10 de junio de 2011

El problema que me planteó la novela El mundo de ocho espacios


En la novela El mundo de ocho espacios de Jaime Romero Robledo se habla de un cubo con ocho cuartos. Yo interpreté tal cubo como un cubo hecho de ocho subcubos conectados por puertas a través de sus caras; es decir, no consideré las caras externas de los subcubos puesto que no los conectan con otros subcubos. En el texto se habla de 24 puertas.
     En ese cubo hecho de ocho subcubos, cada subcubo tiene exactamente tres caras compartidas, las tres que no quedan visibles, así que cada subcubo debe tener tres puertas. Cualquier puerta dentro de las caras externas de un subcubo llevaría al exterior, así que esas caras no las consideré, como ya había dicho antes. Hice el siguiente razonamiento para contar el número de puertas interiores dentro del cubo: cada subcubo tiene 3 puertas y son ocho subcubos, así que debe haber 24 puertas. También hice otro razonamiento: si considero las caras del cubo, cada una de ellas presentaría una cruz, lo que serían los bordes de las caras compartidas por los subcubos. Cada cara del cubo tendría 4 bordes visibles. Esos bordes serían los de las caras compartidas dentro de las cuales tendrían que estar las puertas que interconectarían los subcubos. Son cuatro bordes por cada cara del cubo y el cubo tiene 6 caras, así que debe haber 24 puertas
     Los dos razonamientos anteriores están errados, pues, en ambos, se están contando varias veces las puertas: dos veces. Queda claro que se está contando dos veces cada puerta, si consideramos, digamos, el subcubo anterior superior derecho y luego el subcubo anterior superior izquierdo; con cualquiera de los razonamientos anteriores, estaríamos contando dos veces la puerta que comunica a estos dos subcubos. Así que cómo contar sin repeteciones el número exacto de puertas dentro del cubo. Se me ocurrieron dos razonamientos.1
     Primero. Consideremos el subcubo anterior superior derecho. Este subcubo tiene tres puertas. Llevamos 3 en nuestra cuenta. Ahora consideremos los tres subcubos con los cuales se comunica: el anterior superior izquierdo, el posterior superior derecho y el anterior inferior derecho. Para estos tres, ya hemos contado una de sus puertas, aquella que los comunica con el subcubo anterior superior derecho. Tres por dos es seis. Son 6 puertas más. Llevamos 9 puertas. Ahora consideremos cada subcubo que queda entre dos de los últimos tres. Dichos cubos son tres, a saber, el subcubo anterior inferior izquierdo, el posterior inferior derecho y el posterior superior izquierdo. Para estos tres subcubos, ya hemos contado dos de sus puertas, aquellos que los conectan a dos de los tres subcubos precentes. Tres por uno es tres. Son 3 puertas más. Llevamos 12 puertas en nuestra cuenta. Finalmente, nos queda contar las puertas del subcubo posterior inferior izquierdo; sin embargo, ya han sido contadas, al contar la de los tres subcubos precedentes. Por lo tanto, son 12 las puertas dentro del cubo grande.
     Segundo. Consideremos la cara anterior del cubo grande y los cuatro bordes visibles, los cuales serían las caras compartidas de los cuatro subcubos anteriores. Así que para esa cara del cubo, podemos contar 4 puertas. Llevamos 4 en nuestra cuenta. Ahora consideremos las dos caras laterales del cubo grande: la derecha y la izquierda. Para cada una de estas dos caras, igualmente veríamos cuatro bordes. Si viéramos de frente la cara derecha, el borde horizontal izquierdo sería el borde de la cara compartida por los subcubos anteriores derechos, así que la puerta dentro de esa cara compartida ya la hemos contado. Sólo no hemos contado las puertas de los otros tres bordes: los dos verticales y el horizontal derecho. Algo similar ocurre con la cara izquierda del cubo grande. Tres por dos es seis. Son 6 puertas más en nuestra cuenta. Llevamos 10 puertas en nuestra cuenta. Consideremos la cara posterior del cubo grande. Si viéramos de frente esa cara, los dos bordes horizontales ya los hemos contado, pues el horizontal izquierdo sería el borde horizontal derecho de la cara derecha del cubo grande y el horizontal derecho sería el borde horizontal izquierdo de la cara izquierda del cubo grande, y ya las hemos contado. Sólo no hemos contado los dos bordes verticales restantes de la cara posterior. Son 2 puertas más. Llevamos 12 puertas en nuestra cuenta. Ahora sólo nos faltan la tapa del cubo, la cara superior, y el fondo, la cara inferior. Si miramos de frente la cara superior (voy a obviar cómo tiene que ser la rotación), el borde horizontal derecho correspondería al borde vertical superior de la cara derecha y el borde horizontal izquierdo correspondería al borde vertical superior de la cara izquierda, los cuales ya han sido contados. El borde vertical superior de la cara superior correspondería al borde vertical superior de la cara posterior y el vertical inferior al borde vertical superior de la cara anterior. Así que ya hemos contado todas las posibles puertas para esa cara. Similarmente ocurre para la cara inferior del cubo grande. Por lo tanto, hay 12 las puertas dentro del cubo grande.
     Ya que tenía el número correcto, pensé: “cómo puedo contar el número de puertas dentro de un cubo hecho de 27 (=33) subcubos. O uno de 43 subcubos. O uno de n3 subcubos.
     Mis primeros intentos fueron inútiles. Pensaba en el cubo de 33 subcubos y se me ocurría considerar algún cubo dentro del cubo grande hecho de 23 (=8) subcubos, del cual ya sabía cuántas puertas tenía dentro. Pero luego se dificultaba la manera en cómo contar las puertas restantes. Dicho método complicaba las cosas si pensaba en cubos más grandes.
     Se me ocurrió otra cosa. Conté desde el mero principio de la construcción del cubo con los subcubos. Consideré 3 subcubos puestos en línea. Dicha línea de subcubos tendría 2 puertas dentro. Consideré otras 2 líneas de 3 subcubos. Cada línea tendría 2 puertas. Llevaría entonces 2·3 puertas; sin embargo, cuando empatara las 3 líneas, ocurriría que 3 caras quedarían compartidas para cada 2 líneas, y son 3 líneas; así que hay añadir otras 3·2 puertas. Llevamos entonces 12 puertas. Si considero 3 placas de 9 subcubos, tendría 3·12 puertas. Cuando empatara las placas, ocurriría que 9 caras quedarían compartidas para cada 2 placas, y son 3 placas, así que tendría que añadir 9·2 puertas. Lo que me da un total de 36+18=54 puertas.
     Lo interesante del método anterior es que se puede realizar para el cubo hecho de 8 subcubos. Y no sólo eso, sino para un cubo hecho de n3. Consideremos una línea de n subcubos. La línea tendría n-1 puertas. Ahora considero n líneas de n subcubos, lo que me daría (n-)n puertas. Al empalmar las líneas, se obtendrían n(n-1) puertas más. Lo que nos da

(n-1)n+n(n-1)

puertas para una placa de n2 subcubos. Si consideramos n placas de n2 subcubos, obtendríamos

n[(n-1)n+n(n-1)]

puertas para el cubo de hecho de n3 subcubos. Pero nos faltan considerar las caras compartidas entre placas. El número de caras compartidas entre placas es n2, y son n placas. Por lo tanto, hay que añadir a nuestra cuenta

n2(n-1).

Así que si hacemos la suma

p=n[(n-1)n+n(n-1)]+n2(n-1)

y simplificamos, tenemos que el número de puertas dentro de un cubo hecho de n3 subcubos es

p=3n2(n-1).

Si n=2, p=3·4·1=12. Si n=3, p=3·9·2=54. Si n=4, p=3·16·3=144. Si n=5, p=3·25·4=300.
     Ahora es más fácil contar el número de puertas para un bloque hecho de subcubos de largo a, ancho b y altura c. A saber, el número de puertas para tal bloque sería

p=(a-1)bc+a(b-1)c+ab(c-1).

Y ese número sería impar sólo cuando dos de los tres a, b y c fueran impares y la otra par.
     Si consideráramos también las caras externas de los subcubos para alojar una puerta, entonces tendríamos n2 caras por cada cara en el cubo grande, así que tendríamos que añadir a nuestra cuenta 6n2, lo que, al simplicar, nos da

p=3n2(n+1).

Si n=2 entonces tendríamos 36 puertas para un cubo hecho de 8 subcubos.
     Para el caso general del bloque de largo a subcubos, ancho b subcubos y altura c subcubos, si las caras externas tuvieran puertas, una por cada cara, entonces se tendría que

p=(a-1)bc+a(b-1)c+ab(c-1)+2(ab+bc+ca).

     Volviendo a la primera técnica de conteo que usamos, dicha conteo se puede generalizar para el caso n3; sólo hay que tener en cuenta que cada puerta se estará contando dos veces, así que sólo tendríamos que dividir por dos toda nuestra cuenta. No sé por qué no se me ocurrió esto (dividir entre dos) antes de llegar a la tercera técnica de conteo, aquella que nos llevó a la primera fórmula. Contemos. Pensemos en un cubo hecho de n3 subcubos. Consideremos entonces todos los subcubos que tienen una puerta en cada una de sus 6 caras; esos son todos los subcubos del interior, que son (n-2)3 subucubos. Esto nos da

6(n-2)3.

Ahora consideremos todos los subcubos que tienen puerta en sólo 5 de sus caras. Son los cubos de las caras del cubo grande, salvo los subcubos de los bordes o aristas y los de las esquinas. El número subcubos en una cara salvo bordes es (n-2)2. El número de caras del cubo es 6 y el número de caras de sucubo con puerta es 5. Esto nos da

30(n-2)2.

Los subcubos que tienen puerta en sólo 4 de sus caras son precisamente los de las aristas, salvo los de las esquinas. El número de subcubos es una arista salvo esquinas es (n-2). El número de aristas en un cubo es 12 y el número de caras de subcubo con puerta es 4. Esto nos da

48(n-2).

Finalmente sólo nos quedan los subcubos de las esquinas, los cuales sólo tienen 3 caras con puerta. El número total de subcubos de esquina es 8. Esto nos da

24.

Así que, si hacemos la suma y dividimos por 2, nos queda el siguiente polinomio:

p=3(n-2)3+15(n-2)2+24(n-2)+12.

Este polinomio me gusta mucho porque aparecen todas las potencias en él. El primero me gusta por la sencillez de su apariencia.
     Si evaluamos en el polinomio, obtenemos lo esperado. Evalúen ambas fórmulas para n=1 sólo por curiosidad.
     Esto fue un poco de matemáticas recreativas: son para entretenerse y no son necesarias matemáticas avanzadas para entenderlas.
     Volviendo a la novela. Se las recomiendo (en realidad, sería mejor gramaticalmente que escribiera “Se la recomiendo”, porque el ‘las’ se refiere a un complemento de objeto directo plural, que no hay en este caso, pues les estoy recomendando la novela, no las novelas; sin embargo, en el español hablado, por lo menos en el mexicano, como no tenemos manera de pluralizar con un signo más el pronombre ‘se’ para el complemento indirecto, ya que me refiero a ustedes y no a usted, recurrimos a la pluralización del pronombre que sí admite una ‘s’: el pronombre ‘la’. En otras palabras, no existe el pronombre ‘ses’, pero si sí existiera, pues les escribiría “Ses la recomiendo”. Hmmmm, me gusta ese pronombre inexistente). He aquí una reseña de la novela hecha por Chimal.


1. Los siguientes razonamientos no son los más eficientes. El que da Omar en un comentario es mucho más eficiente.

5 comentarios:

Cristina dijo...

no, no son necesarias matemáticas avanzadas para seguir estos razonamientos bastante divertidos.

Omar dijo...

¡Eso está complicadísimo! Para el caso del cubo, por ejemplo, considera las puertas horizontales: están en (n-1) pisos y cada piso tiene un arreglo de n por n puertas, así que hay (n-1)n^2. Verticales hay de dos tipos: norte-sur y este-oeste, así que hay tres direcciones para las puertes y por tanto en total son 3(n-1)n^2

quique ruiz dijo...

Ya decía yo: “ha de haber una manera más fácil de hacer esto, pero a mí no se me ocurre”.

cristina dijo...

y tu objetivo era hacerlo de una manera fácil?

quique ruiz dijo...

Era contar mis pensamientos.