacción dejaba que desear o partes que faltaban).
     Aparece ahora un nuevo apéndice sobre congruencias, el cual no está terminado todavía. Por cierto, el apéndice sobre universos de Grothendieck tampoco está terminado. Los apéndices poco a poco quedarán terminados.

Evolución

Soñaba que le nacían plumones negros, verdes y rojos sobre el lomo, agrupados en franjas verticales; que le salían plumas largas, blancas y de bordes negros en la cola, patas y brazos, a la vez que estos últimos se alargaban; que planeaba extendiendo ampliamente sus cuatro extremidades, como celebrando y abrazando la vida; que volaba de un árbol a otro bajo una trama de luces y sombras, acechando a su presa. Que volaba mucho centelleando iridiscencias.
     Cuando despertó, el dinosaurio todavía estaba allí.

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Nota. Hace un mes, más o menos, me preguntaron si podían traducir al francés “Nunca hubo milagro”, minificción que aparece en la antología Alebrije de palabras, para incluirla en Lecture d'ailleurs, un conjunto de antologías de distintos autores de países hispanohablantes. Dije que sí. También añadieron otras dos minificciones. Los tres microrrelatos aparecen en Lecture du Mexique en la página 341, si no me equivoco.
     También me invitaron a participar en Le livre d'or de Monsieur Dinosaure con una minificción que fuera una variación de “Dinosaurio” de Monterroso. Este fue el resultado.

Teoría de categorías I

Hay pocos o ningún texto en español en teoría de categorías, así que pensé en traducir el que más me gusta, Categories for the working mathematician. Quizá haya también otras razones para un libro en español, pero simplemente las obviaré.
     Aquí está el primer capítulo. La traducción tiene algunas adiciones: notas al pie, un apéndice y algunos ejercicios. Iré publicando los avances cada que termine un capítulo, así que el libro completo me llevará un año entero, más o menos, según he estimado.

Biopotamologie par un teenek

     Ma spécialité c'est la biopotamologie, la vie, de tout genre, dans et auprès des fleuves, et grâce à elle, j'ai partout voyagé dans le monde et fait certaines découvertes zoologiques (quelques-unes avec de l'appui de quelques fondations, comme le WWF, lequel fut définitivement impliqué dans la découverte de l'intéressantissime arctopotame).
     Je voudrais d'abord mentionner pourquoi je m'intéressa tant dans la vie des animaux de fleuve. Mon enfance, comme celle de beaucoup de teeneks (ou huastèques si vous préférez), je la vécus près d'un fleuve, le Pánuco, lequel m'a toujours fasciné par son débit si vigoureux et ses extraordinaires animaux. C'est là que je vis mon premier cryptide, le laab pay'loom te', ou l'élaphopotame comme je l'appelle présentement.
     La cryptozoologie est –comme les teeneks– pauvre, sans intérêt, indulgente et docile; dédaignée pour considérer les animaux du folclore avec possibilité d'existence, pour son manque habituel de méthode scientifique, pour sa parenté au mythe. Nous, les teeneks, sommes différents des ejeks (les métis, les espagnols, les occidentaux), qui sont exigents, intéressants, riches. Les baatsik' sont les premiers habitants du monde, les êtres du monde souterrain; les teeneks –agriculteurs–, leurs descendants, comme Caïn le premier descendant venu à la Terre; les ejeks –éleveurs– arrivèrent à notre monde. Tout comme dès le début: Caïn face à Abel, les baatsik' face aux teeneks, les teeneks face aux ejeks, les agriculteurs face aux éleveurs, les cryptozoologistes face aux zoologistes.
     Le premier biopotame dont je parlerai sera certes l'élaphopotame, ou le cerf des fleuves, en teenek, laab pay'loom te', l'arbre parrain. Nous autres, les teeneks, attribuons à cet animal le rôle de prendre soin de l'enfant à la suite de sa naissance; la vie de l'enfant dépend de la robustesse de son arbre parrain.
     L'élaphopotame n'appartient pas à la famille Cervidae, puisqu'il est omnivore: il se nourrit de pintontles mourants, escargots, poisson-chats malades et plantes riveraines; rarement sort de l'eau, et se nourrit durant la nuit: il est le protecteur du sauvage, l'animal de compagnie des baatsik'. L'élaphopotame a l'habitude de se donner des baignades et roulades dans la boue de zones peu profondes, ou dans les marais: il est sale comme les teeneks. Ses bois sont enchevêtrés, désordonnés, duveteux, et d'une envergure de jusqu'à deux mètres. Il a une hauteur de deux mètres et demi à la tête, et deux mètres dix au garrot. Il pèse entre 550 et 730 kg. Son pelage est rêche, brun-rougeâtre; il possède une crinière de poils durs et hirsutes plus foncés que le reste du pelage, et qui peut même atteindre une couleur noire. Le laab pay'loom te' est des premiers, les baatsik', les craignants du soleil, nous autres les kwitol, les enfants, les sans-raison.
     Dans le sud du Vietnam, à quelques heures de Can Tho, tout au long du fleuve Mékong, s'étend un vaste territoire trés peu exploré à cause de son accès difficile. À ce cours d'eau habite le Cuu Long, ou l'arctopotame comme je l'appelle. L'arctopotame, ou ours de fleuve, est un mammifère herbivore de coleur rouille, à longue queue rayée: il est probablement apparenté au panda roux, c'est-à-dire, il appartient probablement à la famille des ailuridés (Ailuridae); il comporte cependant deux grandes différences avec le panda fuligineux: (1) sa taille: il peut atteindre une longueur de deux mètres et demi, et (2) ses pattes, qui sont plus élancées et développées, possiblement adaptées aux nages très prolongées dans un très bourbeux Mékong, en vietnamien, Cuu Long Giang, le fleuve des neuf dragons (des êtres paradoxalement baatsik', et de lumière et feu).
     Le coracopotame, ou corbeau de fleuve, se trouve dans la Toungouska pierreuse, en Russie. Dû à l'absence de rapports de l'existence dudit oiseau jusqu'à l'évènement de la Toungouska, explosion thermonucléaire aérienne probablement due à une météorite, c'est possible que le coracopotame en soit le résultat par la mutation de certains corvidés de la région, peut-être du Corvus corax. Son plumage est tout noir, aux reflets pourpres, verts et bleus; son bec et ses pattes sont noirs aussi. Il se nourrit de petits poissons dans la rivière et de charognes sur terre. Il peut mesurer, debout (puisque sur terre il marche comme les pingouins), jusqu'à 110 cm. Les coracopotames sont très agressifs et se regroupent en pelotons d'au plus dix membres. Ils s'agressent ocasionellement les uns les autres jusqu'à atteindre le cannibalisme.
     Pour terminer, je parlerai de mes trois dernières et plus fascinantes découvertes dans le Kwando, à la frontière de la Zambie, l'Angola et la Namibie: les tératopotames, ou monstres de fleuve: l'égopotame, le sypotame, et l'outopotame (ou l'allopotame, ou anthropopotame). Depuis des générations, les aperçus de ces créatures ont fait partie de la culture yaouma, kwahane et lozi. Ils les appélent lifatal, kakoundoukoundou et poula, respectivement. Ces noms ne présentent pas de variations d'une langue à l'autre.
     Je me trouvais déjà près de la frontière tripartite lorsque le Kwando commença à devenir fangeux, à se transformer en un labyrinthe de petits marécages; celui-ci fut très vite bondé d'arbres gigantesques, noirs et couverts de lianes, en sorte que peu de lumière atteignait le cours de la rivière. Ma chaloupe voguait lentement, et s'arrêta à plusieurs reprises. La dernière fois j'essaya de la faire avancer, mais il me fallut en débarquer: ma rame s'accrocha dans la bourbe du fond, gobante à son intérieur et glissante sur sa surface. Soudain, je fus absorbé vers le bas: tout était trouble, et je commença à marcher à quatre pattes sur le fond, lorsque je me trouva, subitement, face à face avec un être gris, aux yeux ronds, noirs, abyssaux, désolants et glaciaux; en eux je vis les temps précédents à tout homme, où il n'y avait pas encore le Soleil. Je regarda vers le haut: je pus voir à peine son tronc mince, dont le bout supérieur paraissait se diviser en trois: c'étaient ses jambes. Je voulus m'en aller, mais un murmure-remous me retint, et en réflexe, je dirigea mon regard vers le visage inopinément sans bouche de cet être gris; je m'éperdis dans son regard et le murmure commença de se rendre net: il me parlait dès l'intuition, la première pensée, depuis le sauvage, le non-verbal, l'obscurité-vacuité. Je le confondis avec moi, tournâmes l'un autour de l'autre, fûmes fondament l'un de l'autre, configurâmes un dialogue primordiale: Moi et Toi confondus, cofondés. Émergea la Lumière, l'Autrui, Lui, avec son corps d'homme. Moi et Toi craignâmes-craignèrent. Moi et Toi demandâmes-demandèrent qui était Lui. Moi-Toi devint colimaçon. Lui était toujours là, tant plein de lumière, aveuglant. Je-tu sus enfin qui c'était: Teenek.
     Tout devint alors superlumineux, l'eau devint claire et se bourra d'une écume de grosses bulles. L'air me manquait et je sortis subito de l'eau, comme poussé du bas. Je fis une parabole de demi-mètre jusqu'au bord de la grosse gorge des Chutes Victoria: je juchais sur mon ventre, sur le bord de la Piscine du Diable, une piscine naturelle à 103 mètres de hauteur, en bordure de la falaise de la cataracte, du côté zambien du fleuve Zambèze, où se jette le Kwando. Je haletais en regardant l'abîme couvert d'une rosée et d'un fracas constants, pensant à cette rencontre avec le baatsik' et les autres créatures. Je n'arrivais pas à penser avec clarté à cause de l'abattement, donc je reposa un peu puis sortis du fleuve. Juste sur la rive, je rencontra un homme de l'ethnie lozi qui crut que j'étais un touriste égaré, mais je lui expliqua que j'étais un cryptozoologiste et qu'étais sur la piste du kakoundoukoundou, du lifatal y du poula. Ensuite je lui parla de mon expérience; il affirma à la fin de mon récit: « L'animal-conscience appelle la parole, l'homme naît de l'animal-conscience ». Nous filâmes vers une petite hôtellerie proche de là, le Zambezi Sun, où je resta trois jours, en gambergeant à mes conclusions.
     Zoologie. Les rapports et la découverte des tératopotames situent ceux-ci sous terre, le long de 128 km du fleuve Kwando à la frontière partagée par Angola, Zambie et Namibie, très probablement tout le long d'une chaîne de cénotes en grotte d'au moins 230 km, qui est la distance entre la zone frontalière du Kwando et les Chutes Victoria: aucun yaouma, kwahane ou lozi mentionne d'avoir aperçu de telles créatures sur l'aire entre ce fleuve et les chutes. Le sypotame, ou toi fluvial (en lozi, kakoundoukoundou, remous), lorsqu'il reste immobile, flotte la tête en bas, et nage en se propulsant avec ses trois jambes, ce qu'il fait avec plus de rapidité grâce à la forme fusiforme de sa tête, très semblable à celle des requins. Dû à l'absence de bouche, on ne peut distinguer un visage que par l’existence de deux yeux noirs, globuleux et sans paupières. Il a la peau gris et, au toucher, est comme du papier sablé. Les caractéristiques précédentes font penser à un lien de parenté avec les squales, ce qui pourrait suggérer l'existence d'ampoules de Lorenzini mutées, des organes sensitifs aux champs électromagnétiques mais capables de modifier la conscience des proies. L'outopotame, ou lui fluvial (en lozi, poula, foudre), est bioluminiscent et anthropomorphe. Puisqu'on l'a toujours aperçu en présence du sypotame, celui-ci et l'outopotame coexistent en une sorte de symbiose. L'égopotame, ou moi fluvial (en lozi, lifatal, jumeau), est une manifestation intermittente tout le long du contact avec le sypotame. Selon des études du psychologue physiologique Michael Persinger, si on stimule le lobe temporal droit d'un individu au moyen de champs magnétiques faibles et complexes, cet individu expérimente une présence proche mais vague. C'est possible que l'intermittence génère cette sensation de dialogue non-verbal et cette subite aperception de soi.
     L'objectivité. Les baatsik' demeurent dans l'obscurité de la conscience sans parole, là où les rayons et étincelles du champ cultivé n'arrivent jamais. Les baatsik' sont la conscience sauvage, la colectivité sylvestre: ils se regardent, se touchent, s'écoutent, se flairent en animaux: le dialogue pousse de se percevoir l'un l'autre. Un regard se montre à la conscience d'autrui, sans verbe; il n'y a qu'une danse où les corps reconnaissent une émotion, un langage intérieur. Les teeneks ont les baatsik' pour origine; chez l'homme vit l'obscurité, chez lui il y a la semence du dialogue: le soi et son jumeau. L'esprit et le monde s'éclairent de la parole.

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Note. J'ai participé à un des concours de XYZ avec cette nouvelle... Je n'ai pas pas gagné.

Conjuntos bien ordenados y conjuntos bien fundados.

No me había dado cuenta de (o no sabía) que estos conceptos pudieran estar relacionados...
     Una relación $R$ sobre un conjunto $X$ se dice que está bien fundada si todo subconjunto no vacío $Y$ de $X$ tiene un elemento $R$-minimal; es decir, si $$\forall Y\subseteq X[Y\neq\emptyset\Rightarrow\exists m\in Y\neg\exists y\in Y (yRm)].$$      Se tiene que para todo conjunto totalmente ordenado finito $(X,\leq)$, la relación $<$ está bien fundada. Asimismo, la relación $<$ sobre $\mathbb{N}$; a esto se le conoce como el principio del buen orden para los números naturales. En general, un conjunto totalmente ordenado $(X,\leq)$ está bien ordenado si y sólo si su relación $<$ está bien fundada. Notemos que en todo conjunto bien ordenado no hay sucesiones estrictamente decrecientes.
     Ahora, por otro lado, siguiendo con la noción de relación bien fundada, se tiene que la relación $\in$ está bien fundada sobre todo conjunto no vacío $X$, y esto se sigue del axioma de fundación o regularidad, el cual dice lo siguiente.

Axioma de fundación o regularidad. $$\forall x[\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y[y\in x\wedge\neg\exists z(z\in x\wedge z\in y)]].$$ En otras palabras, todo conjunto no vacío $x$ tiene un elemento $y$ con el cual no comparte elementos; es decir, $y$ es un elemento $\in$-minimal.
     Este axioma tiene las siguientes dos consecuencias:

T1. Para todo conjunto $x$ se tiene que $x\notin x$.
     En efecto, supóngase que existe un conjunto $t$ tal que $t\in t$. Sea $x:=\{t\}$. Se tiene que $t\in x$, y es su único elemento. Por otro lado, $t$ tiene un elemento que comparte con $x$; a saber, $t$ !! (contradicción).

T2. No existe ninguna sucesión $\in$-decreciente infinita de conjuntos. Es decir, no existe ninguna sucesión $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de conjuntos tal que $x_{n+1}\in x_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     En efecto, supóngase que tal sucesión existe. Sea entonces $X:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ (y $X$ es conjunto por el esquema axiomático de reemplazo). Dado cualquier $x_n\in X$, se tiene que $x_{n+1}\in X$ y $x_{n+1}\in x_n$!!
     ...Ahora me acabo de acodar del axioma de antifundación...

Retrotracciones y protracciones

Me quedé pensando en una posible traducción para los términos pullback y pushout usados en la Teoría de Categorías. Después de pasar por tirón y empujón, me quedaría con tracción para pullback y, con menos certeza, con expulsión o despido o expelición para pushout.
     Por otro lado, siguiendo la sugerencia de El voto batracio y del dibujo que aparece en la página 189 del libro Abstract and concrete categories: the joy of cats, me quedo con retrotracción para pullback y con protracción para pushout.