24 de agosto de 2013

Una mera curiosidad sobre grupos en una categoría I


1. Introducción

En la sección §6 del capítulo III del Categories for the working mathematician, Mac Lane define un grupo en una categoría $C$ con productos finitos y objeto terminal $t$ como un objeto $c$ junto con los morfismos (en $C$) $\mu:c\times c\rightarrow c$, $\eta:t\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ tales que los siguientes diagramas conmutan:


     Me pareció curioso que no incluyera el diagrama


así que me pregunté si la conmutatividad del penúltimo diagrama implicaba la conmutatividad del último; es decir, me pregunté si se podía demostrar, con puras flechas, la conmutatividad del último diagrama. Resultó que sí.

2. Un monoide con inversos derechos es un grupo

Se sabe que si $M$ es un monoide en $\mathbf{Set}$ entonces si $a,a_i,a_d\in M$ son tales que $$a_ia=e=aa_d,$$ entonces $a_i=a_d$. También se sabe que si $\forall\,a\in M\;\exists\, a_d\in M$ tal que $aa_d=e$ entonces $M$ es un grupo. La manera en que se demuestra la primera afirmación es así: $$a_i=a_ie=a_i(aa_d)=(a_ia)a_d=ea_d=a_d.$$ Una demostración de la segunda es como sigue: sea $a\in M$; entonces, $\exists\, a_d\in M\; aa_d=e$; por otro lado, $\exists\, (a_d)_d\in M\; a_d(a_d)_d=e$. Por lo tanto, $a_d$ tiene inverso izquierdo $a$ e inverso derecho $(a_d)_d$, y, como $M$ es monoide, $a=(a_d)_d$; es decir, $a_d$ es inverso izquierdo y derecho de $a$. Así que $M$ es grupo.      Volviendo a la pregunta, tratemos de imitar las demostraciones categóricamente.
     La primera afirmación sería como sigue:

Proposición A1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta':c\rightarrow c$ y $\zeta:c\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que


conmutan, entonces $\zeta'=\zeta$.


La segunda afirmación sería como sigue:

Proposición A2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta:c\rightarrow c$ es un morfismo en $C$ tal que


conmuta, entonces


también conmuta.


     Se podría tratar de proceder como en la demostración en $\mathbf{Set}$: demostrar la Proposición A1 y luego usar la Proposición A1 para demostrar la Proposición A2; sin embargo, tratemos de demostrar la Proposición A2. Si imitamos, más o menos, la demostración de la Proposición A2 en el caso de $\mathbf{Set}$, primero demostraríamos, suponiendo la hipótesis de la Proposición A2, que


conmuta, es decir, que


conmuta. Segundo, que $\zeta\zeta=1_c$. Tercero, si $\zeta\zeta=1_c$ entonces, como (3) conmuta, (2) también.
     Notemos que mostrar que $\zeta\zeta=1_c$ tiene algo en común con la Proposición A1: supongamos la hipótesis de la Proposición A1; queremos mostrar que si


conmutan, entonces $1_c=\zeta\zeta$. Generalicemos aquello que tienen en común.

Proposicion A3. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $\zeta_1,f,\zeta_2:b\rightarrow c$ son morfismos en $C$ tales que


y


conmutan, entonces $\zeta_1=\zeta_2$.


Antes de demostrar la Proposición A3, demostraremos el siguiente lema.

Lema L1. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ y $g:b\rightarrow c$ un morfismo en $C$, entonces $$\mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b=\mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b=g,$$ donde $\eta':b\rightarrow c$ es la composición $b\overset{!_b}{\rightarrow}t\overset{\eta}{\rightarrow}c$.

Demostración. Notemos que, como


conmutan, entonces $$!_b\times 1\circ\delta_b=\lambda_b^{-1}\quad\text{y}\quad 1\times !_b\circ\delta_b=\rho_b^{-1},$$ que son naturales. Finalmente, tenemos, de las igualdades anteriores y de la naturalidad de $\lambda$ y $\rho$, que \begin{align} \mu\circ\eta'\times g\circ\delta_b &=\mu\eta\times 1\circ 1\times g\circ !_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\lambda_c\circ 1\times g\circ\lambda_b^{-1}\notag\\ &=g\notag\\ \notag\\ \mu\circ g\times\eta'\circ\delta_b &=\mu\circ 1\times\eta\circ g\times 1\circ 1\times !_b\circ\delta_b\notag\\ &=\rho_c\circ g\times 1\circ\rho_b^{-1}\notag\\ &=g\notag. \end{align} Demostración de la Proposición A3. Es fácil ver que $$\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b=\delta_b\times 1\circ\delta_b.$$ Entonces, de aquí, del Lema L1, de la naturalidad de $\alpha$, de la asociatividad de $\mu$ y de la conmutatividad de (5) y (6), \begin{align} \zeta_1 &=\mu\circ\zeta_1\times\eta'\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\zeta_1\times(f\times\zeta_2)\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ 1\times\mu\circ\alpha^{-1}\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\alpha\circ 1\times\delta_b\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\mu\times 1\circ(\zeta_1\times f)\times\zeta_2\circ\delta_b\times 1\circ\delta_b\notag\\ &=\mu\circ\eta'\times\zeta_2\circ\delta_b\notag\\ &=\zeta_2\notag. \end{align} Ahora, demostremos la conmutatividad de (3). Esto se sigue de algo más general.

Lema L2. Sea $C$ una categoría con productos finitos y objeto terminal $t$. Si $\langle c,\mu,\eta\rangle$ es un monoide en $C$ con $\zeta:c\rightarrow c,f:b\rightarrow c$ morfismos en $C$ y (1) conmuta, entonces


conmuta.


Demostración. Se sigue de la naturalidad de $\delta$ y la conmutatividad de (1): el diagrama


conmuta. Así que la Proposición A2 se sigue del Lema L2 y la Proposición A3, y la Proposición A1 de la Proposición A3.

4 comentarios:

Omar dijo...

Este es un excelente ejemplo del poder del concepto de elemento generalizado. Después de que pruebas que un monoide (en la categoría de conjuntos) con inversos por un lado es un grupo, básicamente ya acabaste: para cualquier objeto x, aplicándole hom(x,_) a los diagramas de MacLane obtienes que hom(x,c) es un monoide con inversos por un lado y por lo tanto es un grupo. Esto quiere decir que al aplicar hom(x,_) al diagrama que quieres probar que conmuta, el resultado sí conmuta. Ahora toma x=c y evalúa el diagrama en la identidad de c: obtienes la conmutatividad del diagrama faltante.

quique ruiz dijo...

Eso es lo que iba a hacer en otra entrada (por eso el I). De hecho, son tres entradas. La segunda es lo que mencionas en tu comentario.

notandiario dijo...

Ahora me da curiosidad saber que va a haber en la tercer entrada. :)

quique ruiz dijo...

En la tercera entrada estaba pensando en grupos en categorías internas. Creo que ahí tendría utilidad todo lo del post, ¿no?