Deux lettres de drame et chaos

Un nô ai-je ès os;
où un aï va çà et là,
où un ré tu et mû es-tu,
né du dé si mû.
Té ! Un aï en do, en ré, en mi.
Tu et mû le nô,
ce ru en ra tu as bu.
Aï, le pi ai-je ès us.

Una mera curiosidad sobre grupos en una categoría I

1. Introducción

En la sección §6 del capítulo III del Categories for the working mathematician, Mac Lane define un grupo en una categoría $C$ con productos finitos y objeto terminal $t$ como un objeto $c$ junto con los morfismos (en $C$) $\mu:c\times c\rightarrow c$, $\eta:t\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ tales que los siguientes diagramas conmutan:

     Me pareció curioso que no incluyera el diagrama

así que me pregunté si la conmutatividad del penúltimo diagrama implicaba la conmutatividad del último; es decir, me pregunté si se podía demostrar, con puras flechas, la conmutatividad del último diagrama. Resultó que sí.

2. Un monoide con inversos derechos es un grupo

Se sabe que si $M$ es un monoide en $\mathbf{Set}$ entonces si $a,a_i,a_d\in M$ son tales que $$a_ia=e=aa_d,$$ entonces $a_i=a_d$. También se sabe que si $\forall\,a\in M\;\exists\, a_d\in M$ tal que $aa_d=e$ entonces $M$ es un grupo. La manera en que se demuestra la primera afirmación es así: $$a_i=a_ie=a_i(aa_d)=(a_ia)a_d=ea_d=a_d.$$ Una demostración de la segunda es como sigue: sea $a\in M$; entonces, $\exists\, a_d\in M\; aa_d=e$; por otro lado, $\exists\, (a_d)_d\in M\; a_d(a_d)_d=e$. Por lo tanto, $a_d$ tiene inverso izquierdo $a$ e inverso derecho $(a_d)_d$, y, como $M$ es monoide, $a=(a_d)_d$; es decir, $a_d$ es inverso izquierdo y derecho de $a$. Así que $M$ es grupo.      Volviendo a la pregunta, tratemos de imitar las demostraciones categóricamente.
     La primera afirmación sería como sigue:

Proposición A1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta':c\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

conmutan, entonces $\zeta'=\zeta$.

La segunda afirmación sería como sigue:

Proposición A2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta:c\rightarrow c$ es un morfismo en $C$ tal que

conmuta, entonces

también conmuta.

     Se podría tratar de proceder como en la demostración en $\mathbf{Set}$: demostrar la Proposición A1 y luego usar la Proposición A1 para demostrar la Proposición A2; sin embargo, tratemos de demostrar la Proposición A2. Si imitamos, más o menos, la demostración de la Proposición A2 en el caso de $\mathbf{Set}$, primero demostraríamos, suponiendo la hipótesis de la Proposición A2, que

conmuta, es decir, que

conmuta. Segundo, que $\zeta\zeta=1_c$. Tercero, si $\zeta\zeta=1_c$ entonces, como (3) conmuta, (2) también.
     Notemos que mostrar que $\zeta\zeta=1_c$ tiene algo en común con la Proposición A1: supongamos la hipótesis de la Proposición A1; queremos mostrar que si

conmutan, entonces $1_c=\zeta\zeta$. Generalicemos aquello que tienen en común.

Proposicion A3. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta_1,f,\zeta_2:b\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

y

conmutan, entonces $\zeta_1=\zeta_2$.

Antes de demostrar la Proposición A3, demostraremos el siguiente lema.

Lema L1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $g:b\rightarrow c$ un morfismo en $C$, entonces $$\mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b=\mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b=g,$$ donde $\eta':b\rightarrow c$ es la composición $b\overset{!_b}{\rightarrow}t\overset{\eta}{\rightarrow}c$.

Demostración. Notemos que, como

conmutan, entonces $$!_b\times 1\circ\delta_b=\lambda_b^{-1}\quad\text{y}\quad 1\times !_b\circ\delta_b=\rho_b^{-1},$$ que son naturales. Finalmente, tenemos, de las igualdades anteriores y de la naturalidad de $\lambda$ y $\rho$, que \begin{align} \mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b &=\mu\eta\times 1\circ 1\times g\circ !_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\lambda_c\circ 1\times g\circ\lambda_b^{-1}\notag\\ &=g\notag\\ \notag\\ \mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b &=\mu\circ 1\times\eta\circ g\times 1\circ 1\times !_b\circ\delta_b\notag\\ &=\rho_c\circ g\times 1\circ\rho_b^{-1}\notag\\ &=g\notag. \end{align} Demostración de la Proposición A3. Es fácil ver que $$\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b=\delta_b\times 1\circ\delta_b.$$ Entonces, de aquí, del Lema L1, de la naturalidad de $\alpha$, de la asociatividad de $\mu$ y de la conmutatividad de (5) y (6), \begin{align} \zeta_1 &=\mu\circ\zeta_1\times\eta'\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\zeta_1\times(f\times\zeta_2)\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\alpha^{-1}\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\delta_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\eta'\times\zeta_2\circ\delta_b\notag\\ &=\zeta_2\notag. \end{align} Ahora, demostremos la conmutatividad de (3). Esto se sigue de algo más general.

Lema L2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ con $\zeta:c\rightarrow c,f:b\rightarrow c$ morfismos en $C$ y (1) conmuta, entonces

conmuta.

Demostración. Se sigue de la naturalidad de $\delta$ y la conmutatividad de (1): el diagrama

conmuta. Así que la Proposición A2 se sigue del Lema L2 y la Proposición A3, y la Proposición A1 de la Proposición A3.

Rejas encandadadas

Hace muchos días, Cris y yo fuimos con Iralia y Macías a Pachuca, con la intención de pasear. Nos hospedamos en la casa de la abuela y de la mamá de Iralia. Justo antes de comer, fuimos al Centro de las Artes de Pachuca Hidalgo; no permanecimos largo rato ahí, pues estaban por cerrar.
     Entramos y cruzamos rápidamente el vestíbulo de la entrada, donde había un mural que iba del techo a los muros izquierdo y derecho, y llegamos a un patio con una fuente octagonal en el centro. El patio estaba rodeado por una arquería usual en la planta baja y por otra inusual en el primer piso (ahí los arcos en realidad no eran curvos sino rectangulares y muy muy altos). Tomamos algunas fotografías en el atrio y subimos al primer piso, desde donde hicimos lo mismo. Después de que recorrimos tres muros del pasillo de la arquería del primer piso, subimos otro poco por unas escaleras estrechas hasta un cruce de pasillos, donde el espacio pareció hacerse laberíntico y confuso; a la izquierda, enseguida e inesperadamente, al pasillo le creció una joroba: era una pequeña bahía a cielo abierto en cuyo centro se encontraba una fuente que contrastaba muy bonito con el intenso cielo azul y las paredes completamente blancas y sobrias. Continuamos por el mismo pasillo hasta terminar al pie de unas escaleras, las cuales iban a una azotea, en donde, al fondo (si una azotea puede tener fondo), había algo parecido a una capilla, cuyas rejas estaban cerradas con un candado.
     Entonces, Macías comentó (o el papá o la mamá de Iralia, no lo recuerdo) que el teatro estaba con candado. Entonces pregunté, o quizá la mamá de Iralia: “¿el teatro está encandadado?”. A lo que Macías o el papá de Iralia respondieron: “Sería encandado”. Macías arguyó que candado ya era un participio y que entonces el verbo tenía que ser encandar y no encandadar. Yo afirmaba que no, que no era un participio y que la raíz o el morfema raíz no debía perder ninguna d al formar el nuevo verbo.
     Al día siguiente siguió la discusión, a orillas de la presa de San Antonio Regla, a un lado de los Prismas Basálticos de la barranca de Santa María Regla. Ahí acordamos que teníamos que averiguar si era o no un participio. Volvimos a casa, el papá de Iralia subió al primer piso, encendió la computadora, fue a la página del diccionario de la RAE y encontró el verbo candar, el cual tiene dos acepciones: “cerrar con llave” y “cerrar de cualquier modo”: Macías tenía razón en que candado era el participio de algún verbo. El papá de Iralia y yo bajamos para comunicarles a los demás que existía el verbo candar y que significaba “cerrar con llave”; sin embargo, afirmé que la discusión no estaba terminada.
     En lingüística, las palabras, cuando son consideradas como partes de una oración, se clasifican en las siguientes categorías (o clases) léxicas (o partes de la oración): sustantivo, verbo, adjetivo, adverbio, conjunción, preposición, etc. ([1, pp. 21–24] y [2, pp. 133–135]).
     Cuando se forma una nueva palabra, su creación puede hacerse mediante varios procedimientos: derivación, abreviación, acortamiento, préstamo, calco, composición, parasíntesis, etc. ([1, pp. 25–45] y [2, pp. 175–200]). Ahora, la derivación consiste en formar, mediante la adición de afijos, palabras nuevas cuya categoría léxica pueda ser distinta de la de la base y cuyo referente sea distinto del de la base. En la formación de delgadez a partir de delgado, hay cambio de categoría léxica y cambio de referente, así que esto es una derivación; en la formación de niñez a partir de niño, no hay cambio de categoría léxica pero sí hay cambio de referente, así que esta formación también es una derivación. En particular, la derivación de verbos a partir de sustantivos o adjetivos es la formación de palabras concerniente a la discusión.
     Eugeniu Coșeriu, lingüista rumano especializado en lenguas romances, llama relaciones paragramaticales a “las relaciones que se establecen al interior de las palabras que son producto de procedimientos formativos y que son análogas a las relaciones gramaticales, aunque menos definidas por inexplícitas. Se refiere al hecho de que una operación de formación de palabras incluye siempre una determinación gramatical impuesta a un contenido lexemático de existencia previa, de donde deriva el significado lexemático secundario” ([3, p. 20]). En otras palabras, una relación paragramatical es la relación sintáctica y semántica (restringida al contexto de formación de palabras) entre categorías léxicas. La relación sintáctica se refiere a la relación entre categorías léxicas dentro de la estructura interna de una frase (como al orden al que estas están sujetas para que la frase tenga sentido, o a la jerarquía que estas ocupan en segmentos de frases) y a la función que pueden desempeñar dichas categorías dentro de esa estructura (por ejemplo, un sustantivo puede ser sujeto u objeto ([1, p. 179] y [2, p. 213]). La relación semántica, dentro del contexto de formación de palabras, se refiere a las posibles situaciones a las que puede referirse una palabra derivada, de acuerdo a las maneras de significar de las categorías léxicas involucradas.
     En el caso que concierne a la discusión, la derivación de verbos a partir de sustantivos y adjetivos, son las maneras de significar del verbo y el sustantivo (y en el caso de verbos deadjetivales el adjetivo) las que determinarán los posibles significados de la palabra derivada.
     La función del verbo dentro de la frase es predicar, pero tiene varias maneras de predicar. Puede predicar existencia: “la luna existe”, “hay relámpagos”; una cualidad: “el negro va con todo”, “se apellida Rodríguez”; la percepción, sensación o aprehensión de algo: “oír”, “sentir”, “entender”; un estado: “brillar”, “dormir”; sucesos: “acontecer”, “caer”, “morir”; acciones: “correr”, “comprar”; la causación: “dormir al niño”, “romper un plato” ([3, p. 28]). Elisabeth Beniers dice en [3]: “Constituir una palabra motivada¹ implica concebir una determinación paragramatical para ella, determinación que queda codificada en su significado y que refleja en algo las posibles relaciones semántico-sintácticas entre clases”.
     De acuerdo a la observación de las maneras de significar de un verbo, dado que un adjetivo denota cualidad, estado, apariencia o propensión, las posibles maneras de significar de un verbo deadjetival quedan determinadas por las maneras de significar de ambos y resultan en sólo cuatro ([3, p. 29]); he aquí las paráfrasis que corresponderían a esas maneras de significar:

1. “ser (estar/pasar a ser) lo que el adjetivo expresa”: escasear, albear;
2. “parecer lo que el adjetivo expresa”: verdear, negrear;
3. “volverse o volver algo tal como lo expresa el adjetivo”: alegrar;
4. “actuar de una forma como la caracteriza el adjetivo”: tontear.

Es decir, cuando un verbo se deriva a partir de un adjetivo, aquel predicará la posesión, adquisición o transmisión de una característica única, o la tendencia a manifestarla ([3, p. 20]).
     En cambio, cuando un verbo se deriva de un sustantivo, este quedará determinado como participante o circunstante del hecho denotado por aquel, o como elemento predicativo de cuyo denotado pueden derivarse un solo rasgo o un conjuntos de rasgos, los cuales serán predicados por aquel ([3, pp. 20–21]).
     Beniers señala diez posibles maneras de significar de un verbo denominal. Puede predicar existencia, atribución, transformación, posesión, instrumento o medio, modo, ubicación, producto, actividad y paciente ([3, pp. 39–52]).
     El caso que interesa en la discusión es la predicación de posesión. Dicha relación puede ser estática o dinámica. En el primer caso el sustantivo que denota lo poseído queda incorporado en el verbo derivado y el complemento adnominal del complemento directo de la oración queda como complemento directo del nuevo verbo, como en

“Ricardo tiene la ambición de un auto”.
“Ricardo ambiciona un auto”.

“Luisa tiene el deseo de una camioneta”.
“Luisa desea una camioneta”.

     En el segundo caso, se tienen dos subcasos.
     Uno. La relación de posesión se refiere al sujeto, así que es una relación de adquisición: hay un traslado del objeto denotado por el sustantivo base hacia el sujeto como su poseedor inminente:

“La res adquirió garrapatas”.
“La res se engarrapató”.

“César se puso traje”.
“César se trajeó”.

     Dos. La relación de posesión se refiere al objeto, así que es una relación de dotación: el sustantivo base denota lo poseído, pero el traslado es al objeto receptor. En este caso, el sustantivo que denota lo poseído queda incorporado en el verbo derivado y el complemento indirecto de la oración queda como complemento directo del nuevo verbo (o el sujeto de la oración de complemento queda como complemento directo del nuevo verbo: estas descripciones dependen de la paráfrasis²):

“La abuela le dio a su nieta un ajuar”, “la abuela hizo que su nieta tuviera un ajuar”.
“La abuela ajuareó a su nieta”.

“El novio prodigó caricias a la novia”.
“El novio acarició a la novia”.

“El estado otorgó soldada a varios de sus ciudadanos”.
“El Estado asoldadó a varios de sus ciudadanos”.

     Quisiera señalar que, en el proceso de derivación, “entra el contexto cultural, que legitima unas actividades como suficientemente institucionalizadas para merecer designarse por medio de una unidad léxica y desautoriza la cualidad de denotata de otras” ([3, p. 23]). Es decir, las palabras base indicarán una situación particular que es relevante para una comunidad, como en el caso de encebadar, que significa “dar a las caballerías tanta cebada que les haga daño”; o representarán un uso o un giro particulares de sí mismas, como en el caso de fogoso, donde la base fuego está en un uso figurado, como pasión, o como en el caso de viborear, que significa “hablar mal de una persona”, víbora se está usando con el valor de persona malintencionada, basado en un juicio negativo sobre las víboras. En síntesis, por no dar más ejemplos, como afirma Beniers en [3], “las palabras base se comportan como en el habla” y una palabra nueva se crea para algún aspecto relevante para una comunidad; en nuestro caso, para señalar que a una puerta se le ha colocado un candado y para la pequeñísima comunidad de seis personas.
     Ahora, las afijaciones para derivar verbos denominales que indican posesión dinámica para objetos, dadas de mayor frecuencia a menor, como las encontró Beniers en el Diccionario del español usual en México, son -ar, en- -ar, a- -ar, -izar, -ear, -ificar, in- -ar, en- -ecer. Encontré registrados seis verbos denominales derivados de participios sustantivados para indicar posesión dinámica en objetos, cinco en el DRAE en línea y uno en el Diccionario Abierto de Lengua Española (el cual es un proyecto educativo y de investigación de la lengua Española en Internet): cebadar, que significa “dar cebada a las bestias”; encebadar, “dar a las caballerías tanta cebada que les haga daño” o, dicho de una caballería, “enfermar de encebadamiento”; sobradar, “poner sobrado a los edificios”; asoldadar, “tomar a sueldo, asalariar”, se usaba especialmente en lo antiguo tratándose de gente de guerra; apartidar, “alzar o tomar partido” o “adherirse a una parcialidad”, y apuñadar, “dar puñadas o puñetazos a alguien”.
     Quisiera hacer notar que el verbo encebadar ha sido derivado del sustantivo cebada, el cual a su vez ha sido derivado del verbo cebar, que significa “dar comida a los animales para aumentar su peso” o “dar a los animales comida para atraerlos o alimentarlos” (primeras dos acepciones que aparecen en el DRAE en línea; las otras nueve son irrelevantes para nuestra discusión). A pesar de que encebadar ha sido derivado de un participio sustantivado, no existe la forma derivada encebar para señalar la situación indicada por encebadar, ni cebadar es sinónimo de cebar ni sobradar es sinónimo de sobrar ni puñadar es sinónimo de puñar, etc. Hay una única excepción a esta regularidad: asoldadar es sinónimo de asoldar; sin embargo, según aparece en el DRAE en línea, asoldadar se deriva de soldada y asoldar de sueldo. Es decir, como ya se dijo antes, cuando un verbo se deriva de un sustantivo, este quedará determinado como participante o circunstante del hecho denotado por aquel, o como elemento predicativo de cuyo denotado pueden derivarse un solo rasgo o un conjuntos de rasgos, los cuales serán predicados por aquel; en otras palabras, el verbo postsustantivo indica un aspecto específico dentro del hecho denotado por él mismo; por otro lado, como Beniers afirma, “en este proceso [la derivación] la palabra base funciona cómo índice del tipo de situación a denotar por el que se orienta el oyente en su construcción de la intensión”: se perdería la transparencia o motivación del verbo derivado para su desciframiento si se hiciera una derivación suprimiendo un afijo de la palabra base porque esta a su vez fuera derivada. Así que conjeturo, como muestran los paradigmas anteriores, que son inusuales o de plano inexistentes las derivaciones en- + participio − ado (afijo del participio) + -ar por falta de transparencia para el oyente, ya que la ausencia del participio no indicaría el posible aspecto del hecho denotado por el verbo que se quiere resaltar; es decir, el verbo cuya palabra base sea un participio sustantivado con el -ado eliminado aparecería como desmotivado y, por tanto, difícil de descifrar; de aquí, encandado y encandar son construcciones desmotivadas y, por tanto, poco probables.
     La frecuencia registrada por Beniers para las formas derivadas de verbos postsustantivos que indican posesión dinámica en objetos sugiere como posibles y probables las construcciones candadar, encandadar, acandadar, candadizar, candadear, candadificar, incandadar y encandadecer.

Referencias

[1] Adrian Akmajian, Richard A. Demers, Ann K. Farmer, Robert M. Harnish, Linguistics: an introduction to language and communication, MIT Press, 2010.
[2] José I. Hualde, Antxon Olarrea, Anna M. Escobar, Introducción a la lingüística hispánica, Cambridge University, 2001.
[3] Elisabeth Beniers, La formación de verbos en el español de México, El Colegio de México, UNAM, 2004.
[4] David Crystal, A dictionary of linguistics and phonetics, Blackwell Publishing, 2008.
[5] Justo Fernández López, Diccionario de Lingüística y ciencias afines, 2013

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1. Motivación. La relación normalmente arbitraria que une el significado al significante de un signo puede, en un momento dado, mostrarse al hablante en el momento de su constitución inicial. Si la motivación de un signo puede ser advertida por el hablante, el signo se podrá denominar motivado o transparente, en caso contrario se habla de signo desmotivado u opaco. Existen varios tipos de motivación: etimológica (barista respecto a bar), fonética o fonosimbólica (en las palabras basadas en una analogía, no importa cuán subjetiva y arbitraria sea, entre significante y cosa designada), metasémica (si tenemos una transformación del sentido primario del signo, como en el it. bonaccia $<$esp. bonanza$>$ del gr. \textit{malkia} id.), morfológica (interna al sistema de la lengua con uso de los procedimientos de derivación y composición propios de la lengua misma: beso, besar, besuquear), paronímica (por fusión de formas homónimas y parónimas, como en el it. disguido $<$extravío$>$ percibido como dis- y guido, cuando, en cambio, procede del esp. descuido). Definición tomada de [5].↩
2. Paraphrase. A term used in linguistics for the result or process of producing alternative versions of a sentence or text without changing the meaning. One sentence may have several paraphrases, e.g. The dog is eating a bone, A bone is being eaten by the dog, It's the dog who is eating a bone, and so on. Most semantic theories would treat all these sentences as having a single semantic representation (though variations in focus and presupposition could differentiate them). Linguists use syntactic paraphrase as a major procedure for establishing certain types of transformational relations. Definición tomada de [4].↩

La descomposición de los días

Ahic iva arreglando los días. Si el sol se rompe o la luna se funde, tinco en mi retentiva un reposto de tungsteno et un sol plus luminoso, et además azur. Cuando a alcún día le falta terminar, si comencia en m, simplemente le crito que termina en s, et entonces la terra tremola, se sacude et todos los volcanes sibilan debito a sus vapores, et el día finalmente tene fin. Quizá conjeturen que lo mesmo he de facer pro el lunes, el joves et el veneres, mas se equivocan: esos días tenen una ontología distinta: las cosas del mundo en esos días se comportan como un semirretículo superior con cotas superior et inferior (nada se crea de la nada et nada se converte en nada) et no como un anillo con divisores de cero.
     El martes antepasato, durante el día, el celo, que tenía un azur marítimo intenso, goteava, hasta que las nubes quedaron desolatas et comenciaron a graznar. Per supuesto tomé una cuba con el fin de guardar todo ese azur náutico et devolverlo a su lugar. Las nubes estavan que ni el plus oscuro vacío las aguantava: el plus oscuro vacío las desalojó de sí: ora no hablan con nadie et parece que tenen Aloysius: no reconocen a sus patres, et menos cuando son plus de tres, o, peor aún, cuando no los conocieron, lo cual es francamente prodigioso. El mercures pasato subí a la Montaña Que Crece Cuando Menos Se Espera pro devolver el azur del celo, que el celo es; era tan marítimo, que hasta se antojava pescar dentro. Per supuesto lo devolví, mas conservé una gota pro cuando quisera pescar ballenas necias, proque no hay mayor satisfacción que cuando una meta es de lo plus dura, ardua et dificultosa. Ese mesmo día, plus temprano (proque así lo decidí), todas las estellas, absolutamente todas, acabaron en el solo: cuando alco madura, esto semper ha de caer. Parecía que ardíamos en el inferno de alcún dios muy iracundo; despós unos minutos, sólo quedaron enanas blancas et unos cuantos agujeros negros, unos ben negros et otros ni tan agujeros. De pronto, brotaron estellas novas en la oscuritat de las alturas et unas cuantas en la nigritia de las bajuras. Esto semper es así. Las estellas de las bajuras semper se transforman en fatas, cuando se formula en el pensamento, como realitat, alcuna teoría infalsable que nuncuam se pone a proba per imposibilitat desirata per la razón.
     El joves et el veneres antepasatos (días en que nada se crea de la nada ni nada se converte en nada) fuimos al mundo de los hominios; sólo es posible en esos días, un estato de cosas en que existe la razón (mas no un estato que exista sin otra cosa plus). La razón també nos asiste los lunes, si los sábatos o los domincos (o los demás) no lo impiden: los días terminatos en o et los días en que nada se crea de la nada ni nada se converte en nada, son acérrimos enemicos.
     El vulcanes antepasato... Quisera siñalar que aquí no sólo hay septimanas, sino també octamanas, novamanas, decimanas... En general, $n$manas donde $n$ ad libitum. Las $n$manas plus anhelatas son aquellas en que $n$ es un negativo irrazional: se pode regresar a los momentos plus allegres et volverlos plus allegres totevía hasta la vesania plus insana. Las $i$manas tenen gran complexitat: queda uno dentro de sí mesmo; uno mesmo un dibuixo monumental delante de sí mesmo disminuitor; uno mesmo un castello oficial, súper una colina verde et sosa, delante de un camino sinuoso súper el que uno se encuentra pro realizar una misión; uno mesmo una araña inmensa que inminentemente se acerca a uno mesmo apocato et lleno de temor; uno mesmo una fémina voluptuosa que no dice no a uno, que quere apretujarla, saborearla et darle acogida con achuchón; uno mesmo multiplicato per mil, llenando salas enteras, donde abundan comidas copiosas et bebidas que empanzonan con desazón; uno mesmo un cubo, sólo un cubo, que se mira desde fora con estupor. Uno es imaginaria imaginación.
     De ahic que tenamos el saturnes, el soles, el vulcanes, el baces, el cúpido, el faunes, plutes, fornaxes, opis, volumna, invidies, estímules, manes, eventus, caca, vedioves, libitina, genius, ceres, cuba, noxes, indiges, líber, paces, morta, cunnus, trivia, nascio, lares, fides, dafnes, meliades, sagarítides, clímenes, leuces, néfeles, calipso... Realmente no quisera decirlos todos, proque, cuando llegamos a los irrazionales, son difíciles de nombrar.
     Como decía antes de los siñalamentos querendo ser explicativos (voluntariosos como yo mas razionales et razonables como alcunos de ustedes), el vulcanes pasato ordeñava una vaca que vola con dificultat, no proque no tena alas, sino proque, cata vez que lo face, el mundo queda de capeza; así que tuve que golpearla hasta que quedara desmayata: plus vale una vaca desmayata que un mundo boca abaxo, boca de la cual este no carece: tene unos fermosos dentes que a veces critan cosas ingeniosas; la boca no dice plus que estupideces, las cuales me ficeron perder la mente, que, pro el final del día, de poca ayuda resultaría, ya que se detuvo el tempo cuando anocteció.
     Ora me dedico a arreglar los días proque he perdito la habilitat de dar impronunciables nombres a mis hixos, a los de los demás et, súper todo, a los hixos que nadie tene. Fui yo el creador del famoso nombre Brfxxccxxmnpcccclllmmnprxvclmnckssqlbb11116, negato per la burocracia sueca. Estoy seguro que fue entonces que perdí mi tan afamata destreza, proque los parentes de ese niño eran seres de razón: hominios tenían que ser. Así que he decidito recuperarla; fice lo que nincún trasgu antes había fecho: el pasato lunes, día en que nada se crea de la nada ni nada se converte en nada, fui a la terra de los parentes suecos (al mundo de los seres de razón), mas no a esperar el martes et facerles alcuna granujería, sino a quitarles su razón. El mesmo día volvimos a mi terruño, no sin amenazarlos que si no me acompañavan, mataría a su preciato hixo llamato Albin mas de nombre A. Al día subsigüente, perdimos, en un agujero negro, al niño de tentativo nombre Brfxxccxxmnpcccclllmmnprxvclmnckssqlbb11116. Ya circa de mi casa, el patre, inconsolable, tomó, per el collo, a la fata que semper me visita, pro que les devolvera a su hixo, mas, ante tan absurda petición, ella sólo dixo: “$-\Phi$ será tu perdición et la destrucción de este mundo”. Atónito, el patre soltó a la povre fata, quin salió correndo como can apedreato. El hominio miró al celo cuando una gota azur enorme cayó de este et pintó su rostro, lo que tuvo como consequencia que vomitara dos ballenas que cuasi aplastavan a su esponsa. Deprimitos per su hixo, ficeron todo lo que les sollicité: no emitieron protesta alcuna cuando los encerré en el establo junto a los porcoborregos, a quines les gusta hablar de sus buclas et del color de estas: para ellos la racia es de gran importancia; hay tantas racias como gradaciones de color et ciñimentos de las buclas: una infinitat como números reales hay; fortunatamente nincuno es racista. Ese día la feminia aprendió a ordeñar a la vaca que vola: sólo había que explicarle a la vaca la Teoría General de la Relativitat. La feminia física tenía que ser. Al día subsigüente, fornaxes, el hominio, además de celebrar la Fornacalia, como chímico que era, compuso toda clase de chímicos pro converter su tristitia en allegresa. Despós alcunas horas logró su cometito: había encontrato un chímico que convertía la tristitia en meditación et la meditación en reposto de tungsteno et el reposto en lúmina focosa et finalmente esta en allegresa que durava dece secondos.
     Sigueron clímenes, leuces, caca, sagarítides, mercures, sábato et dominco, et la decimana terminó. Mas llegó la $-\Phi$mana (similar a una $-\pi$mana), entonces el hominio volvió al momento en que fue creato. Quiso volverlo plus allegre totevía et quedó rodeato de miles de feminias. Dios bramó: “insolente”, et el hominio quiso el momento plus allegre totevía: Dios fue fecho hominio et así se quedó et el hominio se fizo Dios et así permaneció. El hominio fecho Dios le prohibió a Dios fecho hominio todo arbro del paradiso. El hominio fecho Dios fizo a Dios hominio muto et, despojándolo de toda voluntat, le dixo: “Te has quedado sin representación del mundo; será más hábil que tú, cualquier rata dentro de un laberinto”, carcajéandose como un alienato.
     Yo volví al momento en que un hominio creava historias en su mente, mas quise facerlo plus allegre totevía et quedé fronte a Dios creando al hominio.
     Et la feminia terminó en el momento de su creación; mas lo quiso plus allegre totevía et tuvo un orgasmo colosal: todos los presentes, las otras feminias, Dios et yo, de espaldas fuimos a parar, et la feminia quiso el momento plus allegre totevía: mýstica se volvió.
     Mas el hominio fecho Dios estava insatisfecho: creó una infinitat de hominios a su imagen et similancia, en una gradación egual a los reales no negativos. El infortunato de similancia egual a cero mas de imagen egual a un millón era una planta carnívora con dos grandes radicas et dos fermosas ramas. El hominio quiso el amor de todos ellos mas sólo una cuantitat entera lo quiso de veritat. Encholerizato, consideró el conjuncto potencia del conjuncto de todos esos hominios, así que lo realizó diciéndole: “Tú eres el hombre ahora, hombre de conjuntos de hombres”, et lo bautizó como cuadrominio, mas no le agradó su aspecto et entonces lo pateó con una enorme gamba que flotava per los áeres. Finalmente critó: “Quiero estar solo”, creando, per todo nostro mundo, sumideros a la nada.
     Et ora estamos, gran consilio de seres del ánima, a pointo de la destrucción

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Nota. Este relato aparece en la antología Hadas y duendes, una antología mexicana, cuyo editor me pidió que añadiera unas líneas para situar al lector, así que en la antología aparece un texto introductorio; sin embargo, no estoy de acuerdo con que hay que añadir un texto introductorio; por eso, aquí, en el blog, no lo añado. Por otro lado, no me lo pidieron para que el texto apareciera en la revista electrónica Luzzeta.
     Esta versión tiene, además, unos pequeños cambios; es decir, además de no tener el texto introductorio, tiene unas pequeñas diferencias con la versión en la antología. La del blog es exactamente la misma que la que aparece en Luzzeta.

El retículo de los subconjuntos difusos de un conjunto

Desde hace unos días he estado leyendo sobre conjuntos difusos y me encontré con un teorema que me gustó; no sé por qué: más bien no me lo he querido responder todavía.
     En un artículo de 1937, Vagueness: An exercise in logical analysis, el filósofo y matemático Max Black escribió sobre lo que llamó los conjuntos vagos, ahora llamados conjuntos difusos. Su artículo comienza como sigue: “Es paradójico [...] que las teorías científicas más útiles y más altamente desarrolladas están expresadas aparentemente en términos de objetos con los que uno nunca se encuentra en la experiencia. La línea trazada por un dibujante técnico, sin importar qué tan precisa la haga, se ve, bajo el microscopio, como una zanja ondulada, algo muy alejado de la línea ideal de la geometría pura. Y el planeta puntual de la astronomía, el gas perfecto de la termodinámica o las especies puras de la genética están igualmente muy alejados de la realización exacta. [...] Mientras el matemático construye una teoría en términos de objetos perfectos, el científico experimental observa objetos cuyas propiedades exigidas por la teoría son y sólo pueden ser, por la naturaleza misma de la medición, aproximadamente ciertas”.
     Posteriormente, en un artículo de 1965, Fuzzy sets. Information and Control, Lotfali Askar Zadeh retoma las ideas formuladas más o menos 30 años atrás por Black, y nace entonces la teoría de los conjuntos difusos.
     Los conceptos vagos (o difusos), predicados que modelan propiedades difíciles de discernir de manera clara o precisa pueden ser (se propone, en esos artículos, que sean) representados mediante subconjuntos difusos. Esta nueva manera de ver las cosas tiene, por supuesto, consecuencias filosóficas, como considerar una nueva categoría de determinación.

Definición. Dados un conjunto $U$ y $C$ un retículo completo, se define un subconjunto $C$-difuso de $U$ como una función $A:U\rightarrow C$ (que va de $U$ a $C$). Si $C=[0,1]$, a $A$ se lo llama simplemente subconjunto difuso de $U$.

Por ejemplo, el concepto “ser joven” o la pertenencia al conjunto de las personas jóvenes puede ser modelado por la función $A:[0,\infty)\rightarrow[0,1]$ definida como $$A(e):= \begin{cases} 1 &\text{si $e < 25$;}\\ \frac{50-e}{25} &\text{si $25\leq e\leq 50$;}\\ 0 &\text{si $50 < e$;} \end{cases} $$ donde $[0,\infty)$ representa el conjunto de todas las posibles edades de las personas.

La total pertenencia al conjunto de las personas jóvenes está representado por que se obtenga 1 en $A$. El grado de pertenencia a este conjunto va disminuyendo conforme se empieza a envejecer, hasta que finalmente, a partir de los 50, ya no se pertenece. Por supuesto, se pueden proponer otros tipos de subconjuntos difusos para representar tal concepto, los cuales dependerán del contexto y de lo que interese.
     Hay aplicaciones más interesantes que la anterior, como al control difuso, pero esas quizá las deje para otra entrada.
     El teorema que me gustó forma parte de la teoría de los conjuntos difusos.

Teorema. Sea $C$ un retículo completo y sea $U$ un conjunto cualquiera. Sea $\mathcal{F}(U)$ el conjunto de todas las funciones que van de $U$ a $C$, y sea $\mathcal{L}(U)$ el conjunto de todas las funciones $g:C\rightarrow\mathcal{P}(U)$ tales que para todo subconjunto $D$ de $C$ se cumple la siguiente igualdad: $$g\left(\bigvee D\right)=\bigcap_{d\in D}g(d).$$ Entonces la función $\Phi:\mathcal{F}(U)\rightarrow\mathcal{L}(U)$ dada por $\Phi(A)=A^{-1}\uparrow$ es biyectiva.

Demostración. Primero veamos que para $A^{-1}\uparrow$ se cumple la igualdad anterior. Sea $A:U\rightarrow C$ una función, así que $$\forall\,D\subseteq C\quad A^{-1}(\uparrow\vee D)=\bigcap_{d\in D}A^{-1}(\uparrow d).$$ En efecto, $u\in A^{-1}(\uparrow\vee D)\Leftrightarrow A(u)\geq\vee D\Leftrightarrow \forall\,\alpha\in D\; A(u)\geq\alpha\Leftrightarrow u\in\bigcap_{\alpha\in D}A^{-1}(\uparrow\alpha)$. En efecto $\Phi$ es inyectiva. Sean $A,B\in\mathcal{F}(U)$ tales que $A^{-1}\uparrow=B^{-1}\uparrow$; es decir, que $\forall\,\alpha\in [0,1]\;A_{\alpha}=B_{\alpha}$. Ahora, tenemos que $$A^{-1}(\alpha)=A_{\alpha}\bigcap(\bigcup_{\beta > \alpha}A_{\beta})',$$ así que $A^{-1}(\alpha)=B^{-1}(\alpha)$ para todo $\alpha\in [0,1]$; luego, $A=B$. Ahora veamos que $\Phi$ es suprayectiva. Sea $g\in\mathcal{L}(U)$. Veamos que $g$ es una función antítona. Sean $a,b\in C$ tales que $a\leq b$. Entonces, $a\vee b=b$; así que, por conmutatividad, $$g(b)=g(a\vee b)=g(a)\cap g(b);$$ de aquí, $g(b)\subseteq g(a)$. Luego, $g$ es antítona. Ahora definamos $h:U\rightarrow\mathcal{P}(C)$ como sigue: $$h(u):=\{d\in C\mid u\in g(d)\}.$$ Sea $A:=\bigvee\circ h:U\rightarrow C$. Veamos que $A^{-1}\uparrow(c)=g(c)$ para todo $c\in C$. Sea $u\in A^{-1}\uparrow(c)$; entonces, $A(u)=\bigvee h(u)\geq c$. Por otro lado, $\forall\,d\in h(u)\quad u\in g(d)$; de aquí, $$u\in\bigcap_{d\in h(u)}g(d)=g(\bigvee h(u))=g(A(u)).$$ Por otro lado, $g$ es antítona y $A(u)\geq c$; por lo tanto, $u\in g(A(u))\subseteq g(c)$. Así que $A^{-1}\uparrow(c)\subseteq g(c)$.
     Recíprocamente, sea $u\in g(c)$; entonces, $c\in h(u)$; de aquí, $A(u)=\bigvee h(u)\geq c$; por lo tanto, $u\in A^{-1}\uparrow (c)$. Así que $g(c)\subseteq A^{-1}\uparrow(c)$. Luego, $g=A^{-1}\uparrow$, y resulta que $\Phi$ es suprayectiva. ■

Pero más aún, se tiene que $\Phi$ es un isomorfismo de conjuntos parcialmente ordenados. En efecto, claramente, dadas dos funciones $A,B:U\rightarrow C$ tales que $A(u)\leq B(u)$ para todo $u\in U$, se tiene que $A^{-1}\uparrow(x)\subseteq B^{-1}\uparrow(x)$ para $x\in C$.
     Recíprocamente, supongamos que $$\forall\,x\in C\ A^{-1}\uparrow(x)\subseteq B^{-1}\uparrow(x).$$ Sea entonces $u\in U$; se tiene que $A^{-1}\uparrow(A(u))\subseteq B^{-1}\uparrow(A(u))$, así que $A(u)\leq B(u)$.
     Luego, $A\leq B$ si y sólo si $A^{-1}\uparrow\leq B^{-1}\uparrow$: $\mathcal{F}(U)\cong\mathcal{L}(U)$.

El siguiente teorema no lo encontré como tal, sino como una observación en el A First Course in Fuzzy Logic, su segunda edición. Sin embargo, a mí me pareció un teorema, o quizá un corolario, ya que no me pareció tan evidente la afirmación: por eso escribí su demostración. Este teorema también me gustó. Por cierto, resulta que $\mathcal{F}(U)$ (más bien $(\mathcal{F}(U),\vee,\wedge,0,1)$) es un retículo completo, y cuando $C=[0,1]$, $\mathcal{F}(U)$ es un álgebra De Morgan completa.

Teorema. $\mathcal{L}(U)$ es subretículo de $\mathcal{P}(U)^C$ si y sólo si $C$ es una cadena.

Demostración. En general, se tiene que si $A,B\in C^U$ entonces $$\forall\,c\in C\ A^{-1}\uparrow(c)\cup B^{-1}\uparrow(c)\subseteq(A\vee B)^{-1}\uparrow(c).$$ En efecto, sea $u\in A^{-1}\uparrow(c)\cup B^{-1}\uparrow(c)$; entonces, $A(u)\geq c$ o $B(u)\geq c$. Sin pérdida de generalidad, supongamos que $A(u)\geq c$. Entonces, $$A(u)\vee B(u)\geq A(u)\geq c.$$ Luego, $u\in (A\vee B)^{-1}\uparrow(c)$. Supóngase ahora que $C$ es una cadena. Sea $c\in C$ y $u\in (A\vee B)^{-1}\uparrow(c)$. Entonces, $A(u)\leq B(u)$ o $B(u)\leq A(u)$. Si $A(u)\leq B(u)$ entonces $B(u)=A(u)\vee B(u)$, y, de aquí, $u\in B^{-1}\uparrow(c)$. Si $B(u)\leq A(u)$ entonces $u\in A^{-1}\uparrow(c)$. Luego, $u\in A^{-1}\uparrow(c)\cup B^{-1}\uparrow(c)$. Por lo tanto, $(A\vee B)^{-1}\uparrow=A^{-1}\uparrow\cup B^{-1}\uparrow$.
     Recíprocamente, supóngase que $$\forall\,A,B\in C^U\ (A\vee B)^{-1}\uparrow=A^{-1}\uparrow\cup B^{-1}\uparrow;$$ es decir, que $\mathcal{L}(U)$ es subretículo de $\mathcal{P}(U)^C$. Veamos que $C$ es una cadena. Sean $c,d\in C$. Definamos $A_c,A_d:U\rightarrow C$ como $A_c(u)=c$ y $A_d(u)=d$ para todo $u\in U$. Tenemos que $$U=(A_c\vee A_d)^{-1}\uparrow(c\vee d)=A_c^{-1}\uparrow(c\vee d)\cup A_d^{-1}\uparrow(c\vee d).$$ De aquí, $\exists\,u\in U\ A_c(u)\geq c\vee d$ o $A_d(u)\geq c\vee d$; por lo tanto, $c\geq c\vee d$ o $d\geq c\vee d$; es decir, $c\geq d$ o $d\geq c$. Luego, $C$ es una cadena. ■

Joining the meeting

Behind a fence, where chains are more useful than antichains, a downset and an upset were eating an ambrosial De Morgan lattice salad when the downset said to the upset unexpetedly: “I feel very, very down, my friend, very, very down.” After a final big bite of that incomplete lattice salad, the upset dually said: “And that makes me maximally upset, my dear friend.”

Bonbon pluvial

     Bon bon de s'asseoir à soir dans le parc: j'ai rencontré une fille qui m'a plu, comme la pluie lorsqu'elle tombe sur ma tête.

Sin rumbo (fragmento vi)

La conocí en el Espacio Escultórico; era de noche; yo estaba pacheco y caminaba por la maleza; mis amigos también caminaban por ahí, también pachecos. Me acerqué al cinturón de prismas triangulares, con cautela, porque vi una silueta recostada en el centro de la circunferencia, ahí donde es pura roca volcánica. La persona estaba acostada boca arriba, con las rodillas flexionadas y las manos en la nuca. Mientras me acercaba, por momentos pensaba que era uno de mis amigos, pero esa certeza iba y venía. Sin embargo, esa certidumbre me animó a hablarle, sin pensar mucho. Iba con alegría nerviosa hacia el centro: a lo mejor no era uno de mis amigos. Cuando estuve suficientemente cerca, me di cuenta de que era una mujer, y me detuve, pero ella volteó. Le dije: Hola, y se quedó mirándome. Después de unos segundos, eternizados por la pachequez, me dijo: ¿Algunas vez has escuchado el arpa del rey David? Le contesté, con los ojos bien abiertos y una sonrisa chiquita: Nooo. Definitivamente eso no lo vi venir. Entonces palmeó su mano derecha sobre la roca para que me sentara, y lo hice, y me pasó su audífono derecho para que escuchara. La música me hizo pensar en un atardecer en el desierto, imaginar que yo lo miraba desde el interior de una caverna, en cuclillas, con los brazos sobre las rodillas, pensando en lo acogedor que puede ser el universo, como una casota. Se volvió a mí y me preguntó: ¿Te gusta? Le contesté que sí con la cabeza. Cuando la música terminó, me dijo, mirando al cielo, con una voz interesante e intrigante: es Alèmu Aga, es etíope; sospecho que ha de ser Beta Israel; hay quienes los llaman falashas, pero los Beta Israel lo consideran peyorativo.

Sin rumbo (fragmento v)

Caminar en el monte

Camino en el monte. Piso las rocas. Las ramas me arañan. La piel me arde. La hierba inunda mis ojos. Novedad por doquier; plnatas hermosas, hermosas plantas: mis ojos se transforman: la actividad mental del Ser hace. Camino en el monte. Las ramas me arañan. La piel me arde. La hierba inunda mis ojos. El suelo es irregular. Arbustos me atrapan. Busco una salida, otro camino: la mente me engaña. Me caigo. El suelo me traga. Me lastimo. Mi respiración aumenta; la escucho, la escucho, la escucho, la escucho, la escucho; escucho mi respiración. La hierba, las plantas, las rocas están por todos lados. Naturaleza y Cosmos: Música. Naturaleza y Cosmos soy.
     Me ha hablado.

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Nota. Este texto lo encontré en un viejo cuaderno. Quizá el texto sea del 97. La última línea no me gusta tanto. No supe muy bien cómo clasificar el texto; sin embargo, lo etiqueté como minificción.

Panique loxodontique

     Une fois, je me promenais joyeusement dans le bois, en sautant comme un enfant. Soudain, devant moi, un élephant se balançait sur la toile d'une araignée... Tout effrayé, je me demandai: où sont les autres élephants?

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Nota. Esta minificción la acabo de encontrar en mi tesis de licenciatura. La había escrito sin título; ahora le pongo uno.

Análisis no estándar III

Funciones y gráficas

Observación. Un par ordenado $(a,b)$ es estándar si y sólo si sus componentes $a$ y $b$ son estándar. Más generalmente, una $n$-eada $(a_1,\ldots,a_n)$ es estándar precisamente cuando $n$ es estándar y todos sus componentes $a_i$ son estándar.
     En efecto, en (ZF) un par ordenado $(a,b)=\{\{a\},\{a,b\}\}$, así que si $(a,b)$ es estándar entonces, como $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar y finito, todos sus elementos son estándar: $\{a\},\{a,b\}$, los cuales son finitos, así que $a$ y $b$ son estándar.
     Recíprocamente, si $a$ y $b$ son estándar, entonces claramente $\{\{a\},\{a,b\}\}$ es estándar.
     La equivalencia anterior también se puede hacer de la siguiente manera. Considérese la fórmula $$F(x,a,b)=\forall\,y\;(y\in x\Leftrightarrow y=\{a\}\vee y=\{a,b\}).$$ Así que, por transferencia dual, si $a,b$ son estándar entonces $(a,b)$ también.
     Recíprocamente, supongamos que $(a,b)$ es estándar. Consideremos las fórmulas \begin{align} F(x)&=\forall\,y\;(y\in (a,b)\Rightarrow x\in y)\notag\\ G(x)&=\exists\,y\;(y\in (a,b) \wedge x\in y)\wedge\exists\,z\;(z\in (a,b)\wedge x\notin z)\notag. \end{align} El único elemento que satisface $F$ es $a$ y el único que satisface $G$ es $b$, así que $a$ y $b$ son estándar por transferenica dual.
     Ambos argumentos se pueden repetir para $n\in\mathbb{N}$ estándar. Notemos que si $(1,\ldots,1)$ es una $n$-eada estándar, entonces $n$ es estándar, pues $n$, el número de componentes de una $n$-eada, está clásicamente determinado de manera única: si $(a_1,\ldots,a_n)=(b_1,\ldots,b_m)$, se tiene que tener que $n=m$ y $a_i=b_i$ para todo $1\leq i \leq n$.

Observación. En (ZF) una función $f:E\rightarrow F$ se identifica con una tripleta $(E,G(f),F)$, donde $G(f)$ es la gráfica de $f$, definida como $$G(f):=\{(x,y)\in E\times F\mid y=f(x)\}\subseteq E\times F.$$ Por lo tanto, $f=(E,G,F)$ es una función estándar si y sólo si$E,F,G$ son estándar.

Ejemplo. Sean $E$ y $F$ conjuntos estándar. Entonces, la proyección $p_E:E\times F\rightarrow E$ es estándar. En efecto, como $E$ y $F$ son estándar, por transferencia, $E\times F$ también. Ahora consideremos la fórmula $$H(x,E,F)=\forall\, z\;[z\in x\Leftrightarrow\exists\,u\in E\;\exists\,v\in F\;[z=((u,v),u)]].$$ Así que, por transferencia, la gráfica $G(p_E)$ de $p_E$ es estándar. Por lo tanto, $p_E$ también lo es.

Proposición. Sean $f:E\rightarrow F$ y $x\in E$ estándar. Entonces $f(x)$ es estándar.

Demostración La intersección de los conjuntos estándar $\{x\}\times F$ y $G(f)$, que consiste en el singulete $\{(x,f(x)\}$, es estándar. Tal singulete es finito y estándar, así que $(x,f(x))$ es estándar y, por lo tanto, $f(x)$ es estándar.

Proposición. Si $f,g:E\rightarrow F$ son dos funciones estándar tales que $\forall^e\,x\;f(x)=g(x)$, entonces $f=g$.

Demostración. Transferencia.

Observación. Una función estándar bien podría tomar valores no-estándar; de hecho, necesariamente para valores no-estándar de su dominio). Por ejemplo, la función identidad $1_{\mathbb{N}}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ es estándar y tiene valores no-estándar para los elementos no-estándar de $\mathbb{N}$.
     También podría pasar que una función estándar tenga valores estándar para elementos no-estándar. Consideremos una función constante con constante estándar.

Definición implícita de una función estándar

Observación. Si $G$ es subconjunto de $E\times F$ que es una gráfica funcional entonces $G$ está caracterizado por la propiedad $$\forall\,x\in E\quad \mathrm{Card}(G\cap\{x\}\times F)=1.$$ Si $E,F,G$ son estándar entonces la condicián anterior es cierta, por transferencia, si la condición se cumple para todo estándar $x$. Así que se pueden definir funciones estándar como sigue. Supóngase que una relación $R$ (clásica o no) dada entre dos conjuntos estándar $E$ y $F$ tiene la propiedad de que $$\forall^e\,x\in E\;\exists^e\,y\in F\;R(x,y).$$ Entonces podemos formar el conjunto $$G:=^e\{(x,y)\in E\times F\mid R(x,y)\}.$$ Este es estándar, por estandarización, y es una gráfica funcional, pues $$\forall\,^e\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1$$ y, por transferencia, $$\forall\,a\in E\;\mathrm{Card}(G\cap\{a\}\times F)=1\quad\text{(los parámetros $G$ y $F$ son estándar)}.$$ En este caso se dice que $R$ define implícitamente la función $f=(E,G,F)$.
     Hay que tener cuidado de que si $R$ no es clásica entonces no siempre se cumple $R(x,f(x))$, y que si se cumple $R(x,y)$, no necesariamente $y=f(x)$. Sin embargo, es cierto que si $x$ es estándar entonces $y=f(x)$ se caracteriza por el hecho de que $R(x,y)$.

Principio de la definición implícita de funciones. Sean $E$ y $F$ dos conjuntos estándar. Entonces si una construcción (clásica o no) permite definir para cada estándar $x\in E$ un elemento estándar bien definido $y_x\in F$, entonces existe una única función estándar $f:E\rightarrow F$ tal que $f(x)=y_x$ para todo estándar $x\in E$.
     En particular, si una construcción (clásica o no) asigna, para cada natural estándar $n\in\mathbb{N}$, un elemento estándar $a_n\in E$ (de algún conjunto fijo estándar $E$), entonces existe una única sucesión estándar $(a_n)_{n\in\mathbb{N}}$ que toma los valores prescritos para los naturales estándar $n\in\mathbb{N}$.

Ejemplo. Consideremos la función \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathcal{P}(\mathbb{N})\notag\\ n&\mapsto I_{n+1}\notag. \end{align} Dicha función es estándar, pues está determinada de manera única dentro de (ZF): $$G(f)=\{z\mid\exists\,n\in\mathbb{N}\;z=(n,I_{n+1})\}.$$ Ahora, tenemos que $1_{\mathbb{N}}$ es estándar, así que $(n)_{n\in\mathbb{N}}\in\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}$ es estándar. Sea $m\in\mathbb{N}$ no-estándar. Entonces tenemos que si $$p_m:\prod_{n\in\mathbb{N}}I_{n+1}\rightarrow I_{m+1}$$ es la $m$-ésima proyección, $$p_m((n)_{n\in\mathbb{N}})=m.$$ Por lo tanto, $p_m$ no es estándar para $m\in\mathbb{N}$ no-estándar, a pesar de que la familia de conjuntos $(I_{n+1})_{n\in\mathbb{N}}$ es estándar ($n\mapsto I_{n+1}$ es estándar).
     En la p. 27 de su libro Nonstandard Analysis, Alain M. Robert afirma: “si $(E_i)$ es una familia estándar de conjuntos (es decir, la función $i\mapsto E_i$ es estándar), todas las proyecciones $p_j:\prod E_i\rightarrow E_j$ son estándar”. El ejemplo anterior muestra que su afirmación es falsa.

Relativización

Definición. Dadas dos fórmulas $F$ y $G$, diremos que $F$ es débilmente equivalente a $G$ (lo cual denotaremos como $F\equiv G$) si y sólo si para todos los valores estándar de las variables libres en las fórmulas, tenemos que $F\Leftrightarrow G$.

Observación. Las dos formas de (T) se pueden reescribir como $\forall^e\,x\;F\equiv\forall\,x\;E$ y $\exists^e\,x\;F\equiv\exists\,x\;F$, siempre que $F$ sea una fórmula clásica.

Definición. Sea $F$ una fórmula clásica. Las reglas anteriores se pueden aplicar repetidamente, así que $F$ es débilmente equivalente a la fórmula $F^e$, la cual se obtiene al reemplazar cada $\forall$ por $\forall^e$ y cada $\exists$ por $\exists^e$. Entonces ‘si $t_1,\ldots,t_n$ son estándar entonces se cumple $F^e$’, donde $t_1,\ldots,t_n$ son las variables libres en $F$, es llamada la relativización de $F$ a los conjuntos estándar.

Parte precedente

Análisis no estándar II

Algunos conjuntos estándar y el principio de extensionalidad transferido

Observación. Los conjuntos $$0=\emptyset,1,2,12^3,e,\pi,\mathbb{N},\mathbb{R},\mathbb{C},\mathbb{F}_2=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$ están definidos de manera única por medio de fórmulas clásicas; por lo tanto, por (T′), son conjuntos estándar. En particular, (T′) implica que todos los números definidos explícitamente y de manera única por medio de una fórmula clásica son estándar. Por lo tando, 3, 4, -1,... son estándar.
     Por ejemplo, para la propiedad (o fórmula con una sola variable libre) $P(x)=\;\forall\,y\;[y\notin x]$, existe un único conjunto $x$ tal que $P(x)$, a saber, el conjunto vacío $\emptyset$.

Observación. Consideremos las siguientes fórmulas: $$x=E\cup F,\qquad x=E\cap F,\qquad x=E\times F,\qquad x=F^E.$$ Si los parámetros $E$ y $F$ son estándar, estos definen un $x$ estándar. Por lo tanto, si $E$ y $F$ son estándar, entonces, por (T′), $$E\cup F,\qquad E\cap F,\qquad E\times F\quad\text{y}\quad F^E$$ son estándar.
     Similarmente, por (T′), si $E$ es estándar, también lo es $\mathcal{P}(E)$: considérese la fórmula con variables libres $x,E$ $F(x,E)=\,\forall\,A\;[A\in x\Leftrightarrow A\subseteq E]$.

El principio de extensionalidad transferido. El axioma de transferencia (T) se puede aplicar a la fórmula $F(x,E_1,E_2)$ dada por ‘$x\in E_1\Rightarrow x\in E_2$’ si los dos conjuntos $E_i$ son estándar. Así que, por (T), las siguientes proposiciones son equivalentes: \begin{align} &\forall x(x\in E_1\Rightarrow x\in E_2)\qquad (E_1\subseteq E_2)\notag\\ &\forall^e x(x\in E_1\Rightarrow x\in E_2)\notag. \end{align} En otras palabras, dados dos conjuntos $E_1$ y $E_2$ estándar, para verificar que $E_1$ es subconjunto de $E_2$, basta checar que los elementos estándar de $E_1$ son elementos de $E_2$. Cualquier relación de inclusión entre conjuntos estándar se puede probar a nivel de sus elementos estándar.
     De lo anterior se sigue que dos conjuntos estándar son iguales si tienen los mismos elementos estándar.

Observación. La unicidad del subconjunto estándar $A$ de $E$ cuya existencia es postulada por (E) se sigue del principio de extensionalidad transferido; en efecto, de haber otro subconjunto $B$ de $E$ tal que $\forall^e x\in B,\;P(x)$, entonces $x$ es elemento estándar de $B$ si y sólo si se cumple $P(x)$ si y sólo si $x$ es elemento estándar de $A$. Entonces, por el principio de extensionalidad transferido, $\forall x\; (x\in A\Leftrightarrow x\in B)$.
     Si $E$ es estándar, se tiene la siguiente notación funcional para este subconjunto estándar bien definido $A$ correspondiente a la propiedad $P$: $$A:= ^e\{x\in E\mid P(x)\}.$$

Observación. Si $n\in\mathbb{N}$ es estándar, como $\mathbb{N}$ es estándar, entonces, por (T'), $$I_n:=[0,n[:=\{m\in\mathbb{N}\mid\,m < n\}$$ es estándar. Considérese la fórmula $$F(x,E,n)=\forall m\;[m\in x\Leftrightarrow m\in E\wedge m < n].$$      Similarmente, si $a,b\in\mathbb{R}$ son estándar entonces $[a,b]$ es estándar.

Axioma de especificación

La teoría de conjuntos sobre (ZF) evita las paradojas clásicas (como la de Russell) mediante el siguiente principio. Para especificar un conjunto, es necesario empezar con un conjunto. Más explícitamente, (ZF) postula que si $E$ es un conjunto y $P$ es una propiedad (aplicada a los elementos de $E$), entonces existe un conjunto $E_P$ (un subconjunto de $E$) que consiste precisamente de los elementos $x$ de $E$ para los cuales se cumple $P(x)$: $$E_P=\{x\in E\mid P(x)\}.$$ En otras palabras, para formar un conjunto —dentro de (ZF)—, hay que empezar con un conjunto.
     Es decir, no toda propiedad forma conjuntos; por ejemplo, la propiedad ‘$x=x$’ no forma conjuntos: no existe el conjunto de todos los conjuntos. De otra manera obtendríamos la paradoja de Russell. De ahí que en el axioma de especificación de (ZF), se pida de antemano un conjunto para formar otro.
     De la misma manera, no todas las propiedades dentro de (IET) forman conjuntos: la propiedad ‘$x$ es estándar’ no forma conjuntos. De hecho, hay que hacer una restricción más fuerte en (IET). Si la propiedad $P$ contiene explícita o implícitamente el término ‘estándar’, no existe en general un subconjunto de $E$ que contenga exactamente los elementos $x$ de $E$ para los cuales se cumple $P(x)$. Si tal subconjunto existe, hay que demostrarlo mediante algún método (por ejemplo, especificándolo de otra manera). En otras palabras, si $P$ es no-clásica, antes de escribir $\{x\in E\mid P(x)\}$, hay que demostrar que $P$ forma conjuntos. En general, la propiedad ‘$x$ es estándar’ no forma conjuntos. Notemos, sin embargo, que si $E=\emptyset$, la propiedad anterior —o cualquier otra— forma conjuntos. Similarmente, si el conjunto $E=\{a\}$ consiste precisamente de un elemento estándar $a$, entonces la propiedad ‘$x$ es estándar’ forma conjuntos en $E$ y el $\{x\in E\mid x\text{ es estándar}\}$ es el conjunto $E$ mismo.
     Si $P$ es una propiedad clásica, la existencia del conjunto $\{x\in E\mid P(x)\}$ está garantizada en (ZF) por el axioma de especificación.

Los naturales y algunos teoremas

Teorema. Sea $E$ un conjunto. Las siguientes condiciones son equivalentes:

1. $\forall x\in E,\;x$ es estándar,
2. $E$ es estándar y finito.

Demostración. Consideremos las siguientes equivalencias: \begin{align} \exists x\in &E\; x\text{ no-estándar}\Leftrightarrow\exists x\in E\;\forall^e y(x\neq y)\quad (I)\notag\\ &\Leftrightarrow\forall^{ef} F\;\exists x\in E\quad (x\neq y\text{ para todo }y\in F)\notag\\ &\Leftrightarrow\forall^{ef} F\;\exists x\in E\;(x\notin F)\notag\\ &\Leftrightarrow\forall^{ef} F\;\text{$E$ no está contenido en $F$.}\notag \end{align} Por lo tanto, por negación, $$\forall x\in E\; x\text{ es estándar}\Leftrightarrow\text{$E$ está contenido en un conjunto $F$ estándar finito}\;(\ast).$$ Si $E$ es un conjunto estándar finito, entonces, por el ‘sólo si’ de $(\ast)$, se tiene que todos los elementos de $E$ son estándar. Así que hemos demostrado ‘ii$\Rightarrow$i’
     Recíprocamente, si todos los elementos de $E$ son estándar entonces, por $(\ast)$, existe un conjunto estándar finito $F$ tal que contiene a $E$. Entonces, tenemos que $\mathcal{P}(F)$ es estándar y finito, y $E\in\mathcal{P}(F)$; por lo tanto, como ya demostramos ii$\Rightarrow$i, se tiene que $E$ es estándar, y como $E\subseteq F$, se tiene que $E$ es finito.

Observación. Consideremos la relación binaria clásica $R(x,y)$=‘$x > y$’. Entonces, se tiene que se cumple $R(x,F)$ precisamente cuando el natural $x$ es una cota superior estricta del subconjunto $F\subseteq\mathbb{N}$. Cuando $F$ es un subconjunto finito, es posible encontrar un intervalo $[0,n]$ tal que $F\subseteq [0,n]$. Si $F$ es finito y estándar, existe un $x\in\mathbb{N}$ tal que $x > y\;\forall y\in F$, a saber, $x=n+1$. Así que, por (I), se tiene que $$\exists x\in\mathbb{N}\;\forall^e y\in\mathbb{N}\; x > y.$$ Por lo tanto, existen los naturales no-estándar.

Nota. Nelson descubrió que podía axiomatizar la relación ‘$x > n$’ de la siguiente manera: si $x > n$ entonces $$x > y \quad\text{para todo}\quad y\in[0,n],$$ y si $n$ es estándar, todos los subconjuntos (finitos) de $[0,n]$ deberían de ser estándar también.

Definición. Sea $n\in\mathbb{N}$. Se dice que $n$ es ilimitado (o indefinidamente grande) si $n > y $ para todo estándar $y\in\mathbb{N}$.

Proposición. Dado un conjunto $E$, existe un subcojunto finito $A$ de $E$ tal que $A$ contiene a todos los elementos estándar de $E$.

Demostración. Definamos $$\mathcal{P}_f(E):=\{B\in\mathcal{P}(E)\mid B\text{ es finito}\}.$$ Notemos que la propiedad ‘es finito’ está dentro de (ZF), así que tal propiedad forma conjuntos.
     Ahora consideremos la relación binaria clásica $R(B,y)=$ ‘$B$ es un subcojunto finito que contiene a $y$’. Así que $R(B,F)$ equivale a $$B,F\subseteq E\text{ tales que }F\subseteq B.$$ Por lo tanto, si $F$ es un subconjunto estándar y finito de $E$, existe un subconjunto $A$ finito de $E$ tal que $F\subseteq A$ (a saber, $F$ mismo), y de aquí, por idealización, existe un subconjunto finito $A$ de $E$ tal que $A$ contiene a todos los elementos estándar de $E$.

Proposición. Si $E$ es un conjunto infinito, entonces $E$ tiene elementos no-estándar.

Demostración. Consideremos la relación binaria clásica $R(x,y)$ dada por ‘$x\neq y$’ en $E$. Si $F\subseteq E$, la relación extendida $R(x,F)$ equivale a ‘$x\notin F$’. Si $E$ es infinito, entonces para todo subconjunto finito $F$ de $E$, existe $x\in E$ tal que $x\notin F$. Por lo tanto, por idealización, existe $x\in E$ tal que $x\neq y$ para todo elemento estándar de $E$. Así que $x$ es no-estándar.
     Notemos que si $E$ es infinito, entonces $E\setminus\{x\}$ sigue siendo infinito, así que, de lo anterior, existe $x'\in E$ no-estándar distinto de $x$.
     La contrapositiva de esta proposición es ‘Si todos los elementos de $E$ son estándar, entonces $E$ es finito’. El teorema de esta sección nos dice algo más, que, además, $E$ es estándar, y, por supuesto, nos da la recíproca.

Proposición. Si $E$ es un conjunto infinito estándar y $A\subseteq E$ tal que contiene todos los elementos estándar de $E$, entonces $A$ contiene algún elemento no-estándar.

Demostración. Sea $E$ estándar infinito y sea $A\subseteq E$ tal que $\forall^e\,x\;(x\in E\Rightarrow x\in A)$. Si $A$ contiene sólo elementos estándar, entonces $A$ es finito y estándar; así que, por el Principio de Extensionalidad Transferido, se tiene que $E=A$, pues $$\forall^e\,x\;(x\in E\Leftrightarrow x\in A).$$ Pero entonces $E$ es finito, contradicción.

Nota. La afirmación clásica ‘todos los naturales son finitos’ sigue siendo cierta dentro de ANE, pues es una afirmación de (ZF). Es decir, en $\mathbb{N}$ tenemos naturales finitos limitados (los estándar) e ilimitados.
     Pienso que el nombre ‘ilimitados’ no es muy apropiado, pues la idea o la noción de finitud normalmente viene acompñada de la idea de limitado. Sugeriría hablar más bien de naturales finitos indefinidamente grandes; por eso añadí este apelativo en la definición de números naturales ilimitados. Sin embargo, si ya se empezó a usar el apelativo ‘ilimitado’, difícil será cambiarlo, pues, en el lenguaje, el uso es la norma.

Observación. Sean $n,m\in\mathbb{N}$ tales que $n > m$, así que $n+1 > m, n+2 > m,\ldots$; en general, $n+k > m$ para todo $k\in\mathbb{N}$. De aquí, si $n$ es ilimitado, entonces $n+k$ también lo es, para todo $k\in\mathbb{N}$.
     Dado $n$ indefinidamente grande, consideremos el intervalo $I_n$. Entonces, $$J_n:=\mathbb{N}\setminus I_n$$ es un conjunto infinito que sólo contiene naturales ilimitados. Sin embargo, no contiene a todos los naturales ilimitados, pues $n-1\notin J_n$ pero $n-1$ es ilimitado (si no lo fuera, existiría un estándar $k\in\mathbb{N}$ tal que $k > n-1$, y, por lo tanto, $k+1 > n$ con $k+1$ estándar, contradicción). Notemos que, como $n$ es ilimitado, $I_n$ es finito pero contiene a todos los naturales estándar; por supuesto, también contiene elementos no-estándar, a saber, $n-1$.
     Habíamos visto que si $n$ es estándar entonces $I_n$ también lo es. En el párrafo anterior, $I_n$ no puede ser estándar; de lo contrario, todos sus elementos serían estándar, incluido $n-1$.

Observación. Sea $n\in\mathbb{N}$ no-estándar. Entonces $\forall^e m\in\mathbb{N}\; n > m$ (sólo hemos demostrado que existen naturales no-estándar que son estrictamente mayores que todo natural estándar, no que todo no-estándar cumpla tal condición). En efecto, supongamos que existe un estándar $k\in\mathbb{N}$ tal que $k > n$; entonces, el intervalo $I_k$ es finito y estándar, así que todos los elementos de $I_k$ son estándar, pero $n\in I_k$, contradicción. Por lo tanto, $n > m$ para todo estándar $m\in\mathbb{N}$.

Ejemplos y notación. Sea $E$ un conjunto estándar y $A\subseteq E$. Consideremos la propiedad ‘$x\in A$’ y construyamos el subconjunto estándar $$^eA:=\{x\in E\mid x\in A\}.$$ Este subconjunto estándar $^eA$ contiene todos los elementos estándar que pertenecen a $A$ con ningún otro elemento estándar.
     Si $\nu\in\mathbb{N}$ es no-estándar y $A:=[0,\nu]$, entonces $^eA$ contiene todos los naturales estándar. Existe un único subconjunto estándar de $\mathbb{N}$ con esta propiedad; a saber, $\mathbb{N}$. En efecto, por tranferencia, $^eA=\mathbb{N}$.
     De hecho, $$^e[0,\nu]=\mathbb{N}\text{ para todo natural no-estándar $\nu$.}$$      De manera similar, consideremos la propiedad ‘$x$ es estándar’ (la cual no es clásica) en el conjunto $\mathbb{N}$. El subconjunto estándar $$A:=^e\{n\in\mathbb{N}\mid n\text{ es estándar}\}$$ de $\mathbb{N}$ está bien definido por estandarización. Por transferencia, $A=\mathbb{N}$.

Observación. El principio de inducción permanece válido con tal que podamos definir el subconjunto en cuestión: la propiedad que lo especifica tiene que ser clásica. Así que el principio de inducción toma la forma siguiente:
Si $P$ es una propiedad clásica para la cual es cierto $P(0)$ y tal que $$\forall\,n\in\mathbb{N}\;P(n)\Rightarrow P(n+1),$$ entonces $P(n)$ es cierto para todo $n\in\mathbb{N}$.

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Análisis no estándar I

Introducción

Hace tiempo quise acercarme al análisis no estándar; mi primer intento ha de haber sido hace seis años, pero no avancé mucho, no sé por qué. Ahora me he vuelto a acercar, y me está gustando bastante. Lo poco que he leído me ha dejado la impresión de trabajar con límites pero sin límites, algo bien abracadabrante. Así que me he llenado de entusiasmo y me han dado ganas de hablar de análisis no estándar. El libro que estoy siguiendo es el Nonstandard Analysis de Alain M. Robert, de la editorial Dover.
     La intención detrás del análisis no estándar es hacer una fundamentación rigurosa de la noción de “infinitesimal”. Abraham Robinson hizo tal fundamentación en su libro Non Standard Analysis de 1966, y basó su trabajo sobre la teoría de modelos. Sin embargo, no fue sino a partir de 1977 que los matemáticos pudieron acercarse al análisis no estándar sin pasar por previas discusiones sobre lógica, pues Edward Nelson en su artículo Internal Set Theory, a new approach to NSA, Bull. Amer. Math. Soc., 83, (1977), mostró cómo circunscribir los fundamentos lógicos de manera puramente axiomática.
     Es bien sabido que toda la matemática tradicional se puede fundamentar sobre el sistema axiomático de Zermelo-Fraenkel (ZF). Por supuesto que hay otros sistemas sobre los que se puede fundamentar la matemática; sin embargo, vamos a trabajar sobre el sistema axiomático sobre el que trabajó Nelson: (ZF) y tres axiomas más: el axioma de idealización (I), el axioma de estandarización (E) y el axioma de transferencia (T). Estos tres axiomas son los que van a codificar el comportamiento de nuestros nuevos números: los infinitamente grandes y los infinitamente pequeños. Estos tres axiomas codifican su comportamiento de la misma manera que (ZF) codifica la relación $\in$.
     Una de las ventajas del punto de vista de Nelson es que todos los teoremas matemáticos conocidos siguen siendo válidos, ya que conserva todos los axiomas de la teoría de conjuntos. A la matemática que esté basada y construida solamente dentro de (ZF) se le llamará matemática clásica. Llamaremos ANE (Análisis No Estándar; en inglés, NSA, Non Standard Analysis) a la matemática que haga uso de los tres axiomas adicionales (I), (E) y (T), además de los de (ZF). Al sistema axiomático de (ZF) junto con (I), (E) y (T) lo llamaremos (IET). (En inglés a este sistema se le llama (IST), que además son las siglas del nombre que le dio Nelson a la teoría basada en (IST): Internal Set Theory. En español las siglas no coinciden: Teoría de Conjuntos Internos).
     Los tres axiomas (I), (E) y (T) introducen un nuevo término a la matemática, a saber, ‘estándar’. Puesto que ANE está basado en (ZF), el nuevo término se puede aplicar a cualquier conjunto, es decir, a cualquier objeto matemático. En otras palabras, si $x$ es un conjunto, tiene sentido la afirmación “$x$ es estándar”, al igual que “$x$ no es estándar” (es una expresión bien formada dentro de ANE), y como tales, dichas afirmaciones pueden ser verdaderas o falsas.
     Ya que las matemáticas existentes, las clásicas, están construidas y basadas, únicamente, en (ZF), estas quedan inmersas dentro de ANE. Así que todos los sistemas numéricos usuales son los mismos en ANE: $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, etc. son los mismos en ANE. Más aún, no se añadirán nuevos elementos a estos conjuntos, así que no se hará referencia a ninguna extensión de aquellos. En cierto sentido, lo que ocurre es que ahora, con los axiomas adicionales, seremos capaces de discernir más elementos dentro de los conjuntos clásicos $\mathbb{N}$, $\mathbb{Q}$, $\mathbb{R}$, etc.
     Algo que hay que notar es que todos los objetos considerados por (ZF) son conjuntos. Por ejemplo, los elementos de $\mathbb{N}$ son conjuntos también: el número $0$ es (o representa) el conjunto vacío $\emptyset$, el número $1$ es el conjunto $\{\emptyset\}$, el número $2$ es el conjunto $\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$; en general, inductivamente, $n+1:=n\cup\{n\}$. Así que dentro de ANE cabe preguntarse si un número natural $n$ es estándar o no-estándar. Lo que obtendremos, de hecho, es que hay números naturales estándar y no-estándar.

(I), (E) y (T)

Notación. Antes de comenzar, haremos las siguientes abreviaciones: $$\forall^e\ x\in E\ldots,\quad\forall^{ef}x\in E\ldots,\quad\exists^e x\in E\ldots,\quad\exists^{ef}x\in E\ldots,$$ las cuales significan respectivamente

• para todo elemento estándar $x$ de $E$, (se tiene que)$\ldots$
• para todo $x$ estándar y finito de $E$, (se tiene que)$\ldots$
• existe un elemento estándar $x$ en $E$ tal que$\ldots$
• existe un $x$ finito y estándar en $E$ tal que$\ldots$

Nota. Cualquier afirmación, definición, fórmula, resultado, etc que no use el término estándar, ya sea explícita o implícitamente, se dirá que es clásico, como ya se dijo antes.

El axioma de idealización (I) dice:
Sea $R(x,y)$ una relación binaria clásica. Las siguientes propiedades son equivalentes:

1. para todo conjunto finito y estándar $F$ existe un $x=x_F$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y\in F$,
2. existe un $x$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y$ estándar.

Más formalmente, este axioma se cumple para la relación binaria clásica $R(x,y)$ y afirma que $$\forall^{ef}F\;\exists (x=x_F)\forall\,y\in F\;R(x,y)\Leftrightarrow\exists\,x\forall^e\,y\;R(x,y).$$ Notación. En lugar de escribir $$\text{se cumple}\quad R(x,y)\quad\text{para todo $y\in F$},$$ escribiremos $$\text{se cumple}\quad R(x,F).$$ Así que (I) se puede reenunciar de la siguiente manera:
dada una relación binaria clásica $R(x,y)$, las siguientes propiedades son equivalentes:

1. para todo conjunto finito estándar $F$ existe un $x$ (que depende de $F$) tal que se cumple $R(x,F)$,
2. existe un $x$ tal que $R(x,y)$ se cumple para todo $y$ estándar.

Observación. Cuando se considere la relación $R$ en el axioma de idealización, se puede pensar que $R$ es su gráfica y que es un subconjunto de $E\times E'$ con $E$ y $E'$ conjuntos estándar. Es decir, se puede pensar que $R(x,y)$ se cumple si y sólo si $(x,y)\in R$. Sin embargo, esta simplificación no siempre tiene sentido; por ejemplo, la relación binaria clásica ‘$y\in x$’ no puede escribirse de la manera antedicha.
     Entonces para esta relación $R$ (la de pertenencia), tendríamos que $R(x,F)$ representa la relación $F\subseteq x$. Apliquemos el axioma de idealización: si $F$ es un conjunto finito estándar, podemos tomar $x:=F$, y entonces tenemos que $R(x,F)$; por lo tanto, según (I) existe un conjunto $x$ tal que todo conjunto estándar $y$ pertenece a $x$.

El axioma de estandarización (E) dice:
Sea $E$ un conjunto estándar y $P$ una propiedad (clásica o no). Entonces existe un (único) subconjunto estándar $A=A_P\subseteq E$ tal que tiene por elementos estándar precisamente los elementos estándar $x\in E$ que cumplen $P(x)$.
En otras palabras, dado un conjunto estándar $E$ $$\exists^eA\subseteq E\;\forall^e\,x\, [x\in A\Leftrightarrow x\in E\;\text{y}\;P(x)].$$
El axioma de transferencia (T) dice:
Si $F$ es una fórmula clásica y todos los parámetros $t_1,\ldots,t_n$ de $F$ tienen valores estándar, entonces $F$ se cumple para todo $x$ y sólo si $F$ se cumple para todo estándar $x$. En otras palabras, si $F$ es una fórmula clásica cuyas únicas variables libres son $x,t_1,\ldots,t_n$ entonces $$\forall^e\,t_1\cdots\forall^e\,t_n[\forall\,x\;F\Leftrightarrow\forall^e\,x\;F].$$
Forma dual del axioma de transferencia. La forma dual equivalente (T') de la transferencia se obtiene al reemplazar $F$ por su negación $\neg F$. Por (T) (para una fórmula clásica $F$ con valores estándar para todos sus parámetros $t_1,\ldots,t_n$), se tienen las siguientes equivalencias:

1. para todo $x$ se cumple $F$,
2. para todo estándar $x$ se cumple $F$.

Se pueden reformular respectivamente como

1. no existe $x$ tal que $F$ no se cumple,
2. no existe ningún estándar $x$ tal que $F$ no se cumple.

Por otro lado, $$\neg\forall\,x\;\neg F\Leftrightarrow\exists\,x\;F,$$ entonces se obtiene la forma dual de (T), como equivalencia entre

1. existe un $x$ tal que $F$ y
2. existe un estádar $x$ tal que $F$.

si $F$ es una fórmula clásica con valores estándar en todos sus parámetros $t_1,\ldots,t_n$. Así que para una fórmula clásica $F$ cuyas únicas variables libres son $x,t_1,\ldots,t_n$, el axioma de transferencia se puede reescribir en la forma (T') $$\forall^e\,t_1\cdots\forall^e\,t_n[\exists x\; F\Leftrightarrow\exists^e x\; F].$$ Observación. De la formulación anterior, se sigue que todos los conceptos que están bien definidos (es decir, que están definidos de manera única) dentro de la matemática clásica son estándar. En otras palabras, si existe un único $x$ tal que $F$ ($F$ clásica y $t_1,\ldots,t_n$ parámetros de $F$ con valores estándar), entonces este $x$ tiene que ser estándar.

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Racionales y expansiones decimales

No estoy seguro si fue en la secundaria o en la preparatoria donde vi por primera vez que $1=0{.}99999\ldots$ (con puros nueves ad infinitum). Cuando lo vi, me pareció realmente muy extraño, hasta que el maestro nos demostró que eran realmente el mismo número. No recuerdo exactamente qué hizo, pero seguramente no fue algo muy diferente de lo siguiente.
     Sea $x:=0{.}999\ldots$. Entonces $$10x=9.999\ldots$$ y \begin{align} 10x-x&=9\notag\\ 9x&=9\notag, \end{align} y de aquí, $x=\frac{9}{9}=1$.
     Pues resulta que todo número racional tiene una expansión decimal (infinita) periódica y todo número real con una expansión decimal (infinita) periódica es racional. Antes de seguir hagamos unas cuantas definiciones para que todo quede más claro.

Definición. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots;$$ es decir, $a'\in\mathbb{Z}$ y $a_i\in\mathbb{N}$ con $0\leq a_i\leq 9$. Diremos que la expansión decimal de $a$ es periódica si existe una sucesión finita de numerales $b_1b_2b_3\ldots b_n$ tal \begin{align} a&=a'{.}a_1a_2a_3\ldots\notag\\ &=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_kb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_nb_1b_2b_3\ldots b_n\ldots\notag \end{align} Es decir, si existe una sucesión finita de $n$ numerales que se repite indefinidamente a partir de cierto $k$ a lo largo de la expansión de $a$. A $n$ se le llama el periodo de $a$.
     A los numerales que se repiten se les denota de las siguientes maneras: $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ o $$a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k(b_1b_2b_3\ldots b_n).$$
     Por ejemplo, $1=0{.}\overline{9}$, $\frac{4}{33}=0{.}\overline{12}$, $\frac{77}{111}=0{.}\overline{693}$, $\frac{23}{27}=0{.}\overline{851}$, $\frac{111}{7}=15{.}\overline{857142}$.
     Veamos que toda expansión decimal periódica es un racional. Sea $a\in\mathbb{R}$ con expansión decimal $$a=a'{.}a_1a_2a_3\ldots a_k\overline{b_1b_2b_3\ldots b_n}$$ Entonces $$10^{k+n}a-10^ka=a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k;$$ así que $$a=\frac{a'a_1\ldots a_kb_1\ldots b_n-a'a_1\ldots a_k}{10^{k+n}-10^k}\in\mathbb{Q},$$ pues tanto el numerador como el denominador son enteros.
     Esto nos da una manera de calcular la expresión como cociente de dos enteros para un racional expresado como una expansión decimal periódica. Por ejemplo, si $a=23{.}478\overline{27}$, entonces \begin{align} a&=\frac{2347827-23478}{10^5-10^3}\notag\\ &=\frac{2324349}{99000}\notag. \end{align}      Ahora veamos que todo racional tiene una expansión decimal periódica. Sean $p,q\in\mathbb{Q}$ con $q\neq 0$. Se tiene que los residuos posibles para esta división son $0,1,2,\ldots q-1$; así que hay un número finito de residuos; por lo tanto, a la hora de hacer la división, en algún momento alguno se ha de repetir durante la división. Cuando esto ocurra, comenzarán a repetirse los numerales del cociente. Esto se verá de la siguiente manera: $$\begin{array}{c c c c c c c c c c c} & a' & {.} & a_1 & \ldots & a_{k-1} & a_k & b_1 & b_2 & \ldots & b_n & b_1\ldots\\ q\quad| & p & & & & & & & & & & \\ & & \ddots & & & & & & & & & \\ & & & c_1 & & & & & & & & \\ & & & & \ddots & & & & & & & \\ & & & & & c_{k-1} & & & & & & \\ & & & & & & d_1 & 0 & & & & \\ & & & & & & & d_2 & 0 & & & \\ & & & & & & & & d_3 & & & \\ & & & & & & & & & \ddots & & \\ & & & & & & & & & & d_1 & 0 \\ & & & & & & & & & & & d_2 \end{array}.$$ Por lo tanto, todo racional tiene una expansión decimal periódica. En consecuencia todo irracional tiene expansión decimal aperiódica.
     En este enlace hay algunos resultados interesantes en relación a las expansiones decimales y los racionales.

Concepto de número

1. Funciones

El concepto de función se puede definir de varias maneras. En la Teoría de conjuntos se define de dos maneras, una presenta problemas y la otra no. En la Teoría de categorías es un término primitivo. Intentaré dar una definición informal y después la formal.
     Una función que va de un conjunto $A$ (llamado su dominio) a un conjunto $B$ (llamado su codominio) es una regla que asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
La definición formal es la siguiente.

Definición Dados dos conjuntos $A$ y $B$ con $B\neq\emptyset$, una función $f$ de $A$ a $B$, denotada $f:A\rightarrow B$, es una tripleta $(A,\bar{f},B)$ donde $\bar{f}$ es un subconjunto de $A\times B$ (el producto cartesiano de $A$ y $B$) tal que si $(a,b_1)$ y $(a,b_2)$ son elementos de $\bar{f}$ entonces $b_1=b_2$ y tal que para todo $a\in A$ existe $b\in B$ tal que $(a,b)\in\bar{f}$. A $A$ se le llama dominio de $f$ y a $B$ codominio de $f$.

     Lo que significa la condición después del `tal' es que la regla que determina a $f$ asigna a cada elemento de $A$ un elemento de $B$ y uno solo.
     Por ejemplo, consideremos dos diagramas de Venn, llamémosle a uno $S$ y a otro $T$. Ahora dibujemos dentro del diagrama $S$ tres puntitos y dentro de $T$ cinco puntitos. Ahora vamos a hacer una correspondencia entre los puntitos de $S$ y los de $T$. Digamos que el diagrama de $S$ lo dibujamos a la izquierda y $T$ a la derecha.
     Hagamos una flecha para cada puntito en $S$ que vaya a un solo elemento de $T$. Esta correspondencia es una función. Llamémosle $f_1$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Digamos que los puntitos de $S$ se llaman $s_1,s_2,s_3$ y los de $T$ se llaman $t_1,...,t_5$. Entonces, hagamos una flecha de $s_1$ a $t_1$, otra de $s_2$ a $t_5$, otra de $s_3$ a $t_3$ y otra de $s_1$ a $t_2$. Entonces, esta regla de correspondencia que va de $S$ a $T$ no es una función porque a $s_1$ le estamos asignando dos elementos distintos de $T$.
     Ahora dibujemos otra vez a $S$ con sus tres puntitos y a $T$ con sus cinco. Hagamos una flecha de $s_2$ a $t_1$ y una de $s_3$ a $t_2$. Esta regla de correspondencia tampoco es una función, porque no asigna a cada elemento de $S$ un elemento de $T$: a $s_1$ no se le ha asignado ningún elemento de $T$.
     Ahora definamos lo que es una función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $C\subseteq A$, la imagen de $C$ bajo $f$ es el conjunto $$f(C):=\{f(c)\mid c\in C\}.$$ A la imagen de $A$ bajo $f$ también se la llama la imagen de $f$.



Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es suprayectiva si para todo $b\in B$ existe un $a\in A$ tal que $f(a)=b$.

     Lo que esto significa es que si $f$ es una función suprayectiva, entonces $B$ queda completamente cubierto por la imagen de $f$. En otras palabras, si $f:A\rightarrow B$ es suprayectiva entonces $f(A)=B$.
     Veamos algunos ejemplos.
     Consideremos a nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio.
     Notemos que es imposible definir una función suprayectiva de $S$ a $T$: siempre nos van a sobrar elementos de $T$. Sin embargo, sí podemos definir una función suprayectiva de $T$ a $S$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$ y un subconjunto $D$ de $B$, definimos la imagen inversa de $D$ bajo $f$ como $$f^{-1}(D)=\{a\in A\mid \exists d\in D\ f(a)=d\}.$$


Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es inyectiva si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $f(a_1)=f(a_2)$ entonces $a_1=a_2$. O dicho de otro modo (con la contrapositiva), si para cualesquiera $a_1,a_2\in A$ si $a_1\neq a_2$ entonces $f(a_1)\neq f(a_2)$.

     Lo que esto significa es que si queremos definir una función inyectiva de $A$ a $B$, no podemos asignarle a dos elementos de $A$ un mismo elemento de $B$. O dicho de otra manera, que $f^{-1}(\{b\})$ o es vacío o tiene un solo elemento: que $f^{-1}(\{b\})$ tiene a lo más un elemento. O que $f$ asigna a elementos distintos de $A$ elementos distintos de $B$.
     Consideremos otra vez nuestros conjuntos $S$ y $T$ del principio. Notemos que es imposible definir una función inyectiva de $T$ a $S$, pero sí podemos definir una (de hecho, varias) de $S$ a $T$.

Definición. Dada una función $f:A\rightarrow B$, diremos que $f$ es biyectiva si es suprayectiva e inyectiva.

     Antes de seguir, quisiera explicar por qué es importante considerar una función $f:A\rightarrow B$ como una tripleta $(A,\bar{f},B)$ y no sólo como su gráfica $\bar{f}$.

Definición. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$ tales que $B=C$, se define la composición $g\circ f:A\rightarrow D$ de $g$ con $f$ como sigue: $$\forall x\in A\ g\circ f(x)=g(f(x)).$$
     Notemos que no se puede definir la composición de funciones, a menos que $\mathit{cod}(f)=\mathit{dom}(g)$.
     Entonces, por ejemplo, la función identidad $id_{\mathbb{Z}}:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ tiene la misma gráfica que la función inclusión $j:\mathbb{Z}\hookrightarrow\mathbb{Q}$, que incluye los enteros en los racionales; sin embargo, no son la misma función. Debido a la composición, es importante considerar a las funciones con sus dominios y codominios, no sólo con sus gráficas. Esa es la definición de función en la Teoría de Conjuntos que presenta problemas, la considera a una función sólo como su gráfica. Por otro lado, la identidad y la inclusión son conceptualmente diferentes.
     Sigamos. Ahora consideremos otra vez a nuestros conjuntos $S$ y $T$. Definamos la siguiente función suprayectiva $g$ de $T$ sobre $S$: $t_1$ va a $s_1$, $t_2$ a $s_2$, $t_3$ a $s_3$, $t_4$ a $s_2$ y $t_5$ a $s_2$. Recomiendo hacer el dibujo de los diagramas de Venn.
     Ahora consideremos las siguientes imágenes inversas: \begin{align} g^{-1}(\{s_1\})&=\{t_1\}\notag\\ g^{-1}(\{s_2\})&=\{t_2,t_4,t_5\}\notag\\ g^{-1}(\{s_3\})&=\{t_3\}\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $h:S\rightarrow T$ tal que $g\circ h_1=id_S$, la identidad de $S$. A saber, $h_1(s_1)=t_1$, $h_1(s_2)=t_4$ y $h_1(s_3)=t_3$. De hecho, tenemos otras dos funciones de $S$ a $T$ que hacen eso. Sólo habría que enviar el $s_2$ al $t_2$ o al $t_5$.
     De hecho, esto es cierto para toda función suprayectiva; es decir, toda función suprayectiva $f:A\rightarrow B$ tiene una inversa derecha. Si $B$ es infinito, que $f$ tenga inversa derecha es equivalente al axioma de elección. Y recíprocamente, toda función con inversa derecha es suprayectiva.
     Ahora consideremos la función $h:S\rightarrow T$ definida como sigue: $h(s_1)=t_1$, $h(s_2)=t_2$ y $h(s_3)=t_3$. Tenemos que $h$ es inyectiva. Consideremos las imágenes inversas: \begin{align} h^{-1}(\{t_1\})&=\{s_1\}\notag\\ h^{-1}(\{t_2\})&=\{s_2\}\notag\\ h^{-1}(\{t_3\})&=\{s_3\}\notag\\ h^{-1}(\{t_4\})&=\emptyset\notag\\ h^{-1}(\{t_5\})&=\emptyset\notag. \end{align}      Esto nos dice que podemos definir una función $k:T\rightarrow S$ tal que $k\circ h=id_S$, si definimos $k$ como sigue: $k(t_1)=s_1$, $k(t_2)=s_2$, $k(t_3)=s_3$, $k(t_4)=s_1$ y $k(t_5)=s_1$. (Nótese que hay más funciones que son inversa izquierda de $h$).
     De hecho, es cierto que para toda función inyectiva $f:A\rightarrow B$ existe una inversa izquierda $g:B\rightarrow A$ tal que $g\circ f=id_A$. Y recíprocamente toda función con inversa derecha es inyectiva.
     Ahora, supóngase que tenemos una función biyectiva $f:A\rightarrow B$. Como $f$ es biyectiva, es suprayectiva y entonces existe $g:B\rightarrow A$ tal que $f\circ g=id_B$, y como es $f$ es inyectiva, existe una $h:B\rightarrow A$ tal que $h\circ f=id_A$. Tenemos que $$h=h\circ id_B=h\circ (f\circ g)=(h\circ f)\circ g=id_A\circ g=g.$$ Entonces, $f$ tiene una sola inversa, tanto izquierda como derecha. Además, $g$, la sola inversa, es inyectiva y suprayectiva, pues su inversa izquierda y derecha es $f$. Dijimos que toda función con una inversa izquierda es inyectiva y que toda con inversa derecha es suprayectiva.

2. Primeros números

Imaginemos que estamos en los comienzos de la domesticación y que nuestro idioma sólo cuenta con los cardinales uno, dos y tres, y ningún otro. Ahora imaginemos que somos pastores de ovejas y que tenemos muchas muchas ovejas, y que un día, hartos de perder muchas ovejas, decidimos inventar una manera de tener el número exacto de ovejas que tenemos para no perderlas. Se nos han ocurrido dos maneras de hacerlo. Una es hacer nudos en una cuerda y ponerlos en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Otra es tener una caja con piedras y ponerlas en correspondencia biyectiva con nuestras ovejas. Es decir, a pesar de que nuestro idioma no cuente con un nombre para números mayores que tres, vamos a saber exactamente cuántas ovejas tenemos. Esa correspondencia biyectiva (o biyección) encierra el concepto de número: si tenemos dos conjuntos finitos $A$ y $B$ y definimos entre ellos una función biyectiva, entonces esto significará que tienen el mismo número de elementos. Si tal cosa no es posible, entonces sus números de elementos son distintos, o uno mayor que otro. Sin embargo, si es posible definir una función suprayectiva de $A$ sobre $B$ entonces sabremos que el número de elementos de $A$ es mayor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una función inyectiva de $A$ a $B$ entonces el número de elementos de $A$ es menor o igual al número de elementos de $B$. Si es posible definir una biyección de $A$ sobre $B$ entonces el número de elementos de $A$ y $B$ es el mismo. Estas pequeñas observaciones para conjuntos finitos se pueden extender para conjuntos infinitos. Es decir, este mismo método de contar, mediante biyecciones entre conjuntos, se puede extender a cualquier conjunto, sea finito o infinito. Es decir, con la ayuda de las biyecciones podemos definir la noción de número de cualquier tamaño.
     Ahora, veamos que el número de elementos del conjunto de números pares es el mismo que el de los números naturales. Denotemos por $\mathbb{PAR}$ el conjunto de números pares; es decir, $$\mathbb{PAR}=\{0,2,4,6,8,10,\ldots\}.$$ Definamos $g:\mathbb{PAR}\rightarrow\mathbb{N}$ como sigue: \begin{align} g:\mathbb{PAR}&\rightarrow\mathbb{N}\notag\\ k&\mapsto \frac{k}{2}\notag. \end{align}      Esta función $g$ es suprayectiva e inyectiva. Veamos que es suprayectiva, es decir, que $g(\mathbb{PAR})=\mathbb{N}$. Sea $n\in\mathbb{N}$; entonces $2n\in\mathbb{PAR}$ y $g(2n)=n$. Por lo tanto, para todo $n\in\mathbb{N}$ exite $k\in\mathbb{PAR}$ tal que $g(k)=n$; a saber, $k=2n$. Veamos que $g$ es inyectiva. Sean $k,p\in\mathbb{PAR}$ tales que $g(k)=g(p)$. Entonces, por definición de $g$, tenemos que $$\frac{k}{2}=\frac{p}{2}.$$ De aquí, $k=p$; por lo tanto, $g$ es inyectiva, y por lo tanto biyectiva, así que el número de elementos de $\mathbb{PAR}$ es igual que el de $\mathbb{N}$.
     Notemos que la función inversa de $g$ es \begin{align} f:\mathbb{N}&\rightarrow\mathbb{PAR}\notag\\ n&\mapsto 2n\notag. \end{align} Y $f$ también es biyectiva.
     Ahora consideremos la $f$ anterior y la inclusión $j:\mathbb{PAR}\hookrightarrow\mathbb{N}$. La composición $j\circ f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ no es una biyección, pues en esta composición nos sobran los impares en el lado derecho; es decir, esta función no aparea biunívocamente elementos de uno y otro conjunto; dicho de otro modo, esta función no es un conteo.

3. Números transfinitos

Un resultado conocido dentro de las matemáticas (el Teorema de Cantor) es que dado un conjunto $A$ (sea finito o infinito), no es posible encontrar o definir una función suprayectiva $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ (de $A$ sobre su conjunto potencia $\mathcal{P}(A)$). Sin embargo, sí se puede definir una función inyectiva $g$ de $A$ en $\mathcal{P}(A)$; a saber \begin{align} g:A&\rightarrow\mathcal{P}(A)\notag\\ a&\mapsto\{a\}\notag. \end{align} Así que esto nos dice que siempre, sea $A$ finito o infinito, el número de elementos de $\mathcal{P}(A)$ es estrictamente mayor que el de $A$. En particular, esto es cierto para $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $\mathbb{N}$.
     Ahora, por otro lado, se tiene que dado un conjunto $A$ y $B\subseteq A$, podemos definir la siguiente función $\chi_B:A\rightarrow 2$ (llamada la función característica de $B$), donde $2=\{0,1\}$, como $$\chi_B(a)=\begin{cases} 1 &\text{si $a\in B$}\\ 0 &\text{si $a\notin B$}. \end{cases}$$      Entonces, veamos que existe una biyección entre $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ (el conjunto de todas las funciones que van de $A$ a 2).
     Definamos esa función $h:\mathcal{P}(A)\rightarrow 2^A$ como \begin{align} h:\mathcal{P}(A)&\rightarrow 2^A\notag\\ B&\mapsto\chi_B\notag. \end{align} Veamos que $h$ es suprayectiva. Sea $f:A\rightarrow 2$ una función cualquiera de $A$ a $2$. Definamos entonces $$C:=f^{-1}(\{1\}).$$      Entonces, $C\subseteq A$ y se tiene que $\chi_C=f$; por lo tanto, $h(C)=f$, así que $h$ es suprayectiva.
     Es fácil ver que si $B,C\subseteq A$ y $\chi_B=\chi_C$ entonces $B=C$, y por lo tanto $h$ es inyectiva. Así que $\mathcal{P}(A)$ y $2^A$ tienen el mismo número de elementos.
     Entonces, volviendo a $\mathbb{N}$, tenemos que $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$ tienen el mismo número de elementos, y sabemos que el número de elementos de $2^{\mathbb{N}}$ es $2^{\aleph_0}=\aleph_1$, que es el número de elementos de $\mathbb{R}$, así que $\aleph_0=|\mathbb{N}|<|\mathcal{P}(\mathbb{N})|=\aleph_1$ (las barras denotan “número de elementos”). Entonces, de manera indirecta se ha demostrado que hay más números reales que naturales, sin usar el argumento de las expansiones decimales.
     Así que podemos encontrar números infinitos cada vez más grandes: si $A$ es infinito, $$|A|<|\mathcal{P}(A)|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(A))|<|\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(A)))|<\ldots$$

4. Teorema de Cantor y el argumento por la diagonal¹

Lo que se demuestra en el Teorema de Cantor es que dado un conjunto $A$, no se puede definir una función suprayectiva de $A$ sobre $\mathcal{P}(A)$. La demostración es bastante simple; es la siguiente.
     Sea $f:A\rightarrow\mathcal{P}(A)$ una función. Veamos que no es suprayectiva. Sea $$B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}.$$ Se tiene que $B\subseteq A$ y no hay $a\in A$ tal que $f(a)=B$, pues de haberlo si $a\in B$ entonces $a\notin f(a)=B$, contradicción; si $a\notin B=f(a)$ entonces $a\in B$ por definición de $B$, contradicción.
     La definición de $B$ es una generalización del argumento por la diagonal. Ahora veamos en qué consiste el argumento por la diagonal de Cantor. Tal argumento demuestra que no es posible definir una biyección entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$. Para hacerlo bastará demostrar que $|[0,1]|\neq\aleph_0$ (basta demostrarlo para $[0,1]$ porque se tiene la siguiente sucesión de funciones inyectivas: $$\mathbb{R}\overset{h}{\rightarrow}(0,1)\hookrightarrow[0,1]\hookrightarrow\mathbb{R},$$ donde \begin{align} h:\mathbb{R}&\rightarrow (0,1)\notag\\ x&\mapsto \frac{e^x}{1+e^x}\notag \end{align} y las otras dos funciones son las inclusiones. Así que se tiene que $$|\mathbb{R}|\leq |(0,1)|\leq |[0,1]|\leq|\mathbb{R}|,$$ y, por lo tanto, $|\mathbb{R}|=|(0,1)|=|[0,1]|$). La demostración será por contradicción. Supongamos que [0,1] y $\mathbb{N}$ tienen el mismo número de elementos. Es decir, supongamos que existe una función biyectiva f:N→[0,1]; en otras palabras, que para todo $s\in[0,1]$ existe un $n\in\mathbb{N}$ tal que $f(n)=s$, y para cualesquiera $n,m\in\mathbb{N}$, si $f(n)=f(m)$ entonces $n=m$. Esto significa que podemos numerar todos los elementos de [0,1]. Digamos que dicha numeración es la siguiente: $$b_0, b_1, b_2,\ldots$$ Es decir que $f(0)=b_0$, $f(1)=b_1$, $f(2)=b_2,\ldots$ Que en general, $f(n)=b_n$ para todo $n\in\mathbb{N}$, donde $b_n\in [0,1]$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     Ahora, consideremos la expansión decimal de esos números. Entonces, tenemos lo siguiente: \begin{align} b_0&=0.b_{00} b_{01} b_{02}\ldots\notag\\ b_1&=0.b_{10} b_{11} b_{12}\ldots\notag\\ b_2&=0.b_{20} b_{21} b_{22}\ldots\notag\\ \vdots\notag \end{align} Entonces, como la expansión sólo consta de dígitos entre 0 y 9, para cada $b_{ii}$, sea $0\leq a_i\leq 9$ un dígito distinto de $b_{ii}$. Entonces, el número real $a$ con expansión decimal $$0.a_0 a_1 a_2\ldots$$ no es ninguno de los $b_i$. Se tiene que $a\neq b_0$, porque $a_0\neq b_{00}$; que $a\neq b_1$, porque $a_1\neq b_{11}$; que $a\neq b_2$, porque $a_2\neq b_{22}$; en general, $\forall i\in\mathbb{N}\ a\neq b_i$, porque $\forall i\in\mathbb{N}\ a_i\neq b_{ii}$. Esto significa que $f$ no es una suprayección, pues no existe $i\in\mathbb{N}$ tal que $f(i)=a$. Por lo tanto, no puede existir una biyección entre $[0,1]$ y $\mathbb{N}$, y en consecuencia entre $\mathbb{N}$ y $\mathbb{R}$.
     Ahora veamos por qué definir $B:=\{x\in A\mid x\notin f(x)\}$ es una generalización del argumento por la diagonal. Tenemos que $2^{\mathbb{N}}$ es el conjunto de todas las funciones que van de $\mathbb{N}$ a $2=\{0,1\}$. En otras palabras, son sucesiones de 0s y 1s. Si $g$ fuera una tal función, $g$ podría ser $$g(0)=0,g(1)=1,g(2)=1,g(3)=0,g(4)=0,\ldots$$ es decir, $$01100\ldots$$ Si la escribiéramos como $0.01100\ldots$ tendríamos la expansión binaria de un número en el intervalo $[0,1]$. Es decir, $2^{\mathbb{N}}$ podemos considerarlo como $[0,1]$.
     Si $A=\mathbb{N}$ en la demostración del Teorema de Cantor entonces tendríamos que $$B=\{n\in\mathbb{N}\mid n\notin f(n)\}.$$ Tenemos que $f(n)$ nos da un subconjunto de $\mathbb{N}$; si pensamos en la biyección entre $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ y $2^{\mathbb{N}}$, lo que obtendríamos sería $\chi_{f(n)}$, la función característica de $f(n)$, y entonces que “$n\notin f(n)$” significaría que $\chi_{f(n)}(n)=0$. Entonces, al considerar $B$ como elemento de $\mathcal{P}(\mathbb{N})$, lo que obtenemos del otro lado es $\chi_B$, que cambia los 0s por 1s y los 1s por 0s en la diagonal $\chi_{f(i)}(i)$ de la matriz infinita $\chi_{f(-)}(-)$.

5. Aclaraciones

Hay varios conceptos que se pueden encontrar asociados con la noción de infinito, además del de número de elementos. Uno de ellos es el de medida (sugiero mejor leer la entrada en inglés). Por ejemplo, la longitud (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}$) de la recta real es infinita y la del intervalo $[0,1]$ es 1. Que haya una biyección entre $\mathbb{R}$ y $[0,1]$ no significa que se meta un conjunto de longitud infinita dentro de uno de longitud 1, sólo que tienen el mismo número de elementos y sólo eso: una biyección no mete un conjunto dentro de otro, sólo aparea elementros entre conjuntos. Se tiene que el área (la medida de Lebesgue sobre $\mathbb{R}^2$) de $[0,1]\times [0,1]$ es 1 y el área del intervalo $[0,1]$ es 0, al igual que el área de $\mathbb{R}$. Es decir, la medida de Lebesgue definida sobre $\mathbb{R}$ no es la misma que la definida sobre $\mathbb{R}^2$.
     Una curva de Peano es una función continua suprayectiva que va del intervalo $[0,1]$ sobre $[0,1]^k$ para $k\leq\infty$. Las curvas de Peano no pueden ser inyectivas, pues de serlo eso significaría que $[0,1]$ y $[0,1]^k$ son homeomorfos; es decir, que como espacios se comportan igual, pero no es así, pues el cuadrado unitario $[0,1]\times [0,1]$ no tiene puntos de corte, pero el intervalo unitario $[0,1]$ sí (todos salvo los extremos). A pesar de eso, existe una biyección entre $[0,1]$ y $[0,1]\times [0,1]$, lo que significa que tienen el mismo número de elementos y sólo eso, no que como espacios sean iguales: dicha biyección no puede ni es continua, pues de serlo, como espacios serían iguales.
     Las dos observaciones anteriores lo que muestran es que cuando uno está interesado en comparar el número de elementos de dos conjuntos, uno sólo está interesado en los conjuntos sin considerar alguna estructura sobre estos, como podría ser un orden parcial, una topología, una medida, etc, pues si hemos de comparar esos conjuntos junto con sus estructuras, las funciones que hemos de considerar tienen que preservar dicha estructura: entre conjuntos ordenados las funciones tienen que preservar el orden (ser monótonas), entre espacios topológicos tienen que ser continuas, entre espacios medibles (con una medida) tienen que ser medibles, etc. Por ejemplo, hay una biyección entre el intervalo unitario y el cuadrado unitario, pero no una biyección continua con inversa continua.
     Otro concepto que podría encontrarse asociado con la noción de infinito es el de distancia: se puede hablar de distancias infinitas.
     Se ha de notar que cuando se trata de medida o distancia, una medida o distancia infinita se denota $\infty$ y cuando se trata de número de elementos infinito, se denota con los $\aleph$, pues “longitud” y “número de elementos” son conceptos distintos.

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1. El texto anterior fue un mensaje que le mandé a Fermín Huerta por correo electrónico en respuesta a una entrada en su blog. No lo puse como comentario a dicha entrada debido a que Blogger sólo me deja poner comentarios de a lo más cuatro mil y cacho caracteres, y este texto tiene más de lo permitido. Fermín me pidió que publicara dicho texto. Las secciones 4 y 5 no estaban en el mensaje, pero resultan útiles para demostrar afirmaciones anteriores.
     Modifiqué un poco el texto para que cualquier lector lo pueda leer independientemente de los comentarios vertidos en la entrada mencionada.
     Me piqué con la entrada de Fermín y me entusiasmé por hablar de matemáticas en mi blog. Gracias, Fermín.↩