Una mera curiosidad sobre grupos en una categoría I

1. Introducción

En la sección §6 del capítulo III del Categories for the working mathematician, Mac Lane define un grupo en una categoría $C$ con productos finitos y objeto terminal $t$ como un objeto $c$ junto con los morfismos (en $C$) $\mu:c\times c\rightarrow c$, $\eta:t\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ tales que los siguientes diagramas conmutan:

     Me pareció curioso que no incluyera el diagrama

así que me pregunté si la conmutatividad del penúltimo diagrama implicaba la conmutatividad del último; es decir, me pregunté si se podía demostrar, con puras flechas, la conmutatividad del último diagrama. Resultó que sí.

2. Un monoide con inversos derechos es un grupo

Se sabe que si $M$ es un monoide en $\mathbf{Set}$ entonces si $a,a_i,a_d\in M$ son tales que $$a_ia=e=aa_d,$$ entonces $a_i=a_d$. También se sabe que si $\forall\,a\in M\;\exists\, a_d\in M$ tal que $aa_d=e$ entonces $M$ es un grupo. La manera en que se demuestra la primera afirmación es así: $$a_i=a_ie=a_i(aa_d)=(a_ia)a_d=ea_d=a_d.$$ Una demostración de la segunda es como sigue: sea $a\in M$; entonces, $\exists\, a_d\in M\; aa_d=e$; por otro lado, $\exists\, (a_d)_d\in M\; a_d(a_d)_d=e$. Por lo tanto, $a_d$ tiene inverso izquierdo $a$ e inverso derecho $(a_d)_d$, y, como $M$ es monoide, $a=(a_d)_d$; es decir, $a_d$ es inverso izquierdo y derecho de $a$. Así que $M$ es grupo.      Volviendo a la pregunta, tratemos de imitar las demostraciones categóricamente.
     La primera afirmación sería como sigue:

Proposición A1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta':c\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

conmutan, entonces $\zeta'=\zeta$.

La segunda afirmación sería como sigue:

Proposición A2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta:c\rightarrow c$ es un morfismo en $C$ tal que

conmuta, entonces

también conmuta.

     Se podría tratar de proceder como en la demostración en $\mathbf{Set}$: demostrar la Proposición A1 y luego usar la Proposición A1 para demostrar la Proposición A2; sin embargo, tratemos de demostrar la Proposición A2. Si imitamos, más o menos, la demostración de la Proposición A2 en el caso de $\mathbf{Set}$, primero demostraríamos, suponiendo la hipótesis de la Proposición A2, que

conmuta, es decir, que

conmuta. Segundo, que $\zeta\zeta=1_c$. Tercero, si $\zeta\zeta=1_c$ entonces, como (3) conmuta, (2) también.
     Notemos que mostrar que $\zeta\zeta=1_c$ tiene algo en común con la Proposición A1: supongamos la hipótesis de la Proposición A1; queremos mostrar que si

conmutan, entonces $1_c=\zeta\zeta$. Generalicemos aquello que tienen en común.

Proposicion A3. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta_1,f,\zeta_2:b\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que

y

conmutan, entonces $\zeta_1=\zeta_2$.

Antes de demostrar la Proposición A3, demostraremos el siguiente lema.

Lema L1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $g:b\rightarrow c$ un morfismo en $C$, entonces $$\mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b=\mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b=g,$$ donde $\eta':b\rightarrow c$ es la composición $b\overset{!_b}{\rightarrow}t\overset{\eta}{\rightarrow}c$.

Demostración. Notemos que, como

conmutan, entonces $$!_b\times 1\circ\delta_b=\lambda_b^{-1}\quad\text{y}\quad 1\times !_b\circ\delta_b=\rho_b^{-1},$$ que son naturales. Finalmente, tenemos, de las igualdades anteriores y de la naturalidad de $\lambda$ y $\rho$, que \begin{align} \mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b &=\mu\eta\times 1\circ 1\times g\circ !_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\lambda_c\circ 1\times g\circ\lambda_b^{-1}\notag\\ &=g\notag\\ \notag\\ \mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b &=\mu\circ 1\times\eta\circ g\times 1\circ 1\times !_b\circ\delta_b\notag\\ &=\rho_c\circ g\times 1\circ\rho_b^{-1}\notag\\ &=g\notag. \end{align} Demostración de la Proposición A3. Es fácil ver que $$\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b=\delta_b\times 1\circ\delta_b.$$ Entonces, de aquí, del Lema L1, de la naturalidad de $\alpha$, de la asociatividad de $\mu$ y de la conmutatividad de (5) y (6), \begin{align} \zeta_1 &=\mu\circ\zeta_1\times\eta'\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\zeta_1\times(f\times\zeta_2)\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\alpha^{-1}\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\delta_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\eta'\times\zeta_2\circ\delta_b\notag\\ &=\zeta_2\notag. \end{align} Ahora, demostremos la conmutatividad de (3). Esto se sigue de algo más general.

Lema L2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ con $\zeta:c\rightarrow c,f:b\rightarrow c$ morfismos en $C$ y (1) conmuta, entonces

conmuta.

Demostración. Se sigue de la naturalidad de $\delta$ y la conmutatividad de (1): el diagrama

conmuta. Así que la Proposición A2 se sigue del Lema L2 y la Proposición A3, y la Proposición A1 de la Proposición A3.