Extender endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$

Leyendo sobre redes, de manera inesperada llegué al artículo Relational algebras, el cual me pareció muy interesante, pues en él se demuestran varios resultados con tal atributo. El primero que me gustó es el siguiente.
     Hay un funtor $L:\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$, el cual extiende los endofuntores en $\mathbf{Con}$ a endofuntores oplaxos en $\mathbf{Rel}$, donde $\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$ es la categoría cuyos objetos son los funtores oplaxos $F:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ y cuyas flechas son las transformaciones laxas entre estos. Enseguida hago un recuento detallado del asunto.

Observación 1. Toda relación $r:X\rightarrow Y$ se puede factorizar como $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>dr^\circ >> G_r @>cr >> Y, \end{CD}$$ donde $G_r$ es la gráfica de $r$, $dr:=p_X\mid_{G_r}$ y $cr:=p_Y\mid_{G_r}$, con $p_X$ y $p_Y$ las proyecciones del producto $X\times Y$. Lo que hace $(-)^\circ$ es darnos la relación recíproca.

Definición. Decimos que una relación $r:X\rightarrow Y$ es epi, mono, está definida en todas partes o es una función parcial si $cr$ es epi, $cr$ es mono, $dr$ es epi o $dr$ es mono, respectivamente.

Observación 2. El siguiente diagrama de funciones conmuta $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} X @>v>> Y\\ @VuVV @VVgV\\ Z @>>f> A, \end{CD} \end{equation}$$ si y sólo si $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$; en efecto, se tiene que $$u\cdot v^\circ=\{(vx,ux)\in Y\times Z\mid x\in X\}$$ y $$f^\circ\cdot g=\{(y,z)\in Y\times Z\mid gy=fz\}.$$ Nótese que $g^\circ\cdot f$ es la retrotracción (pullback) en $\mathbf{Con}$ de $f$ y $g$.
     Tenemos que (1) es una retrotracción débil si y sólo si $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. En efecto, supóngase que (1) es retrotracción débil; entonces, $\exists\, s:g^\circ\cdot f\rightarrow X$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< p_Z << g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @| @VVsV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y \end{CD}$$ conmuta, donde $p_Z:g^\circ\cdot f\rightarrow Z$ y $p_Y:g^\circ\cdot f\rightarrow Y$ son las proyecciones de la retrotracción $\mathrm{Rt}(f,g)=g^\circ\cdot f$ de $f$ y $g$: $$\require{AMScd} \begin{CD} g^\circ\cdot f @>p_Y>> Y\\ @Vp_ZVV @VVgV\\ Z @>>f> A. \end{CD}$$ Por otro lado, $\exists!\,t:X\rightarrow g^\circ\cdot f$ $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< u << X @>v>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< p_Z < g^\circ\cdot f @>>p_Y> Y \end{CD}$$ conmuta. Por la propiedad universal de $g^\circ\cdot f$, se tiene que $ts=1$; de donde, $t$ es epi. De aquí, $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$.
     Recíprocamente, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Sea $$\require{AMScd} \begin{CD} B @>s>> Y\\ @VrVV @VVgV\\ Z @>>f> A \end{CD}$$ un diagrama conmutativo en $\mathbf{Con}$ y sea $b\in B$; entonces, como $r\cdot s^\circ\subseteq f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ\;$, $\exists\,x_b\in X\;\;(sb,rb)=(vx_b,ux_b)$. Defínase entonces $t:B\rightarrow X$ como $tb:=x_b$ para todo $b\in B$. Claramente, $t$ hace conmutar el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @< r << B @>s>> Y\\ @| @VVtV @|\\ Z @<< u < X @>>v> Y. \end{CD}$$ Proposición 1. Para toda relación $r:X\rightarrow Y$

1. $r$ es epi $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\supseteq \Delta_Y,$
2. $r$ es mono $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\subseteq \Delta_X,$
3. $r$ está definida en todas partes $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X,$
4. $r$ es función parcial $\Leftrightarrow\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y,$
5. $r$ es función $\Leftrightarrow\; r^\circ\cdot r\supseteq \Delta_X\;$ y $\; r\cdot r^\circ\subseteq \Delta_Y$.

Observación 3. $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2: sus homoconjuntos $\mathbf{Rel}(X,Y)$ están parcialmente ordenados, y la composición es compatible con el orden; es decir, si $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'AA{\leq} @AAs'A\\ Y @= Y\\ @ArAA{\leq} @AAsA\\ X @= X \end{CD}$$ entonces $$\require{AMScd} \begin{CD} Z @= Z\\ @Ar'\cdot rAA{\leq} @AAs'\cdot sA\\ X @= X \end{CD}$$ (aquí estoy escribiendo verticalmente la composición horizontal de celdas 2). Tal compatibilidad nos dice cómo definir la composición horizontal de celdas 2. Es claro que tal composición es asociativa y funtorial.

Observación 4. Si se tiene el diagrama de funciones $$\begin{equation} \require{AMScd} \begin{CD} A @>u>> Y\\ @VvVV @AAgA\\ X @<< f < Z \end{CD} \end{equation}$$ entonces $g\cdot f^\circ\subseteq u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;\exists\,h:Z\rightarrow A\;\;$ el diagrama (2) conmuta. Simplemente notemos que $$g\cdot f^\circ=\{(fz,gz)\in X\times Y\mid z\in Z\}$$ y que $$u\cdot v^\circ=\{(va,ua)\in X\times Y\mid a\in A\}.$$ Es claro que $g\cdot f^\circ=u\cdot v^\circ\;\Leftrightarrow\;$ $h$ es epi.

Proposición 2. Dados $X\in\mathbf{Con}$, $T:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ funtor y $\alpha:T\Rightarrow S:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ transformación natural, defínase $LTX:=TX$, $LT:\mathbf{Rel}\rightarrow\mathbf{Rel}$ como $LTr:=Tg\cdot Tf^\circ$, donde $r=g\cdot f^\circ$ es una factorización en funciones de $r$, y $L\alpha:=\alpha$. Entonces $LT$ es un funtor oplaxo y $L$ es un funtor $\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})\rightarrow\mathrm{OpLFun}(\mathbf{Rel},\mathbf{Rel})$.

Demostración. Notemos que $LT(r^\circ)=(LTr)^\circ$, así que denotemos a cualquiera de estos dos como $LTr^\circ$.
     Demostremos primero que $LT$ está bien definido. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación y $u\cdot v^\circ=r$ otra factorización en funciones de $r$; entonces, $u\cdot v^\circ=cr\cdot dr^\circ$; de la Observación 4 y del hecho de que $T$ preserva epis (pues todo epi en $\mathbf{Con}$ es epi escindido), $Tu\cdot Tv^\circ=Tcr\cdot Tdr^\circ$.
     Ahora, que $LT$ sea oplaxo significa que dados $X\in\mathbf{Con}$ y $r,s$ relaciones, $LT\Delta_X\subseteq\Delta_{LTX}$, $r\subseteq s\Rightarrow LTr\subseteq LTs$ y $LT(s\cdot r)\subseteq LTs\cdot LTr$.
     Sea $X\in\mathbf{Con}$; entonces $\Delta_X=1_X\cdot 1_X^\circ$, así que, por la Observación 4, $$LT\Delta_X=1_{TX}\cdot 1_{TX}^\circ=\Delta_{TX}=\Delta_{LTX}.$$      Sean $r,s:X\rightarrow Y$ relaciones y supóngase que $r\subseteq s$. Entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\require{AMScd} \begin{CD} X @< ds << G_s @>cs>> Y\\ @| @AAiA @|\\ X @<< dr < G_r @>>cr> Y, \end{CD}$$ donde $i$ es la inclusión. Si aplicamos $T$, obtenemos un diagrama conmutativo igual al anterior, salvo que aparece una $T$ delante de cada cosa; luego, por la Observación 4, $$LTr=Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ=LTs.$$      Sean $r,s$ relaciones tales que $$\require{AMScd} \begin{CD} X @>r>> Y @>s>> Z; \end{CD}$$ entonces, $s\cdot r=cs\cdot ds^\circ\cdot cr\cdot dr^\circ$. Por la Observación 1, la relación $ds^\circ\cdot cr:G_r\rightarrow G_s$ se puede factorizar en funciones como $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$. De la observación 2, tenemos que el siguiente diagrama es una retrotracción débil: $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>q>> G_r\\ @VpVV @VVcrV\\ G_s @>>ds> Y; \end{CD}$$ así que al aplicar $T$ al diagrama anterior, funtor que quizá no preserva retrotracciones débiles, obtenemos, por lo menos, un diagrama conmutativo; luego, por la Observación 2, $Tp\cdot Tq^\circ\subseteq Tds^\circ\cdot Tcr$. Por otro lado, como $\mathbf{Rel}$ es una categoría 2, $$Tcs\cdot Tp\cdot Tq^\circ\cdot Tdr^\circ\subseteq Tcs\cdot Tds^\circ\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ.$$ El lado izquierdo en la inclusión es $LT(s\cdot r)$ y el lado derecho es $LTs\cdot LTr$. (Que $Tcs\cdot Tp=T(cs\cdot p)$ considerando a $Tcs, Tp$ y $T(cs\cdot p)$ como relaciones, se sigue del hecho de que si $h=g\cdot f$ como funciones entonces $h=g\cdot f$ como relaciones).
     Finalmente veamos que $L\alpha$ es una transformación laxa $LT\Rightarrow LS$. Sea $r:X\rightarrow Y$ una relación. Entonces, de la naturalidad de $\alpha$, el diagrama $$\require{AMScd} \begin{CD} TG_r @>Tdr>> TX\\ @V\alpha G_rVV @VV\alpha XV\\ SG_r @>>Sdr> SX \end{CD}$$ conmuta. Por la Observación 2, $\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Sdr^\circ\cdot\alpha X$; de aquí, como $\mathbf{Rel}$ es categoría 2, $$Scr\cdot\alpha G_r\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X.$$ Como $\alpha Y\cdot Tcr=Scr\cdot\alpha G_r$ (por la naturalidad de $\alpha$), $$\alpha Y\cdot Tcr\cdot Tdr^\circ\subseteq Scr\cdot Sdr^\circ\cdot\alpha X;$$ es decir, $$\require{AMScd} \begin{CD} LTX @>L\alpha X>> LSX\\ @V LTr VV{\leq} @VV LSr V\\ LTY @>>L\alpha Y> LSY. \end{CD}$$      La funtorialidad de $L$ se sigue del hecho de que si $\beta:S\Rightarrow R:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ entonces $\beta\cdot\alpha(X)=\beta X\cdot\alpha X$ y de que $\mathbf{Rel}$ es categoría 2.

Observación 5. Sean $u,v,f,g$ funciones como en la Observación 2. Supóngase que el diagrama (1) conmuta y que $f$ es iso. Entonces, (1) es retrotracción débil si y sólo s $v$ es epi. En efecto, supóngase que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Veamos que $v$ es epi. Sea $y\in Y$; entonces, $gy\in A$; luego, como $f$ es iso, $\exists !\, z\in Z\;\; gy=fz$; de aquí, $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; por lo tanto, como $f^\circ\cdot g=u\cdot v^\circ,\,$ $\exists\,x\in X\;\; vx=y,\,ux=z$. Luego, $v$ es epi.
     Recíprocamente, supóngase que $v$ es epi. Veamos que $u\cdot v^\circ=f^\circ\cdot g$. Basta mostrar que $f^\circ\cdot g\subseteq u\cdot v^\circ$. Sea $(y,z)\in f^\circ\cdot g$; luego, $gy=fz$. Por otro lado, como $v$ es sobre, $\exists\,x\in X\;\;y=vx$. Finalmente, veamos que $ux=z$. Ya se tiene que $u\cdot v^\circ\subseteq f^\circ\cdot g$, así que $(vx,ux)\in f^\circ\cdot g$; de donde, $$fux=gvx=gy=fz,$$ pero $f$ es mono; luego, $z=ux$.

Corolario. Sean $T\in\mathrm{Fun}(\mathbf{Con},\mathbf{Con})$ y $X\overset{r}{\rightarrow}Y\overset{s}{\rightarrow}Z$ realciones. Si $s$ es función o $r$ es bimorfismo (epi y mono), entonces $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.

Demostración. Si $s$ es función, entonces, por la Proposición 1, $ds$ es iso, y si $ds^\circ\cdot cr=p\cdot q^\circ$ como en la proposición anterior, entonces $q$ es epi, por la observación anterior. Como $T$ preserva epis e isos, $Tds$ es iso y $Tq$ es epi. Por otro lado, $$\require{AMScd} \begin{CD} \bullet @>Tq>> \bullet\\ @VTpVV @VVTcrV\\ \bullet @>>Tds> \bullet \end{CD}$$ conmuta; luego, por la observación anterior, $Tds^\circ\cdot Tcr=Tp\cdot Tq^\circ$, así que $LT(s\cdot r)=LTs\cdot LTr$.
     Si $r$ es bimorfismo, $cr$ es iso.

Un problema, una pregunta sin respuesta y rarezas de las redes

En el libro Elementary topology de Michael C. Gemignani, aparece un problema que me dejó pensando si hay algo que no estoy entendiendo o si Gemignani tergiversó algún resultado. El problema dice lo siguiente.

Suppose $X, D$ is a metric space and $\{s_i\},i\in I$, is a net in $X$.

1. Suppose $s_i\rightarrow x$. Prove that a subsequence of $\{s_i\}, i\in I$, converges to $x$.
2. Prove that if every subsequence of $\{s_i\}$ converges to $x$, then $s_i\rightarrow x$.
3. Prove a and b when it is merely assumed that $X,\tau$ is a first countable space.

El problema me desconcierta porque, dado un espacio topológico $(X,\sigma)$, siempre podemos encontrar una red¹ en $X$ sin subsucesiones; más aún, en $\mathbb{R}$ con su topología usual, podemos encontrar una red $\{r_i\}$ sin subsucesiones no convergente; de donde, podemos encontrar, en un métrico, una red no convergente de la cual toda subsucesión converge a un punto $m\in M$, por vacuidad.
     Demuestro mi primera afirmación. Sea $(Y,\tau)$ el espacio topológico con $Y:=\mathbb{R}^{\mathbb{R}}$ y $\tau$ la topología cuyos básicos son los $$U(f,F,p):=\{h\in Y\mid \forall\,x\in F\, |hx-fx|< p\},$$ donde $f\in Y$, $F$ es subconjunto finito de $\mathbb{R}$ y $p\in\mathbb{R}^+$. Dado $f\in Y$, $$T(Y,f):=\{V\in\tau\mid f\in V\}$$ es un conjunto dirigido con el orden $\leq$ dado por $U\leq V$ si y sólo si $V\subseteq U$. Tenemos que toda red $s:T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow X$ no tiene subsucesiones. En efecto, supóngase que $s\circ k$ es subsucesión de $s$; es decir, supongamos que $\forall\, U\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\,\exists\,n\in\mathbb{N}\;\; k_n\subseteq U$. Sea $p\in\mathbb{R}^+$; entonces, $\forall\,x\in\mathbb{R}\,\exists\,m_x\in\mathbb{N}\;\;k_{m_x}\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Esto nos da una función $\alpha:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{N}$ dada por $\alpha x:=m_x$. Tenemos que $$\mathbb{R}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\alpha^{-1}n;$$ de aquí, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;|\alpha^{-1}r|=|\mathbb{R}|$; es decir, $\exists\,r\in\mathbb{N}\;\;k_r\subseteq U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$ para todo $x\in\alpha^{-1}r=:S$, con $|S|=|\mathbb{R}|$. Luego, $k_r\subseteq\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)$. Por otro lado, como $k_r\in T(Y,\mathrm{const}\,0)\subseteq\tau\;$ y $\forall\,n\in\mathbb{N}\;\;k_n\neq\{\mathrm{conts}\,0\}$ (porque $\{\mathrm{conts}\,0\}$ no es abierto), dado $f\in k_r\setminus\{\mathrm{const}\,0\}$, $\exists\,F\subseteq\mathbb{R}$ finito y $\exists\,q\in\mathbb{R}^+\;\;U(f,F,q)\subseteq k_r$. Defínase $h:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ como $$hx:=\begin{cases} fx+\frac{q}{2}&\text{ si $x\in F$},\\ p+1&\text{ si $x\notin F$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(f,F,q)$ pero $h\notin\cap_{x\in S}U(\mathrm{const}\,0,\{x\},p)\;$!! Luego, $s$ no tiene subsucesiones.
     Así que toda subsucesión de $s$ satisface cualquier propiedad, puesto que un condicional es falso si y sólo si su antecedente es verdadero y su consecuente falso; en otras palabras, $\forall\,r\;\;(r\text{ es subsucesión de }s\Rightarrow Pr)$ es siempre verdadera, pues el predicado “subsucesión de $s$” corresponde a un conjunto vacío. Como cuando uno considera un espacio con más de un punto que tiene la topología trivial; dicho espacio es $\mathrm{T}_4$ porque no tiene subconjuntos cerrados no vacíos distintos de él mismo.
     Demuestro mi segunda afirmación. Definamos $s'':L\rightarrow\mathbb{R}$, donde $$L:=\{U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)\mid n\in\mathbb{N}\},$$ como $s''U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1):=(-1)^n\,$ y $s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow L$ como $$s'V:=\begin{cases} U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)&\text{si $V=U(\mathrm{const}\,0,\{0,\ldots,n\},1)$},\\ U(\mathrm{const}\,0,\{0\},1)&\text{si $V\notin L$}. \end{cases}$$ Entonces, $s:=s''\circ s':T(Y,\mathrm{const}\,0)\rightarrow\mathbb{R}$ no converge y tiene como punto límite a 1 pero no a -1; sin embargo, toda subsucesión de $s$ converge a 1 (o a cualquier otro real).
     Tratando de encontrar un resultado en el cual podría estar pensando Gemignani, hallé lo siguiente (en el Introduction to General Topology de K. D. Joshi): un espacio con una sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen, y que si $X$ es un espacio primero numerable y $\{x_n\}$ es una sucesión en $X$ con punto límite $x$ entonces existe una subsucesión de $\{x_n\}$ que converge a $x$.
     El espacio de la sucesión con un punto límite cuyas subsucesiones no convergen es el siguiente. Consideremos a $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$; dado $k\in\mathbb{N}$, al conjunto $\mathbb{N}\times\{k\}$ lo llamaremos el $k$-ésimo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$. Sea $\infty$ un símbolo que no está en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ (por alguna razón poco misteriosa me estoy acordando de lo poco que leí sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con átomos; ZFA le llaman). Sean $Z:=(\mathbb{N}\times\mathbb{N})\cup\{\infty\}$, $S_1:=\mathcal{P}(\mathbb{N}\times\mathbb{N})$ y $S_2$ el conjunto de los $A\subseteq Z$ tales que $\infty\in A$ y $A$ contiene casi todos los puntos en casi todos los renglones; es decir, $\forall^\infty\,k\in\mathbb{N}\,\forall^\infty\,n\in\mathbb{N}\;\;(n,k)\in A$, (donde ‘$\forall^\infty$’ simboliza “para casi todo” significando “ para todo salvo un número finito”); dicho de otra manera, dado $A\in S_2$, existe un número finito de renglones $\mathbb{N}\times\{k\}$ de los cuales hay un número infinito de puntos de cada renglón $\mathbb{N}\times\{k\}$ que no contiene $A$, y para el resto de los renglones hay a lo más un número finito de puntos de cada uno de estos renglones que no contiene $A$ (no sé cómo podría poner esto con cuantificadores; por cierto, el dual de ‘$\forall^\infty$’ es ‘$\exists^\infty$’ “existe una cantidad infinita tal que”). Sea $\sigma:=S_1\cup S_2$; $\sigma$ es una topología sobre $Z$.
     Veamos que ninguna sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ puede converger a $\infty$. Sea $\{x_n\}$ una sucesión en $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tal que $x_n\rightarrow\infty$, así que $\forall\,A\in T(Z,\infty)\exists\,n\in\mathbb{N}\,\forall\,m\in\mathbb{N}\;\;(n\leq m\Rightarrow x_m\in A)$. De aquí, no puede ser que haya un renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ que contenga una cantidad infinita de términos de $\{x_n\}$, pues si así fuera, podríamos obtener un $A\in T(Z,\infty)$ tal que $x_n\notin A$ para una infinidad de términos de $\{x_n\}$. Así que todo renglón de $\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ tiene a lo más un número finito de términos de $\{x_n\}$. Si quitamos de cada renglón esos términos de $\{x_n\}$, obtenemos un abierto $B\in T(Z,\infty)$ que no contiene a ningún término de $\{x_n\}$ !! Así que una sucesión converge a un punto en $(Z,\sigma)$ si y sólo si es eventualmente constante.
     Ahora, sea $z:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ una biyección. Entonces, $\infty$ es punto límite de $\{z_n\}$; es decir, $\forall\, A\in T(Z,\infty)\,\forall\,n\in\mathbb{N}\,\exists\,m\in\mathbb{N}\;\;m\geq n\;\text{y}\;x_m\in A$. En efecto, dado $n\in\mathbb{N}$ y dado $A\in T(Z,\infty)$, no puede ser que $\forall\,m\geq n\;\;x_m\notin A$, puesto que $z(\mathbb{N})=\mathbb{N}\times\mathbb{N}$, así que debe existir un $m\geq n$ tal que $x_m\in A$. Ninguna subsucesión de $\{z_n\}$ converge a $\infty$.
     Quizá Gemignani estaba pensando en el segundo resultado que encontré (el cual es fácil de demostrar): ocurre en los métricos, pues son primero numebrales. No lo sé.

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1. Una red $\{s_i\}_{i\in I}$ en un espacio $(X,\sigma)$ es una función $s:I\rightarrow X$ cuyo dominio $I$ es un conjunto dirigido.
     Sea $J$ un conjunto dirigido y $k:J\rightarrow I$ una función tal que

1. $k$ es monótona,
2. $\forall\,i\in I\,\exists\,j\in J\;\;i\leq k(j)$.

Se dice que la composición $s\circ k:J\rightarrow X$ es una subred de $s$. En particular, si $J=\mathbb{N}$, se dice que $s\circ k$ es una subsucesión de $s$.↩

$\pi$ el oráculo

Ayer fue Día de $\pi$, así que me encontré en la red con comentarios e imágenes aludiendo a $\pi$. Me topé con un texto cuyos decires ya he oído o leído antes:

Pi is an infinite nonrepeating decimal —meaning that every possible number combination exists somewhere in pi. Converted into ASCII text, somewhere in that infinite string of digits is the name of every person you will ever love, the date, time, and manner of your death, and the answers to all the great questions of the universe. Converted into a bitmap, somewhere in that infinite string of digits is a pixel-perfect represantion of the first thing you saw on this earth, the last thing you will see before your life leaves you, and all the moments, momentous and mundane that will occur between those two points. All information that has ever existed or will ever exist, the DNA of every being in the universe...

Me pareció, y me ha parecido, extraño que se le atribuya a $\pi$ la propiedad de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo por el solo hecho de tener una expansión decimal infinita aperiódica. Primero, porque todo número irracional tiene una expansión decimal infinita aperiódica, y segundo, porque, de contener las respuestas a todas las grandes preguntas del universo, $\pi$, y cualquier otro irracional, sería un oráculo. Le compartí tal extrañeza a un cuate de la prepa y la secundaria, y este me contestó: “Tienes razón, pero entonces ¿no será que todo número irracional contiene toda esa información? Supongo que a lo más se puede decir ‘no sabemos’ ”.
     Yo creo que ningún irracional contiene toda esa información. (1) En principio, no contienen ninguna información sobre el mundo, el universo: los números por sí solos (ni cualquier otro objeto matemático) no se refieren a nada en el mundo, no tienen referentes fácticos; por otro lado, no hay una función inyectiva canónica de las letras del alfabeto a las cadenas finitas de dígitos de cualquier irracional. (2) A pesar de (1), supongamos que ya establecimos una función inyectiva de las letras a las cadenas finitas de dígitos de un irracional, como la del código ASCII; entonces, nos faltaría determinar si las proposiciones contenidas en $\pi$, o cualquier otro irracional de nuestra elección, son verdaderas o no, y para eso habría que contrastarlas con la realidad; por otro lado, para que una proposición sea información (acerca de la realidad), pienso, tiene que ya estar constrastada y ser verdadera; mientras no esté constrastada o no sea verdadera, no puede ser información: si voy a un puesto de información, no espero que lo que me digan sean enunciados falsos o de los cuales no se sabe si son ciertos o no: la información falsa no es información (es desinformación), como tampoco las proposiciones sin contrastar (si soy un turista al que le dan información sobre un paraje turístico y a mí me toca averiguar, quizá sin saberlo, si lo que me dicen es cierto o no, entonces lo que me dieron no es información).
     Ahora, considerando sólo el aspecto matemático, de la aperiodicidad y la infinitud de la expansión decimal de un irracional no se sigue que toda combinación de números aparezca en su expansión decimal. Consideremos, por ejemplo, el conjunto de todos los irracionales que no tengan en su expansión decimal al 1 y al 7. Dicho conjunto es no vacío: si pensamos en el conjunto $T$ de las funciones que van del conjunto de los naturales al $\{0,2,3,4,5,6,8,9\}$ , tal conjunto $T$ tiene cardinalidad $\aleph_1$. Al quitarle a $T$ las sucesiones periódicas, seguimos teniendo un conjunto de cardinalidad $\aleph_1$.
     El texto al que hago referencia, además, me hizo recordar que en Math.Stackexchange alguien preguntó: “Does Pi contain all possible number combination?”.

Chauve-souris

     Après de longues études durant des années, j'ai enfin compris les cris des chauve-souris: elles veulent de retour leur humanité. Lorsque tombe la nuit, elles commencent leurs chants aigûment angoissants parlant d'une sorcière et son maléfice pour chauve-sourettre les humains.

Las álgebras de la mónada $(-)^A:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$

$\newcommand{\con}{\mathbf{Con}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}$
Comencemos esta exposición considerando el caso más general que elevar a la $A$ con $A$ un conjunto.

Hay un ejemplo clásico elemental (o toda una clase de ejemplos elementales) de 2-mónada. Tenemos que toda categoría pequeña $C\in\Cat$ tiene estructura de comonoide con counidad el único funtor $!_C:C\rightarrow\uno$ de $C$ a la categoría con un solo objeto y una sola flecha, y con comultiplicación el funtor diagonal $\delta_C:C\rightarrow C\times C$; es decir, los siguientes diagramas conmutan: \begin{equation}\label{counitcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[d]_\lambda\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^{\delta_C}\ar@{}|{=}[r] & C\ar[d]^\varrho\\ \uno\times C & C\times C\ar[r]_{1\times !_C}\ar[l]^(.45){!_C\times 1} & C\times\uno }\end{xy} \end{equation} y \begin{equation}\label{comultcat} \begin{xy} \xymatrix{ C\ar[r]^{\delta_C}\ar[d]_{\delta_C} & C\times C\ar[d]^{\delta_C\times 1}\\ C\times C\ar[r]_(.4){1\times\delta_C} & C\times C\times C. }\end{xy} \end{equation} Del diagrama \eqref{comultcat}, tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ (((-)^C)^C)^C\ar[rr]^(.55){(-)^C(-)^{\delta_C}}\ar[d]_{(-)^{\delta_C}(-)^C} & & ((-)^C)^C\ar[d]^{(-)^{\delta_C}}\\ ((-)^C)^C\ar[rr]_{(-)^{\delta_C}} & & (-)^C }\end{xy}$$ conmuta. Del diagrama \eqref{counitcat}, $$\begin{xy}\xymatrix{ (-)^C\ar[rr]^{(-)^C(-)^{!_C}}\ar[drr]_{1_{(-)^C}} & & ((-)^C)^C\ar[d]^(.45){(-)^{\delta_C}} & & (-)^C\ar[ll]_(.45){(-)^{!_C}(-)^C}\ar[dll]^{1_{(-)^C}}\\ & & (-)^C & & }\end{xy}$$ conmuta. Además, $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ son transformaciones 2-naturales. Que $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ sean transformaciones 2-naturales se sigue del hecho de que $\Cat$ es cerrada cartesiana; más precisamente, de que tiene exponenciales; es decir, se tiene un isomorfismo $$\begin{xy}\xymatrix{\Cat(A\times B,D)\ar@{}|{\cong}[r]^{\overset{\quad\varphi^{-1}}{}} & \Cat(A,D^B),}\end{xy}$$ natural en $A$ y en $D$. En particular, como los $\varphi^{-1}_D$ son funtores para cada $D\in\Cat$, dada una transformación natural $\gamma:H\Rightarrow H':A\rightarrow D^B$ y un funtor $G:D\rightarrow D'$, $$G\circ\widehat{H}=\widehat{G^B\circ H}\quad\text{y}\quad G\circ \widehat{\gamma}=\widehat{G^B\circ\gamma}.$$ De la primera igualdad se seguiría la naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$ y de la segunda, la 2-naturalidad de $(-)^{\delta_C}$ y $(-)^{!_C}$.
     Por lo tanto, $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$ es una 2-mónada.

Volvamos entonces a lo que nos interesa: las álgebras de $(-)^A$. En un chat, Omar Antolín me preguntó cuáles eran las álgebras de la mónada $(-)^A:\con\rightarrow\con$; a él mismo se le ocurrió la solución. Me dijo lo siguiente:

Las álgebras para $(-)^A$ en la categoría de conjuntos son todas de la forma $X=\prod_{a\in A}X_a$ con la estructura de álgebra $X^A\rightarrow X$ dada por restricción a la diagonal (si todos los conjuntos $X_a$ son iguales a $Y$, esta $X$ es el álgebra libre generada por $Y$). Para probarlo, básicamente hay que saber cómo identificar, dada un álgebra $X$, qué es $X_a$. Esto se hace así: define que dos elementos $p,q\in X$ son $a$-equivalentes si hay alguna función $f:A\rightarrow X$ tal que $f(a)=p$ y que la estructura de álgebra de $X$ mande a $f$ en $q$. Es fácil ver que esto es una relación de equivalencia, y que si defines $X_a$ como el conjunto de clases de equivalencia, la función canónica $X\rightarrow\prod_{a\in A}X_a$ es un isomorfismo de álgebras.

     Antes de ver cómo se le pudo haber ocurrido la solución, veamos la siguiente adjunción.
     Sea $A\in\con$ no vacío. Definamos el funtor $A^\ast:\con\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con\ar[r]^(.45){A^\ast} &\con/A}\end{xy}\qquad\quad\;$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & X\times A\ar[r]^(.6){\pi_A^X}\ar[d]^{f\times A} & A\ar@{.>}[d]_1\\ Y\ar@{|->}[r] & Y\times A\ar[r]_(.6){\pi_A^Y} & A }\end{xy}$$ y el funtor producto dependiente $\prod_A:\con/A\rightarrow\con$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^(.55){\prod_A} & \con}\end{xy}\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{.>}[d]_1\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A} g^{-1}a\ar[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & \prod_{a\in A}h^{-1}a, }\end{xy}$$ donde $$\prod_A f:=\begin{cases} f_\ast|_{\prod_A g} &\text{si $\prod_A g\neq\emptyset$,}\\ !_{\prod_A h} &\text{si $\prod_A g=\emptyset$,} \end{cases}$$ con $f_\ast=\con(A,f)$ y $!_{\prod_A h}$ la única flecha $\emptyset\rightarrow\prod_A h$. Este funtor está bien definido, pues si $g$ es suprayectiva, $h$ también. (Notemos que todo $s\in\prod_A g\neq\emptyset$ es sección de $g$, es decir, $g\circ s=1_A$).
     Afirmamos que $A^\ast\dashv\prod_A:\con/A\rightarrow\con$. En efecto, dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, se tiene el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\times A\ar[dr]_{\pi_A^{\prod_A g}}\ar[rr]^(.55){ev_g} & & X\ar[dl]^g\\ & A, & }\end{xy}$$ donde $ev_g:\prod_A g\times A\rightarrow X$ claramente está definida como $ev_g(s,a):=sa$ para todo $a\in A$ si $\prod_A g\neq\emptyset$; si $\prod_A g=\emptyset$, es claro qué flecha es $ev_g$. Así que $$ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$$ en $\con/A$. Veamos que $ev_g$ es flecha universal del funtor $A^\ast$ a $g$. Sea $k:A^\ast Z\rightarrow g$: $$\begin{xy}\xymatrix{ Z\times A\ar[dr]_{\pi_A^Z}\ar[rr]^k & & X\ar[dl]^g\\ & A & }\end{xy}$$ y consideremos la correstricción de la transpuesta de $k:Z\times A\rightarrow X$ a $\prod_A g$; denotémosla $\hat{k}$, igual que a la transpuesta de $k$. (Notemos que si $g$ no es suprayectiva, como $\pi_A^Z$ siempre es suprayectiva si $Z\neq\emptyset$, entonces $Z=\emptyset$). Claramente, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ & A^\ast Z\ar[dl]_k\ar[d]^{A^\ast\hat{k}}\\ g & A^\ast\prod_A g\ar[l]^(.6){ev_g} }\end{xy}$$ y $\hat{k}$ es la única flecha $Z\rightarrow\prod_A g$ que hace conmutar el diagrama. Luego, $ev_g:A^\ast\prod_A g\rightarrow g$ es universal para todo $g\in\con/A$; así que $A^\ast\dashv\prod_A$.
     Ahora, recordemos que, dada una categoría $C\in\Cat$, esta induce la mónada 2 $((-)^C,(-)^{!_C},(-)^{\delta_C})$, y si $C=A$, una categoría discreta (un conjunto), como las celdas 2 de $\con$ son triviales, obtenemos la mónada $(-)^A\mid_{\con}:\con\rightarrow\con$.
     Caractericemos entonces las álgebras de $(-)^A:\con\rightarrow\con$: la solución se le pudo haber ocurrido de la siguiente manera. Notemos que si se tiene una familia de conjuntos $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por el conjunto $A$ donde cada $X_a\neq\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene una estructura canónica de $(-)^A$-álgebra; a saber, $$\begin{xy}\xymatrix{\left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){d_X} & \prod X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\; \begin{xy}\xymatrix{k \ar@{|->}[r] & \hat{k}\circ\delta_A;}\end{xy}$$ en efecto, los siguientes diagramas conmutan: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a \ar[rr]^{(\prod X_a)^{!_A}}\ar[drr]_{1_{\prod X_a}} & & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ & & \prod X_a, }\end{xy}$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\left(\prod X_a\right)^A\right)^A \ar[r]^(.6){{d_X}^A}\ar[d]_{\left(\prod X_a\right)^{\delta_A}} & \left(\prod X_a\right)^A\ar[d]^{d_X}\\ \left(\prod X_a\right)^A\ar[r]_(.53){d_X} & \prod X_a. }\end{xy}$$ Más aún, las proyecciones son morfismos de $(-)^A$-álgebras, con $$\begin{xy}\xymatrix{(X_a)^A\ar[r]^(.6){ev_a} & X_a}\end{xy}$$ $$\qquad\begin{xy}\xymatrix{f \ar@{|->}[r] & fa}\end{xy}$$ la estructura de $(-)^A$-álgebra sobre cada $X_a$. Es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ \left(\prod X_a\right)^A \ar[r]^(.55){{p_a}^A}\ar[d]_{d_X} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ \prod X_a \ar[r]_{p_a} & X_a }\end{xy}$$ conmuta, y $$\begin{xy}\xymatrix{ X_a \ar[r]^(.47){(X_a)^{!_A}}\ar[dr]_{1_{X_a}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a} & ((X_a)^A)^A \ar[r]^(.55){{ev_a}^A}\ar[d]_{(X_a)^{\delta_A}} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ & X_a & (X_a)^A \ar[r]_{ev_a} & X_a }\end{xy}$$ también. (Si algún $X_a=\emptyset$, entonces $\prod X_a$ tiene como estructura de $(-)^A$-álgebra el álgebra vacía). Así que si $X\neq\emptyset$ tiene una estructura de $(-)^A$-álgebra $\alpha:X^A\rightarrow X$, $X$ es el producto de los $X_a$ de una familia $\{X_a\}_{a\in A}$ indexada por $A$ y $p_{\sim_a}:X\rightarrow X_a$ es la proyección que determina a $X_a$, entonces $p_{\sim_a}$ debe satisfacer la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A \ar[r]^{{p_{\sim_a}}^A}\ar[d]_{\alpha} & (X_a)^A\ar[d]^{ev_a}\\ X \ar[r]_{p_{\sim_a}} & X_a; }\end{xy}$$ es decir, si $f\in X^A$, $\alpha(f)\sim_a fa$. Así que $X_a$ es el cociente de $X$ entre la relación de equivalencia más pequeña $\sim_a$ que identifica a $\alpha(f)$ y a $fa$. De hecho, la relación sobre $X$, para cada $a\in A$, dada por “$p,q\in X$ están relacionados si $\exists\,f:A\rightarrow X\; fa=p$ y $\alpha f=q$” es de equivalencia (denotemos a esta relación igualmente por $\sim_a$, después de todo son iguales). Reflexividad: sea $p\in X$; la función constante $\Delta_p:A\rightarrow X$ que manda todo $b\in A$ a $p$ cumple que $\Delta_p a=p$ y $\alpha\Delta_p=p$; esta última igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X. }\end{xy}$$ Luego, $p\sim_a p$.
     Simetría. Sean $p,q\in X$ tales que existe una función $f:A\rightarrow X$ tal que $fa=p$ y $\alpha f=q$. Defínase $\varphi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\varphi(b):=\begin{cases} f &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_p &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $g:A\rightarrow X$ como $gb:=\alpha(\varphi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $\alpha g=p$ y $ga=q$; la primera igualdad se sigue de la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ X^A\ar[r]_\alpha & X. }\end{xy}$$      Transitividad. Sean $p,q,r\in X$ tales que $p\sim_a q$ y $q\sim_a r$; es decir, $\exists\, f:A\rightarrow X\;fa=p$ y $\alpha f=q$ y $\exists\,g:A\rightarrow X\;ga=q$ y $\alpha g=r$. Por simetría, demostrada previamente, $\exists\,f':A\rightarrow X\;f'a=q$ y $\alpha f'=p$. Defínase $\psi:A\rightarrow X^A$ como sigue: $$\psi(b):=\begin{cases} f' &\text{ si $b=a$,}\\ \Delta_{gb} &\text{ si $b\neq a$.} \end{cases}$$ Defínase $h:A\rightarrow X$ como $hb:=\alpha(\psi b)$ para todo $b\in A$; entonces, $ha=p$ y $\alpha h=r$.
     Afirmamos que la asignación anterior (la que, dada una $(-)^A$-álgebra $(X,\alpha)$, nos da la familia $\{X_a\}$ indexada por $A$ a través de las relaciones $\sim_a$ para cada $a\in A$) es funtorial: definamos $S:\con^{(-)^A}\rightarrow\con/A$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con^{(-)^A}\ar[r]^S & \con/A}\end{xy}\qquad\quad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar@{|->}[r]\ar[d]_f & \coprod X_a\ar[d]_{\coprod f/\sim_a}\ar[r]^(.55){g_X} & A\ar@{.>}[d]_1\\ (Y,\beta)\ar@{|->}[r] & \coprod Y_a\ar[r]_(.55){g_Y} & A }\end{xy}$$ si $(X,\alpha)$ no es la $(-)^A$-álgebra vacía, donde $g_X$ está definida como $g_X x:= a$ si $x\in X_a$, y de manera similar $g_Y$ (de hecho, una familia indexada por $A$ nos da una $g\in\con/A$ definida de igual manera y una $g\in\con/A$ nos da una familida indexada por $A$), y donde $f/\sim_a$ y $\coprod f/\sim_a$ quedan definidas por el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[d]_f\ar[r]^{p_{\sim_a^X}} & X_a\ar@{-->}[d]^{f/\sim_a}\ar[r]^{i_a^X} &\coprod X_a\ar@{-->}[d]^{\coprod f/\sim_a}\\ Y\ar[r]_{p_{\sim_a^Y}} & Y_a\ar[r]_{i_a^Y} &\coprod Y_a }\end{xy}$$ La $f/\sim_a$ existe por la conmutatividad del siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^{f^A}\ar[d]_\alpha & Y^A\ar[d]^\beta & g\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & f\circ g\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_f & Y & \alpha g\ar@{|->}[r] & f(\alpha g)=\beta(f\circ g); }\end{xy}$$ es decir, $f(\alpha g)\sim_a^Y fga$, y $\alpha g\sim_a^X ga$; en otras palabras, $\ker p_{\sim_a^X}\subseteq\ker(p_{\sim_a^Y}f)$. Si $(X,\alpha)$ es el álgebra vacía, entonces $S(X,\alpha):=!_A$ y $Sf:=!_Y$.
     Ahora, definamos $\prod_A:\con/A\rightarrow\con^{(-)^A}$ como $$\begin{xy}\xymatrix{\con/A\ar[r]^{\prod_A} & \con^{(-)^A}}\end{xy}\qquad\qquad$$ $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^g\ar[d]_f & A\ar@{|->}[r]\ar@{.>}[d]_1 & (\prod_A g,d_g:(\prod_A g)^A\rightarrow\prod_A g)\ar@<-8ex>[d]^{\prod_A f}\\ Y\ar[r]_h & A\ar@{|->}[r] & (\prod_A h,d_h:(\prod_A h)^A\rightarrow\prod_A h) }\end{xy}$$ donde $\prod_A f$ es la misma función que aparece en la definición del adjunto derecho de $A^\ast$ (más adelante veremos por qué utilizamos el mismo nombre), y $d_g$ y $d_h$ son la estructura canónica de $(-)^A$-álgebra para una familia indexada. En efecto $\prod_A f$ es morfismo de $(-)^A$-álgebras: considérese el ejemplo clásico elemental de 2-mónada del principio; es decir, $\widehat{f^A\circ k}=f\circ\hat{k}$, donde $k\in(\prod_A g)^A$.
     Veamos que $S\dashv\prod_A$. Sea $(X,\alpha)\in\con^{(-)^A}$; entonces, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ & X\ar[dl]_{p_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]^{(p_{\sim_a})}\\ X_a & \prod X_a\ar[l]^{p_a} }\end{xy}$$ Tenemos que $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X}\\ X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a }\end{xy}$$ conmuta, pues $p_{\sim_a}(\alpha f)=p_{\sim_a}(fa)$ para todo $f\in X^A$ y para todo $a\in A$. Es decir, se tiene el morfismo de $(-)^A$-álgebras $$\begin{xy}\xymatrix{(X,\alpha)\ar[r]^(.4){(p_{\sim_a})} & \prod_AS(X,\alpha).}\end{xy}$$ Afirmamos que $(p_{\sim_a})$ es una biyección $X\rightarrow\prod X_a$; más aún, es un isomorfismo en $\con^{(-)^A}$. En efecto, sea $([q_a])\in\prod X_a$. Defínase $f:A\rightarrow X$ como $fa:=q_a$ para todo $a\in A$. Sea $p':=\alpha f$; entonces, $p'\sim_a q_a$ para todo $a\in A$. Luego, $(p_{\sim_a})$ es suprayectiva. Veamos que es inyectiva: sean $p,q\in X$ tales que $p_{\sim_a}p=p_{\sim_a}q$ para todo $a\in A$; entonces, $\forall\,a\in A\,\exists\,\varphi_a:A\rightarrow X\; \varphi_a a=p$ y $\alpha(\varphi_a)=q$; $\varphi\in(X^A)^A$; luego, por la conmutatividad de $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{X^{!_A}}\ar[dr]_{1_X} & X^A\ar[d]^\alpha & (X^A)^A\ar[r]^(.6){\alpha^A}\ar[d]_{X^{\delta_A}} & X^A\ar[d]^\alpha\\ & X & X^A\ar[r]_\alpha & X, }\end{xy}$$ $p=\alpha(\hat{\varphi}\circ\delta_A)=\alpha(\alpha\circ\varphi)=q$, pues $\hat{\varphi}\circ\delta_A=\Delta_p$ y $\alpha\circ\varphi=\Delta_q$.
     Así que, como $(p_{\sim_a})$ es una biyección, un isomorfismo en $\con$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A} & & X^A\ar[r]^(.45){(p_{\sim_a})^A}\ar[d]_\alpha & (\prod X_a)^A\ar[d]^{d_X} &\\ & & X\ar[r]_(.4){(p_{\sim_a})} & \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X; }\end{xy}$$ de aquí, $$\begin{xy}\xymatrix{ (\prod X_a)^A\ar[rr]^(.6){((p_{\sim_a})^{-1})^A}\ar[d]_{d_X} & & X^A\ar[d]^\alpha\\ \prod X_a\ar[rr]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}} & & X }\end{xy}$$ conmuta.
     Renombremos a $(p_{\sim_a})$: denotémoslo como $\eta_{(X,\alpha)}$. Si $(X,\alpha)=(\emptyset,\emptyset)$, entonces definimos $\eta_{(X,\alpha)}:=1_\emptyset$. Afirmamos que $\eta_{(X,\alpha)}$ es flecha universal de $(X,\alpha)$ al funtor $\prod_A$. Sea $k:(X,\alpha)\rightarrow\prod_A h$ morfismo en $\con^{(-)^A}$ con $h:Y\rightarrow A$ (suprayectiva: si $X\neq\emptyset$, forzosamente $h$ es suprayectiva). Como $k$ es morfismo, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ X^A\ar[r]^(.45){k^A}\ar[d]_\alpha & (\prod_A h)^A\ar[d]^{d_Y} & f\ar@{|->}[r]\ar@{|->}[d] & k\circ f\ar@{|->}[d]\\ X\ar[r]_(.4)k & \prod_A h & \alpha f\ar@{|->}[r] & k(\alpha f)=\widehat{k\circ f}\circ\delta_A; }\end{xy}$$ de aquí, si $\alpha f\sim_a fa$, entonces $k(\alpha f)a=k(fa)a$; así que $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker(q_a\circ k)$ para todo $a\in A$, donde los $q_a$ son las proyecciones $\prod_A h\rightarrow h^{-1}a$. Por lo tanto, tenemos el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ X\ar[r]^{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[r]^(.45){i_a}\ar@{-->}[d]^{k_a} & \coprod X_a\ar[d]^{\coprod k_a}\ar[rr]^{g_X} & & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a\ar[r]_(.45){j_a} & \coprod h^{-1}a\ar@{}|(.6){=}[r] & Y\ar[r]_h & A. }\end{xy}$$ Como $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod X_a\ar[dr]^{p_a}\ar[d]_(.55){(p_{\sim_a})^{-1}}\ar@/_4.7pc/[dd]_{\prod k_a} & \\ X\ar[r]_{p_{\sim_a}}\ar[d]_k & X_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod_A h\ar[r]_{q_a} & h^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta, $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[r]^{(p_{\sim_a})}\ar[dr]_k & \prod X_a\ar[d]^{\prod k_a}\\ & \prod_a h }\end{xy}$$ también. Claramente, del diagrama anterior, si $s:S(X,\alpha)\rightarrow h$ es morfismo en $\con/A$ tal que $$\begin{xy}\xymatrix{ (X,\alpha)\ar[drr]_k\ar[rr]^(.45){(p_{\sim_a})} & & \prod_AS(X,\alpha)\ar[d]^{\prod_A s}\\ & & \prod_A h }\end{xy}$$ conmuta, entonces $s=\coprod k_a$. Si $X=\emptyset$, es claro quién tiene que ser el $k':S(X,\alpha)\rightarrow h$ que haga conmutar el diagrama anterior. Por lo tanto, $S\dashv\prod_A$.
     Afirmamos que la counidad de la adjunción $S\dashv\prod_A$ es un isomorfimo para los objetos $g:X\rightarrow A$ suprayectivos de $\con/A$.
     En efecto, sea $g:X\rightarrow A$ objeto suprayectivo de $\con/A$, y $G:=\prod_A g$. Veamos que $\ker p_a=\ker p_{\sim_a}$, donde $p_a:\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$ y $p_{\sim_a}:G\rightarrow G_a$, con $G_a=G/\sim_a$. Sean $s,t\in\prod_A g$ tales que $s\sim_a t$; entonces, $\exists f:A\rightarrow\prod_A g\quad fa=s$ y $d_Gf=\hat{f}\circ\delta_A=t$. (Notemos que $f:A\rightarrow\prod_A g\subseteq X^A$). De aquí, $sa=f(a)(a)=ta$. Luego, $\ker p_{\sim_a}\subseteq\ker p_a$. Recíprocamente, supóngase que $sa=ta$; defínase entonces $f:A\rightarrow\prod_A g$ como $$fb:=\begin{cases} s &\text{si $b=a$},\\ t &\text{si $b\neq a$}. \end{cases}$$ Claramente, $fa=s$ y $\hat{f}\circ\delta_A=t$; luego, $\ker p_a\subseteq\ker p_{\sim_a}$.
     Como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]^{i_a}\ar@{-->}[d]^{1_a^G} & \coprod G_a\ar[r]^{g_G}\ar[d]^{\coprod 1_a^G} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A; }\end{xy}$$ más aún, como $\ker p_{\sim_a}=\ker p_a$, $\forall\,a\in A$ $1_a^G$ es mono; de hecho, cada $1_a^G$ también es epi: considérese el siguiente diagrama conmutativo: $$\begin{xy}\xymatrix{ \prod g^{-1}a\ar[r]^{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar@{-->}[d]\\ \prod_A g\ar[d]_1\ar[r]^{p_{\sim_a}} & G_a\ar@{-->}[d]^{1_a^G}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a. }\end{xy}$$ Así que $\coprod 1_a^G:S\prod_A g\rightarrow g$ es un isomorfismo en $\con/A$.
     Dado $g:X\rightarrow A$ objeto de $\con/A$, defínase $\epsilon_g:=\coprod 1_a^G$ si $g$ es suprayectivo y $\epsilon_g:=!_X$ si no. Veamos que $\epsilon$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$; hagámoslo mostrando que $\epsilon$ es universal de $S$ a $g$. Sea $k:S(Y,\beta)\rightarrow g$ en $\con/A$: $$\begin{xy}\xymatrix{ \coprod Y_a\ar[rr]^k\ar[dr]_{g_Y} & & X=\coprod g^{-1}a\ar[ld]^g\\ & A & }\end{xy}$$ conmuta. De la conmutatividad de este diagrama, tenemos que $kY_a\subseteq g^{-1}a$ para todo $a\in A$. De donde, $\forall\,a\in A\,\exists\;k_a:Y_a\rightarrow g^{-1}a$ funciones tales que $$\begin{xy}\xymatrix{ Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]_{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ g^{-1}a\ar[r]_{j_a} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g & A }\end{xy}$$ conmuta. Luego, por la propiedad universal de $\prod g^{-1}a\rightarrow g^{-1}a$, se sigue que $\exists!\, k':Y\rightarrow\prod g^{-1}a$ $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar@{-->}[d]_{k'} & Y_a\ar[d]^{k_a}\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a} & g^{-1}a }\end{xy}$$ conmuta. Luego, el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy}\xymatrix{ Y\ar[r]^{q_{\sim_a}}\ar[d]_{k'} & Y_a\ar[r]^{i'_a}\ar[d]^{k_a} & \coprod Y_a\ar[r]^{g_Y}\ar[d]^k & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod g^{-1}a\ar[r]_{p_a}\ar[d]_1 & g^{-1}a\ar[r]_{j_a}\ar[d]^{1_a^G} & \coprod g^{-1}a\ar[r]_g\ar[d]^{(\coprod 1_a^G)^{-1}} & A\ar@{.>}[d]_1\\ \prod_A g\ar[r]_{p_{\sim_a}} & G_a\ar[r]_{i_a} & \coprod G_a\ar[r]_{g_G} & A; }\end{xy}$$ de donde, $Sk'=(\coprod 1_a^G)^{-1}\circ k$: $$\begin{xy}\xymatrix{ & \coprod Y_a\ar[ld]_k\ar[d]^{Sk'}\\ X & \coprod G_a\ar[l]^{\coprod 1_a^G} }\end{xy}$$ conmuta; es decir, $$\begin{xy}\xymatrix{ & S(Y,\beta)\ar[dl]_k\ar[d]^{Sk'}\\ g & S\prod_A g\ar[l]^{\epsilon_g} }\end{xy}$$ conmuta (para $g:X\rightarrow A$ suprayectivo). Para $g$ no suprayectivo, el único $k'$ es $!_{\prod_Ag}$. Luego, $\epsilon_g$ es la counidad de $S\dashv\prod_A$, y $\epsilon_g$ es iso si $g$ es suprayectivo.
     Considerando todo lo anterior, se tiene el siguiente diagrama: $$\begin{xy}\xymatrix{ \con/A\ar@<1ex>[r]^{\prod_A}\ar@<-1ex>[d]_{\prod_A} & \con^{(-)^A}\ar@<1ex>[d]^{G^{(-)^A}}\ar@<1ex>[l]^S\\ \con\ar@<-1ex>[u]_{A^\ast}\ar@{}|{=}[r] & \con\ar@<1ex>[u]^{F^{(-)^A}} }\end{xy}$$ cuyos adjuntos derechos conmutan. Ahora, si definimos $\con_\emptyset$ como la subcategoría plena de $\con$ cuyos objetos son los conjuntos no vacíos, $\con/A_s$ la subcategoría plena de $\con/A$ cuyos objetos son las funciones suprayectivas sobre $A$ y $\con^{(-)^A}_\emptyset$ la subcategoría plena de $\con^{(-)^A}$ cuyos objetos son las álgebras no vacías, tenemos que $\con/A_s$ es equivalente a $\con^{(-)^A}_\emptyset$ y un diagrama conmutativo (salvo isomorfismo) similar al anterior.
     Unos tres meses después de esa plática con Omar, me dijo: “el otro día vi que alguien preguntaba en Math.StackExchange por las álgebras de la mónada $(-)^A$ en la categoría de conjuntos. El que constestó (dando la caracterización que ya sabíamos) es Zhen Lin”, y me dio el enlace.

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Nota. Aquí dejo un pdf de esta entrada.

La ciencia adolescente

Corría por unas calles que crecían a través de todo el espacio frente a mí. Las personas corrían hacia todos lados, alarmadas, gritando, tropezando; algunas morían en la estampida con la boca sumamente abierta, en un grito ahogado, con una garganta roja, enrojecida por unos vasos sanguíneos congestionadísimos que, en ocasiones, estallaban en borbotones escarlata.
     Entre todo ese caos visual, corporal y humano, logré divisar un adolescente (o una) que permanecía quieto (o quieta), de pie, y asombrosamente intacto. Balbuceaba palabras que yo deseaba adivinar (por qué era intocable); quizá había un secreto científico en sus palabras, un secreto que mantenía el orden, la tensión, la cohesión, el determinismo (en su sentido más amplio).
     Miré sus manos, que prestidigitaban; sin embargo, no eran las manos de un mago; eran las manos de un ilusionista (un escéptico, por supuesto), un ateo.
     Sin darme cuenta, comencé a fijarme, atrancarme en mi cuerpo, perdía caoticidad: ganaba fijeza: calma pero no certidumbre... Calma pero no certidumbre... Calma

Operador frontera y operador exterior

Una topología se puede determinar mediante un operador interior o un operador cerradura. No sabía que también se puede hacer mediante un operador frontera o un operador exterior; lo que más me sorprende es que pueda hacerse mediante un operador frontera.
     Dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:

1. $\partial X=\emptyset$;
2. $\forall\, A\subseteq X\ \partial A=\partial A^c$;
3. $\forall\,A,B\subseteq X\ \partial(A\cup B)\subseteq \partial A\cup\partial B$;
4. para toda familia $\{A_i\}_{i\in I}$ de subconjuntos de $X$, se tiene que $$\partial(\cap A_i)\subseteq\bigcup_{J\subseteq I,J\neq\emptyset}\cap_{j\in J}\partial A_j\bigcap\cap_{i\in I\setminus J}A_i.$$

Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A\cap\partial A=\emptyset$.
     Toda función $\partial:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.
     Ahora, dado un espacio topológico $(X,\tau)$, se satisface lo siguiente:

1. $\mathrm{Ext} X=\emptyset,\, \mathrm{Ext}\emptyset=X$;
2. $\forall\, A,B\subseteq X\ A\subseteq B\Rightarrow\mathrm{Ext} B\subseteq\mathrm{Ext}A$;
3. $\forall\, A,B\subseteq X\ \mathrm{Ext}(A\cup B)=\mathrm{Ext}A\cap\mathrm{Ext}B$;
4. $\forall\, A\subseteq X\ \mathrm{Ext}A^c\subseteq A$.

Tenemos que $A\in\tau\Leftrightarrow A=\mathrm{Ext}A^c$.
     Toda función $\mathrm{Ext}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ que satisface los incisos i, ii, iii, iv anteriores determina una topología sobre $X$.

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Nota. Algunos días después de publicar la entrada, encontré en el Topology de Dugundji que él define un operador frontera de manera distinta a la que se me ocurrió. La de él es más sencilla.
     Sea $X$ un conjunto y sea $\mathrm{Fr}:\mathcal{P}(X)\rightarrow\mathcal{P}(X)$ una función tal que

1. $\mathrm{Fr}\emptyset=\emptyset$;
2. $\mathrm{Fr}A=\mathrm{Fr} A^c$;
3. $\mathrm{FrFr}A\subseteq\mathrm{Fr}A$;
4. $A\cap B\cap\mathrm{Fr}(A\cap B)=A\cap B\cap(\mathrm{Fr}A\cup\mathrm{Fr}B)$.

Un subconjunto $A$ de $X$ se dice que es abierto si $A^c=A^c\cup\mathrm{Fr}A^c$

Teoría de categorías II

Aquí está el segundo capítulo junto con el primer capítulo corregido (pues tenía algunas partes cuya redacción dejaba que desear o partes que faltaban).
     Aparece ahora un nuevo apéndice sobre congruencias, el cual no está terminado todavía. Por cierto, el apéndice sobre universos de Grothendieck tampoco está terminado. Los apéndices poco a poco quedarán terminados.

Evolución

Soñaba que le nacían plumones negros, verdes y rojos sobre el lomo, agrupados en franjas verticales; que le salían plumas largas, blancas y de bordes negros en la cola, patas y brazos, a la vez que estos últimos se alargaban; que planeaba extendiendo ampliamente sus cuatro extremidades, como celebrando y abrazando la vida; que volaba de un árbol a otro bajo una trama de luces y sombras, acechando a su presa. Que volaba mucho centelleando iridiscencias.
     Cuando despertó, el dinosaurio todavía estaba allí.

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Nota. Hace un mes, más o menos, me preguntaron si podían traducir al francés “Nunca hubo milagro”, minificción que aparece en la antología Alebrije de palabras, para incluirla en Lecture d'ailleurs, un conjunto de antologías de distintos autores de países hispanohablantes. Dije que sí. También añadieron otras dos minificciones. Los tres microrrelatos aparecen en Lecture du Mexique en la página 341, si no me equivoco.
     También me invitaron a participar en Le livre d'or de Monsieur Dinosaure con una minificción que fuera una variación de “Dinosaurio” de Monterroso. Este fue el resultado.

Teoría de categorías I

Hay pocos o ningún texto en español en teoría de categorías, así que pensé en traducir el que más me gusta, Categories for the working mathematician. Quizá haya también otras razones para un libro en español, pero simplemente las obviaré.
     Aquí está el primer capítulo. La traducción tiene algunas adiciones: notas al pie, un apéndice y algunos ejercicios. Iré publicando los avances cada que termine un capítulo, así que el libro completo me llevará un año entero, más o menos, según he estimado.

Biopotamologie par un teenek

     Ma spécialité c'est la biopotamologie, la vie, de tout genre, dans et auprès des fleuves, et grâce à elle, j'ai partout voyagé dans le monde et fait certaines découvertes zoologiques (quelques-unes avec de l'appui de quelques fondations, comme le WWF, lequel fut définitivement impliqué dans la découverte de l'intéressantissime arctopotame).
     Je voudrais d'abord mentionner pourquoi je m'intéressa tant dans la vie des animaux de fleuve. Mon enfance, comme celle de beaucoup de teeneks (ou huastèques si vous préférez), je la vécus près d'un fleuve, le Pánuco, lequel m'a toujours fasciné par son débit si vigoureux et ses extraordinaires animaux. C'est là que je vis mon premier cryptide, le laab pay'loom te', ou l'élaphopotame comme je l'appelle présentement.
     La cryptozoologie est –comme les teeneks– pauvre, sans intérêt, indulgente et docile; dédaignée pour considérer les animaux du folclore avec possibilité d'existence, pour son manque habituel de méthode scientifique, pour sa parenté au mythe. Nous, les teeneks, sommes différents des ejeks (les métis, les espagnols, les occidentaux), qui sont exigents, intéressants, riches. Les baatsik' sont les premiers habitants du monde, les êtres du monde souterrain; les teeneks –agriculteurs–, leurs descendants, comme Caïn le premier descendant venu à la Terre; les ejeks –éleveurs– arrivèrent à notre monde. Tout comme dès le début: Caïn face à Abel, les baatsik' face aux teeneks, les teeneks face aux ejeks, les agriculteurs face aux éleveurs, les cryptozoologistes face aux zoologistes.
     Le premier biopotame dont je parlerai sera certes l'élaphopotame, ou le cerf des fleuves, en teenek, laab pay'loom te', l'arbre parrain. Nous autres, les teeneks, attribuons à cet animal le rôle de prendre soin de l'enfant à la suite de sa naissance; la vie de l'enfant dépend de la robustesse de son arbre parrain.
     L'élaphopotame n'appartient pas à la famille Cervidae, puisqu'il est omnivore: il se nourrit de pintontles mourants, escargots, poisson-chats malades et plantes riveraines; rarement sort de l'eau, et se nourrit durant la nuit: il est le protecteur du sauvage, l'animal de compagnie des baatsik'. L'élaphopotame a l'habitude de se donner des baignades et roulades dans la boue de zones peu profondes, ou dans les marais: il est sale comme les teeneks. Ses bois sont enchevêtrés, désordonnés, duveteux, et d'une envergure de jusqu'à deux mètres. Il a une hauteur de deux mètres et demi à la tête, et deux mètres dix au garrot. Il pèse entre 550 et 730 kg. Son pelage est rêche, brun-rougeâtre; il possède une crinière de poils durs et hirsutes plus foncés que le reste du pelage, et qui peut même atteindre une couleur noire. Le laab pay'loom te' est des premiers, les baatsik', les craignants du soleil, nous autres les kwitol, les enfants, les sans-raison.
     Dans le sud du Vietnam, à quelques heures de Can Tho, tout au long du fleuve Mékong, s'étend un vaste territoire trés peu exploré à cause de son accès difficile. À ce cours d'eau habite le Cuu Long, ou l'arctopotame comme je l'appelle. L'arctopotame, ou ours de fleuve, est un mammifère herbivore de coleur rouille, à longue queue rayée: il est probablement apparenté au panda roux, c'est-à-dire, il appartient probablement à la famille des ailuridés (Ailuridae); il comporte cependant deux grandes différences avec le panda fuligineux: (1) sa taille: il peut atteindre une longueur de deux mètres et demi, et (2) ses pattes, qui sont plus élancées et développées, possiblement adaptées aux nages très prolongées dans un très bourbeux Mékong, en vietnamien, Cuu Long Giang, le fleuve des neuf dragons (des êtres paradoxalement baatsik', et de lumière et feu).
     Le coracopotame, ou corbeau de fleuve, se trouve dans la Toungouska pierreuse, en Russie. Dû à l'absence de rapports de l'existence dudit oiseau jusqu'à l'évènement de la Toungouska, explosion thermonucléaire aérienne probablement due à une météorite, c'est possible que le coracopotame en soit le résultat par la mutation de certains corvidés de la région, peut-être du Corvus corax. Son plumage est tout noir, aux reflets pourpres, verts et bleus; son bec et ses pattes sont noirs aussi. Il se nourrit de petits poissons dans la rivière et de charognes sur terre. Il peut mesurer, debout (puisque sur terre il marche comme les pingouins), jusqu'à 110 cm. Les coracopotames sont très agressifs et se regroupent en pelotons d'au plus dix membres. Ils s'agressent ocasionellement les uns les autres jusqu'à atteindre le cannibalisme.
     Pour terminer, je parlerai de mes trois dernières et plus fascinantes découvertes dans le Kwando, à la frontière de la Zambie, l'Angola et la Namibie: les tératopotames, ou monstres de fleuve: l'égopotame, le sypotame, et l'outopotame (ou l'allopotame, ou anthropopotame). Depuis des générations, les aperçus de ces créatures ont fait partie de la culture yaouma, kwahane et lozi. Ils les appélent lifatal, kakoundoukoundou et poula, respectivement. Ces noms ne présentent pas de variations d'une langue à l'autre.
     Je me trouvais déjà près de la frontière tripartite lorsque le Kwando commença à devenir fangeux, à se transformer en un labyrinthe de petits marécages; celui-ci fut très vite bondé d'arbres gigantesques, noirs et couverts de lianes, en sorte que peu de lumière atteignait le cours de la rivière. Ma chaloupe voguait lentement, et s'arrêta à plusieurs reprises. La dernière fois j'essaya de la faire avancer, mais il me fallut en débarquer: ma rame s'accrocha dans la bourbe du fond, gobante à son intérieur et glissante sur sa surface. Soudain, je fus absorbé vers le bas: tout était trouble, et je commença à marcher à quatre pattes sur le fond, lorsque je me trouva, subitement, face à face avec un être gris, aux yeux ronds, noirs, abyssaux, désolants et glaciaux; en eux je vis les temps précédents à tout homme, où il n'y avait pas encore le Soleil. Je regarda vers le haut: je pus voir à peine son tronc mince, dont le bout supérieur paraissait se diviser en trois: c'étaient ses jambes. Je voulus m'en aller, mais un murmure-remous me retint, et en réflexe, je dirigea mon regard vers le visage inopinément sans bouche de cet être gris; je m'éperdis dans son regard et le murmure commença de se rendre net: il me parlait dès l'intuition, la première pensée, depuis le sauvage, le non-verbal, l'obscurité-vacuité. Je le confondis avec moi, tournâmes l'un autour de l'autre, fûmes fondament l'un de l'autre, configurâmes un dialogue primordiale: Moi et Toi confondus, cofondés. Émergea la Lumière, l'Autrui, Lui, avec son corps d'homme. Moi et Toi craignâmes-craignèrent. Moi et Toi demandâmes-demandèrent qui était Lui. Moi-Toi devint colimaçon. Lui était toujours là, tant plein de lumière, aveuglant. Je-tu sus enfin qui c'était: Teenek.
     Tout devint alors superlumineux, l'eau devint claire et se bourra d'une écume de grosses bulles. L'air me manquait et je sortis subito de l'eau, comme poussé du bas. Je fis une parabole de demi-mètre jusqu'au bord de la grosse gorge des Chutes Victoria: je juchais sur mon ventre, sur le bord de la Piscine du Diable, une piscine naturelle à 103 mètres de hauteur, en bordure de la falaise de la cataracte, du côté zambien du fleuve Zambèze, où se jette le Kwando. Je haletais en regardant l'abîme couvert d'une rosée et d'un fracas constants, pensant à cette rencontre avec le baatsik' et les autres créatures. Je n'arrivais pas à penser avec clarté à cause de l'abattement, donc je reposa un peu puis sortis du fleuve. Juste sur la rive, je rencontra un homme de l'ethnie lozi qui crut que j'étais un touriste égaré, mais je lui expliqua que j'étais un cryptozoologiste et qu'étais sur la piste du kakoundoukoundou, du lifatal y du poula. Ensuite je lui parla de mon expérience; il affirma à la fin de mon récit: « L'animal-conscience appelle la parole, l'homme naît de l'animal-conscience ». Nous filâmes vers une petite hôtellerie proche de là, le Zambezi Sun, où je resta trois jours, en gambergeant à mes conclusions.
     Zoologie. Les rapports et la découverte des tératopotames situent ceux-ci sous terre, le long de 128 km du fleuve Kwando à la frontière partagée par Angola, Zambie et Namibie, très probablement tout le long d'une chaîne de cénotes en grotte d'au moins 230 km, qui est la distance entre la zone frontalière du Kwando et les Chutes Victoria: aucun yaouma, kwahane ou lozi mentionne d'avoir aperçu de telles créatures sur l'aire entre ce fleuve et les chutes. Le sypotame, ou toi fluvial (en lozi, kakoundoukoundou, remous), lorsqu'il reste immobile, flotte la tête en bas, et nage en se propulsant avec ses trois jambes, ce qu'il fait avec plus de rapidité grâce à la forme fusiforme de sa tête, très semblable à celle des requins. Dû à l'absence de bouche, on ne peut distinguer un visage que par l’existence de deux yeux noirs, globuleux et sans paupières. Il a la peau gris et, au toucher, est comme du papier sablé. Les caractéristiques précédentes font penser à un lien de parenté avec les squales, ce qui pourrait suggérer l'existence d'ampoules de Lorenzini mutées, des organes sensitifs aux champs électromagnétiques mais capables de modifier la conscience des proies. L'outopotame, ou lui fluvial (en lozi, poula, foudre), est bioluminiscent et anthropomorphe. Puisqu'on l'a toujours aperçu en présence du sypotame, celui-ci et l'outopotame coexistent en une sorte de symbiose. L'égopotame, ou moi fluvial (en lozi, lifatal, jumeau), est une manifestation intermittente tout le long du contact avec le sypotame. Selon des études du psychologue physiologique Michael Persinger, si on stimule le lobe temporal droit d'un individu au moyen de champs magnétiques faibles et complexes, cet individu expérimente une présence proche mais vague. C'est possible que l'intermittence génère cette sensation de dialogue non-verbal et cette subite aperception de soi.
     L'objectivité. Les baatsik' demeurent dans l'obscurité de la conscience sans parole, là où les rayons et étincelles du champ cultivé n'arrivent jamais. Les baatsik' sont la conscience sauvage, la colectivité sylvestre: ils se regardent, se touchent, s'écoutent, se flairent en animaux: le dialogue pousse de se percevoir l'un l'autre. Un regard se montre à la conscience d'autrui, sans verbe; il n'y a qu'une danse où les corps reconnaissent une émotion, un langage intérieur. Les teeneks ont les baatsik' pour origine; chez l'homme vit l'obscurité, chez lui il y a la semence du dialogue: le soi et son jumeau. L'esprit et le monde s'éclairent de la parole.

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Note. J'ai participé à un des concours de XYZ avec cette nouvelle... Je n'ai pas pas gagné.

Conjuntos bien ordenados y conjuntos bien fundados.

No me había dado cuenta de (o no sabía) que estos conceptos pudieran estar relacionados...
     Una relación $R$ sobre un conjunto $X$ se dice que está bien fundada si todo subconjunto no vacío $Y$ de $X$ tiene un elemento $R$-minimal; es decir, si $$\forall Y\subseteq X[Y\neq\emptyset\Rightarrow\exists m\in Y\neg\exists y\in Y (yRm)].$$      Se tiene que para todo conjunto totalmente ordenado finito $(X,\leq)$, la relación $<$ está bien fundada. Asimismo, la relación $<$ sobre $\mathbb{N}$; a esto se le conoce como el principio del buen orden para los números naturales. En general, un conjunto totalmente ordenado $(X,\leq)$ está bien ordenado si y sólo si su relación $<$ está bien fundada. Notemos que en todo conjunto bien ordenado no hay sucesiones estrictamente decrecientes.
     Ahora, por otro lado, siguiendo con la noción de relación bien fundada, se tiene que la relación $\in$ está bien fundada sobre todo conjunto no vacío $X$, y esto se sigue del axioma de fundación o regularidad, el cual dice lo siguiente.

Axioma de fundación o regularidad. $$\forall x[\exists y(y\in x)\Rightarrow\exists y[y\in x\wedge\neg\exists z(z\in x\wedge z\in y)]].$$ En otras palabras, todo conjunto no vacío $x$ tiene un elemento $y$ con el cual no comparte elementos; es decir, $y$ es un elemento $\in$-minimal.
     Este axioma tiene las siguientes dos consecuencias:

T1. Para todo conjunto $x$ se tiene que $x\notin x$.
     En efecto, supóngase que existe un conjunto $t$ tal que $t\in t$. Sea $x:=\{t\}$. Se tiene que $t\in x$, y es su único elemento. Por otro lado, $t$ tiene un elemento que comparte con $x$; a saber, $t$ !! (contradicción).

T2. No existe ninguna sucesión $\in$-decreciente infinita de conjuntos. Es decir, no existe ninguna sucesión $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ de conjuntos tal que $x_{n+1}\in x_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     En efecto, supóngase que tal sucesión existe. Sea entonces $X:=\{x_n\mid n\in\mathbb{N}\}$ (y $X$ es conjunto por el esquema axiomático de reemplazo). Dado cualquier $x_n\in X$, se tiene que $x_{n+1}\in X$ y $x_{n+1}\in x_n$!!
     ...Ahora me acabo de acodar del axioma de antifundación...

Retrotracciones y protracciones

Me quedé pensando en una posible traducción para los términos pullback y pushout usados en la Teoría de Categorías. Después de pasar por tirón y empujón, me quedaría con tracción para pullback y, con menos certeza, con expulsión o despido o expelición para pushout.
     Por otro lado, siguiendo la sugerencia de El voto batracio y del dibujo que aparece en la página 189 del libro Abstract and concrete categories: the joy of cats, me quedo con retrotracción para pullback y con protracción para pushout.

Categorías cerradas cartesianas y su categoría de flechas

Encontré una afirmación muy bonita no muy difícil de demostrar sobre categorías cerradas cartesianas y su categoría de flechas. Si $-\times b:A\rightarrow A$, su adjunto derecho está denotado como $[b,-]$.

$A^{\mathbf{2}}$ es cerrada cartesiana si y sólo si $A$ es cerrada cartesiana y para todo par $f:a\rightarrow b$, $g:c\rightarrow d$, el copalmo de flechas $[f,d]:[b,d]\rightarrow[a,d]\leftarrow [a,c]:[a,g]$ tiene producto fibrado $P(f,g)$. El homo interno de $f$ y $g$ en $A^{\mathbf{2}}$ es la flecha $p:P(f,g)\rightarrow [b,d]$ del producto fibrado.

Estoy traduciendo span como palmo. Preferí esta palabra sobre yunta, arcada o puente.

“...'Cause it's the truth...”

Detenidamente miraba a su alrededor: las escaleras eléctricas, los aparadores, las luces. Sus ojos se detuvieron en un pequeño frasco, el cual tomó. Con un rostro ensimismado y encendido, levantó el brazo al frente y dijo “'Cause it's the truth”, presionando el botón durante medio segundo; entonces, corriendo como una caricatura altiva, atravesó el fragante rocío de Chanel N°5. Al detenerse, susurró: “...And yet, I don't wanna say ‘nude’... but... it's the truth...”.

Deux lettres de drame et chaos

Un nô ai-je ès os;
où un aï va çà et là,
où un ré tu et mû es-tu,
né du dé si mû.
Té ! Un aï en do, en ré, en mi.
Tu et mû le nô,
ce ru en ra tu as bu.
Aï, le pi ai-je ès us.

Una mera curiosidad sobre grupos en una categoría I

1. Introducción

En la sección §6 del capítulo III del Categories for the working mathematician, Mac Lane define un grupo en una categoría $C$ con productos finitos y objeto terminal $t$ como un objeto $c$ junto con los morfismos (en $C$) $\mu:c\times c\rightarrow c$, $\eta:t\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ tales que los siguientes diagramas conmutan:

     Me pareció curioso que no incluyera el diagrama

así que me pregunté si la conmutatividad del penúltimo diagrama implicaba la conmutatividad del último; es decir, me pregunté si se podía demostrar, con puras flechas, la conmutatividad del último diagrama. Resultó que sí.

2. Un monoide con inversos derechos es un grupo

Se sabe que si $M$ es un monoide en $\mathbf{Set}$ entonces si $a,a_i,a_d\in M$ son tales que $$a_ia=e=aa_d,$$ entonces $a_i=a_d$. También se sabe que si $\forall\,a\in M\;\exists\, a_d\in M$ tal que $aa_d=e$ entonces $M$ es un grupo. La manera en que se demuestra la primera afirmación es así: $$a_i=a_ie=a_i(aa_d)=(a_ia)a_d=ea_d=a_d.$$ Una demostración de la segunda es como sigue: sea $a\in M$; entonces, $\exists\, a_d\in M\; aa_d=e$; por otro lado, $\exists\, (a_d)_d\in M\; a_d(a_d)_d=e$. Por lo tanto, $a_d$ tiene inverso izquierdo $a$ e inverso derecho $(a_d)_d$, y, como $M$ es monoide, $a=(a_d)_d$; es decir, $a_d$ es inverso izquierdo y derecho de $a$. Así que $M$ es grupo.      Volviendo a la pregunta, tratemos de imitar las demostraciones categóricamente.
     La primera afirmación sería como sigue:

Proposición A1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta':c\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

conmutan, entonces $\zeta'=\zeta$.

La segunda afirmación sería como sigue:

Proposición A2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta:c\rightarrow c$ es un morfismo en $C$ tal que

conmuta, entonces

también conmuta.

     Se podría tratar de proceder como en la demostración en $\mathbf{Set}$: demostrar la Proposición A1 y luego usar la Proposición A1 para demostrar la Proposición A2; sin embargo, tratemos de demostrar la Proposición A2. Si imitamos, más o menos, la demostración de la Proposición A2 en el caso de $\mathbf{Set}$, primero demostraríamos, suponiendo la hipótesis de la Proposición A2, que

conmuta, es decir, que

conmuta. Segundo, que $\zeta\zeta=1_c$. Tercero, si $\zeta\zeta=1_c$ entonces, como (3) conmuta, (2) también.
     Notemos que mostrar que $\zeta\zeta=1_c$ tiene algo en común con la Proposición A1: supongamos la hipótesis de la Proposición A1; queremos mostrar que si

conmutan, entonces $1_c=\zeta\zeta$. Generalicemos aquello que tienen en común.

Proposicion A3. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta_1,f,\zeta_2:b\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

y

conmutan, entonces $\zeta_1=\zeta_2$.

Antes de demostrar la Proposición A3, demostraremos el siguiente lema.

Lema L1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $g:b\rightarrow c$ un morfismo en $C$, entonces $$\mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b=\mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b=g,$$ donde $\eta':b\rightarrow c$ es la composición $b\overset{!_b}{\rightarrow}t\overset{\eta}{\rightarrow}c$.

Demostración. Notemos que, como

conmutan, entonces $$!_b\times 1\circ\delta_b=\lambda_b^{-1}\quad\text{y}\quad 1\times !_b\circ\delta_b=\rho_b^{-1},$$ que son naturales. Finalmente, tenemos, de las igualdades anteriores y de la naturalidad de $\lambda$ y $\rho$, que \begin{align} \mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b &=\mu\eta\times 1\circ 1\times g\circ !_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\lambda_c\circ 1\times g\circ\lambda_b^{-1}\notag\\ &=g\notag\\ \notag\\ \mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b &=\mu\circ 1\times\eta\circ g\times 1\circ 1\times !_b\circ\delta_b\notag\\ &=\rho_c\circ g\times 1\circ\rho_b^{-1}\notag\\ &=g\notag. \end{align} Demostración de la Proposición A3. Es fácil ver que $$\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b=\delta_b\times 1\circ\delta_b.$$ Entonces, de aquí, del Lema L1, de la naturalidad de $\alpha$, de la asociatividad de $\mu$ y de la conmutatividad de (5) y (6), \begin{align} \zeta_1 &=\mu\circ\zeta_1\times\eta'\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\zeta_1\times(f\times\zeta_2)\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\alpha^{-1}\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\delta_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\eta'\times\zeta_2\circ\delta_b\notag\\ &=\zeta_2\notag. \end{align} Ahora, demostremos la conmutatividad de (3). Esto se sigue de algo más general.

Lema L2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ con $\zeta:c\rightarrow c,f:b\rightarrow c$ morfismos en $C$ y (1) conmuta, entonces

conmuta.

Demostración. Se sigue de la naturalidad de $\delta$ y la conmutatividad de (1): el diagrama

conmuta. Así que la Proposición A2 se sigue del Lema L2 y la Proposición A3, y la Proposición A1 de la Proposición A3.

Rejas encandadadas

Hace muchos días, Cris y yo fuimos con Iralia y Macías a Pachuca, con la intención de pasear. Nos hospedamos en la casa de la abuela y de la mamá de Iralia. Justo antes de comer, fuimos al Centro de las Artes de Pachuca Hidalgo; no permanecimos largo rato ahí, pues estaban por cerrar.
     Entramos y cruzamos rápidamente el vestíbulo de la entrada, donde había un mural que iba del techo a los muros izquierdo y derecho, y llegamos a un patio con una fuente octagonal en el centro. El patio estaba rodeado por una arquería usual en la planta baja y por otra inusual en el primer piso (ahí los arcos en realidad no eran curvos sino rectangulares y muy muy altos). Tomamos algunas fotografías en el atrio y subimos al primer piso, desde donde hicimos lo mismo. Después de que recorrimos tres muros del pasillo de la arquería del primer piso, subimos otro poco por unas escaleras estrechas hasta un cruce de pasillos, donde el espacio pareció hacerse laberíntico y confuso; a la izquierda, enseguida e inesperadamente, al pasillo le creció una joroba: era una pequeña bahía a cielo abierto en cuyo centro se encontraba una fuente que contrastaba muy bonito con el intenso cielo azul y las paredes completamente blancas y sobrias. Continuamos por el mismo pasillo hasta terminar al pie de unas escaleras, las cuales iban a una azotea, en donde, al fondo (si una azotea puede tener fondo), había algo parecido a una capilla, cuyas rejas estaban cerradas con un candado.
     Entonces, Macías comentó (o el papá o la mamá de Iralia, no lo recuerdo) que el teatro estaba con candado. Entonces pregunté, o quizá la mamá de Iralia: “¿el teatro está encandadado?”. A lo que Macías o el papá de Iralia respondieron: “Sería encandado”. Macías arguyó que candado ya era un participio y que entonces el verbo tenía que ser encandar y no encandadar. Yo afirmaba que no, que no era un participio y que la raíz o el morfema raíz no debía perder ninguna d al formar el nuevo verbo.
     Al día siguiente siguió la discusión, a orillas de la presa de San Antonio Regla, a un lado de los Prismas Basálticos de la barranca de Santa María Regla. Ahí acordamos que teníamos que averiguar si era o no un participio. Volvimos a casa, el papá de Iralia subió al primer piso, encendió la computadora, fue a la página del diccionario de la RAE y encontró el verbo candar, el cual tiene dos acepciones: “cerrar con llave” y “cerrar de cualquier modo”: Macías tenía razón en que candado era el participio de algún verbo. El papá de Iralia y yo bajamos para comunicarles a los demás que existía el verbo candar y que significaba “cerrar con llave”; sin embargo, afirmé que la discusión no estaba terminada.
     En lingüística, las palabras, cuando son consideradas como partes de una oración, se clasifican en las siguientes categorías (o clases) léxicas (o partes de la oración): sustantivo, verbo, adjetivo, adverbio, conjunción, preposición, etc. ([1, pp. 21–24] y [2, pp. 133–135]).
     Cuando se forma una nueva palabra, su creación puede hacerse mediante varios procedimientos: derivación, abreviación, acortamiento, préstamo, calco, composición, parasíntesis, etc. ([1, pp. 25–45] y [2, pp. 175–200]). Ahora, la derivación consiste en formar, mediante la adición de afijos, palabras nuevas cuya categoría léxica pueda ser distinta de la de la base y cuyo referente sea distinto del de la base. En la formación de delgadez a partir de delgado, hay cambio de categoría léxica y cambio de referente, así que esto es una derivación; en la formación de niñez a partir de niño, no hay cambio de categoría léxica pero sí hay cambio de referente, así que esta formación también es una derivación. En particular, la derivación de verbos a partir de sustantivos o adjetivos es la formación de palabras concerniente a la discusión.
     Eugeniu Coșeriu, lingüista rumano especializado en lenguas romances, llama relaciones paragramaticales a “las relaciones que se establecen al interior de las palabras que son producto de procedimientos formativos y que son análogas a las relaciones gramaticales, aunque menos definidas por inexplícitas. Se refiere al hecho de que una operación de formación de palabras incluye siempre una determinación gramatical impuesta a un contenido lexemático de existencia previa, de donde deriva el significado lexemático secundario” ([3, p. 20]). En otras palabras, una relación paragramatical es la relación sintáctica y semántica (restringida al contexto de formación de palabras) entre categorías léxicas. La relación sintáctica se refiere a la relación entre categorías léxicas dentro de la estructura interna de una frase (como al orden al que estas están sujetas para que la frase tenga sentido, o a la jerarquía que estas ocupan en segmentos de frases) y a la función que pueden desempeñar dichas categorías dentro de esa estructura (por ejemplo, un sustantivo puede ser sujeto u objeto ([1, p. 179] y [2, p. 213]). La relación semántica, dentro del contexto de formación de palabras, se refiere a las posibles situaciones a las que puede referirse una palabra derivada, de acuerdo a las maneras de significar de las categorías léxicas involucradas.
     En el caso que concierne a la discusión, la derivación de verbos a partir de sustantivos y adjetivos, son las maneras de significar del verbo y el sustantivo (y en el caso de verbos deadjetivales el adjetivo) las que determinarán los posibles significados de la palabra derivada.
     La función del verbo dentro de la frase es predicar, pero tiene varias maneras de predicar. Puede predicar existencia: “la luna existe”, “hay relámpagos”; una cualidad: “el negro va con todo”, “se apellida Rodríguez”; la percepción, sensación o aprehensión de algo: “oír”, “sentir”, “entender”; un estado: “brillar”, “dormir”; sucesos: “acontecer”, “caer”, “morir”; acciones: “correr”, “comprar”; la causación: “dormir al niño”, “romper un plato” ([3, p. 28]). Elisabeth Beniers dice en [3]: “Constituir una palabra motivada¹ implica concebir una determinación paragramatical para ella, determinación que queda codificada en su significado y que refleja en algo las posibles relaciones semántico-sintácticas entre clases”.
     De acuerdo a la observación de las maneras de significar de un verbo, dado que un adjetivo denota cualidad, estado, apariencia o propensión, las posibles maneras de significar de un verbo deadjetival quedan determinadas por las maneras de significar de ambos y resultan en sólo cuatro ([3, p. 29]); he aquí las paráfrasis que corresponderían a esas maneras de significar:

1. “ser (estar/pasar a ser) lo que el adjetivo expresa”: escasear, albear;
2. “parecer lo que el adjetivo expresa”: verdear, negrear;
3. “volverse o volver algo tal como lo expresa el adjetivo”: alegrar;
4. “actuar de una forma como la caracteriza el adjetivo”: tontear.

Es decir, cuando un verbo se deriva a partir de un adjetivo, aquel predicará la posesión, adquisición o transmisión de una característica única, o la tendencia a manifestarla ([3, p. 20]).
     En cambio, cuando un verbo se deriva de un sustantivo, este quedará determinado como participante o circunstante del hecho denotado por aquel, o como elemento predicativo de cuyo denotado pueden derivarse un solo rasgo o un conjuntos de rasgos, los cuales serán predicados por aquel ([3, pp. 20–21]).
     Beniers señala diez posibles maneras de significar de un verbo denominal. Puede predicar existencia, atribución, transformación, posesión, instrumento o medio, modo, ubicación, producto, actividad y paciente ([3, pp. 39–52]).
     El caso que interesa en la discusión es la predicación de posesión. Dicha relación puede ser estática o dinámica. En el primer caso el sustantivo que denota lo poseído queda incorporado en el verbo derivado y el complemento adnominal del complemento directo de la oración queda como complemento directo del nuevo verbo, como en

“Ricardo tiene la ambición de un auto”.
“Ricardo ambiciona un auto”.

“Luisa tiene el deseo de una camioneta”.
“Luisa desea una camioneta”.

     En el segundo caso, se tienen dos subcasos.
     Uno. La relación de posesión se refiere al sujeto, así que es una relación de adquisición: hay un traslado del objeto denotado por el sustantivo base hacia el sujeto como su poseedor inminente:

“La res adquirió garrapatas”.
“La res se engarrapató”.

“César se puso traje”.
“César se trajeó”.

     Dos. La relación de posesión se refiere al objeto, así que es una relación de dotación: el sustantivo base denota lo poseído, pero el traslado es al objeto receptor. En este caso, el sustantivo que denota lo poseído queda incorporado en el verbo derivado y el complemento indirecto de la oración queda como complemento directo del nuevo verbo (o el sujeto de la oración de complemento queda como complemento directo del nuevo verbo: estas descripciones dependen de la paráfrasis²):

“La abuela le dio a su nieta un ajuar”, “la abuela hizo que su nieta tuviera un ajuar”.
“La abuela ajuareó a su nieta”.

“El novio prodigó caricias a la novia”.
“El novio acarició a la novia”.

“El estado otorgó soldada a varios de sus ciudadanos”.
“El Estado asoldadó a varios de sus ciudadanos”.

     Quisiera señalar que, en el proceso de derivación, “entra el contexto cultural, que legitima unas actividades como suficientemente institucionalizadas para merecer designarse por medio de una unidad léxica y desautoriza la cualidad de denotata de otras” ([3, p. 23]). Es decir, las palabras base indicarán una situación particular que es relevante para una comunidad, como en el caso de encebadar, que significa “dar a las caballerías tanta cebada que les haga daño”; o representarán un uso o un giro particulares de sí mismas, como en el caso de fogoso, donde la base fuego está en un uso figurado, como pasión, o como en el caso de viborear, que significa “hablar mal de una persona”, víbora se está usando con el valor de persona malintencionada, basado en un juicio negativo sobre las víboras. En síntesis, por no dar más ejemplos, como afirma Beniers en [3], “las palabras base se comportan como en el habla” y una palabra nueva se crea para algún aspecto relevante para una comunidad; en nuestro caso, para señalar que a una puerta se le ha colocado un candado y para la pequeñísima comunidad de seis personas.
     Ahora, las afijaciones para derivar verbos denominales que indican posesión dinámica para objetos, dadas de mayor frecuencia a menor, como las encontró Beniers en el Diccionario del español usual en México, son -ar, en- -ar, a- -ar, -izar, -ear, -ificar, in- -ar, en- -ecer. Encontré registrados seis verbos denominales derivados de participios sustantivados para indicar posesión dinámica en objetos, cinco en el DRAE en línea y uno en el Diccionario Abierto de Lengua Española (el cual es un proyecto educativo y de investigación de la lengua Española en Internet): cebadar, que significa “dar cebada a las bestias”; encebadar, “dar a las caballerías tanta cebada que les haga daño” o, dicho de una caballería, “enfermar de encebadamiento”; sobradar, “poner sobrado a los edificios”; asoldadar, “tomar a sueldo, asalariar”, se usaba especialmente en lo antiguo tratándose de gente de guerra; apartidar, “alzar o tomar partido” o “adherirse a una parcialidad”, y apuñadar, “dar puñadas o puñetazos a alguien”.
     Quisiera hacer notar que el verbo encebadar ha sido derivado del sustantivo cebada, el cual a su vez ha sido derivado del verbo cebar, que significa “dar comida a los animales para aumentar su peso” o “dar a los animales comida para atraerlos o alimentarlos” (primeras dos acepciones que aparecen en el DRAE en línea; las otras nueve son irrelevantes para nuestra discusión). A pesar de que encebadar ha sido derivado de un participio sustantivado, no existe la forma derivada encebar para señalar la situación indicada por encebadar, ni cebadar es sinónimo de cebar ni sobradar es sinónimo de sobrar ni puñadar es sinónimo de puñar, etc. Hay una única excepción a esta regularidad: asoldadar es sinónimo de asoldar; sin embargo, según aparece en el DRAE en línea, asoldadar se deriva de soldada y asoldar de sueldo. Es decir, como ya se dijo antes, cuando un verbo se deriva de un sustantivo, este quedará determinado como participante o circunstante del hecho denotado por aquel, o como elemento predicativo de cuyo denotado pueden derivarse un solo rasgo o un conjuntos de rasgos, los cuales serán predicados por aquel; en otras palabras, el verbo postsustantivo indica un aspecto específico dentro del hecho denotado por él mismo; por otro lado, como Beniers afirma, “en este proceso [la derivación] la palabra base funciona cómo índice del tipo de situación a denotar por el que se orienta el oyente en su construcción de la intensión”: se perdería la transparencia o motivación del verbo derivado para su desciframiento si se hiciera una derivación suprimiendo un afijo de la palabra base porque esta a su vez fuera derivada. Así que conjeturo, como muestran los paradigmas anteriores, que son inusuales o de plano inexistentes las derivaciones en- + participio − ado (afijo del participio) + -ar por falta de transparencia para el oyente, ya que la ausencia del participio no indicaría el posible aspecto del hecho denotado por el verbo que se quiere resaltar; es decir, el verbo cuya palabra base sea un participio sustantivado con el -ado eliminado aparecería como desmotivado y, por tanto, difícil de descifrar; de aquí, encandado y encandar son construcciones desmotivadas y, por tanto, poco probables.
     La frecuencia registrada por Beniers para las formas derivadas de verbos postsustantivos que indican posesión dinámica en objetos sugiere como posibles y probables las construcciones candadar, encandadar, acandadar, candadizar, candadear, candadificar, incandadar y encandadecer.

Referencias

[1] Adrian Akmajian, Richard A. Demers, Ann K. Farmer, Robert M. Harnish, Linguistics: an introduction to language and communication, MIT Press, 2010.
[2] José I. Hualde, Antxon Olarrea, Anna M. Escobar, Introducción a la lingüística hispánica, Cambridge University, 2001.
[3] Elisabeth Beniers, La formación de verbos en el español de México, El Colegio de México, UNAM, 2004.
[4] David Crystal, A dictionary of linguistics and phonetics, Blackwell Publishing, 2008.
[5] Justo Fernández López, Diccionario de Lingüística y ciencias afines, 2013

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1. Motivación. La relación normalmente arbitraria que une el significado al significante de un signo puede, en un momento dado, mostrarse al hablante en el momento de su constitución inicial. Si la motivación de un signo puede ser advertida por el hablante, el signo se podrá denominar motivado o transparente, en caso contrario se habla de signo desmotivado u opaco. Existen varios tipos de motivación: etimológica (barista respecto a bar), fonética o fonosimbólica (en las palabras basadas en una analogía, no importa cuán subjetiva y arbitraria sea, entre significante y cosa designada), metasémica (si tenemos una transformación del sentido primario del signo, como en el it. bonaccia $<$esp. bonanza$>$ del gr. \textit{malkia} id.), morfológica (interna al sistema de la lengua con uso de los procedimientos de derivación y composición propios de la lengua misma: beso, besar, besuquear), paronímica (por fusión de formas homónimas y parónimas, como en el it. disguido $<$extravío$>$ percibido como dis- y guido, cuando, en cambio, procede del esp. descuido). Definición tomada de [5].↩
2. Paraphrase. A term used in linguistics for the result or process of producing alternative versions of a sentence or text without changing the meaning. One sentence may have several paraphrases, e.g. The dog is eating a bone, A bone is being eaten by the dog, It's the dog who is eating a bone, and so on. Most semantic theories would treat all these sentences as having a single semantic representation (though variations in focus and presupposition could differentiate them). Linguists use syntactic paraphrase as a major procedure for establishing certain types of transformational relations. Definición tomada de [4].↩