Operador frontera y operador exterior

Una topología se puede determinar mediante un operador interior o un operador cerradura. No sabía que también se puede hacer mediante un operador frontera o un operador exterior; lo que más me sorprende es que pueda hacerse mediante un operador frontera.
     Dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:

1. $\partial X=\emptyset$;
2. $\forall\, A\subseteq X\ \partial A=\partial A^c$;
3. $\forall\,A,B\subseteq X\ \partial(A\cup B)\subseteq \partial A\cup\partial B$;
4. para toda familia $\{A_i\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $X$, se tiene que $$\partial(\cap A_i)\subseteq\bigcup_{J\subseteq I,J\neq\emptyset}\cap_{j\in J}\partial A_j\bigcap\cap_{i\in I\setminus J}A_i.$$

Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A\cap\partial A=\emptyset$.
     Toda función $\partial:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.
     Ahora, dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:

1. $\mathrm{Ext} X=\emptyset,\, \mathrm{Ext}\emptyset=X$;
2. $\forall\, A,B\subseteq X\ A\subseteq B\Rightarrow\mathrm{Ext} B\subseteq\mathrm{Ext}A$;
3. $\forall\, A,B\subseteq X\ \mathrm{Ext}(A\cup B)=\mathrm{Ext}A\cap\mathrm{Ext}B$;
4. $\forall\, A\subseteq X\ \mathrm{Ext}A^c\subseteq A$.

Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A=\mathrm{Ext}A^c$.
     Toda función $\mathrm{Ext}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.

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Nota. Algunos días después de publicar la entrada, encontré en el Topology de Dugundji que él define un operador frontera de manera distinta a la que se me ocurrió. La de él es más sencilla.
     Sea $X$ un conjunto y sea $\mathrm{Fr}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ una función tal que

1. $\mathrm{Fr}\emptyset=\emptyset$;
2. $\mathrm{Fr}A=\mathrm{Fr} A^c$;
3. $\mathrm{FrFr}A\subseteq\mathrm{Fr}A$;
4. $A\cap B\cap\mathrm{Fr}(A\cap B)=A\cap B\cap(\mathrm{Fr}A\cup\mathrm{Fr}B)$.

Un subconjunto $A$ de $X$ se dice que es abierto si $A^c=A^c\cup\mathrm{Fr}A^c$