Leyendo sobre redes, de manera inesperada llegué al artículo Relational algebras, el cual me pareció muy interesante, pues en él se demuestran varios resultados con tal atributo. El primero que me gustó es el siguiente.
Hay un funtor $L:\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$, el cual extiende los endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$, donde $\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$ es la categoría cuyos objetos son los funtores oplaxos $F:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ y cuyas flechas son las transformaciones laxas entre estos. Enseguida hago un recuento detallado del asunto.
Observación 1. Toda relación $r:X\rightarrow Y$ se puede factorizar como $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>dr^\circ >> G_r @>cr >> Y, \end{CD}$$ donde $G_r$ es la gráfica de $r$, $dr:=p_X\mid_{G_r}$ y $cr:=p_Y\mid_{G_r}$, con $p_X$ y $p_Y$ las proyecciones del producto $X\times Y$. Lo que hace $(-)^\circ$ es darnos la relación recíproca.
Definición. Decimos que una relación $r:X\rightarrow Y$ es epi, mono, está definida en todas partes o es una función parcial si $cr$ es epi, $cr$ es mono, $dr$ es epi o $dr$ es mono, respectivamente.
Observación 2. El siguiente diagrama de funciones conmuta $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} X @>v>> Y\\ @VuVV @VVgV\\ Z @>>f> A, \end{CD} \end{equation}$$ si y sólo si $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$; en efecto, se tiene que $$u\cdot v^\circ=\{(vx,ux)\in Y\times Z\mid x\in X\}$$ y $$f^\circ\cdot g=\{(y,z)\in Y\times Z\mid gy=fz\}.$$ Nótese que $g^\circ\cdot f$ es la retrotracción (pullback) en $\mathbf{Con}$ de $f$ y $g$.
Tenemos que (1) es una retrotracción débil si y sólo si $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. En efecto, supóngase que (1) es retrotracción débil; entonces, $\exists\, s:g^\circ\cdot f\rightarrow X$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< p_Z << g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @| @VVsV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y \end{CD}$$ conmuta, donde $p_Z:g^\circ\cdot f\rightarrow Z$ y $p_Y:g^\circ\cdot f\rightarrow Y$ son las proyecciones de la retrotracción $\mathrm{Rt}(f,g)=g^\circ\cdot f$ de $f$ y $g$: $$\require{AMScd} \begin{CD} g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @Vp_ZVV @VVgV\\ Z @>>f> A. \end{CD}$$ Por otro lado, $\exists!\,t:X\rightarrow g^\circ\cdot f$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< u << X @>v>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< p_Z < g^\circ\cdot f @>>p_Y> Y \end{CD}$$ conmuta. Por la propiedad universal de $g^\circ\cdot f$, se tiene que $ts=1$; de donde, $t$ es epi. De aquí, $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$.
Recíprocamente, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Sea $$\require{AMScd} \begin{CD} B @>s>> Y\\ @VrVV @VVgV\\ Z @>>f> A \end{CD}$$ un diagrama conmutativo en $\mathbf{Con}$ y sea $b\in B$; entonces, como $r\cdot s^\circ\subseteq f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ\;$, $\exists\,x_b\in X\;\;(sb,rb)=(vx_b,ux_b)$. Defínase entonces $t:B\rightarrow X$ como $tb:=x_b$ para todo $b\in B$. Claramente, $t$ hace conmutar el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< r << B @>s>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y. \end{CD}$$ Proposición 1. Para toda relación $r:X\rightarrow Y$
Observación 3. $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2: sus homoconjuntos $\mathbf{Rel}(X,Y)$ están parcialmente ordenados, y la composición es compatible con el orden; es decir, si $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'AA{\leq} @AAs'A\\ Y @= Y\\ @ArAA{\leq} @AAsA\\ X @= X \end{CD}$$ entonces $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'\cdot rAA{\leq} @AAs'\cdot sA\\ X @= X \end{CD}$$ (aquí estoy escribiendo verticalmente la composición horizontal de celdas 2). Tal compatibilidad nos dice cómo definir la composición horizontal de celdas 2. Es claro que tal composición es asociativa y funtorial.
Observación 4. Si se tiene el diagrama de funciones $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} A @>u>> Y\\ @VvVV @AAgA\\ X @<< f < Z \end{CD} \end{equation}$$ entonces $g\cdot f^\circ\subseteq u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;\exists\,h:Z\rightarrow A\;\;$ el diagrama (2) conmuta. Simplemente notemos que $$g\cdot f^\circ=\{(fz,gz)\in X\times Y\mid z\in Z\}$$ y que $$u\cdot v^\circ=\{(va,ua)\in X\times Y\mid a\in A\}.$$ Es claro que $g\cdot f^\circ=u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;$ $h$ es epi.
Proposición 2. Dados $X\in\mathbf{Con}$, $T:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ funtor y $\alpha:T\Rightarrow S:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ transformación natural, defínase $LTX:=TX$, $LT:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ como $LTr:=Tg\cdot Tf^\circ$, donde $r=g\cdot f^\circ$ es una factorización en funciones de $r$, y $L\alpha:=\alpha$. Entonces $LT$ es un funtor oplaxo y $L$ es un funtor $\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$.
Demostración. Notemos que $LT(r^\circ)=(LTr)^\circ$, así que denotemos a cualquiera de estos dos como $LTr^\circ$.
Demostremos primero que $LT$ está bien definido. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación y $u\cdot v^\circ=r$ otra factorización en funciones de $r$; entonces, $u\cdot v^\circ=cr\cdot dr^\circ$; de la Observación 4 y del hecho de que $T$ preserva epis (pues todo epi en $\mathbf{Con}$ es epi escindido), $Tu\cdot Tv^\circ=Tcr\cdot Tdr^\circ$.
Ahora, que $LT$ sea oplaxo significa que dados $X\in\mathbf{Con}$ y $r,s$ relaciones, $LT\Delta_X\subseteq\Delta_{LTX}$, $r\subseteq s\Rightarrow LTr\subseteq LTs$ y $LT(s\cdot r)\subseteq LTs\cdot LTr$.
Sea $X\in\mathbf{Con}$; entonces $\Delta_X=1_X\cdot 1_X^\circ$, así que, por la Observación 4, $$LT\Delta_X=1_{TX}\cdot 1_{TX}^\circ=\Delta_{TX}=\Delta_{LTX}.$$ Sean $r,s:X\rightarrow Y$ relaciones y supóngase que $r\subseteq s$. Entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} X @< ds << G_s @>cs>> Y\\ @| @AAiA @|\\ X @<< dr < G_r @>>cr> Y, \end{CD}$$ donde $i$ es la inclusión. Si aplicamos $T$, obtenemos un diagrama conmutativo igual al anterior, salvo que aparece una $T$ delante de cada cosa; luego, por la Observación 4, $$LTr=Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ=LTs.$$ Sean $r,s$ relaciones tales que $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>r>> Y @>s>> Z; \end{CD}$$ entonces, $s\cdot r=cs\cdot ds^\circ\cdot cr\cdot dr^\circ$. Por la Observación 1, la relación $ds^\circ\cdot cr:G_r\rightarrow G_s$ se puede factorizar en funciones como $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$. De la observación 2, tenemos que el siguiente diagrama es una retrotracción débil: $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>q>> G_r\\ @VpVV @VVcrV\\ G_s @>>ds> Y; \end{CD}$$ así que al aplicar $T$ al diagrama anterior, funtor que quizá no preserva retrotracciones débiles, obtenemos, por lo menos, un diagrama conmutativo; luego, por la Observación 2, $Tp\cdot Tq^\circ\subseteq Tds^\circ\cdot Tcr$. Por otro lado, como $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2, $$Tcs\cdot Tp\cdot Tq^\circ\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ.$$ El lado izquierdo en la inclusión es $LT(s\cdot r)$ y el lado derecho es $LTs\cdot LTr$. (Que $Tcs\cdot Tp=T(cs\cdot p)$ considerando a $Tcs, Tp$ y $T(cs\cdot p)$ como relaciones, se sigue del hecho de que si $h=g\cdot f$ como funciones entonces $h=g\cdot f$ como relaciones).
Finalmente veamos que $L\alpha$ es una transformación laxa $LT\Rightarrow LS$. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación. Entonces, de la naturalidad de $\alpha$, el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} TG_r @>Tdr>> TX\\ @V\alpha G_rVV @VV\alpha XV\\ SG_r @>>Sdr> SX \end{CD}$$ conmuta. Por la Observación 2, $\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Sdr^\circ\cdot\alpha X$; de aquí, como $\mathbf{Rel}$ es categoría 2, $$Scr\cdot\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X.$$ Como $\alpha Y\cdot Tcr=Scr\cdot\alpha G_r$ (por la naturalidad de $\alpha$), $$\alpha Y\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X;$$ es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} LTX @>L\alpha X>> LSX\\ @V LTr VV{\leq} @VV LSr V\\ LTY @>>L\alpha Y> LSY. \end{CD}$$ La funtorialidad de $L$ se sigue del hecho de que si $\beta:S\Rightarrow R:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ entonces $\beta\cdot\alpha(X)=\beta X\cdot\alpha X$ y de que $\mathbf{Rel}$ es categoría 2.
Observación 5. Sean $u,v,f,g$ funciones como en la Observación 2. Supóngase que el diagrama (1) conmuta y que $f$ es iso. Entonces, (1) es retrotracción débil si y sólo s $v$ es epi. En efecto, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Veamos que $v$ es epi. Sea $y\in Y$; entonces, $gy\in A$; luego, como $f$ es iso, $\exists !\, z\in Z\;\; gy=fz$; de aquí, $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; por lo tanto, como $f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ,\,$ $\exists\,x\in X\;\; vx=y,\,ux=z$. Luego, $v$ es epi.
Recíprocamente, supóngase que $v$ es epi. Veamos que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Basta mostrar que $f^\circ\cdot g\subseteq u\cdot v^\circ$. Sea $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; luego, $gy=fz$. Por otro lado, como $v$ es sobre, $\exists\,x\in X\;\;y=vx$. Finalmente, veamos que $ux=z$. Ya se tiene que $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$, así que $(vx,ux)\in f^\circ\cdot g$; de donde, $$fux=gvx=gy=fz,$$ pero $f$ es mono; luego, $z=ux$.
Corolario. Sean $T\in\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})$ y $X\overset{r}{\rightarrow}Y\overset{s}{\rightarrow}Z$ realciones. Si $s$ es función o $r$ es bimorfismo (epi y mono), entonces $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
Demostración. Si $s$ es función, entonces, por la Proposición 1, $ds$ es iso, y si $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$ como en la proposición anterior, entonces $q$ es epi, por la observación anterior. Como $T$ preserva epis e isos, $Tds$ es iso y $Tq$ es epi. Por otro lado, $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>Tq>> \bullet\\ @VTpVV @VVTcrV\\ \bullet @>>Tds> \bullet \end{CD}$$ conmuta; luego, por la observación anterior, $Tds^\circ\cdot Tcr=Tp\cdot Tq^\circ$, así que $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
Si $r$ es bimorfismo, $cr$ es iso.
Hay un funtor $L:\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$, el cual extiende los endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$, donde $\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$ es la categoría cuyos objetos son los funtores oplaxos $F:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ y cuyas flechas son las transformaciones laxas entre estos. Enseguida hago un recuento detallado del asunto.
Observación 1. Toda relación $r:X\rightarrow Y$ se puede factorizar como $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>dr^\circ >> G_r @>cr >> Y, \end{CD}$$ donde $G_r$ es la gráfica de $r$, $dr:=p_X\mid_{G_r}$ y $cr:=p_Y\mid_{G_r}$, con $p_X$ y $p_Y$ las proyecciones del producto $X\times Y$. Lo que hace $(-)^\circ$ es darnos la relación recíproca.
Definición. Decimos que una relación $r:X\rightarrow Y$ es epi, mono, está definida en todas partes o es una función parcial si $cr$ es epi, $cr$ es mono, $dr$ es epi o $dr$ es mono, respectivamente.
Observación 2. El siguiente diagrama de funciones conmuta $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} X @>v>> Y\\ @VuVV @VVgV\\ Z @>>f> A, \end{CD} \end{equation}$$ si y sólo si $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$; en efecto, se tiene que $$u\cdot v^\circ=\{(vx,ux)\in Y\times Z\mid x\in X\}$$ y $$f^\circ\cdot g=\{(y,z)\in Y\times Z\mid gy=fz\}.$$ Nótese que $g^\circ\cdot f$ es la retrotracción (pullback) en $\mathbf{Con}$ de $f$ y $g$.
Tenemos que (1) es una retrotracción débil si y sólo si $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. En efecto, supóngase que (1) es retrotracción débil; entonces, $\exists\, s:g^\circ\cdot f\rightarrow X$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< p_Z << g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @| @VVsV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y \end{CD}$$ conmuta, donde $p_Z:g^\circ\cdot f\rightarrow Z$ y $p_Y:g^\circ\cdot f\rightarrow Y$ son las proyecciones de la retrotracción $\mathrm{Rt}(f,g)=g^\circ\cdot f$ de $f$ y $g$: $$\require{AMScd} \begin{CD} g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @Vp_ZVV @VVgV\\ Z @>>f> A. \end{CD}$$ Por otro lado, $\exists!\,t:X\rightarrow g^\circ\cdot f$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< u << X @>v>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< p_Z < g^\circ\cdot f @>>p_Y> Y \end{CD}$$ conmuta. Por la propiedad universal de $g^\circ\cdot f$, se tiene que $ts=1$; de donde, $t$ es epi. De aquí, $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$.
Recíprocamente, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Sea $$\require{AMScd} \begin{CD} B @>s>> Y\\ @VrVV @VVgV\\ Z @>>f> A \end{CD}$$ un diagrama conmutativo en $\mathbf{Con}$ y sea $b\in B$; entonces, como $r\cdot s^\circ\subseteq f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ\;$, $\exists\,x_b\in X\;\;(sb,rb)=(vx_b,ux_b)$. Defínase entonces $t:B\rightarrow X$ como $tb:=x_b$ para todo $b\in B$. Claramente, $t$ hace conmutar el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< r << B @>s>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y. \end{CD}$$ Proposición 1. Para toda relación $r:X\rightarrow Y$
- $r$ es epi $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\supseteq \Delta_Y,$
- $r$ es mono $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\subseteq \Delta_X,$
- $r$ está definida en todas partes $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X,$
- $r$ es función parcial $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y,$
- $r$ es función $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X\;$ y $\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y$.
Observación 3. $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2: sus homoconjuntos $\mathbf{Rel}(X,Y)$ están parcialmente ordenados, y la composición es compatible con el orden; es decir, si $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'AA{\leq} @AAs'A\\ Y @= Y\\ @ArAA{\leq} @AAsA\\ X @= X \end{CD}$$ entonces $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'\cdot rAA{\leq} @AAs'\cdot sA\\ X @= X \end{CD}$$ (aquí estoy escribiendo verticalmente la composición horizontal de celdas 2). Tal compatibilidad nos dice cómo definir la composición horizontal de celdas 2. Es claro que tal composición es asociativa y funtorial.
Observación 4. Si se tiene el diagrama de funciones $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} A @>u>> Y\\ @VvVV @AAgA\\ X @<< f < Z \end{CD} \end{equation}$$ entonces $g\cdot f^\circ\subseteq u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;\exists\,h:Z\rightarrow A\;\;$ el diagrama (2) conmuta. Simplemente notemos que $$g\cdot f^\circ=\{(fz,gz)\in X\times Y\mid z\in Z\}$$ y que $$u\cdot v^\circ=\{(va,ua)\in X\times Y\mid a\in A\}.$$ Es claro que $g\cdot f^\circ=u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;$ $h$ es epi.
Proposición 2. Dados $X\in\mathbf{Con}$, $T:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ funtor y $\alpha:T\Rightarrow S:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ transformación natural, defínase $LTX:=TX$, $LT:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ como $LTr:=Tg\cdot Tf^\circ$, donde $r=g\cdot f^\circ$ es una factorización en funciones de $r$, y $L\alpha:=\alpha$. Entonces $LT$ es un funtor oplaxo y $L$ es un funtor $\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$.
Demostración. Notemos que $LT(r^\circ)=(LTr)^\circ$, así que denotemos a cualquiera de estos dos como $LTr^\circ$.
Demostremos primero que $LT$ está bien definido. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación y $u\cdot v^\circ=r$ otra factorización en funciones de $r$; entonces, $u\cdot v^\circ=cr\cdot dr^\circ$; de la Observación 4 y del hecho de que $T$ preserva epis (pues todo epi en $\mathbf{Con}$ es epi escindido), $Tu\cdot Tv^\circ=Tcr\cdot Tdr^\circ$.
Ahora, que $LT$ sea oplaxo significa que dados $X\in\mathbf{Con}$ y $r,s$ relaciones, $LT\Delta_X\subseteq\Delta_{LTX}$, $r\subseteq s\Rightarrow LTr\subseteq LTs$ y $LT(s\cdot r)\subseteq LTs\cdot LTr$.
Sea $X\in\mathbf{Con}$; entonces $\Delta_X=1_X\cdot 1_X^\circ$, así que, por la Observación 4, $$LT\Delta_X=1_{TX}\cdot 1_{TX}^\circ=\Delta_{TX}=\Delta_{LTX}.$$ Sean $r,s:X\rightarrow Y$ relaciones y supóngase que $r\subseteq s$. Entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} X @< ds << G_s @>cs>> Y\\ @| @AAiA @|\\ X @<< dr < G_r @>>cr> Y, \end{CD}$$ donde $i$ es la inclusión. Si aplicamos $T$, obtenemos un diagrama conmutativo igual al anterior, salvo que aparece una $T$ delante de cada cosa; luego, por la Observación 4, $$LTr=Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ=LTs.$$ Sean $r,s$ relaciones tales que $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>r>> Y @>s>> Z; \end{CD}$$ entonces, $s\cdot r=cs\cdot ds^\circ\cdot cr\cdot dr^\circ$. Por la Observación 1, la relación $ds^\circ\cdot cr:G_r\rightarrow G_s$ se puede factorizar en funciones como $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$. De la observación 2, tenemos que el siguiente diagrama es una retrotracción débil: $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>q>> G_r\\ @VpVV @VVcrV\\ G_s @>>ds> Y; \end{CD}$$ así que al aplicar $T$ al diagrama anterior, funtor que quizá no preserva retrotracciones débiles, obtenemos, por lo menos, un diagrama conmutativo; luego, por la Observación 2, $Tp\cdot Tq^\circ\subseteq Tds^\circ\cdot Tcr$. Por otro lado, como $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2, $$Tcs\cdot Tp\cdot Tq^\circ\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ.$$ El lado izquierdo en la inclusión es $LT(s\cdot r)$ y el lado derecho es $LTs\cdot LTr$. (Que $Tcs\cdot Tp=T(cs\cdot p)$ considerando a $Tcs, Tp$ y $T(cs\cdot p)$ como relaciones, se sigue del hecho de que si $h=g\cdot f$ como funciones entonces $h=g\cdot f$ como relaciones).
Finalmente veamos que $L\alpha$ es una transformación laxa $LT\Rightarrow LS$. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación. Entonces, de la naturalidad de $\alpha$, el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} TG_r @>Tdr>> TX\\ @V\alpha G_rVV @VV\alpha XV\\ SG_r @>>Sdr> SX \end{CD}$$ conmuta. Por la Observación 2, $\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Sdr^\circ\cdot\alpha X$; de aquí, como $\mathbf{Rel}$ es categoría 2, $$Scr\cdot\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X.$$ Como $\alpha Y\cdot Tcr=Scr\cdot\alpha G_r$ (por la naturalidad de $\alpha$), $$\alpha Y\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X;$$ es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} LTX @>L\alpha X>> LSX\\ @V LTr VV{\leq} @VV LSr V\\ LTY @>>L\alpha Y> LSY. \end{CD}$$ La funtorialidad de $L$ se sigue del hecho de que si $\beta:S\Rightarrow R:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ entonces $\beta\cdot\alpha(X)=\beta X\cdot\alpha X$ y de que $\mathbf{Rel}$ es categoría 2.
Observación 5. Sean $u,v,f,g$ funciones como en la Observación 2. Supóngase que el diagrama (1) conmuta y que $f$ es iso. Entonces, (1) es retrotracción débil si y sólo s $v$ es epi. En efecto, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Veamos que $v$ es epi. Sea $y\in Y$; entonces, $gy\in A$; luego, como $f$ es iso, $\exists !\, z\in Z\;\; gy=fz$; de aquí, $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; por lo tanto, como $f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ,\,$ $\exists\,x\in X\;\; vx=y,\,ux=z$. Luego, $v$ es epi.
Recíprocamente, supóngase que $v$ es epi. Veamos que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Basta mostrar que $f^\circ\cdot g\subseteq u\cdot v^\circ$. Sea $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; luego, $gy=fz$. Por otro lado, como $v$ es sobre, $\exists\,x\in X\;\;y=vx$. Finalmente, veamos que $ux=z$. Ya se tiene que $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$, así que $(vx,ux)\in f^\circ\cdot g$; de donde, $$fux=gvx=gy=fz,$$ pero $f$ es mono; luego, $z=ux$.
Corolario. Sean $T\in\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})$ y $X\overset{r}{\rightarrow}Y\overset{s}{\rightarrow}Z$ realciones. Si $s$ es función o $r$ es bimorfismo (epi y mono), entonces $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
Demostración. Si $s$ es función, entonces, por la Proposición 1, $ds$ es iso, y si $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$ como en la proposición anterior, entonces $q$ es epi, por la observación anterior. Como $T$ preserva epis e isos, $Tds$ es iso y $Tq$ es epi. Por otro lado, $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>Tq>> \bullet\\ @VTpVV @VVTcrV\\ \bullet @>>Tds> \bullet \end{CD}$$ conmuta; luego, por la observación anterior, $Tds^\circ\cdot Tcr=Tp\cdot Tq^\circ$, así que $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
Si $r$ es bimorfismo, $cr$ es iso.
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