Comida corrida

Las escaleras lo miran ponerse los zapatos. Baja. Mira el cielo por la ventana manchada de gotas de lluvias pasadas. Baja. Se pone los zapatos, unos tenis de gamuza naranja. Abre la puerta que da al jardín. Mira la neblina por la ventana. Baja pausadamente las escaleras irregulares de peldaños cubistas. Mecánicamente toma las llaves mientras abre la puerta al jardín. Baja las escaleras y se detiene a mirar la neblina y la luz del este, que la ilumina y la vuelve ligeramente enceguecedora y brillante. El jardín lo recibe con ánimo tenue: los tomates oaxaqueños asombrosamente corrugados meridionalmente, las gardenias rosas y carmesí, el estoico limonero con moho negro pero que da limonzotes, los enfilados helechos al costado de la puerta que dicen ``buen viaje''. Gira la llave azul y abre la puerta a la calle. Come enmiltomatado de cerdo. Sube la pendiente. Ordena consomé y enmiltomatado de cerdo. Por la ventana mira las montañas tapizadas de verde y recubiertas de neblina. Sube la pendiente por donde los autos siempre deslizan sus llantas. Saluda al mecánico y a su esposa voluptuosa. Abre la puerta a la calle y mira al fondo de la privada. Sube lentamente la pendiente cuyo asfalto está parchado con grumos de cemento. Dobla en la peluquería cuyo bazar de ropa exterior e improvisado estorba el paso. Toma un poco de gel antibacterial mientras revisa el menú en el pintarrón. Saluda al mecánico y a su esposa voluptuosa. Vuelve sobre Cumbres de Alcutzingo. Los granos de arena en la calle crujen bajo su paso pensativo y de pequeñez ante las formidables montañas. El consomé tiene pequeños círculos y óvalos de grasa amarilla. Regresa sobre Cumbres de Alcutzingo mirando las montañas calinosas. Termina el consomé y recibe su enmiltomatado de cerdo. Saluda al mécanico con la mano derecha levemente levantada mostrando la palma. Sube la pendiente esquivando la moto aparcada y disfrutando brevísimamente pasar bajo el árbol que ha roto el concreto al lado de las escaleras de cuya puerta siempre sale una anciana con cara de pug. Toma un poco de gel intentando no estorbar el paso. Pasa la peluquería y atraviesa la calle justo antes de llegar a la casa del hombre solitario. Separa la carne de cerdo del espinazo y la deshebra con el cuchillo. Baja la pendiente y da vuelta en la calle cerrada de terracería donde se encuentra su casa. Abre la puerta a la calle, que es un camino adornado con un granado. Toma una cucharada con carne de cerdo, salsa de miltomate, y algo de arroz blanco para amortiguar la acidez. Mira la casucha del hombre solitario: un terreno semihundido con barda de lámina corrugada y oxidada, una casita de tabiques de cemento con techo de lámina, una hoja de lámina como puerta que se quita y se pone, un moño negro. El bocado le sabe a gloria. Abre su casa y pasa al jardín topándose con el resistente limonero ligeramente infestado de pulgones. Mira detenidamente el granado frente a la casa del vecino que golpeó a su mujer. Se quita los tenis de gamuza naranja. Sube las escaleras dando pasos firmes quizá como un soldado. Las hebras suaves de la carne de cerdo, la salsa, las pasas y el arroz conforman una isla sensorial contra el resto de la gente, que sólo le provoca ansiedad. Mira caminar a paso lento al hombre solitario y ligeramente encorvado por la edad con un tazón vacío en la mano. Contempla el jardín ornamentado con un caminito de pies de ladrillo gigantes que van de la puerta secundaria a la puerta principal. Sobre Alcutzingo, se cuida del perro que lo confunde con un perro cuando trae el cubrebocas en forma de un KN95 pero que es sólo de mezclilla oscura. Sube las escaleras. Lo intriga el herrero que siempre trabaja en el patio de la casa a la vista de todos. Le da una cucharada al consomé y sus ojos se encuentran intensamente con los del hombre solitario. En el jardín se deleita con prisa de esas plantas de hojas carnosas con florecitas rojas que siempre tienen abejas. Se quita los tenis, la camisa y el pantalón. Mira, detenidamente y sin aminorar el paso, el magnífico grafiti con un ogro cuyos ojos han sido rayados malintencionadamente con aerosol negro. Lo alegra ver las pasas en el enmiltomatado. Deja la propina. Se pone el pants para andar en la casa. Se quita los tenis, la camisa y el pantalón. Sube. Toma un poco de gel antes de salir. Sube. Las escaleras lo miran quitarse los zapatos.

¡Ay, la primera ley de Newton!: una discusión filosófica entre dos amigos

En la pulquería Las duelistas, en agosto de 2012, Ángel, un amigo escritor con formación en filosofía, y yo iniciamos una discusión filosófica alrededor de la primera ley de Newton. La discusión continuó, por 12 días, en una serie intensa de correos electrónicos. El motivo de tal discusión: la palabra ‘autodeterminación’. He aquí la discusión.

Ángel:

1. Primero citemos la ley: Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a no ser que sea obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él.
2. Está enunciada de forma que puede generar problemas pues toma un presente (el cuerpo que persevera en su estado) y un futuro (hipotético como todo futuro) (donde podría ser obligado a cambiar su estado por fuerzas impresas sobre él) pero omite un pasado en el cual podemos inferir algunas fuerzas lo obligaron a tomar el estado en el cual persevera.
3. Al omitir el pasado (en el que fue afectado por agentes externos) construye la ficción (que no creo estuviera en la cabeza de Newton sino que fue problema de su falta de conciencia en el lenguaje y la expresión) de una autodeterminación de los cuerpos.
4. Otro problema en la ley (tan sutil que en el análisis anterior no vi) es que Newton dice que el cuerpo no cambia su estado a menos que “sea obligado”, con lo cual mete una formulación humanizante del cuerpo que ayuda a construir la ficción de la autodeterminación del cuerpo. Me explico: tú (Quique) me puedes obligar a mí a algo, como la ley o la educación me obligan a cosas. Es decir, solo se obliga a sujetos, pues para obligar a alguien éste tiene que tener una voluntad que es la que se ve desviada de su curso natural al ser obligada a algo. Los cuerpos considerados desde su dimensión exclusivamente física y no moral no son obligados, sino que son movidos o proyectados o lo que sea.
5. Para concluir, hablar de autodeterminación física de los objetos o es una metáfora (resulta muy mal tener metáforas en el vocabulario de una ciencia) o es una ficción consecuencia de no ver lo que inconscientemente se ha llevado del habla moral a la física. Otro tanto se puede decir del uso del verbo perseverar en lugar de permanecer o continuar, que no tienen esa carga de referirse a una voluntad que persevera.

Quique:

1. Creo que una discusión sobre la primera ley de Newton habría que hacerse sobre su enunciación moderna y no como la enunció Newton por primera vez, por los evidentes vicios de la época. La primera ley de Newton tal como se enseña en la actualidad es la siguiente. “En la ausencia de fuerzas, una partícula se mueve a velocidad constante $\mathbf{v}$; es decir, en la ausencia de fuerzas, una partícula estacionaria permanece estacionaria y una partícula que se mueve continúa moviéndose a velocidad constante en la misma dirección”. Lo anterior es equivalente a decir que la velocidad es siempre constante en ausencia de fuerzas. Dicho de manera más compacta: “en ausencia de fuerzas, una partícula tiene aceleración cero”.
2. No es necesario considerar la historia completa de un cuerpo con respecto a sus estados de movimiento, pues sólo hay dos posibilidades para el movimiento de un cuerpo: o se mueve a velocidad constante $\mathbf{v}$ o no. Si no se mueve a velocidad constante $\mathbf{v}$, la causa es una fuerza. Si se mueve a velocidad constante $\mathbf{v}$, no hay causas externas o eficientes que lo hagan moverse: se mueve por sí solo. Es decir, el principio causal no es la única categoría de determinación conforme a la cual pueden devenir los objetos de la realidad. Si el objeto que se mueve a velocidad constante se mueve por sí solo, cómo llamarías a esta categoría de determinación (a esta pauta de devenir). Bunge la llama autodeterminación cuantitativa, pues no queda determinada una nueva cualidad, sino que un estado queda cuantitativamente determinado por el anterior en el mismo objeto sin la participación de causas externas (o eficientes).
        Una pequeña observación en relación a la velocidad de un cuerpo. La velocidad se está considerando en el espacio, así que esta ha de constar de magnitud y dirección, por eso su notación en negritas, como un vector. Que $\mathbf{v}$ sea constante significa que $\mathbf{v}$ tiene magnitud constante y dirección costante. Un cuerpo que se esté acelerando o que esté rotando, no tendrá velocidad constante; en el segundo caso, porque, a pesar de que su velocidad pueda tener magnitud constante, la dirección de su velocidad no lo sería.
3. Dices (decías en la pulquería) que si lanzas un objeto, entonces eres la causa de que haya llegado hasta donde hubo llegado (suponiendo que llegó más allá del alcance de tu mano). No. Estás confundiendo precedente (o antecedente constante) con causa, y, por lo tanto, confundiendo precedencia (o asociación constante o correlación) con causación; error este del empirismo, error que no sólo los empiristas cometieron (y siguen cometiendo): ya desde la antig\"uedad se cometía; tal identificación incluso la criticó Cicerón en su libro Del destino:

   [34] Porque si se concede que nada puede suceder sino por una causa precedente, ¿qué se gana si se dice que esa causa no depende de las causas eternas? Una causa es aquella que lleva a cabo aquello de lo que es causa. Como lo es la herida de la muerte, la indigestión de la enfermedad y el fuego del calor. Y así no se debe entender la causa de esta forma: como que aquello que preceda a alguna cosa, eso sea su causa, sino aquello que la preceda provocándola. Ni debe entenderse que que yo haya bajado al Campo haya sido la causa de que jugara a la pelota. Ni Hécuba la causa de la muerte de los troyanos porque haya engendrado a Alejandro, ni Tíndaro de la de Agamenón por a su vez haber engendrado a Clitemnestra. Pues de ese modo, también se dirá que el viajero bien vestido ha sido la causa del asaltante, porque le despojan por ello. [35] Aquello de Enio es de este género de cosas: ¡Ojalá que en el monte Pelio los troncos de abetos cortados con las hachas no hubieran caído a tierra! Y aún era posible ir más allá: “¡Ojalá que en el Pelio no hubiera nacido ningún árbol!” O incluso más: “¡Ojalá no hubiera ningún monte Pelio!”; y repitiendo esto así, es posible volver hacia atrás infinitamente: Que no se hubiera comenzado la armazón para el inicio de la construcción del barco. ¿Para qué estas cosas pretéritas? Pues porque sigue esto: Pues nunca mi dueña errante Medea sacara los pies de su morada, enferma el alma, herida por el cruel amor. Y no que esas cosas den causa para el amor.

        Un enunciado de la forma ‘si $C$ entonces siempre $E$’ (forma que contiene la precedencia o sucesión existencial y equivalente a lo que has entendido por ‘causa’) no agota el significado de la causación. Consideremos los siguientes ejemplos.
   1. “Si las manzanas son rojas entonces son dulces” expresa una correlación mas no causación, pues una cualidad no puede ser causa de nada.
   2. “El gallo siempre canta antes de la salida del sol”, así que si interpretamos este enunciado según entienden los empiristas la causación, obtendríamos “el canto del gallo provoca que salga el sol”, enunciado gracioso por absurdo.
   3. La mayoría de los enunciados de las matemáticas corresponden a la fórmula ‘si $p$ entonces $q$ siempre’ (o escrito de manera cuantificada ‘$\forall(-)\;p\Rightarrow q$’); sin embargo, las matemáticas no dan cuenta de las conexiones causales, pues ellas no tratan del mundo; no hay una matemática del reposo, por ejemplo.
        Esa identifiación (o confusión empirista) proviene de la confusión de la verdad con su criterio o del significado de una proposición con su modo de verificación. Los empiristas manifiestan que la única prueba de la causación es la observación de la precedencia constante (o la conjunción constante de sucesivos), y luego, sobre la base de la doctrina verificacionista del significado, concluyen que el significado del principio causal se agota en la asociación regular. Sin embargo, la causación o vínculo causal no sólo se caracteriza por la precedencia (constante) sino también por la eficacia o productividad.
        Por supuesto que, para comprobar una hipótesis concerniente a cualquier clase de hechos, es conveniente examinar una gran cantidad de casos similares (casos que se repiten); sin embargo, no se puede confundir metodología (científica) con ontología (o rasgos de la realidad).
4. Otra posibilidad es que estés confundiendo responsabilidad con causa. La manera en que se finca una responsabilidad es determinando el primer eslabón de una sucesión o cadena de sucesos, sin importar si el suceso $s_i$ es causa eficiente del suceso $s_{i+1}$, o si $s_j$ ocurre según otra categoría de determinación (Bunge señala por lo menos ocho categorías de determinación, por cierto irreducibles pero interrelacionadas o interconectadas entre sí). Cuando se finca una responsabilidad, ni siquiera es necesario que el suceso $s_1$ sea causa eficiente de $s_2$, pues $s_1$ podría ocurrir por negligencia (el ‘por’ en la frase “ocurrir por negligencia” sólo señala una razón, no una causa, cosas completamente distintas entre sí: la primera es de orden gnoseológico y la otra de orden ontológico); es decir, por dejar de hacer algo, y una ausencia no puede ser causa de nada. Por ejemplo, podrías ser el responsable de la muerte de tu hijo (si tuvieras uno) si no le dieras de comer (una negligencia), pero no la causa de su muerte.

Ángel:

1. Mi problema no es con el concepto de autodeterminación, sino con lo mal elegido que está el nombre que tiene (es casi la misma crítica que hice a la ley de Newton). NO ES UN NOMBRE CIENTÍFICO. NO TIENE NINGÚN RIGOR. Sigue siendo lenguaje poético/antropomorfizante. Pura lógica, Quique: no $X$ no es lo mismo que $X$, ya que puede ser $Y$, pues también $Y$ es no $X$. No determinación externa no es lo mismo que autodeterminación. Ya que también puede ser determinación interna (de mi estado o estructura/composición).
        Autodeterminación no es lo mismo que determinación interna. En el primero lo que determina es un yo, una voluntad. En el segundo, el estado o estructura/composición del objeto.
        No por nada, el lenguaje de la política habla de la “autodeterminación de los pueblos”. Pero en geología hablamos de la “composición natural” de los minerales.
        Un nombre verdaderamente científico únicamente expresaría lo que nombra sin sugerir implicaciones falsas: se trata de un estado de no determinaciones externas y punto. Nada de un sí mismo. Pues el objeto no es su estado.
2. Concedo: no todo fenómeno en el mundo es una causa. Pero afirmo: todo fenómeno es determinado y determina a otros (no a todos): dicha determinación puede ser causal o no, no importa. Lo importante es que se cumple el principio de razón: nada ocurre sin una razón por la cual ocurre así y no de otra manera, y sin la cual no hubiera ocurrido. Entendiendo “razón” en un sentido amplio: los casualistas piensan en causas, los idealistas en razones, el problema es que no existe una palabra que no se preste a equívocos. Yo propongo (pues así lo pienso): nada ocurre sin una determinación por la cual es así y no de otra manera, y sin la cual no hubiera ocurrido.

P. D. Ejemplo de un lenguaje científico: claro y pulcro es la bella abreviación de la ley de Newton que me regalaste: “en ausencia de fuerzas, una partícula tiene aceleración cero”.

Quique:

1. Obviaré la intención de señalar que $\neg X\neq X$ (ora sí que obviaré lo obvio, pues imagino que quisiste señalar otra cosa). También supondré que con “no determinación externa” quisiste decir “determinación no externa”.
        Por supuesto que con “autodeterminación” no quiero decir “determinación no externa”, sino algo más específico, pues como bien haces notar, determinación no externa bien podría ser determinación interna o determinación estructural (o cualquier otra categoría de determinación que no sea externa).
        Me parece curioso que aceptes que en el lenguaje de la política se hable de la autodeterminación de los pueblos y que te extrañe que yo hable de la autodeterminación en las cosas por el solo hecho de que los objetos no tienen un yo o una voluntad, ya que un pueblo no tiene ni yo ni voluntad: lo que tiene voluntad y yo son las personas, no el todo que pudieran conformar.
        Por otro lado, $\alpha\upsilon\tau o$ no suele usarse para indicar “voluntad” o “yo”, como podemos notar en las palabras ‘autómata’ (que tiene movimiento propio o que se mueve por sí mismo o por sí solo), ‘autónomo’ (que se norma por sí mismo o por sí solo; la UNAM es autónoma y no tiene ni voluntad ni yo), ‘automóvil’, ‘autogobierno’, ‘autorreferente’ (como en “este enunciado es autorreferente”, que lo que significa es que el referente de ‘este enunciado es autorreferente’ es este mismo enunciado).
        Estos ejemplos nos sirven para mostrar que el término ‘sí mismo’ tiene por lo menos dos sentidos.
   1. ‘Sí mismo’ como pronombre para evitar la repetición de un nombre. Por ejemplo, ‘el objeto $A$ mueve al objeto $A$’ se puede reemplazar por ‘el objeto $A$ se mueve a sí mismo’. O ‘el enunciado $B$ hace referencia al enunciado $B$’ por ‘el enunciado $B$ hace referencia a sí mismo’. Este es el sentido en que se usa $\alpha\upsilon\tau o$, como muestran los ejemplos anteriores.
   2. ‘Sí mismo’ en el sentido de que posee procesos mentales. Este segundo sentido es uno técnico, uno que sólo se utiliza en el budismo, la psicología, las neurociencias y la filosofía de la mente.
        Ahora, volviendo a la autodeterminación, lo que se quiere señalar con ese concepto es el continuo en el desarrollo de estados de un objeto que se van diferenciando entre sí. Por ejemplo, la categoría de autodeterminación cualitativa se da en mí si considero que puedo amputarme yo mismo un brazo, lo cual logro a través de una sucesión de estados (movimientos corporales) hasta llegar al último estado (yo sin brazo). Es decir, un estado previo de mí mismo determina el estado final de mí mismo (de hecho, el único modo que tengo de modificarme es a través del cambio en mí mismo, es decir, a través de estados de mí mismo; más aún, es el único modo que tiene cualquier cosa para realizar un cambio, sea este sobre ella misma o sobre otra cosa; por ejemplo, si quiero hacer un moretón en alguien, sólo lo puedo hacer moviendo mi cuerpo: desplazando mi puño hasta impactarlo sobre el cuerpo de ese alguien). Todo este acto automutilante bien lo podría realizar un robot autónomo; hecho que no implicaría que el robot tiene un yo o una voluntad. Notemos que este acto automutilante lo podría yo realizar completamente borracho (estado en el que dudo que tenga voluntad).
        El automovimiento de un objeto (o el movimiento en velocidad constante de un objeto, si sigues renuente a usar $\alpha\upsilon\tau o$ para el primer sentido) es un claro ejemplo de autodeterminación: un estado previo de un objeto determina cuantitativamente el siguiente estado del mismo objeto. `Cuantitativamente' porque los estados del continuo sólo difieren cuantitativamente.
        Ahora, considerando tu mención de las determnicaciones estructural e interna, Bunge define determinación estructural como la determinación de las partes por el todo y da unos ejemplos: el funcionamiento de un órgano está parcialmente determinado por las necesidades del organismo en su totalidad; el comportamiento de un individuo es determinado por la estructura general del conjunto al cual pertenece, como una persona en un grupo social. Y define determinación dialéctica (lo que creo llamarías determinación interna) como la determinación de la totalidad de un proceso por la lucha interna y por la eventual síntesis subsiguiente de sus componentes esenciales opuestos, y da dos ejemplos: los cambios de estado de la materia al nivel macroscópico se producen por el juego recíproco y predominio final de dos tendencias opuestas: la agitación térmica y la atracción molecular; los intereses en conflicto de los grupos sociales determinan los cambios de la propia estructura social de dichos grupos.
2. El principio que propones me parece más bien un principio de la determinación o una especie de principio determinista, que el principio de razón suficiente, pues el principio que propones se refiere más bien al modo de devenir de las cosas, que a un supuesto de lo que podemos explicar (según el principio de razón suficiente, todo). En lo que sigue explico por qué.
        Revisé la entrada de la Stanford Encyclopedia of Philosophy sobre el Principio de razón suficiente (en inglés Principle of sufficient reason, por si la quieres buscar), y su enunciación formal es

   For every fact $F$, there must be an explanation why $F$ is the case. (Para todo hecho $F$ tiene que haber una explicación de por qué $F$ es el caso).

   (Le creo más a esta enciclopedia especializada que a la Wikipedia; te cito a la Wikipedia de todas maneras: “Todo lo que ocurre tiene una razón suficiente para ser así y no de otra manera, o en otras palabras, todo tiene una explicación suficiente”. La entrada en inglés al respecto también se refiere a las expliaciones).
        Dicho principio es de orden gnoseológico y no ontológico, pues se refiere a las explicaciones o la teorización sobre los hechos y no a los hechos o comportamiento de las cosas. Tu principio se refiere al comportamiento de las cosas.

P. D. Cuando en el taller mencionaron al inventor de la máquina de inyección letal (Jay Chapman(?)) y comenzaron a hacer chistes acerca de que lo que mata es el veneno; que si alguien dispara, lo que mata es la velocidad de la bala, etc; me acordé de nuestra discusión y de la confusión entre responsabilidad y causa.
     Obviamente la causa de muerte por inyección letal es el veneno y los participantes en la administración de este son corresponsables del deceso: si todos los participantes en la administración hicieran lo mismo con una jeringa llena de la propia sanbre del condenado, no habría muerte alguna. Por otro lado, incluso si el veneno entrara accidentalmente en el condenado (o cualquier persona), el veneno lo mataría. Así que la constancia regular con eficacia es la presencia del veneno, y, por lo tanto, la causa es el veneno, no la participación en una administración de este.
     Se me ocurrieron las siguientes definiciones.

Df. Sea $(s_1,s_2,\ldots,s_n)$ una sucesión finita de sucesos. Se dice que la persona $p$ es responsable de $s_n$ si $p$ participa en $s_1,\ldots,s_k$, pero $s_{k+i}$ para $i\geq 1$ ocurre sin la participación de ninguna persona.

Df. Sea $(s_1,s_2,\ldots,s_n)$ una sucesión finita de sucesos y sea $\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$ un grupo de personas. Se dice que el grupo $\{p_1,p_2,\ldots,p_k\}$ es responsable de $s_n$ y que $p_1,\ldots,p_k$ son corresponsables de $s_n$ si $p_1$ participa en $s_1$, $p_2$ participa en $s_2$,...,$p_k$ participa en $s_k$ y $s_{k+i}$ ocurre para $i\geq 1$ sin participación de ninguna persona.

Las dos definiciones tienen que mejorarse, pues creo que tendría que ir explícita o implícita la obligación en algún lugar, pues las definiciones anteriores no encajan en el caso de negligencia, caso en el que una persona no participa en el primer suceso de una cadena finita de sucesos.

Ángel:

1. No entiendo lo que dices suponer: Yo digo: no $X$ no es lo mismo que $X$. Tú dices: $\neg X\neq X$. No veo diferencia.
        Lo de “no determinación externa” o “determinación no externa” no creo que importe en lo mas mínimo en la discusión. Aunque sea radicalmente distinto.
        Te insisto: no tengo ningún problema con el concepto de autodeterminación más que el nombre. Creo que podría llamarse de una manera más afortunada. Tú dices: lo que se quiere señalar con ese concepto es el continuo en el desarrollo de estados de un objeto que se van diferenciando entre sí. Bueno, eso creo sería mejor llamado “desarrollo independiente”, o algo así. Lo que no me gusta es la mescolanza del “auto” con la “determinacón”. Debido a la cantidad de implicaciones no necesarias que de ahí pueden partir. Creo simplemente que el lenguaje científico debe estar limpio de residuos metafísicos y la autodeterminación es sin duda uno de ellos. Eso no excluye que otras disciplinas también estén contaminadas.
2. Me hizo muy feliz tu comentario de que el principio de razón es de orden gnoseológico y no ontológico, pero creo que lo tomas algo muy a la ligera: Gnoseología y ontología están trenzadas en el sentido de que toda explicación o teorización sobre los hechos y los comportamientos de las cosas aspira a, llamémosle, una adecuación entre lo que la explicación o la teoría dice y lo que realmente ocurre. La gnoseología corre detrás de la ontología, pues solo cuando ambas corresponden, la gnoseología se realiza: esto es, acontece el conocimiento.
   
   Pd. Temo que la formulación que citas del principio de razón está muy contaminada de filosofía inglesa. Te paso la versión continental más usada por la filosofía alemana: Nihil est sine ratione cur potius sit, quam non sit.
3. Me doy el lujo de volver tu posdata un tercer punto de discusión.
         Tienes razón: no es lo mismo ser causa de algo (la muerte de alguien) que tener responsabilidad (total o parcial) de ese algo.
        Es algo tan sencillo que las leyes reconocen esta diferencia y debe ser tenida en cuenta a la hora de juzgar. Pero tú y yo no estamos hablando dentro del universo conceptual de las leyes ni de la moral (donde también se aplica) sino que intentamos hablar de los hechos mismos y del comportamiento de las cosas. Estamos haciendo ontología.
        ¿Qué significa ser responsable? Pues que amerito una pena o sanción debido a una acción mía (recuerda que la omisión también es una acción).
        Aquí lo único que nos interesa es que la responsabilidad es producto de una acción. Es decir, nace de nuestra participación en el encadenamiento de determinaciones del mundo.
        Poco importa el nombre del fenómeno, lo importante es ver lo esencial: estímulo, causa, motivo, responsabilidad, etc. todas son determinaciones.

Quique:

1. Sólo quise prescindir de tu afirmación ``No $X$ no es lo mismo que $X$'', por obvia, pero suponiendo que otro era tu señalamiento. Es decir, supuse que tu intención no era señalar una obviedad sino otra cosa. O dicho de otra forma, ¿en qué momento confundí $\neg X$ con $X$? Cuando escribí $\neg X\neq X$ sólo fue para ahorrar espacio.
         Estás de acuerdo con el concepto, pero no con la denominación; eso lo entendí. Lo que no entendí es de dónde vienen las implicaciones de las que hablas, pues, como comento, la denominación no tiene nada de extraño, pues todos los conceptos nombrados con un nombre que lleva la raíz $\alpha\upsilon\tau o$ no tienen, a causa de su nombre, implicación alguna sobre la posesión de algún tipo de proceso mental, como podría ser tener voluntad o un yo, o sentimintos. Es decir, no me queda claro que la raíz $\alpha\upsilon\tau o$ te lleve a tales pensamientos. Cuando pienso en la palabra `autómata', no pienso que los autómatas tengan un yo o una voluntad. Cuando pienso en la palabra `autogobierno', no pienso en un conglomerado de personas que tenga una conciencia o una voluntad o sentimientos, no pienso que a ese conglomerado de pronto le surja un yo o que le surjan sentimientos. Cuando pienso en la palabra `autorreferente', no pienso en enunciados voluntariosos sentimentales y conscientes de sí mismos. No me queda claro de dónde sacas las implicaciones de las que hablas. En otras palabras, ¿por qué si la raíz $\alpha\upsilon\tau o$ no se usa para indicar ni significa yo o voluntad o cualquier otro proceso mental, dices que al agregar $\alpha\upsilon\tau o$ a determinación, la palabra resultante tiene las implicaciones que señalas?
2. No me queda claro dónde está mi ligereza al afirmar la diferencia entre gnoseología y ontología. Más parece que supones que hay algo que no estoy considerando.
         Estoy de acuerdo con tu afirmación: “Gnoseología y ontología están trenzadas en el sentido de que toda explicación o teorización sobre los hechos y los comportamientos de las cosas aspira a, llamémosle, una adecuación entre lo que la explicación o la teoría dice y lo que realmente ocurre. La gnoseología corre detrás de la ontología, pues solo cuando ambas corresponden, la gnoseología se realiza: esto es, acontece el conocimiento”. Sólo no entiendo bien la última afirmación. ¿Con “acontece el conocimiento” quieres decir “la gente conoce” o “los enunciados fácticos se verifican”? ¿O quieres decir otra cosa que no estoy considerando?
        En relación al Principio de razón suficiente, Schopenhauer, en su libro Über die vierfache Wurzel des Satzes vom zureichenden Grunde, tradujo Nihil est sine ratione cur potius sit quam non sit como Nichts ist ohne Grund warum es sei, que en latín sería Nihil est sine ratione cur sit. Este segundo enunciado es idéntico a Nothing is without reason why it is, equivalente a For every fact $F$ there must be an explanation why $F$ is the case. En español el primero sería “No hay nada sin razón por la cual sea más bien que no lo sea” o “No hay nada sin razón por la cual sea el caso más bien que no lo sea” o “No hay cosa alguna sin razón por la cual sea el caso más bien que no lo sea”. La traducción de Schopenhauer sería en español “No hay cosa alguna sin razón por la cual sea el caso”. La traducción de Schopenhauer al igual que Nihil est sine ratione cur sit están más en el espíritu de lo que sería un principio de razón suficiente, que Nihil est sine ratione cur potius sit quam non sit; es decir, ¿en qué enriquece “potius quam non sit” a “nihil est sine ratione cur sit” o cuál es el sentido estricto de “potius quam non sit”? Ora sí que la versión de Schopenhauer es una versión más clara y más acorde con el espíritu de un principio de razón suficiente. Como en el caso de la enunciación de la Primera ley de Newton que me diste y la enunciación actual que te mencioné, la enunciación actual es más clara y más acorde con lo que sería una ley científica como dices.
3. No creo que una omisión sea una acción ni una determinación. Esto equivaldría a decir que los elefantes rosados determinan el mundo, ya que omiten toda acción sobre él, lo cual es absurdo. Estás pensando que toda operación lingüística (o lógica) representa, lo cual es falso. Las negaciones y las disyunciones no representan nada, no tienen correlato óntico, por lo menos no siempre. ¿Qué color es el (azul o rojo o verde)? ¿Qué color es el no azul? ¿Qué acción es no jugar? ¿Qué acción es (volar o correr o nadar)? Tales operaciones son, por lo general, operaciones puramente conceptuales. Sólo los enunciados que no son irreduciblemente negativos (aquellos que no son equivalentes a un enunciado positivo) pueden representar. (Por ejemplo, “ese auto no se está acelerando” es equivalente a “ese auto se está moviendo a velocidad constante”; sin embargo, “hoy no vine” no se puede reemplazar por un enunciado positivo, un enunciado que afirme la acción realizada. ¿Qué acción es no venir?).
         Discrepo de la noción de que responsable de algo sea “Que amerita una pena o sanción debido a una acción suya”. Si soy responsable de la muerte de alguien, entonces se me considera merecedor de una pena o sanción. Si soy responsable de la alimentación de mi hijo, no recibo una pena o sanción; tengo que dejar de alimentarlo para entonces ahora sí ser merecedor de una pena o sanción. Esto muestra la diferencia entre hacer y omitir. En el segundo caso, tiene que incluirse la noción de obligación o deber; en el primero no. Si incluyera la noción de obligación o deber en el primer caso, entonces el significado sería completamente distinto: “soy responsable de la muerte de alguien porque me encargaron matarlo”; esto muestra que ‘responsable’ tiene por lo menos dos sentidos; el segundo sería equivalente o estaría relacionado a ‘encargado’.
        “Poco importa el nombre del fenómeno, lo importante es ver lo esencial: estímulo, causa, motivo, responsabilidad, etc. todas son determinaciones”. Efectivamente, lo importante es el concepto detrás del nombre, en este caso (en el caso de más arriba, al nombre ‘autodeterminación’ sí le diste importancia); por eso es importante decir por qué o en qué difieren para no confundirlos. Lo fácil es confundir conceptos, no nombres.

Mind scent

A decent scent doesn't entail a good descent,
but a decent vocabulary may be tintinnabulary.
So sound to mind might be a tintin' scent.

The Zappa-Szép product, strict factorization systems and distributive laws

$\newcommand{\con}{\mathbf{Set}} \newcommand{\uno}{\mathbf{1}} \newcommand{\Cat}{\mathbf{Cat}}\newcommand{\mon}{\mathbf{Mon}} \newcommand{\ab}{\mathbf{Ab}} \newcommand{\an}{\mathbf{An}}\newcommand {\matcon}{\mathbf{Set\text{-}Mat}} \newcommand{\grp}{\mathbf{Grp}} \newcommand{\ob}{\mathrm{Ob}}$

The Zappa-Szép product and distributive laws

The Zappa-Szép product, strict factorization systems and distributive laws are related in a certain way. Let us talk first about the Zappa-Szép product (also known as knit product or matched pair of groups).
     The Zappa-Szép product is a generalization of the semidirect product for groups in the same way as this product is a generalization of the direct product for groups, and the zappa-szép product is the most general way in which a group is presented as a product of two groups.
     The internal Zappa-Szép product is defined as follows. Given a group $G$ and two subgroups $H$ and $K$ of $G$, the following statements are equivalent:

• $G=KH$ y $K\cap H=\{e\}$,
• for every $g\in G$ there is a unique $k\in K$ and a unique $h\in H$ such that $g=kh$.

If either of these statements is satisfied, then $G$ is said to be an internal Zappa-Szép product of $K$ and $H$.
     There is an external version of the Zappa-Szép product, which is the one we are interested in, because it's by means of this product that a link between distributive laws and strict factorization systems is established.
     Given two groups $K$ and $H$, suppose there are funtions $\alpha:H\times K\rightarrow K$ and $\beta:H\times K\rightarrow H$ such that

1. $\alpha(h_1h_2,k)=\alpha(h_1,\alpha(h_2,k))$,
2. $\beta(h_1h_2,k)=\beta(h_1,\alpha(h_2,k))\beta(h_2,k)$,
3. $\beta(h,k_1k_2)=\beta(\beta(h,k_1),k_2)$,
4. $\alpha(h,k_1k_2)=\alpha(h,k_1)\alpha(\beta(h,k_1),k_2)$,
5. $\alpha(e,k)=k$,
6. $\beta(h,e)=h$

for every $h,h_1,h_2\in H$ y $k,k_1,k_2\in K$ (cf. [4]). Note that from (ii) and (v) and from (iv) and (vi) follows respectively:

7. $\beta(e,k)=e$ and
8. $\alpha(h,e)=e$.

We can define from (i)-(vi) a multiplication and an inverse on $K\times H$ as $$(k_1,h_1)\gamma(k_2,h_2):=(k_1\alpha(h_1,k_2),\beta(h_1,k_2)h_2))$$ and $$(k,h)^{-1}:=(\alpha(h^{-1},k^{-1}),\beta(h^{-1},k^{-1})).$$ $(\gamma,K\times H)$ is called an external Zappa-Szép product of $K$ and $H$.
     Note that if $G$ is an internal Zappa-Szép product of its subgroups $K$ y $H$, then there are funtions $\alpha:H\times K\rightarrow K$ and $\beta:H\times K\rightarrow H$ such that (i), (ii), (iii), (iv), (v) and (vi) in the previous definition are satisfied: their existence follows from the fact that every element $g\in G$ can be written uniquely as a product $kh$, and the fact that if $G$ is an external Zappa-Szép product of the groups $K$ and $H$, then $G$ is an internal Zappa-Szép product of its subgroups $K\times e_H$ and $e_K\times H$.
     Let $H,K\in\grp$. Let $S$ and $T$ be the endofunctors $H\times(-)$ and $K\times(-)$ on $\con$, respectively. Then we have the monads $$H\times X,\quad\xymatrix{X\ar[r]^(.4){e_H\times 1_X} & H\times X},\quad\xymatrix{H\times H\times X\ar[r]^(.6){m_H\times 1_X} & H\times X}$$ and $$K\times X,\quad\xymatrix{X\ar[r]^(.4){e_K\times 1_X} & K\times X},\quad\xymatrix{K\times K\times X\ar[r]^(.6){m_K\times 1_X} & K\times X}.$$ Denote their units and multiplicationss as $\eta',\mu'$ y $\eta,\mu$, resp. Let $\gamma$ be a group structure on $K\times H$ such that $K\times e_H,e_K\times H$ are subgroups of $(\gamma,K\times H)$ and $(K\times e_H)\gamma(e_K\times H)=(\gamma,K\times H)$. In other words, such that $(\gamma,K\times H)$ is an internal Zappa-Szép product of $K\times e_H$ and $e_k\times H$, or that $(\gamma, K\times H)$ is an external Zappa-Szép product of $K$ and $H$.
     Without loss of generality, we can assume $(k,h)=(k,e_H)\gamma(e_K,h)$ for any $k\in K$ and $h\in H$ (consider the definition of external Zappa-Szép product and the properties of $\alpha$ and $\beta$). Then we have the monad $$(K\times H\times(-),(e_K,e_H)\times 1_{(-)}, \gamma\times 1_{(-)})$$ on $\con$. Since $K\times e_H$ and $e_K\times H$ are subgroups of $(\gamma,K\times H)$, then $\eta S$ and $T\eta'$ are morphisms of monads, and since $(k,h)=(k,e_H)\gamma(e_K,h)$, the previous monad satisfies the middle unitary law, so the monad above induces a distributive law $ST\Rightarrow TS$; namely, $$(\gamma\times 1_{(-)})\cdot\eta ST\eta':H\times K\times(-)\Rightarrow K\times H\times(-);$$ explicitly, $$\xymatrix{(h,k,-)\ar@{|->}[r] & (e_K,h,k,e_H,-)\ar@{|->}[r] & ((e_K,h)\gamma(k,e_H),-)}.$$
     Conversely, let $\lambda:ST\Rightarrow TS$ be a distributive law of $S$ over $T$, and consider $\lambda 1:H\times K\times 1\rightarrow K\times H\times 1$. Neglect the singleton, and put $$\lambda 1=(\alpha,\beta),$$ where $\alpha$ and $\beta$ are determined by the following commutative diagram: $$\xymatrix{ & H\times K\ar[d]^{\lambda 1}\ar[dr]^\alpha\ar[dl]_\beta &\\ K & K\times H\ar[l]^{p_K}\ar[r]_{p_H} & H. }$$ Then, by the compatibility of $\lambda$ with the unit of $S$, $$\xymatrix{ & H\times K\times 1\ar[dd]^{\lambda 1}\\ K\times 1\ar[ur]^{e_H\times K\times 1}\ar[dr]_{K\times e_H\times 1} &\\ & K\times H\times 1 }$$ commutes; hence, $\alpha(e_H,k)=k$ y $\beta(e_H,k)=e_H$.
     Now, by the compatibility of $\lambda$ with the multiplication of $S$, $$\xymatrix{ H\times H\times K\times 1\ar[rr]^{H\times\lambda 1}\ar[d]_{m_H\times K\times 1} & & H\times K\times H\times 1\ar[rr]^{\lambda_{H\times 1}} & & K\times H\times H\times 1\ar[d]^{K\times m_H\times 1}\\ H\times K\times 1\ar[rrrr]_{\lambda 1} & & & & K\times H\times 1 }$$ commutes; whence, $$\alpha(h_1h_2,k)=\alpha(h_1,\alpha(h_2,k))\quad\text{y}\quad \beta(h_1h_2,k)=\beta(h_1,\alpha(h_2,k))\beta(h_2,k).$$ Similarly, by the compatibility of $\lambda$ with the unit and the multiplication of $T$, $\alpha(h,e_K)=e_K$, $\beta(h,e_K)=h$ and $$\alpha(h,k_1k_2)=\alpha(h,k_1)\alpha(\beta(h,k_1),k_2)\quad\text{y}\quad\beta(h,k_1k_2)=\beta(\beta(h,k_1),k_2).$$
     Therefore, we have a Zappa-Szép product of $K$ and $H$.
     Thus we have a correspondence between the Zappa-Szép products of $K$ and $H$, and the distributive laws of $H\times(-)$ over $K\times(-)$. Indeed, define $L:\mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H)\rightarrow\mathbf{DistLaw}(H,K)$, a function which goes from the Zappa-Szép products of $K$ and $H$ to the distributive laws of $H\times(-)$ ovoer $K\times(-)$ (let $\alpha:H\times K\rightarrow K$ and $\beta:H\times K\rightarrow H$ be the functions which define a Zappa-Szép product of $K$ and $H$): $$\xymatrix{ \mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H)\ar[r]^(.55)L & \mathbf{DistLaw}(H,K) }\qquad\qquad\quad$$ $$\xymatrix{ (\alpha,\beta)\ar@{|->}[r] & (\alpha,\beta)\times 1_{(-)}. }$$ Define $N:\mathbf{DistLaw}(H,K)\rightarrow\mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H)$ as $$\xymatrix{ \mathbf{DistLaw}(H,K)\ar[r]^(.45)N & \mathbf{Zappa\text{-}Sz\acute{e}p}(K,H) }\qquad\qquad\quad$$ $$\xymatrix{ \lambda\ar@{|->}[r] & (p_K\circ\lambda 1,p_H\circ\lambda 1). }$$ Obviously $NL=1$. Less obvious is that $LN=1$. Since $\con$ is a distributive category, \begin{equation}\label{D:distcatset} Z\times X=\sum\nolimits_{x\in X}Z\times H\times\{x\}. \end{equation}
     Consider now the injection $i_x:\{x\}\rightarrow X$; then by naturality of $\lambda$, the following diagram commutes: $$\xymatrix{ H\times K\times\{x\}\ar[rr]^{H\times K\times i_x}\ar[d]_{\lambda_{\{x\}}} & & H\times K\times X\ar[d]^{\lambda_X}\\ K\times H\times\{x\}\ar[rr]_{K\times H\times i_x} & & K\times H\times X. }$$ On the other hand, since $H\times K\times i_x$ is the injection $$\xymatrix{H\times K\times\{x\}\ar[r] & \sum_{x\in X}H\times K\times\{x\}},$$ $K\times H\times i_x$ is the injection $$\xymatrix{K\times H\times\{x\}\ar[r] & \sum_{x\in X}K\times H\times\{x\}}$$ and the equality \eqref{D:distcatset} holds, $\lambda_X=\sum_{x\in X}\lambda_{\{x\}}$. However $\lambda_{\{x\}}=\lambda 1\times 1_{\{x\}}$ for every $x\in X$, so $\lambda_X=\lambda 1\times 1_X$. Hence, $\lambda_X=(p_K\circ\lambda 1,p_H\circ\lambda 1)\times 1_X$.

The bicategory of set-valued matrices

The Zappa-Szép product is generalized in [3] by showing the equivalence of the concept of distributive law in the bicategory of set-valued matrices and the concept of strict factorization system. Let's see how that is done. First describe the bicategory of set-valued matrices $\matcon$ as follows: the objects (the 0-cells) of $\matcon$ are sets, a 1-cell $M:A\rightarrow B$ is a set-valued matrix, i. e., $M(b,a)\in\con$ for every $a\in A$ and $b\in B$, a 2-cell $\tau:M\Rightarrow N:A\rightarrow B$ is a matrix of functions $\tau(b,a):M(b,a)\rightarrow N(b,a)$. The composite of 1-cells $$\xymatrix{ A\ar[r]^M & B\ar[r]^E & C\ar@{}|{=}[r] & A\ar[r]^{EM} & C }$$ is defined as $$EM(c,a):=\sum_{a\in A}E(c,b)\times M(b,a).$$ Given $A\in\matcon$, we define $$1_A(b,a):= \begin{cases} 1,\text{ the singleton, if $b=a$};\\ \emptyset,\text{ if $b\neq a$}. \end{cases}$$ It is clear that $M 1_A\overset{r}{\cong} M$ and $1_B M\overset{l}{\cong} M$.
     A monad $T$ on an object $A$ in this bicategory is precisely a category with set of objects $A$. Let's shed some light on what is happening. Diagrammatically $T$ is determined by the following commutative diagrams: $$\xymatrix{ (TT)T\ar@{}|{\cong}[r]\ar[d]_{\mu T} & T(TT)\ar[r]^(.55){T\mu} & TT\ar[d]^\mu\\ TT\ar[rr]_\mu & & T }$$ and $$\xymatrix{ 1_AT\ar[r]^{\eta T}\ar[dr]_l & TT\ar[d]^\mu & T1_A\ar[l]_{T\eta}\ar[ld]^r\\ & T &, }$$ where $l$ and $r$ are the isomorphisms above induced by the product and the terminal object of $\con$. Now, what $T$ does is to assign to each pair of elements $b,a\in A$ a set $T(b,a)$ of arrows, to give a composite to each composable pair by means of $\mu$, to choose an identity for each element $a\in A$ via $\eta$ and finally, with the previous diagrams, to make composition associative and make composition with an identity a unit law for the arrows of the small category $A$ with objects its elements and its arrows in $T(b,a)$; put differently, a monad in $\matcon$ is a category.
     Now let $M$ and $E$ be two categories with set of objects $A$ and let $\lambda:ME\Rightarrow EM$ be a distributive law of $M$ over $E$; $\lambda$ yields a function $$\xymatrix{ ME(a,c)\ar[r]^{\lambda(a,c)} & EM(a,c) }$$ for every pair $(a,c)\in A\times A$. Thus we have a family of functions $$(\xymatrix{ M(a,b)\times E(b,c)\ar[r] & \sum_{i\in A}E(a,i)\times M(i,c) })_{b\in A}.$$ If we write $m:\xymatrix{a\ \ar@{>->}[r] & b}$ for an arrow in $M$ and $e:\xymatrix{b\ar@{->>}[r] & c}$ for an arrow in $E$, then $\lambda$ yields an object $e_\lambda m$ and a composable pair $(e_\alpha m,e_\beta m)$ as shown by: $$\xymatrix{ a\; \ar@{>->}[r]^m\ar@{->>}[d]_{e_\alpha m}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & b\ar@{->>}[d]^e\\ e_\lambda m\;\ar@{>->}[r]_{e_\beta m} & c. }$$ We call a diagram such as this a $\lambda$-square. Consider the compatibility diagrams for the distributive law $\lambda:ME\Rightarrow EM$: \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ME\ar[dd]^\lambda\\ E\ar[ru]^{1E}\ar[dr]_{E1} & \\ & EM, }}\quad\text{compatibility of $\lambda$ with $1$ (CuM)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ & ME\ar[dd]^\lambda\\ M\ar[ur]^{M1}\ar[dr]_{1 M} &\\ & EM, }}\quad\text{compatibility of $\lambda$ with $1$ (CuE)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ MME\ar[r]^{M\lambda}\ar[d]_{\bullet E} & MEM\ar[r]^{\lambda M} & EMM\ar[d]^{E\bullet}\\ ME\ar[rr]_\lambda & & EM, }}\quad\text{compatibility of $\lambda$ with $\bullet$ (CmM)}\notag \end{equation} \begin{equation} \vcenter{\xymatrix{ MEE\ar[r]^{\lambda E}\ar[d]_{M\bullet} & EME\ar[r]^{E\lambda} & EEM\ar[d]^{\bullet M}\\ ME\ar[rr]_\lambda & & EM, }}\quad\text{compatibility of $\lambda$ with $\bullet$ (CmE)}\notag \end{equation} where we denote by 1 the transformations that provide identities and by $\bullet$ the transformations that provide the composites (the units and the multiplications of the monads $M$ and $E$). Now, in terms of $\lambda$-squares, the compatibility of $\lambda$ with the units is expressed by $$\xymatrix{ b\;\ar@{>->}[r]^{1_b}\ar@{->>}[d]_e\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & b\ar@{->>}[d]^e & & a\;\ar@{>->}[r]^m\ar@{->>}[d]_{1_a}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & b\ar@{->>}[d]^{1_b}\\ c\;\ar@{>->}[r]_{1_c} & c & & a\;\ar@{>->}[r]_m & b; }$$ i. e., CuM and CuE state that ${1_b}_\lambda e=c,m_\lambda 1_b=a$ and that

1. ${1_b}_\alpha e=e$,
2. ${1_b}_\beta e=1_c$,
3. $m_\alpha 1_b=1_a$,
4. $m_\beta 1_b=m$.

Chasing the upper right path of the diagram of CmM yields $$\xymatrix{ a\;\ar@{>->}[rr]^m\ar@{->>}[d]_{m_\alpha(n_\alpha e)}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[drrrr] & & b\;\ar@{>->}[rr]^n & & b''\ar@{->>}[d]^e\\ m_\lambda(n_\alpha e)\;\ar@{>->}[rr]_{m_\beta(n_\alpha e)} & & n_\lambda e\;\ar@{>->}[rr]_{n_\beta e} & & c; }$$ chasing the left lower path, $(mn)_\lambda e=m_\lambda(n_\alpha e)$ and

5. $(mn)_\alpha e=m_\alpha(n_\alpha e)$,
6. $(mn)_\beta e=m_\beta(n_\alpha e)\bullet n_\beta e$.

Similarly, for CmE, if we chase the upper right paht of the diagram, then $$\xymatrix{ a\;\ar@{>->}[rr]^m\ar@{->>}[d]_{m_\alpha e}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[ddrr] & & b\;\ar@{->>}[d]^e\\ m_\lambda e\ar@{->>}[d]_{(m_\beta e)_\alpha f} & & b'\ar@{->>}[d]^f\\ (m_\beta e)_\lambda f\;\ar@{>->}[rr]_(.55){(m_\beta e)_\beta f} & & c; }$$ chasing the left lower path, $m_\lambda(ef)=(m_\beta e)_\lambda f$ and

7. $m_\alpha(ef)=m_\alpha e\bullet(m_\beta e)_\alpha f$,
8. $m_\beta(ef)=(m_\beta e)_\beta f$.

If $A$ has a single element, then $M$ and $E$ are monoids, the equations (I)-(VIII) are the equations (i)-(viii) and the equalities for objects are trivial.
     From the general theory of distsributive law [1], $\lambda$ induces a composite monad $E_\lambda M$, a category with set of objects $A$ in which an arrow from $a$ to $c$ is given by specifying a third object $b$ and a pair $$\xymatrix{ a\ar@{->>}[r]^e & b\;\ar@{>->}[r]^m & c }$$ with $e$ in $E$ and $m$ in $M$; i. e., the arrows in $E_\lambda M$ are described as a formal composition $e\circ m$. The composition in $E_\lambda M$ is given by the multiplication for the monad $E_\lambda M$; namely, by $$\xymatrix{ & & EEM\ar[dr]^{\bullet M} & \\ EMEM \ar[r]^{E\lambda M} & EEMM\ar[ur]^{EE\bullet}\ar[dr]_{\bullet MM}\ar[rr]^(.55){\bullet\;\bullet} & & EM\\ & & EMM\ar[ur]_{E\bullet} &, }$$ thus the composite of $a\overset{e}{\twoheadrightarrow} b\overset{m}{\rightarrowtail} c$ and $c\overset{f}{\twoheadrightarrow} d\overset{n}{\rightarrowtail} x$ is given by $$\xymatrix{ a\ar@{->>}[r]^e\ar@{->>}[dr]_{e\bullet m_\alpha f} & b\;\ar@{>->}[r]^m\ar@{->>}[d]_(.35){m_\alpha f}\ar@{}|{\triangleleft\scriptscriptstyle{\dashv}}[dr] & c\ar@{->>}[d]^f\\ & m_\lambda f\;\ar@{>->}[r]_(.6){m_\beta f}\ar@{>->}[dr]_{m_\beta f\bullet n} & d\ar@{>->}[d]^n\\ & & x; }$$ i. e., $(e\circ m)\bullet(f\circ n)=(e\bullet m_\alpha f)\circ(m_\beta f\bullet n)$.
     It is easy to check that the unit of the composite monad $E_\lambda M$ characterizes the identities in $E_\lambda M$ by $$a\overset{1_a}{\twoheadrightarrow}a\overset{1_a}{\rightarrowtail}a.$$
     The morphisms of monads $1M:M\rightarrow E_\lambda M$ and $E1:E\rightarrow E_\lambda M$ are given by $m\mapsto 1\circ m$ and $e\mapsto e\circ 1$, resp. The middle unitary law yields that for every $e\circ m$ in $E_\lambda M$, $$(e\circ 1)\bullet(1\circ m)=e\circ m$$ holds.
     Note that if $M$ and $E$ are monoids, the composition in $E_\lambda M$ is the multiplication defined in the case of the Zappa-Szép product for groups.
     There is a greater generalization of the Zappa-Szép product in [2]; however, things there are done more à la Ehresmann.

Strict factorization systems

Given a category $C$ with $\ob(C)=:A$, a strict factorization system on $C$ is a pair of subcategories $S:=(E,M)$ of $C$ such that $\ob(M)=\ob(E)=\ob(C)$ and such that for every $f$ in $C$, there is a unique factorization $f=e_fm_f$ with $e_f$ in $E$ and $m_f$ in $M$. Consider $M$ and $E$ as monads on $A$ in $\matcon$. The pair $(E,M)$ induces a distributive law $\lambda_S:ME\Rightarrow EM$; indeed, define $\lambda_S$ by $$\xymatrix{ ME\ar[r]^{\lambda_S} & EM }$$ $$\xymatrix{ a\ar[r]^n & b\ar[r]^f & c\ar@{|->}[r] & a\ar[r]^{e_{n\cdot f}} & i\ar[r]^{m_{n\cdot f}} & c. }\ $$ Its compatibility with the unit of $M$ is obvious, for $m\cdot 1_b=m$. Now, the upper right path of the compatibility diagram of $\lambda_S$ with respect to the multiplication of $M$ (check the diagram above) produces the following diagram: $$\xymatrix{ a\ar[rr]^f\ar[dr]_{e_{f\cdot e_{g\cdot h}}} & & b\ar[r]^g\ar[dr]_(.45){e_{g\cdot h}} & c\ar[r]^h & d\\ & k\ar[rr]_{m_{f\cdot e_{g\cdot h}}} & & j\ar[ur]_{m_{g\cdot h}} &\ ; }$$ so $f\cdot g\cdot h$ has as factorization $e_{f\cdot e_{g\cdot h}}\cdot m_{f\cdot e_{g\cdot h}}\cdot m_{g\cdot h}$, which is unique; whence, the left lower path in the compatibility diagram of $\lambda_S$ with respect to the multiplication of $M$ produces the same result, and in consequence the compatibility of $\lambda_S$ with $M$ is satisfied. Similarly, the compatibility of $\lambda_S$ with $E$ is satisfied.
     Conversely, let $\lambda:ME\Rightarrow EM$ be a distributive law in $\matcon$, and consider the subcategories of $E_\lambda M$ defined by $$\lambda E:=\{e\circ 1\mid e\in E\}\quad\text{y}\quad M\lambda:=\{1\circ m\mid m\in M\}.$$ Each of these subcategories contains all the identities of $E_\lambda M$ and thus each contains all the objects of $E_\lambda M$. By the middle unitary law, $e\circ m$ is factorized as $(e\circ 1)\bullet(1\circ m)$. It is clear that this factorization is unique, and therefore $(\lambda E, M\lambda)$ is a strict factorization system $S_\lambda$ for $E_\lambda M$.
     We leave this correspondence just right there; i. e., we won't show that $S_{(-)}$ and $\lambda_{(-)}$ are biequivalences inverse of each other, because this is not our objetive right now.
     The way a distributive law is induced by the Zappa-Szép product in the group case makes us wonder whether a distributive law in $\matcon$ participates in a correspondence of that kind...

References

[1] Beck, J. [1969]: Distributive laws, Seminar on Triples and Categorical Homological Theory, ETH 1966/67, 80, 119-140 (1969). ↩
[2] Brin, M. G. [2005]: On the Zappa-Szép Product, Communications in Algebra, 33, 393-424 (2005). ↩
[3] Rosebrugh, R., Wood, R. J. [2002]: Distributive laws and factorization, Journal of Pure and Applied Algebra, 175(1-3), 327-353 (2002). ↩
[4] Takeuchi, M. [1981]: Matched pairs of groups and bismash products of Hopf algebras, Communications in Algebra, 9(8), 841-882 (1981). ↩

Coálgebras, coinducción y computación, una brevísima introducción

Ya hace varias décadas que las estructuras de datos trataron de describirse de manera algebraica, y con éxito varias de ellas. Sin embargo, hay otras estructuras de datos que no pueden describirse algebraicamente de manera apropiada. Con el tiempo, comenzó a entenderse que tales estructuras quedaban mejor modeladas coalgebraicamente, como las estructuras que implican una noción de estado que puede cambiar; por ejemplo, los sistemas de transición, los autómatas, la semántica de programación orientada a objetos, los automorfismos parciales, los números reales, las listas infinitas, las series de potencias formales, etc.
     Volviendo a las álgebras, desde el punto de vista del álgebra universal, se tiene que las signaturas de operaciones inducen ciertos funtores polinomiales y que las álgebras de estos funtores corresponden a las álgebras o modelos de las signaturas. Si generalizamos, dado un funtor $F:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$, un álgebra de $F:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ (o una $F$-álgebra) es un par $(B,\beta:FB\rightarrow B)$, donde $B\in\mathbf{Con}$ y $\beta$ es una función. Dualmente, una coálgebra de $F$ (o una $F$-coálgebra) es un par $(A,\alpha:A\rightarrow FA)$, con $A\in\mathbf{Con}$ y $\alpha$ una función.
     Ahora, la inducción, como principio para definir o demostrar, se utiliza para las estructuras algebraicas que son generadas por una colección de constructores (u operaciones constructoras) —como los números naturales, que son generados por $0:1\rightarrow\mathbb{N}$ y $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$, o como las listas y los árboles finitos—. Estas estructuras algebraicas son las álgebras iniciales en la categoría de álgebras de algún funtor pertinente; más precisamente, el principio de inducción en una estructura, como en el conjunto de los números naturales $\mathbb{N}$ o en el conjunto de las listas finitas $A^\ast$ sobre $A$, puede reformularse como la inicialidad de esa estructura en la categoría de álgebras de algún funtor. Dualmente, la terminalidad en la categoría de coálgebras de un funtor nos da un principio de coinducción para la cóalgebra terminal (o final) de esa categoría. La coálgebra terminal viene equipada con destructores u operaciones destructoras (también llamadas observadores, accesores, mapeos de transición o mutadores), las cuales la cogeneran. Volviendo a la inducción y siguiendo con la correspondencia entre inducción y la inicialidad, esta implica existencia única: la existencia corresponde a definir por inducción y la unicidad a demostrar por inducción. Tal correspondencia también se tiene para la coinducción.
     La coinducción puede formularse de manera alternativa mediante el concepto de bisimulación, que es una relación sobre una coálgebra que es cerrada de manera apropiada bajo las operaciones coalgebraicas de la coálgebra; tales relaciones se pueden entender como el concepto dual de congruencia, que es una relación cerrada bajo operaciones algebraicas.
     Volviendo a las álgebras, expliquemos de manera más precisa la correspondencia entre álgebras de una signatura y las álgebras de funtores polinomiales. Sea $\Sigma$ una signatura (monoespécica), así que, dada una $\Sigma$-álgebra $X$ y $\sigma\in\Sigma$, se tiene una operación $$\sigma_X:\underbrace{X\times\cdots\times X}_{\mathrm{ar}(\sigma)\text{ veces}}\rightarrow X,$$ donde $\mathrm{ar}(\sigma)$ es la aridad de $\sigma$. Así que si $\Sigma=\{\sigma_1,\ldots,\sigma_n\}$, podemos asociarle a $\Sigma$ el funtor $T_\Sigma:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ dado como $$T_\Sigma X:=X^{\mathrm{ar}(\sigma_1)}+\cdots +X^{\mathrm{ar}(\sigma_n)}.$$ Ahora, la estructura algebraica $\beta:T_\Sigma X\rightarrow X$ de un álgebra $X$ del funtor $T_\Sigma$ puede identificarse con una $n$-cotupla $$\beta=[\beta_1,\ldots,\beta_n]:X^{\mathrm{ar}(\sigma_1)}+\cdots +X^{\mathrm{ar}(\sigma_n)}\rightarrow X$$ de funciones $\beta_i:X^{\mathrm{ar}(\sigma_i)}\rightarrow X$. De aquí, las álgebras de $T_\Sigma$ corresponden a los modelos de $\Sigma$, las $\Sigma$-álgebras. Es decir, los funtores polinomiales construidos a partir del funtor identidad, productos y coproductos tienen como álgebras las álgebras que son modelos de signaturas. Un ejemplo sencillo de tales funtores es el funtor $1+(-):\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$, una de cuyas álgebras es $(\mathbb{N},[0,s]:1+\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N})$, donde $0:1\rightarrow\mathbb{N}$ es el cero y $s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ la función sucesor.
     Otros funtores polinomiales importantes son aquellos en los que aparecen conjuntos constantes, como el funtor $1+A\times (-):\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$, una de cuyas álgebras es el álgebra de listas finitas sobre el conjunto $A$; o sea, $(A^\ast,[\mathrm{\textbf{nil}},\mathrm{\textbf{cons}}]:1+A\times A^\ast\rightarrow A^\ast)$, con $\mathrm{\textbf{nil}}:1\rightarrow A^\ast$ la lista vacía y $\mathrm{\textbf{cons}}:A\times A^\ast\rightarrow A$ la prefijación de un elemento de tipo $A$ a una lista; o como el funtor $1+X\times A\times X$, una de cuyas álgebras es el álgebra de árboles finitos binarios enraizados con nodos en $A$; o sea, $(\mathrm{\textbf{Árbol}}(A),[\mathrm{\textbf{nil}},\mathrm{\textbf{nodo}}]:1+\mathrm{\textbf{Árbol}}(A)\times A\times\mathrm{\textbf{Árbol}}(A)\rightarrow\mathrm{\textbf{Árbol}}(A))$, con $\mathrm{\textbf{nil}}:1\rightarrow\mathrm{\textbf{Árbol}}(A)$ el árbol binario enraizado vacío y $\mathrm{\textbf{nodo}}:\mathrm{\textbf{Árbol}}(A)\times A\times\mathrm{\textbf{Árbol}}(A)\rightarrow\mathrm{\textbf{Árbol}}(A)$ la construcción de un árbol binario enraizado a partir de dos (sub)árboles y una raíz en $A$.
     Pasemos a las coálgebras y veamos algunos ejemplos. Consideremos una máquina que es una caja negra y que tiene dos botones, $\mathrm{\textbf{val}}$ y $\mathrm{\textbf{sig}}$. Presionar el botón $\mathrm{\textbf{val}}$ resulta en alguna indicación visible del estado interno de la máquina, indicación cuyos valores están en el conjunto de datos $A$; tal operación no afecta el estado interno de la máquina, así que presionar dos veces $\mathrm{\textbf{val}}$ da el mismo resultado. Si uno presiona el botón $\mathrm{\textbf{sig}}$, la máquina cambia de estado, cuyo valor puede inspeccionarse al presionar nuevamente $\mathrm{\textbf{val}}$. Esta máquina puede describirse de manera abstracta como una coálgebra con mapeo de estructura $$(\mathrm{\textbf{val}},\mathrm{\textbf{sig}}):X\rightarrow A\times X,$$ donde $X$ es el espacio de estados (internos) de la máquina. Un coálgebra del funtor $A\times(-)$ es la coálgebra de listas infinitas sobre $A$; a saber, $(A^\mathbb{N},(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}}):A^\mathbb{N}\rightarrow A\times A^\mathbb{N})$, donde $\mathrm{\textbf{cab}}:A^\mathbb{N}\rightarrow A$ nos da el primer elemento de una lista infinita y $\mathrm{\textbf{cola}}:A^\mathbb{N}\rightarrow A^\mathbb{N}$ nos da la lista que resulta de quitar el primer elemento de la lista. Otra máquina caja negra podría ser una con un botón y una luz. La máquina realiza una acción sólo si el botón es presionado y la luz se enciende sólo si la máquina se detiene por completo; así que lo único que podríamos observar es su comportamiento tras presionar el botón y si se enciende la luz. Esta máquina puede describirse como una coálgebra con mapeo de estructura $$\mathrm{\textbf{botón}}:X\rightarrow 1+X,$$ donde $\mathrm{\textbf{botón}}\, s=\ast$ si la máquina deja de operar tras presionar el botón y se enciende la luz, y $\mathrm{\textbf{botón}}\,s\in X$ si la máquina no deja de operar y ha cambiado de estado. Una coálgebra del funtor $1+(-):\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ es $(\overline{\mathbb{N}},\mathrm{\textbf{pred}}:\overline{\mathbb{N}}\rightarrow 1+\overline{\mathbb{N}})$, donde $\overline{\mathbb{N}}:=\mathbb{N}+\{\infty\}$ y $\mathrm{\textbf{pred}}(0):=\ast$, $\mathrm{\textbf{pred}}(n+1):=n$ y $\mathrm{\textbf{pred}}(\infty):=\infty$.
     Volvamos a las álgebras y expliquemos mediante el ejemplo de los números naturales la correspondencia entre inducción e inicialidad. La $1+(-)$-álgebra $(\mathbb{N},[0,s])$ es álgebra inicial en la categoría de álgebras del funtor $1+(-):\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$. En efecto, sean $A\in \mathbf{Con}$, $\varphi : \mathbb{N} \rightarrow A$ una función y $[d,r] : 1+A \rightarrow A$ una $1+(-)$-álgebra. Entonces, considérense los siguientes diagramas: $$\begin{xy} \xymatrix{ 1 \ar[d]_1 \ar[r] & 1+\mathbb{N} \ar[d]^{1+\varphi} & \mathbb{N} \ar[l] \ar[d]^{\varphi} & 1 \ar[r] \ar[rd]_0 & 1+\mathbb{N} \ar[d]^{[0,s]} & \mathbb{N} \ar[l] \ar[ld]^s \\ 1 \ar[r] \ar[rd]_d & 1+A \ar[d]^{[d,r]} & A \ar[l] \ar[ld]^r & & \mathbb{N} \ar[d]^{\varphi} & \\ & A & & & A & . }\end{xy}$$ De aquí, $$\begin{xy} \xymatrix{ 1+\mathbb{N} \ar[r]^{1+\varphi} \ar[d]_{[0,s]} \ar@{}[rd]|{=} & 1+A \ar[d]^{[d,r]} \ar@{}[rd]^(.6){\Leftrightarrow} & 1 \ar[r]^0 \ar@<-.5ex>[rd]_d \ar@<.5ex>@{}[rd]^{=} & \mathbb{N} \ar[r]^s \ar[d]^{\varphi} \ar@{}[rd]|{=} & \mathbb{N} \ar[d]^{\varphi} \\ \mathbb{N} \ar[r]_{\varphi} & A & & A \ar[r]_r & A; }\end{xy}$$ entonces, si $\varphi$ es un homomorfismo de álgebras, $\varphi$ tiene que cumplir que para todo $n\in \mathbb{N}$ $$\begin{xy} \xymatrix{ & 1 \ar[d]^0 \ar[ld]_d \\ A \ar[d]_{r^n} & \mathbb{N} \ar[l]_{\varphi} \ar[d]^{s^n} \\ A & \mathbb{N} \ar[l]^{\varphi} }\end{xy}$$ conmuta; por lo tanto, $\varphi n = r^n d$ para todo $n\in \mathbb{N}$.
     Luego, $(\mathbb{N},[0,s] : 1+\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N})$ es inicial.
     Observemos que pudimos haber obtenido el conjunto portador del álgebra inicial del funtor $1+(-)$ como el conjunto de los términos cerrados (los términos básicos —ground terms en inglés—, los que no tienen variables), es decir, de aquellos términos que son generados al aplicar iteradamente los constructores $\mathbf{0}:1\rightarrow X$ y $\mathbf{S}:X\rightarrow X$ de un álgebra cualquiera $(X,[\mathbf{0},\mathbf{S}]:1+X\rightarrow X)$ de $1+(-)$: $$\{\mathbf{0},\mathbf{S}\mathbf{0},\mathbf{S}\mathbf{S}\mathbf{0},\mathbf{S}\mathbf{S}\mathbf{S}\mathbf{0},\ldots\}.$$ En general, el conjunto portador del álgebra inicial de un funtor $T$ se puede obtener a partir de los términos cerrados, es decir, a partir de aquellos que son generados al aplicar iteradamente los constructores de un álgebra de $T$.
     Ahora el principio de inducción en los naturales usado como principio de demostración normalmente se formula de la siguiente manera: un subcojunto $P$ de $\mathbb{N}$ es igual a $\mathbb{N}$ si $0\in P$ y $n\in P\Rightarrow n+1\in P$. Reformulándolo, las suposiciones inductivas sobre $P$ esencialmente dicen que $P$ tiene una estructura de álgebra $0' : 1 \rightarrow P$, $s' : P \rightarrow P$ tal que la función inclusión $i : P \rightarrow \mathbb{N}$ es un homomorfismo de álgebras: $$\begin{xy} \xymatrix{ 1+P \ar[r]^{1+i} \ar[d]_{[0',s']} & 1+\mathbb{N} \ar[d]^{[0,s]} \\ P \ar[r]_i & \mathbb{N}. }\end{xy}$$ Es decir, $P$ es una subálgebra de $\mathbb{N}$. Ahora, de la inicialidad de $(\mathbb{N},[0,s])$, existe un homomorfismo $j : \mathbb{N} \rightarrow P$; nuevamente, por la inicialidad de $(\mathbb{N},[0,s])$, $i\circ j = 1_{\mathbb{N}}$: $$\begin{xy} \xymatrix{ 1+\mathbb{N} \ar[r]^{1+j} \ar[d]_{[0,s]} \ar@/^2pc/[rr]^{1+1_{\mathbb{N}}} & 1+P \ar[r]^{1+i} \ar[d]^{[0',s']} & 1+\mathbb{N} \ar[d]^{[0,s]} \\ \mathbb{N} \ar[r]_j \ar@/_2pc/[rr]_{1_{\mathbb{N}}} & P \ar[r]_i & \mathbb{N}; }\end{xy}$$ de aquí, $P = \mathbb{N}$.
     Veamos un ejemplo de cómo usar la inicialidad para las definiciones por inducción. Supongamos que queremos definir por inicialidad la función $fn=2^{-n}$ de los números naturales $\mathbb{N}$ a los racionales $\mathbb{Q}$. Las ecuaciones inductivas que la definen son $$f0:=1\qquad\text{y}\qquad f(n+1):=\frac{1}{2}fn.$$ Para definir esta función $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Q}$ por inicialidad, hay que dotar a $\mathbb{Q}$ de una estructura de álgebra $1+\mathbb{Q}\rightarrow\mathbb{Q}$. Esta álgebra sobre $\mathbb{Q}$ corresponde al lado derecho de las dos ecuaciones inductivas que definen a $f$: $$\begin{xy} \xymatrix{ 1\ar[r]^1 & \mathbb{Q} & & \mathbb{Q}\ar[r]^{\frac{1}{2}(-)} & \mathbb{Q} }\end{xy}$$ $$\begin{xy} \xymatrix{ \ast\ar@{|->}[r] & 1 & & \ x\ar@{|->}[r] & \frac{1}{2}x. }\end{xy}$$ Entonces, $fn=2^{-n}$ está determinada por inicialidad como la única función que hace conmutar el siguiente diagrama: $$\begin{xy} \xymatrix{ 1+\mathbb{N}\ar[rr]^{1+f}\ar[d]_{[0,s]} & & 1+\mathbb{Q}\ar[d]^{[1,\frac{1}{2}(-)]}\\ \mathbb{N}\ar[rr]_f & & \mathbb{Q} }\end{xy}$$ La conmutatividad del diagrama nos da de vuelta las ecuaciones inductivas que definen a $f$. Notemos que los constructores $0$ y $s$ aparecen “dentro” de la función $f$, que estamos definiendo: $f0=1$ y $fsn=fn$.
     Esto muestra cómo se puede usar la inicialidad para definir funciones por inducción: hay que dotar al codominio de la función en cuestión de un estructura algebraica apropiada que corresponda a las cláusulas inductivas que determinan a dicha función. Además, en las definiciones inductivas, los constructores aparecen “dentro” de la función que se desea definir. Resumiendo: definir por inicialidad a una función es dotar a su codominio de una estructura algebraica apropiada que nos da la existencia de la función a definir, el diagrama conmutativo nos da las ecuaciones inductivas que determinan a la función; recíprocamente, las ecuaciones inductivas que definen a una función nos dan la estructura algebraica apropiada del codominio de la función para obtener su existencia mediante la inicialidad.
     Volvamos a las coálgebras y veamos la correspondencia entre terminalidad y coinducción. La coálgebra terminal (o final) del funtor $A\times(-):\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$ es $(A^\mathbb{N},(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}}))$, donde $\mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma=\sigma\,0$ y $\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma=\lambda x.\sigma(x+1)$. En efecto, considérense los siguientes diagramas: $$\begin{xy} \xymatrix{ & X\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{val}},\mathrm{\textbf{sig}})}\ar[dl]_{\mathrm{\textbf{val}}}\ar@/^0.9pc/[dr]^{\mathrm{\textbf{sig}}} & & & X\ar[d]^\varphi &\\ A\ar[d]_1 & A\times X\ar[r]\ar[l]\ar[d]^{A\times\varphi} & X\ar[d]^\varphi & & A^\mathbb{N}\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})}\ar@/^1.3pc/[dr]^{\mathrm{\textbf{cola}}}\ar[dl]_{\mathrm{\textbf{cab}}} &\\ A & A\times A^\mathbb{N}\ar[r]\ar[l] & A^\mathbb{N} & A & A\times A^\mathbb{N}\ar[r]\ar[l] & A^\mathbb{N}. }\end{xy}$$ De aquí, $$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar[r]^\varphi \ar[d]_{(\mathrm{\textbf{val}},\mathrm{\textbf{sig}})} \ar@{}[rd]|{=} & A^\mathbb{N} \ar[d]^{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})} \ar@{}[drr]^(.65){\Leftrightarrow} & & & X\ar@<-.5ex>[dl]_{\mathrm{\textbf{val}}}\ar@<.5ex>@{}[dl]^{=} \ar[d]^\varphi \ar@{}[rd]|{=} & X \ar[l]_{\mathrm{\textbf{sig}}}\ar[d]^\varphi \\ A\times X \ar[r]_{A\times\varphi} & A\times A^\mathbb{N} & & A & A^\mathbb{N}\ar[l]^{\mathrm{\textbf{cab}}} & A^\mathbb{N}\ar[l]^{\mathrm{\textbf{cola}}} }\end{xy}$$ entonces, si $\varphi$ es un homomorfismo de coálgebras, $\varphi$ tiene que cumplir que para todo $n\in \mathbb{N}$ $$\begin{xy} \xymatrix{ X \ar[r]^\varphi \ar[d]_{\mathrm{\textbf{sig}}^n} & A^\mathbb{N} \ar[d]^{\mathrm{\textbf{cola}}^n} \\ X \ar[r]_\varphi \ar[rd]_{\mathrm{\textbf{val}}} & A^\mathbb{N} \ar[d]^{\mathrm{\textbf{cab}}} \\ & A }\end{xy}$$ conmuta; por lo tanto, $\varphi(x)(n)=\mathrm{\textbf{val}}(\mathrm{\textbf{sig}}^nx)$ para todo $n\in\mathbb{N}$, ya que $\varphi(x)(n)=\mathrm{\textbf{cab}}(\mathrm{\textbf{cola}}^n\varphi x)$ para todo $n\in\mathbb{N}$.
     Luego, $(A^\mathbb{N},(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}}):A^\mathbb{N}\rightarrow A\times A^\mathbb{N})$ es terminal.
     Observemos que pudimos haber obtenido el conjunto portador de la coálgebra terminal del funtor $A\times(-)$ como el conjunto de todos los posibles comportamientos de un elemento $x\in X$, el conjunto de los comportamientos que se podría observar de $x$; es decir, podemos obtener el portador de la coálgebra del funtor $A\times(-)$ al aplicar iteradamente los observadores $\mathrm{\textbf{cab}}:X\rightarrow A$ y $\mathrm{\textbf{sig}}:X\rightarrow X$ a cualquier elemento $x$ de una coálgebra cualquiera $(X,(\mathrm{\textbf{val}},\mathrm{\textbf{sig}}):X\rightarrow A\times X)$ de $A\times(-)$: todas las posibles listas infinitas $$(\mathrm{\textbf{val}}\,x,\mathrm{\textbf{val}}(\mathrm{\textbf{sig}}\,x),\mathrm{\textbf{val}}(\mathrm{\textbf{sig}}^2\,x),\ldots).$$ En general, el conjunto portador de la coálgebra terminal de un funtor $T$ se puede obtener a partir de los comportamientos observables.
     La técnica para definir una función $f:X\rightarrow A$ por terminalidad es la siguiente: se describen las observaciones directas junto con las pasos siguientes solos de $f$ como una estructura coalgebraica sobre $X$. La función $f$ entonces surge por repetición. De aquí, una definición coinductiva de $f$ no determina a $f$ en una sola vez, sino pasa a paso. Veamos esto con unos ejemplos.
     Para nuestro funtor $A\times(-)$ sea $A=\mathbb{N}$. Definamos por coinducción la función $\mathrm{\textbf{desde}}:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}^\mathbb{N}$, la cual manda un número natural $n\in\mathbb{N}$ a la sucesión $(n,n+1,n+2,n+3,\ldots)\in\mathbb{N}^\mathbb{N}$. Esto implica definir una estructura coalgebraica $\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\times\mathbb{N}$ sobre $\mathbb{N}$. La observación directa que podemos hacer acerca del “estado” $n\in\mathbb{N}$ es $n$ mismo y el estado siguiente es $n+1$ (acerca del cual podemos observar directamente $n+1$). La repetición entonces nos lleva a $\mathrm{\textbf{desde}}\, n$. Definimos entonces por terminalidad a $\mathrm{\textbf{desde}}$ en el siguiente diagrama: $$\begin{xy} \xymatrix{ \mathbb{N}\ar[rr]^{\mathrm{\textbf{desde}}}\ar[d]_{\lambda n.(n,n+1)} & & \mathbb{N}^\mathbb{N}\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})}\\ \mathbb{N}\times\mathbb{N}\ar[rr]_{1\times\mathrm{\textbf{desde}}} & & \mathbb{N}\times\mathbb{N}^\mathbb{N}. }\end{xy}$$ Así que $\mathrm{\textbf{desde}}$ queda determinada por las ecuaciones coinductivas $$\mathrm{\textbf{cab}}(\mathrm{\textbf{desde}}\, n)=n\quad\text{y}\quad\mathrm{\textbf{cola}}(\mathrm{\textbf{desde}}\, n)=\mathrm{\textbf{desde}}(n+1).$$      Definamos otras tres funciones, dos por coinducción. Nuevamente, consideremos el funtor $A\times(-)$. Definamos por terminalidad y, en consecuencia, por coinducción la función $\mathrm{\textbf{non}}:A^\mathbb{N}\rightarrow A^\mathbb{N}$ que, dada una lista infinita, devuelve la lista que resulta de tomar sólo los elementos en las entradas impares de la lista original; dotemos entonces a $A^\mathbb{N}$ de una estructura coalgebraica que nos dé las observaciones que queremos: $$\begin{xy} \xymatrix{ A^\mathbb{N}\ar[rr]^{\mathrm{\textbf{non}}}\ar[d]_{\lambda\sigma.(\mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{cola}}(\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma))} & & A^\mathbb{N}\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})}\\ A\times A^\mathbb{N}\ar[rr]_{1\times\mathrm{\textbf{non}}} & & A\times A^\mathbb{N} }\end{xy}$$ La estructura coalgebraica sobre $A^\mathbb{N}$ a la izquierda da lugar, por terminalidad, a un único homomorfismo de coálgebras. Por conmutatividad, $\mathrm{\textbf{non}}$ queda determinada por las ecuaciones coinductivas $$\mathrm{\textbf{cab}}(\mathrm{\textbf{non}}\,\sigma)=\mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma\quad\text{y}\quad\mathrm{\textbf{cola}}(\mathrm{\textbf{non}}\,\sigma)=\mathrm{\textbf{non}}(\mathrm{\textbf{cola}}(\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma)).$$ Ahora, definimos $\mathrm{\textbf{par}}:=\mathrm{\textbf{non}}\circ\mathrm{\textbf{cola}}$, que es la función que, dada una lista infinita, nos devuelve una lista que resulta de tomar sólo los elementos en las entradas pares de la lista original.
     Finalmente, definamos por terminalidad y, en consecuencia, por coinducción la función $\mathrm{\textbf{fus}}:A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}\rightarrow A^\mathbb{N}$ que, dada dos listas infinitas $\sigma$ y $\tau$, nos devuelve una lista que resulta de tomar elementos de $\sigma$ y $\tau$ alternadamente, empezando por $\sigma$; dotemos entonces a $A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}$ de una estructura coalgebraica que nos dé las observaciones que queremos: $$\begin{xy} \xymatrix{ A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}\ar[rr]^{\mathrm{\textbf{fus}}}\ar[d]_{\lambda(\sigma,\tau).(\mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma,(\tau,\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma))} & & A^\mathbb{N}\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})}\\ A\times(A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N})\ar[rr]_{1\times\mathrm{\textbf{fus}}} & & A\times A^\mathbb{N}. }\end{xy}$$ El homomorfismo $\mathrm{\textbf{fus}}:A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}\rightarrow A^\mathbb{N}$ queda entonces determinado por las ecuaciones coinductivas $$\mathrm{\textbf{cab}}(\mathrm{\textbf{fus}}(\sigma,\tau))=\mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma\quad\text{y}\quad\mathrm{\textbf{cola}}(\mathrm{\textbf{fus}}(\sigma,\tau))=\mathrm{\textbf{fus}}(\tau,\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma).$$      Lo que podemos ver de nuestras tres definiciones por coinducción es (1) que definir por terminalidad a una función es dotar a su dominio de una estructura coalgebraica apropiada que nos da la existencia de la función a definir, el diagrama conmutativo nos da las ecuaciones coinductivas que determinan a la función; recíprocamente, las ecuaciones coninductivas que definen a una función nos dan la estructura coalgebraica apropiada del dominio de la función para obtener su existencia mediante la terminalidad, y (2) que la función que queremos definir ocurre “dentro” de los observadores (o destructores) de la coálgebra terminal.
     En resumen, en una definición inductiva de una función $f$, uno define los valores de $f$ al hacerlo en todos los constructores de un álgebra inicial y en una definición coinducitva de $f$ uno define los valores de todos los observadores en cada resultado $fx$.
     Retomando la cóalgebra final del funtor $A\times(-)$ y los homomorfismos de coálgebras $\mathrm{\textbf{fus}},\mathrm{\textbf{non}}$ y $\mathrm{\textbf{par}}$, demostremos por coinducción que $$\mathrm{\textbf{fus}}(\mathrm{\textbf{non}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{par}}\,\sigma)=\sigma;$$ es decir, hagamos uso de la unicidad dada por la terminalidad. Basta mostrar entonces que $\mathrm{\textbf{fus}}\circ(\mathrm{\textbf{non}},\mathrm{\textbf{par}}):A^\mathbb{N}\rightarrow A^\mathbb{N}$ es un homomorfismo de coálgebras $(A^\mathbb{N},(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}}))\rightarrow(A^\mathbb{N},(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}}))$; para esto, basta mostrar que $(\mathrm{\textbf{non}},\mathrm{\textbf{par}})$ es un homomorfismo de coálgebras. Notemos que la estructura coalgebraica sobre $A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}$ la podemos reescribir como $(\mathrm{\textbf{cab}}\circ p_1,\mathrm{\textbf{int}})$, donde $p_1$ es la proyección izquierda de $A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}$ e $\mathrm{\textbf{int}}(\sigma,\tau):=(\tau,\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma)$. El siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy} \xymatrix{ A^\mathbb{N}\ar[rr]^{(\mathrm{\textbf{non}},\mathrm{\textbf{par}})}\ar[d]_{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})} & & A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{cab}}\circ p_1,\mathrm{\textbf{int}})}\\ A\times A^\mathbb{N}\ar[rr]_(.42){1\times(\mathrm{\textbf{non}},\mathrm{\textbf{par}})} & & A\times(A^\mathbb{N}\times A^\mathbb{N}), }\end{xy}$$ pues $\mathrm{\textbf{non}}\circ\mathrm{\textbf{cola}}=\mathrm{\textbf{par}}$ y $\mathrm{\textbf{cola}}\circ\mathrm{\textbf{non}}=\mathrm{\textbf{non}}\circ\mathrm{\textbf{cola}}\circ\mathrm{\textbf{cola}}$.
     El principio de coinducción como principio de demostración puede formularse de otra manera, mediante el concepto de bisimulación.
     Retomemos la coálgebra final del funtor $A\times(-)$. Una bisimulación sobre $A^\mathbb{N}$ es una relación $R$ sobre $A^\mathbb{N}$ tal que $$R(\sigma,\tau)\Rightarrow \begin{cases} \mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma=\mathrm{\textbf{cab}}\,\tau\,\text{ y}\\ R(\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{cola}}\,\tau). \end{cases} $$ Ahora, $A^\mathbb{N}$ cumple el principio coinductivo de demostración: para todo $\sigma,\tau\in A^\mathbb{N}$, $$\text{si }R(\sigma,\tau)\text{ para alguna bisimulación }R\text{ sobre }A^\mathbb{N},\text{ entonces }\sigma=\tau.$$ Demostremos, otra vez, que $\mathrm{\textbf{fus}}(\mathrm{\textbf{non}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{par}}\,\sigma)=\sigma$. Definamos la relación $$R:=\{(\mathrm{\textbf{fus}}(\mathrm{\textbf{non}}(\sigma),\mathrm{\textbf{par}}(\sigma)),\sigma)\mid\sigma\in A^\mathbb{N}\}$$ sobre $A^\mathbb{N}$. Se tiene que $R$ es una bisimulación, pues $$\mathrm{\textbf{cab}}(\mathrm{\textbf{fus}}(\mathrm{\textbf{non}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{par}}\,\sigma))=\mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma$$ y $$\mathrm{\textbf{cola}}(\mathrm{\textbf{fus}}(\mathrm{\textbf{non}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{par}}\,\sigma))=\mathrm{\textbf{fus}}(\mathrm{\textbf{non}}(\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma),\mathrm{\textbf{par}}(\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma)),$$ y esto último nos dice que $R(\mathrm{\textbf{cola}}(\mathrm{\textbf{fus}}(\mathrm{\textbf{non}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{par}}\,\sigma)),\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma)$, así que, por el principio coinductivo de demostración basado en una bisimulación, se obtiene la igualdad.
     El principio funciona por lo siguiente. Dado un funtor $T:\mathbf{Con}\rightarrow\mathbf{Con}$, una bisimulación sobre la $T$-coálgebra $(X,\chi)$ es una relación $R$ sobre $X$ para la que existe una estructura $T$-coalgebraica $\gamma:R\rightarrow TR$ tal que las proyecciones $\pi_1:R\rightarrow X$, $\pi_2:R\rightarrow X$ son homomorfismos de $T$-coálgebras. Si $(X,\chi)$ es la coálgebra final de la categoría de $T$-coálgebras, entonces $\pi_1=\pi_2$.
     En el caso anterior, una relación $R$ es una bisimulación si y sólo si el siguiente diagrama conmuta: $$\begin{xy} \xymatrix{ A^\mathbb{N}\ar[d]_{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})} & R\ar[r]^{\pi_2}\ar[l]_(.45){\pi_1}\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{val}},\mathrm{\textbf{sig}})} & A^\mathbb{N}\ar[d]^{(\mathrm{\textbf{cab}},\mathrm{\textbf{cola}})}\\ A\times A^\mathbb{N} & A\times R\ar[r]_{1\times\pi_2}\ar[l]^(.45){1\times\pi_1} & A\times A^\mathbb{N} }\end{xy}$$ si y sólo si $\mathrm{\textbf{cab}}\,\sigma=\mathrm{\textbf{val}}(\sigma,\tau)=\mathrm{\textbf{cab}}\,\tau$ con $\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma=\pi_1\,\mathrm{\textbf{sig}}(\sigma,\tau)$ y $\mathrm{\textbf{cola}}\,\tau=\pi_2\,\mathrm{\textbf{sig}}(\sigma,\tau)$, es decir, $R(\mathrm{\textbf{cola}}\,\sigma,\mathrm{\textbf{cola}}\,\tau)$.

Probando xyjax

Probemos unas flechas: \[ \begin{xy} \xymatrix{ a\ar[r]^f\ar[dr]^g & b\\ a & c } \end{xy} \] Y ahora otras: $$\begin{xy} \xymatrix{ 1+\mathbb{N} \ar[r]^{1+\varphi} \ar[d]_{[0,s]} \ar@{}[rd]|{=} & 1+A \ar[d]^{[d,r]} \ar@{}[rd]^(.6){\Leftrightarrow} & 1 \ar[r]^0 \ar@<-.5ex>[rd]_d \ar@<.5ex>@{}[rd]^{=} & \mathbb{N} \ar[r]^s \ar[d]^{\varphi} \ar@{}[rd]|{=} & \mathbb{N} \ar[d]^{\varphi} \\ \mathbb{N} \ar[r]_{\varphi} & A & & A \ar[r]_r & A }\end{xy}$$ Otra $$\begin{xy} \xymatrix{ x\ar@{}@<1.5ex>[d]_{=} & y\ar[d]_{\cong}\\ a & b }\end{xy}$$ Otra $$\begin{xy} \xymatrix{ x\rrtwocell & & y }\end{xy}$$

Forma normal conjuntiva y demostración automática de teoremas

En los pocos libros de lógica que he hojeado o leído, los autores no llegan a explicar la importancia de las formas normales clausales (la normal conjuntiva y la normal disyuntiva), a pesar de que sí les dedican unas líneas a describirlas. Supongo que ha sido así porque son libros poco inclinados a la demostración automática de teoremas; por lo menos, la importancia de la forma normal conjuntiva radica ahí. Así que las siguientes líneas las dedico a establecer la conexión entre la forma normal conjuntiva y la demostración automática de teoremas.
     Para mostrar la relación entre la forma normal conjuntiva y la demostración automática de teoremas, haré lo siguiente: (1) calcular, salvo equivalencia lógica, el número total de proposiciones formadas a partir de otras; (2) describir la forma normal conjuntiva; (3) dar, salvo equivalencia lógica, formas explícitas de todas las proposiciones a partir de otras mediante una forma normal conjuntiva distinguida, y (4) dar expresiones explícitas de todas las proposiciones que son deducciones de un conjunto finito de axiomas.
     Calculemos, salvo equivalencia lógica, el número total de proposiciones a partir de otras. La totalidad de proposiciones que se pueden formar por combinación mediante los conectivos lógicos a partir de un número finito de proposiciones elementales $P_1,\ldots,P_n$ es, salvo equivalencia lógica, $2^{2^n}$. En efecto, para la verdad o falsedad de las proposiciones elementales hay $2^n$ posibilidades, puesto que cada $P_1,\ldots,P_n$ puede ser verdadera o falsa. La verdad o falsedad de una proposición compuesta por $P_1,\ldots,P_n$ está determinada por la verdad o falsedad de cada uno de los $2^n$ casos.
     Definamos y describamos las formas normales conjuntivas. Toda combinación de proposiciones formada mediante los conectivos lógicos (es decir, toda fórmula) se puede llevar a cierta forma normal a través de equivalencias lógicas. Esta forma normal consiste en una conjunción de disyunciones en las que cada componente es o una proposición elemental o la negación de una. Esto se puede hacer mediante las siguientes reglas.

• Aplicar las leyes asociativas, conmutativas y distributivas para los conectivos $\wedge$ y $\vee$
• Sustituir $\neg\neg P$ con $P$
• Sustituir $\neg(P\wedge Q)$ con $\neg P\vee\neg Q$ y $\neg(P\vee Q)$ con $\neg P\wedge\neg Q$.
• Sustituir $P\Rightarrow Q$ con $\neg P\vee Q$ y $P\Leftrightarrow Q$ con $(\neg P\vee Q)\wedge(\neg Q\vee P)$.

Por ejemplo, la expresión $$\neg((PQ\wedge\neg Q)\vee(R\wedge Q))$$ es equivalente a $$\neg P Q\wedge\neg Q Q\wedge\neg R\neg Q,$$ y la expresión $$(P\Rightarrow Q)\equiv(\neg Q\Rightarrow\neg P)$$ a $$PQ\neg P\wedge\neg QQ\neg P\wedge\neg Q\neg PQ\wedge P\neg PQ.$$ (Para simplicar las expresiones, se está omitiendo a $\vee$ y adoptando la convención de que hay prioridad de $\wedge$ sobre $\vee$ para los paréntesis).
     Demos, salvo equivalencia lógica, expresiones explícitas de todas las proposiciones a partir de otras. Salvo las expresiones tautológicas, toda expresión construida a partir de las proposiciones $P_1,\ldots,P_n$ es equivalente a una conjunción que es parte de la conjunción obtenida al desarrollar, de acuerdo a la ley distributiva $P(Q\wedge R)\equiv PQ\wedge PR$, la expresión $(P_1\wedge \neg P_1)(P_2\wedge\neg P_2)\cdots(P_n\wedge\neg P_n)$. En efecto, llevemos la expresión construida a partir de $P_1,\ldots,P_n$ a una forma normal conjuntiva. Como el valor de verdad de la expresión no cambia si se omite un conyunto verdadero, omitimos los conyuntos que contengan a $P$ y a $\neg P$. También cambiamos los $P\vee P$ por $P$. Así que cada uno de los conyuntos restantes es simplemente una disyunción cuyos disyuntos son elementos, con subíndice distinto, del conjunto $\{P_1,\ldots,P_n\}$. Si una disyunción no tiene ni a $P_i$ ni a $\neg P_i$, insertamos el término $(P_i\wedge\neg P_i)$ y aplicamos $P(Q\wedge R)\equiv PQ\wedge PR$. Luego, cada conyunto contiene o a $P_i$ o a $\neg P_i$ para todo $i$. Es decir, hay $2^n$ conyuntos posibles y un total de $\sum_{k=0}^{k=2^n}\binom{2^n}{k}=\mathcal{P}(2^n)=2^{2^n}$ conjunciones posibles con estos conyuntos. La conjunción impropia que surge de omitir todos los conyuntos es considerada una tautología.
     Por ejemplo, las cuatro diferentes proposiciones construidas a partir de $P$ son $$P\wedge\neg P\,,P\,,\neg P\,,P\vee\neg P.$$ Notemos que $P\vee\neg P$ corresponde a la conjunción impropia. Las dieciséis diferentes proposiciones construidas a partir de $P$ y $Q$ son \begin{align} &PQ\wedge\neg PQ\wedge P\neg Q\wedge\neg P\neg Q\,,PQ\wedge\neg PQ\wedge P\neg Q,\notag\\ &PQ\wedge P\neg Q\wedge\neg P\neg Q\,,PQ\wedge\neg PQ\wedge\neg P\neg Q\,,\neg PQ\wedge P\neg Q\wedge\neg P\neg Q,\notag\\ &PQ\wedge\neg PQ\,,PQ\wedge P\neg Q\,,PQ\wedge\neg P\neg Q\,,\neg PQ\wedge P\neg Q\,,\neg PQ\wedge\neg P\neg Q,\notag\\ &P\neg Q\wedge\neg P\neg Q\,,PQ\,,\neg PQ\,,P\neg Q\,,\neg P\neg Q,\notag\\ &(P\vee\neg P)\wedge (Q\vee\neg Q).\notag \end{align} Notemos que $(P\vee\neg P)\wedge (Q\vee\neg Q)$ corresponde a la conjunción impropia.
     Dadas las proposiciones $P_1,\ldots,P_n$, a los conyuntos individuales de la expresión $(P_1\wedge \neg P_1)(P_2\wedge\neg P_2)\cdots(P_n\wedge\neg P_n)$ desarrollada mediante la ley distributiva $P(Q\wedge R)\equiv PQ\wedge PR$ se los llama los constituyentes de $P_1,\ldots,P_n$, y diremos que las conjunciones obtenidas, como se mostró anteriormente, de las combinaciones de los conyuntos de esa expresión son las formas normales distinguidas de las proposiciones construidas a partir de $P_1,\ldots,P_n$.
     Calculemos, salvo equivalencia lógica, todas las deducciones a partir de los axiomas $A_1,\ldots, A_n$. Se tiene que la proposición $B$ es consecuencia lógica de estos si y sólo si $(A_1\wedge\cdots\wedge A_n)\Rightarrow B$ es una tautología. Sean $P_1,\ldots,P_m$ todas las proposiciones elementales que aparecen en $A_1,\ldots, A_n$ y conectemos todos nuestros axiomas $A_1,\ldots,A_n$ con $\wedge$, y supongamos que la combinación de proposiciones así obtenida está desarrollada en su forma normal distinguida en términos de $P_1,\ldots,P_m$. Tomemos entonces cualquier constituyente de $P_1,\ldots,P_m$ que no aparezca como conyunto en esta forma normal distinguida. Estos constituyentes se pueden transformar en una proposición falsa mediante una sustitució apropidada: un $P_i$ sustituido por una proposición verdadera si este $P_i$ está negado y un $P_i$ por una proposición falsa si este $P_i$ no lo está. Por otro lado, por medio de esta sustitución, nuestra forma normal distinguida queda transformada en una proposición verdadera, pues cada uno de sus conyuntos difieren de los constituyentes que no aparecen en ella en tener en al menos un lugar un disyunto que es la negación del del constituyente. Luego, los constituyentes que no aparecen en nuestra forma normal distinguida no son consecuencia lógica de los axiomas $A_1,\ldots,A_n$. Así que, obtenemos, salvo equivalencia lógica, a partir de nuestros axiomas, todas las consecuencias lógicas en las que aparecen las proposiciones elementales de nuestros axiomas como sigue: conectamos todos los axiomas mediante $\wedge$ y formamos la forma normal conjuntiva distinguida para la expresión resultante; finalmente, elegimos cualesquiera de los conyuntos de la forma normal distinguida de la conjunción de nuestros axiomas y hacemos su conjunción.

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Estas notas están basadas en el libro Principles of mathematical logic de Hilbert y Ackermann. Interesante, aunque no extraño, que la conexión entre la forma normal conjuntiva y la demostración automática de teoremas la encontrara en un libro de Hilbert.

A fixing in a fence

— You know, a fence in lattice theory, more precisely an $n$-element fence in lattice theory, is an ordered set $\{x_1,\ldots,x_n\}$ in which $x_1$ is greater than $x_2$, $x_2$ less than $x_3$, $x_3$ greater than the next one, etc., and $x_n$ greater or less than $x_{n-1}$ depending whether $n$ is odd or even, or $x_1$ less than $x_2$, $x_2$ greater than $x_3$, etc., and its Hasse diagram looks like a zigzag.
— I see. So a defense is quite the opposite, and its Hasse diagram looks like a zagzig.
— No offense, but no!
— Exactly! (You're so emphatic, I like that.)

Don't be irrational

— This is Math.
— Hi, Math. So, what's your phone number?
— RATIONAL... You wouldn't like to dial forever, right?
— But...
— I know, I know, I know,...

Mónadas adjuntas en una 2-categoría

Samuel Eilenberg y John C. Moore, en su artículo Adjoint functors and triples, muestran la correspondencia biyectiva que existe entre las mónadas con adjunto derecho y las comónadas con adjunto izquierdo. Sus resultados se pueden generalizar a una 2-categoría $K$ tal que $K$ y $K^{co}$ admitan la construcción de álgebras. Aquí los detalles de tal generalización.

El mundo de $n^m$ espacios

Reempezando a leer la novela El mundo de ocho espacios de Jaime Romero Robledo, me vino a la mente la entrada El problema que me planteó la novela El mundo de ocho espacios (nunca terminé de leer la novela, por cierto), y se me ocurrió generalizar el problema a un 4-cubo (o un hipercubo de dimensión 4): calcular el número de caras interiores en un 4-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales. Sin embargo, el problema se puede generalizar aún más: calcular el número de $k$-caras interiores y exteriores de un $m$-cubo si dividimos sus aristas en $n$ partes iguales.
     Obtuve lo siguiente. Si tenemos un $m$-cubo y dividimos cada arista (cada 1-cara) en $n$ partes iguales, obtenemos $$\binom{m}{k}(n-1)^{m-k}n^k\text{ $k$-caras interiores},$$ donde $k < m$ y $1\leq n$.
     Todavía no tengo muy claro cómo calcular el número de $k$-caras exteriores.

No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos

Mac Lane en su Categories for the working mathematician da dos ejemplos de funtores continuos con dominio pequeño-completo que no satisfacen la condición conjunto solución del Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Tal teorema dice lo siquiente.

Teorema de Freyd del Funtor Adjunto. Si $A$ es una categoría pequeño-completa con homoconjuntos pequeños, entonces un funtor $G:A\rightarrow X$ tiene adjunto izquierdo si y sólo si preserva todo límite pequeño y satisface lo siguiente.
     Condición conjunto solución. Para todo objeto $x\in X$, existe un conjunto pequeño $I$ y una familia de flechas $f_i:x\rightarrow Ga_i$ indexada por $I$ tal que toda flecha $h:x\rightarrow Ga$ se puede escribir como la composición $h=Gt\circ f_i$ para algún índice $i$ y alguna $t:a_i\rightarrow a$.

El ejemplo que me sorprendió e intrigó fue el segundo. Este empieza diciendo: “Dado un conjunto numerable $D$, uno puede construir un álgebra booleana completa arbitrariamente grande generada por $D$”. Tal afirmación la demostraron primero Gaifman y Hales de manera independiente utilizando argumentos de la lógica infinitaria y luego la demostró Solovay haciendo uso del álgebra abierta regular. La demostración de Solovay es mucho más simple. Hago un recuento detallado de esta demostración.

Sea $\kappa$ un cardinal infinito y dótese a $\kappa$ de la topología discreta. Considérese ahora a $\kappa^\omega$ con la topología producto. Sea $X:=\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$, el álgebra abierta regular del espacio $\kappa^\omega$. Notemos que todo cerrabierto es regular; de donde, los $$A_{n,\eta}:=\{f\in \kappa^\omega\mid fn=\eta\},$$ con $\eta<\kappa$, son elementos de $X$: el conjunto $\{\eta\}$ es cerrabierto de $\kappa$; más aún, los $A_{n,\eta}$ son subbásicos de $\kappa^\omega$. Tenemos que la familia $\{A_{n,\eta}\mid n<\omega,\eta<\kappa\}$ genera a $X$; en efecto, sea $V\in X$; entonces, $V$ es unión de intersecciones finitas de $A_{n,\eta}$ s, digamos, $V=\bigcup V_i$; de donde, como $V$ es abierto regular y $\bigvee V_i=\mathrm{IntCl}(\bigcup V_i)$ es el abierto regular más pequeño que contiene a $\bigcup V_i$, tenemos que $V=\bigvee V_i$.
     Ahora, la cardinalidad de $X$ es al menos $\kappa$, pues si $\eta<\eta'<\kappa$, entonces $A_{0,\eta}$ y $A_{0,\eta'}$ son distintos.
     Antes de seguir, notemos que si $B\subseteq\kappa^\omega$ y $B$ depende de un número finito de coordenadas, entonces $B$ es cerrabierto. En efecto, que $B$ dependa de un número finito de coordenadas significa que $\exists\,n_1,\ldots,n_m\in\mathbb{N}$ $$B=\{f\in\kappa^\omega\mid R(fn_1,\ldots,fn_m)\},$$ donde $R\subseteq\kappa^m$ y $m\in\mathbb{N}$. Tenemos que $R$ es cerrabierto de $\kappa^m$ y $B=p^{-1}R$ con $p:\kappa^\omega\rightarrow\kappa^m$ definida como $pf:=(fn_1,\ldots,fn_m)$; $p$ es continua.
     Prosigamos. Dados $n,m<\omega$, defínase $$B_{n,m}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fm\leq fn\}.$$ Entonces, por la observación anterior, $B_{n,m}$ es cerrabierto luego abierto regular. Afirmamos que los $B_{n,m}$ generan a $X$. En efecto, sea $Y$ la subálgebra completa más pequeña de $X$ que contiene a $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$. Bastará demostrar que $A_{n,\eta}\in Y$ para todo $n<\omega$ y para todo $\eta<\kappa$; hagámoslo por inducción sobre $\eta$; supongamos entonces que para $m<\omega$ y $\xi<\eta$ se tiene que $A_{m,\xi}\in Y$. Ahora, sean $$D_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn<\eta\}\quad\text{y}\quad E_{n,\eta}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq\eta\}$$ para $n<\omega$ y $\eta<\kappa$. Lo que queremos hacer es ver que $D_{n,\eta},E_{n,\eta}\in Y$, ya que $$A_{n,\eta}=D_{n,\eta}\cap E_{n,\eta}=D_{n,\eta}\wedge E_{n,\eta}.$$ Como $D_{n,\eta}$ y $E_{n,\eta}$ dependen sólo de una coordeanada, son cerrabiertos; luego, son elementos de $X$. Por inducción, estamos suponiendo que $A_{n,\xi}\in Y$, así que como $D_{n,\eta}$ es abierto regular y $$D_{n,\eta}=\bigcup_{\xi<\eta} A_{n,\xi},$$ entonces $D_{n,\eta}=\bigvee_{\xi<\eta} A_{n,\xi}\in Y$.
     Por otro lado, dados $n,m<\omega$, $$C_{m,n}:=\{f\in\kappa^\omega\mid fn\leq fm\text{ o }fm<\eta\}$$ es cerrabierto, ya que su definición depende sólo de $m$ y $n$; luego, $C_{m,n}\in X$. Notemos que $$C_{m,n}=B_{m,n}\cup\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}.$$ Nuevamente, como $C_{m,n}\in X$, se tiene que $C_{m,n}=B_{m,n}\vee\bigvee_{\xi<\eta} A_{m,\xi}$. De donde, $C_{m,n}\in Y$. Demostremos que $E_{n,\eta}=\bigwedge_{m<\omega} C_{m,n}$; es decir, que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$.
     Ahora, dados $n<\omega$ y $f\in\kappa^\omega$, los $$U(n,f):=\{h\in\kappa^\omega\mid\forall\,m\leq n\; hm=fm\}$$ forman una base para $\kappa^\omega$ (es claro que $U(n,f)\in\tau(\kappa^\omega)$). En efecto, sea $\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$ un básico de $\kappa^\omega$ y sea $f\in\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$. Sin pérdida de generalidad, supóngase que $i_1<\cdots < i_m$. Entonces, $U(i_m,f)\subseteq\langle U_{i_1},\ldots,U_{i_m}\rangle$.
     Demostremos que $E_{n,\eta}=\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$. Sea $g\in E_{n,\eta}$; es decir, $gn\leq\eta$. Entonces, $U(n,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$, pues si $h\in U(n,g)$, entonces dado $m<\omega$, si $hn\leq hm$ entonces $h\in C_{m,n}$ y si $hm< hn=gn$ entonces $hm<\eta$ y $h\in C_{m,n}$; luego, $h\in\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$.
     Recíprocamente, sea $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$ y supóngase que $gn>\eta$. Como $g\in\mathrm{Int}(\bigcap_{m<\omega} C_{m,n})$, existe $N\in\omega$ tal que $U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$. Como $U(k,g)\subseteq U(N,g)$ para todo $k\geq N$, podemos suponer que $N\geq n$. Ahora defínase $h:\omega\rightarrow\kappa$ como $$hm:=\begin{cases} gm &\text{si $m\leq N$,}\\ \eta &\text{si $m > N$}. \end{cases}$$ Entonces, $h\in U(N,g)\subseteq\bigcap_{m<\omega} C_{m,n}$; de donde, $h\in C_{N+1}$; es decir, $hn< h(N+1)$ o $h(N+1)<\eta$. Sin embargo, $h(N+1)=\eta< gn=hn$ y $h(N+1)\geq\eta$ !! Luego, $g\in E_{n,\eta}$. Así que $E_{n,\eta}\in Y$.
     Por lo tanto, $X$, que tiene cardinalidad por lo menos $\kappa$, es generado por $\{B_{n,m}\mid n,m<\omega\}$, que es numerable.
     Así que tenemos el siguiente teorema.

Teorema (Solovay). Sea $\kappa$ un cardinal infinito. Si $\kappa$ tiene la topología discreta y $\kappa^\omega$ la topología producto, entonces $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es un álgebra boolena completa numerablemente generada con cardinalidad por lo menos $\kappa$.

Y tenemos el siguiente corolario.

Corolario. No hay álgebras booleanas completas libres sobre conjuntos infinitos.

Demostración. Sean $X$ un conjunto infinito, $FX$ el álgebra completa libre generada por $X$ y $\eta_X:X\rightarrow FX$ la función con la propiedad universal de álgebra libre. Sea $\kappa$ un cardinal mayor que $|FX|$. Entonces, por el teorema anterior, $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ tiene un conjunto numerable $Y$ de generadores. Sea $f:X\rightarrow Y$ una función suprayectiva. Entonces, si $g:FX\rightarrow\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ es homomorfismo de álgebras booleanas completas y $g\circ\eta_X=f$, entonces $gFX$ es una subálgebra completa de $\mathbf{AR}(\kappa^\omega)$ que incluye a $Y$; de donde, $g$ sería suprayectiva y $\kappa\leq|\mathbf{AR}(\kappa^\omega)|\leq|FX|<\kappa$ !!