Mac Lane en su Categories for the working mathematician da dos ejemplos de funtores continuos con dominio pequeño-completo que no satisfacen la condición conjunto solución del Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Tal teorema dice lo siquiente.
Sea $\kappa$ un cardinal infinito y dótese a $\kappa$ de la topología discreta. Considérese ahora a $\kappa^\omega$ con la topología producto. Sea $X:=\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$, el álgebra abierta regular del espacio $\kappa^\omega$. Notemos que todo cerrabierto es regular; de donde, los $$A_{n,\eta}:=\{f\in \kappa^\omega\mid fn=\eta\},$$ con $\eta<\kappa$, son elementos de $X$: el conjunto $\{\eta\}$ es cerrabierto de $\kappa$; más aún, los $A_{n,\eta}$ son subbásicos de $\kappa^\omega$. Tenemos que la familia $\{A_{n,\eta}\mid n<\omega,\eta<\kappa\}$ genera a $X$; en efecto, sea $V\in X$; entonces, $V$ es unión de intersecciones finitas de $A_{n,\eta}$ s, digamos, $V=\bigcup V_i$; de donde, como $V$ es abierto regular y $\bigvee V_i=\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)$ es el abierto regular más pequeño que contiene a $\bigcup V_i$, tenemos que $V=\bigvee V_i$.
Ahora, la cardinalidad de $X$ es al menos $\kappa$, pues si $\eta<\eta'<\kappa$, entonces $A_{0,\eta}$ y $A_{0,\eta'}$ son distintos.
Antes de seguir, notemos que si $B\subseteq\kappa^\omega$ y $B$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $B$ es cerrabierto. En efecto, que $B$ dependa de un número finito de coordenadas significa que $\exists\,n_1,\ldots,n_m\in\mathbb{N}$ $$B=\{f\in\kappa^\omega\mid R(fn_1,\ldots,fn_m)\},$$ donde $R\subseteq\kappa^m$ y $m\in\mathbb{N}$. Tenemos que $R$ es cerrabierto de $\kappa^m$ y $B=p^{-1}R$ con $p:\kappa^\omega\rightarrow\kappa^m$ definida como $pf:=(fn_1,\ldots,fn_m)$; $p$ es continua.
Prosigamos. Dados $n,m<\omega$, defínase $$B_{n,m}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fm\leq fn\}.$$ Entonces, por la observación anterior, $B_{n,m}$ es cerrabierto luego abierto regular. Afirmamos que los $B_{n,m}$ generan a $X$. En efecto, sea $Y$ la subálgebra completa más pequeña de $X$ que contiene a $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$. Bastará demostrar que $A_{n,\eta}\in Y$ para todo $n<\omega$ y para todo $\eta<\kappa$; hagámoslo por inducción sobre $\eta$; supongamos entonces que para $m<\omega$ y $\xi<\eta$ se tiene que $A_{m,\xi}\in Y$. Ahora, sean $$D_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn<\eta\}\quad\text{y}\quad E_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq\eta\}$$ para $n<\omega$ y $\eta<\kappa$. Lo que queremos hacer es ver que $D_{n,\eta},E_{n,\eta}\in Y$, ya que $$A_{n,\eta}=D_{n,\eta}\cap E_{n,\eta}=D_{n,\eta}\wedge E_{n,\eta}.$$ Como $D_{n,\eta}$ y $E_{n,\eta}$ dependen sólo de una coordeanada, son cerrabiertos; luego, son elementos de $X$. Por inducción, estamos suponiendo que $A_{n,\xi}\in Y$, así que como $D_{n,\eta}$ es abierto regular y $$D_{n,\eta}=\bigcup_{\xi<\eta} A_{n,\xi},$$ entonces $D_{n,\eta}=\bigvee_{\xi<\eta} A_{n,\xi}\in Y$.
Por otro lado, dados $n,m<\omega$, $$C_{m,n}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq fm\text{ o }fm<\eta\}$$ es cerrabierto, ya que su definición depende sólo de $m$ y $n$; luego, $C_{m,n}\in X$. Notemos que $$C_{m,n}=B_{m,n}\cup\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}.$$ Nuevamente, como $C_{m,n}\in X$, se tiene que $C_{m,n}=B_{m,n}\vee\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}$. De donde, $C_{m,n}\in Y$. Demostremos que $E_{n,\eta}=\bigwedge_{m<\omega} C_{m,n}$; es decir, que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$.
Ahora, dados $n<\omega$ y $f\in\kappa^\omega$, los $$U(n,f):=\{h\in\kappa^\omega\mid\forall\,m\leq n\; hm=fm\}$$ forman una base para $\kappa^\omega$ (es claro que $U(n,f)\in\tau(\kappa^\omega)$). En efecto, sea $\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$ un básico de $\kappa^\omega$ y sea $f\in\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$. Sin pérdida de generalidad, supóngase que $i_1<\cdots < i_m$. Entonces, $U(i_m,f)\subseteq\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$.
Demostremos que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$. Sea $g\in E_{n,\eta}$; es decir, $gn\leq\eta$. Entonces, $U(n,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$, pues si $h\in U(n,g)$, entonces dado $m<\omega$, si $hn\leq hm$ entonces $h\in C_{m,n}$ y si $hm< hn=gn$ entonces $hm<\eta$ y $h\in C_{m,n}$; luego, $h\in\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$.
Recíprocamente, sea $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$ y supóngase que $gn>\eta$. Como $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$, existe $N\in\omega$ tal que $U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$. Como $U(k,g)\subseteq U(N,g)$ para todo $k\geq N$, podemos suponer que $N\geq n$. Ahora defínase $h:\omega\rightarrow\kappa$ como $$hm:=\begin{cases} gm &\text{si $m\leq N$,}\\ \eta &\text{si $m > N$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$; de donde, $h\in C_{N+1}$; es decir, $hn< h(N+1)$ o $h(N+1)<\eta$. Sin embargo, $h(N+1)=\eta< gn=hn$ y $h(N+1)\geq\eta$ !! Luego, $g\in E_{n,\eta}$. Así que $E_{n,\eta}\in Y$.
Por lo tanto, $X$, que tiene cardinalidad por lo menos $\kappa$, es generado por $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$, que es numerable.
Así que tenemos el siguiente teorema.
Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Si $A$ es una categoría pequeño-completa con homoconjuntos pequeños, entonces un funtor $G:A\rightarrow X$ tiene adjunto izquierdo si y sólo si preserva todo límite pequeño y satisface lo siguiente.El ejemplo que me sorprendió e intrigó fue el segundo. Este empieza diciendo: “Dado un conjunto numerable $D$, uno puede construir un álgebra booleana completa arbitrariamente grande generada por $D$”. Tal afirmación la demostraron primero Gaifman y Hales de manera independiente utilizando argumentos de la lógica infinitaria y luego la demostró Solovay haciendo uso del álgebra abierta regular. La demostración de Solovay es mucho más simple. Hago un recuento detallado de esta demostración.
Condición conjunto solución. Para todo objeto $x\in X$, existe un conjunto pequeño $I$ y una familia de flechas $f_i:x\rightarrow Ga_i$ indexada por $I$ tal que toda flecha $h:x\rightarrow Ga$ se puede escribir como la composición $h=Gt\circ f_i$ para algún índice $i$ y alguna $t:a_i\rightarrow a$.
Sea $\kappa$ un cardinal infinito y dótese a $\kappa$ de la topología discreta. Considérese ahora a $\kappa^\omega$ con la topología producto. Sea $X:=\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$, el álgebra abierta regular del espacio $\kappa^\omega$. Notemos que todo cerrabierto es regular; de donde, los $$A_{n,\eta}:=\{f\in \kappa^\omega\mid fn=\eta\},$$ con $\eta<\kappa$, son elementos de $X$: el conjunto $\{\eta\}$ es cerrabierto de $\kappa$; más aún, los $A_{n,\eta}$ son subbásicos de $\kappa^\omega$. Tenemos que la familia $\{A_{n,\eta}\mid n<\omega,\eta<\kappa\}$ genera a $X$; en efecto, sea $V\in X$; entonces, $V$ es unión de intersecciones finitas de $A_{n,\eta}$ s, digamos, $V=\bigcup V_i$; de donde, como $V$ es abierto regular y $\bigvee V_i=\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)$ es el abierto regular más pequeño que contiene a $\bigcup V_i$, tenemos que $V=\bigvee V_i$.
Ahora, la cardinalidad de $X$ es al menos $\kappa$, pues si $\eta<\eta'<\kappa$, entonces $A_{0,\eta}$ y $A_{0,\eta'}$ son distintos.
Antes de seguir, notemos que si $B\subseteq\kappa^\omega$ y $B$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $B$ es cerrabierto. En efecto, que $B$ dependa de un número finito de coordenadas significa que $\exists\,n_1,\ldots,n_m\in\mathbb{N}$ $$B=\{f\in\kappa^\omega\mid R(fn_1,\ldots,fn_m)\},$$ donde $R\subseteq\kappa^m$ y $m\in\mathbb{N}$. Tenemos que $R$ es cerrabierto de $\kappa^m$ y $B=p^{-1}R$ con $p:\kappa^\omega\rightarrow\kappa^m$ definida como $pf:=(fn_1,\ldots,fn_m)$; $p$ es continua.
Prosigamos. Dados $n,m<\omega$, defínase $$B_{n,m}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fm\leq fn\}.$$ Entonces, por la observación anterior, $B_{n,m}$ es cerrabierto luego abierto regular. Afirmamos que los $B_{n,m}$ generan a $X$. En efecto, sea $Y$ la subálgebra completa más pequeña de $X$ que contiene a $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$. Bastará demostrar que $A_{n,\eta}\in Y$ para todo $n<\omega$ y para todo $\eta<\kappa$; hagámoslo por inducción sobre $\eta$; supongamos entonces que para $m<\omega$ y $\xi<\eta$ se tiene que $A_{m,\xi}\in Y$. Ahora, sean $$D_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn<\eta\}\quad\text{y}\quad E_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq\eta\}$$ para $n<\omega$ y $\eta<\kappa$. Lo que queremos hacer es ver que $D_{n,\eta},E_{n,\eta}\in Y$, ya que $$A_{n,\eta}=D_{n,\eta}\cap E_{n,\eta}=D_{n,\eta}\wedge E_{n,\eta}.$$ Como $D_{n,\eta}$ y $E_{n,\eta}$ dependen sólo de una coordeanada, son cerrabiertos; luego, son elementos de $X$. Por inducción, estamos suponiendo que $A_{n,\xi}\in Y$, así que como $D_{n,\eta}$ es abierto regular y $$D_{n,\eta}=\bigcup_{\xi<\eta} A_{n,\xi},$$ entonces $D_{n,\eta}=\bigvee_{\xi<\eta} A_{n,\xi}\in Y$.
Por otro lado, dados $n,m<\omega$, $$C_{m,n}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq fm\text{ o }fm<\eta\}$$ es cerrabierto, ya que su definición depende sólo de $m$ y $n$; luego, $C_{m,n}\in X$. Notemos que $$C_{m,n}=B_{m,n}\cup\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}.$$ Nuevamente, como $C_{m,n}\in X$, se tiene que $C_{m,n}=B_{m,n}\vee\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}$. De donde, $C_{m,n}\in Y$. Demostremos que $E_{n,\eta}=\bigwedge_{m<\omega} C_{m,n}$; es decir, que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$.
Ahora, dados $n<\omega$ y $f\in\kappa^\omega$, los $$U(n,f):=\{h\in\kappa^\omega\mid\forall\,m\leq n\; hm=fm\}$$ forman una base para $\kappa^\omega$ (es claro que $U(n,f)\in\tau(\kappa^\omega)$). En efecto, sea $\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$ un básico de $\kappa^\omega$ y sea $f\in\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$. Sin pérdida de generalidad, supóngase que $i_1<\cdots < i_m$. Entonces, $U(i_m,f)\subseteq\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$.
Demostremos que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$. Sea $g\in E_{n,\eta}$; es decir, $gn\leq\eta$. Entonces, $U(n,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$, pues si $h\in U(n,g)$, entonces dado $m<\omega$, si $hn\leq hm$ entonces $h\in C_{m,n}$ y si $hm< hn=gn$ entonces $hm<\eta$ y $h\in C_{m,n}$; luego, $h\in\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$.
Recíprocamente, sea $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$ y supóngase que $gn>\eta$. Como $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$, existe $N\in\omega$ tal que $U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$. Como $U(k,g)\subseteq U(N,g)$ para todo $k\geq N$, podemos suponer que $N\geq n$. Ahora defínase $h:\omega\rightarrow\kappa$ como $$hm:=\begin{cases} gm &\text{si $m\leq N$,}\\ \eta &\text{si $m > N$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$; de donde, $h\in C_{N+1}$; es decir, $hn< h(N+1)$ o $h(N+1)<\eta$. Sin embargo, $h(N+1)=\eta< gn=hn$ y $h(N+1)\geq\eta$ !! Luego, $g\in E_{n,\eta}$. Así que $E_{n,\eta}\in Y$.
Por lo tanto, $X$, que tiene cardinalidad por lo menos $\kappa$, es generado por $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$, que es numerable.
Así que tenemos el siguiente teorema.
Teorema (Solovay). Sea $\kappa$ un cardinal infinito. Si $\kappa$ tiene la topología discreta y $\kappa^\omega$ la topología producto, entonces $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es un álgebra boolena completa numerablemente generada con cardinalidad por lo menos $\kappa$.Y tenemos el siguiente corolario.
Corolario. No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos.Demostración. Sean $X$ un conjunto infinito, $FX$ el álgebra completa libre generada por $X$ y $\eta_X:X\rightarrow FX$ la función con la propiedad universal de álgebra libre. Sea $\kappa$ un cardinal mayor que $|FX|$. Entonces, por el teorema anterior, $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ tiene un conjunto numerable $Y$ de generadores. Sea $f:X\rightarrow Y$ una función suprayectiva. Entonces, si $g:FX\rightarrow\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es homomorfismo de álgebras booleanas completas y $g\circ\eta_X=f$, entonces $gFX$ es una subálgebra completa de $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ que incluye a $Y$; de donde, $g$ sería suprayectiva y $\kappa\leq|\mathbf{AR}(\kappa^\omega)|\leq|FX|<\kappa$ !!
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