El lunes 4 de septiembre de 2006 escuché a conocidos, cuates y amigos discutir sobre el porqué de la tabla de verdad del 'si... entonces...' Me llamó mucho la atención; me hubiera gustado comentar, pero como había sólo personas por lo menos conocidas, no me sentí con la suficiente confianza como para decir algo. Esa discusión me dejó pensando.
Una de las tareas que se dejó a los alumnos de Álgebra Superior I fue demostrar que dos igualdades de conjuntos eran equivalentes: la distribución de la unión sobre la intersección y la distribución de la intersección sobre la unión. Lo que hizo la mayoría fue demostrar que ambas eran ciertas. No sabía cómo calificar ese problema: ¿está bien o mal? Antes de que todo me quedara claro, decidí ponérselo mal con la siguiente nota: “Hay que demostrar que si la primera igualdad es cierta entonces la otra también es cierta, y viceversa”.
Ahora lo tengo claro: dado un universo de discurso —si se parte de cierto número finito de axiomas, por supuesto, además de los de la lógica clásica— hay que verificar que no es posible, en el caso de la equivalencia, que se dé el caso de que dos afirmaciones tengan distintos valores de verdad; tal verificación se puede hacer de dos maneras:
O mostrar que siempre es el caso que las dos afirmaciones son ciertas o las dos son falsas. O mostrar que dada que una es cierta, la otra tiene que serlo, y viceversa.
Nunca he visto que cuando se quiere demostrar la equivalencia de dos afirmaciones, se demuestre suponiendo la falsedad de una para concluir la falsedad de la otra... Ay, qué tonto, por supuesto que no puede ser así, pues los argumentos válidos sólo sirven para obtener de premisas verdaderas conclusiones verdaderas: jajajajajajaja.1
© Enrique Ruiz Hernández
1Este relato aparere, con unos pequeños cambios, en el libro Neftis Amonet y otros relatos, aunque yo diría que, más bien, con una pequeña corrección.
3 comentarios:
Creo que en general cuando un matemático dice que dos teoremas son equivalentes la afirmación no es matemática sino sicológica: quiere decir que la mayor parte de los matemáticos encontrarían más fácil demostrar cada teorema suponiendo el otro que demostrarlos directamente.
En el sentido lógico, claro, todos los teoremas son equivalentes pues todos son ciertos.
Finalmente, si puedes demostrar que dos proposiciones son equivalentes suponiendo que una es falsa y probando que entonces la otra lo es (haciendo esto en ambas direcciones): esto simplemente es probar por contrapositiva que cada una implica la otra. Apostaría a que lo has hecho alguna vez, sólo no te acuerdas.
¿A poco las afirmaciones dentro de la teoría están al mismo nivel que los teoremas de la teoría? En la entrada me refiero a equivalencias de afirmaciones dentro de la teoría.
Ahora en lo que se refiere a demostrar la equivalencia de dos afirmaciones al suponer una falsa (al suponer entonces la verdad de la negación) y entonces deducir la falsedad de la otra (la verdad de la negación de la otra), es cierto, lo he hecho al usar contrapositiva. Aunque sigue habiendo algo que me incomoda: cuando uno demuestra una afirmación, uno siempre parte por hipótesis (tal vez la negación de la hipótesis de la afirmación; no tiene por qué ser la misma hipótesis de la afirmación) que uno piensa verdaderas y de ahí comienza a deducir; uno no toma una hipótesis que es falsa y comienza a deducir de ésta como si fuera verdadera. Creo que esto era lo que quería decir.
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